Subiectul al III-lea: primitive și metode de integrare

A doua problemă din Subiectul al III-lea al lucrării de Bacalaureat M1 este, la clasa a 12-a, cea mai previzibilă bucată din tot examenul: pornește de la o funcție continuă pe un interval și cere trei lucruri, în aceeași ordine, an de an. Întâi o verificare pregătitoare, apoi un calcul de primitive, apoi o proprietate a primitivei. Cincisprezece puncte, adică o șesime din lucrare, se joacă pe un tipar pe care îl poți recunoaște înainte de a citi enunțul până la capăt. O primitivă a unei funcții continue $f$ pe un interval este o funcție derivabilă $F$ cu proprietatea $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x$ din interval, iar două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă.

Lecția aceasta nu predă nicio metodă nouă. Cele douăzeci și una de lecții ale unității „Primitive" au construit tabelul, criteriile de existență și cele patru metode de calcul; aici le punem toate în formatul examenului. Ne uităm la ce se cere la fiecare subpunct, la cum se alege metoda dintr-o singură privire, la cum se redactează astfel încât fiecare rând să fie punctabil — și rezolvăm șase probleme întregi, cu subpunctele a), b) și c) scrise ca în variante.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști, din enunț, ce cere fiecare dintre cele trei subpuncte ale problemei de primitive.
• Vei ști să alegi metoda de integrare din forma integrandului, folosind arborele de decizie și lanțul de metode.
• Vei ști să scrii complet o verificare de tipul „arătați că $F$ este o primitivă a lui $f$".
• Vei ști să determini primitiva care îndeplinește o condiție dată și să citești monotonia, extremele și convexitatea ei.
• Vei ști să redactezi un subpunct de $5$ puncte pe pașii pe care îi caută baremul oficial.
• Vei ști care sunt capcanele care costă cel mai des puncte la acest subiect și cum se prind în treizeci de secunde.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere, exact, la problema de primitive din Subiectul al III-lea?

Problema de primitive și metode de integrare din Subiectul al III-lea este a doua problemă a acestui subiect și are trei subpuncte de câte $5$ puncte: a) o verificare pregătitoare — că o funcție dată este primitivă, că o descompunere algebrică este corectă sau că funcția admite primitive; b) determinarea primitivelor, cu una dintre cele patru metode; c) o proprietate a primitivei, citită din funcția inițială.

Tiparul nu este o întâmplare, ci o consecință a definiției. Funcția $F$ este primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ dacă $F$ este derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$. De aici:

• subpunctul a) se rezolvă derivând, deci nu are nevoie de nicio metodă de integrare — și tocmai de aceea e cel mai ieftin punctaj din toată lucrarea;
• subpunctul b) cere mulțimea $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$, unde $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante pe $I$;
• subpunctul c) folosește egalitățile $F^{\prime }=f$ și $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$: semnul lui $f$ dă monotonia lui $F$, iar monotonia lui $f$ dă convexitatea lui $F$.

Cele trei subpuncte sunt legate: descompunerea cerută la a) este chiar cea de care ai nevoie la b), iar primitiva găsită la b) este cea despre care se întreabă la c). Cine sare peste a) pierde de obicei și restul. Prima problemă a aceluiași subiect, cea de clasa a XI-a, e recapitulată la studiul funcțiilor și graficul lor. Lista completă a criteriilor unității este strânsă în sinteza unității Primitive, iar aici o folosim ca pe o fișă de lucru.

2. Cum alegi metoda de integrare dintr-o singură privire?

Ordinea întrebărilor este cea fixată de arborele de decizie din lecția despre alegerea metodei de integrare, iar te oprești la primul „da":

1. pasul zero — se poate rescrie integrandul (desfacere de paranteze, împărțire, formulă trigonometrică)? Rescrierea nu e o metodă, e o curățenie care face metoda vizibilă;
2. tabelul — integrandul e un rând din tabelul primitivelor, eventual după prelucrare algebrică și liniaritate? Aceasta e succesiunea numită Etapa 1, Etapa 2, Etapa 3 la lecția despre integrala nedefinită și proprietățile ei: prelucrare algebrică $\to$ liniaritate $\to$ tabel;
3. schimbarea de variabilă — se vede o funcție compusă înmulțită cu derivata interiorului? Atunci se aplică cei trei pași ai schimbării de variabilă;
4. integrarea prin părți — integrandul e un produs de tipuri diferite? Atunci se aplică cei trei pași ai integrării prin părți, cu alegerea făcută după regula descreșterii;
5. funcție rațională — se aplică rețeta fracțiilor simple, cu cele patru etape ale ei;
6. trinom la numitor sau sub radical — se aplică rețeta trinomului, cu Etapa $1$, Etapa $2$ și Etapa $3$ ale ei;
7. recurență — integrandul depinde de un indice $n$ și scade cu o singură integrare prin părți.

Când o singură verigă nu ajunge, se scrie lanțul de metode din lecția despre metodele de integrare combinate: șirul ordonat al transformărilor, cu săgeți, ultima verigă fiind mereu tabelul. La Bacalaureat M1 lanțul are cel mult trei verigi; dacă îți ies mai multe, aproape sigur ai ratat pasul zero.

3. Cum arăți, în trei rânduri, că $F$ este o primitivă a lui $f$?

Ordinea e obligatorie, pentru că baremul o urmărește:

1. intervalul și derivabilitatea — „funcția $F$ este derivabilă pe $I$, fiind obținută din funcții elementare derivabile pe $I$";
2. derivarea efectivă, cu calculul scris, nu doar rezultatul;
3. comparația și concluzia — „$F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$, deci $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $I$".

Pasul $1$ nu e decorativ: la $F(x)=\frac{2x\sqrt{x}}{9}\left(3\ln x-2\right)$ intervalul corect este $(0,+\infty )$, nu $[0,+\infty )$, pentru că logaritmul nu e definit în $0$.

Varianta înrudită a subpunctului a) este „arătați că $f$ admite primitive". Acolo argumentul e criteriul de existență din lecția despre funcțiile care admit primitive și teorema lui Darboux: orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval. Se verifică deci continuitatea — la funcțiile pe ramuri, în punctul de racord, cu cei patru pași ai racordării — și se invocă teorema pe nume.

4. Ce se poate cere la subpunctul c)?

Patru lucruri, toate citite din $f$, fără să mai derivezi expresia găsită:

• primitiva cu condiție $F(x_0)=y_0$, cu Pasul $1$, Pasul $2$ și Pasul $3$ ai rețetei din sinteza unității: mulțimea primitivelor $\to$ scrierea $G=F+c$ $\to$ ecuația de gradul întâi în $c$;
• monotonia și extremele lui $F$, din semnul lui $f$ și din punctele în care $f$ își schimbă semnul;
• convexitatea și inflexiunile, din monotonia lui $f$, pentru că $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$ — legăturile sunt strânse în tabelul de traducere din lecția despre proprietățile primitivei citite din funcție;
• o limită sau o mărginire a primitivei, când expresia ei o permite.

Un tabel de variație al lui $F$ se completează, prin urmare, fără să știi expresia lui $F$: rândul $F^{\prime }(x)$ este semnul lui $f$, rândul $F^{\prime \prime }(x)$ este semnul lui $f^{\prime }$, iar săgețile se citesc de acolo. Formatul rămâne cel canonic al tabelului de variație complet.

5. Cum se redactează un subpunct de cinci puncte?

Baremul oficial împarte cele $5$ puncte pe pași, de obicei $2+3$ sau $1+2+2$. Ordinea care îi face pe toți vizibili:

• scrie intervalul și motivul pentru care se poate lucra pe el (continuitate, derivabilitate, semn constant al numitorului);
• scrie metoda pe nume înainte de calcul: „integrăm prin părți, cu $\ln x$ derivat și $\sqrt{x}$ integrat" sau „notăm $t=\ln x$";
• fă calculul pe rânduri scurte, fiecare rând o singură transformare;
• încheie cu rezultatul complet, cu $+\mathcal{C}$ și cu intervalul repetat;
• dacă mai ai treizeci de secunde, derivează rezultatul pe ciornă — e singura verificare pe care o poți face fără ajutor.

Regula scurtă: un pas ținut în minte nu primește nimic. Chiar și „funcția este continuă pe interval, deci admite primitive" e un rând punctat.

6. Care sunt capcanele care costă puncte aici?

Sunt cele opt capcane ale unității Primitive, adunate în sinteza unității, în ordinea în care apar într-o rezolvare: primitiva căutată în afara unui interval; $+C$ în loc de $+\mathcal{C}$; modulul la logaritm, pus sau scos fără motiv; „nu e continuă, deci nu are primitive"; fracțiile simple aplicate fără împărțire; rezultatul lăsat în variabila de substituție; constante independente pe ramuri; rândul greșit din tabel.

Două merită repetate aici, pentru că la examen se plătesc scump. Prima: regula modulului, fixată la lecția despre primitivele funcțiilor raționale — la factorii de gradul întâi rezultatul este $\ln |x-a|$, iar la trinoamele cu discriminantul negativ este $\ln \left(x^2+px+q\right)$, fără modul, pentru că argumentul e strict pozitiv. Modulul dispare dintr-un $\ln |\cdot |$ numai când scrii de ce: „pe $(3,+\infty )$ avem $x-3>0$".

A doua: rândul din tabel se alege după numărător, nu după numitor. Integrala $\int \frac{dx}{x^2+4}$ dă o arctangentă, iar $\int \frac{xdx}{x^2+4}$ dă un logaritm; numitorul e același.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Verificare, primitivă cu condiție, extreme

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2+9}$.

a) Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=x-6\mathrm{arctg}\frac{x}{3}$, este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$. (5 puncte)

b) Determinați primitiva $G$ a lui $f$ cu proprietatea $G(0)=2$. (5 puncte)

c) Alcătuiți tabelul de variație al funcției $F$ și determinați punctele ei de extrem. (5 puncte)

Rezolvare. a) Funcția $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, fiind diferența dintre funcția identică și o compunere de funcții derivabile pe $\mathbb{R}$ (arctangenta este derivabilă pe tot $\mathbb{R}$). Derivăm, folosind ${\left(\mathrm{arctg}u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{1+u^2}$:

$$F^{\prime }(x)=1-6\cdot \frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{x^2}{9}}=1-\frac{2}{\frac{x^2+9}{9}}\cdot \frac{1}{1}=1-\frac{18}{x^2+9}=\frac{x^2+9-18}{x^2+9}=\frac{x^2-9}{x^2+9}=f(x).$$

Egalitatea are loc pentru orice $x$ real, deci $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$. (Verificat numeric în $-5$, $1$ și $4$.)

b) Din a), mulțimea primitivelor este $F(x)+\mathcal{C}$, deci $G(x)=x-6\mathrm{arctg}\frac{x}{3}+c$, cu $c\in \mathbb{R}$. Cum $F(0)=0-6\mathrm{arctg}0=0$, condiția $G(0)=2$ dă $c=2$ și

$$G(x)=x-6\mathrm{arctg}\frac{x}{3}+2,x\in \mathbb{R}.$$

c) Avem $F^{\prime }=f$, iar numitorul $x^2+9$ e strict pozitiv, deci semnul lui $F^{\prime }$ este semnul trinomului $x^2-9$: pozitiv în afara rădăcinilor $-3$ și $3$, negativ între ele. Valorile în punctele critice, cu $\mathrm{arctg}(\pm 1)=\pm \frac{\pi }{4}$:

$$F(-3)=-3+\frac{3\pi }{2}\approx 1,712,F(3)=3-\frac{3\pi }{2}\approx -1,712.$$

La capete, $\mathrm{arctg}\frac{x}{3}$ are limitele $\pm \frac{\pi }{2}$, deci $F(x)\approx x\mp 3\pi$, iar limitele lui $F$ sunt $-\infty$ și $+\infty$.

Citirea tabelului: $F$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-3]$ și pe $[3,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[-3,3]$; are un maxim local $F(-3)=\frac{3\pi }{2}-3$ și un minim local $F(3)=3-\frac{3\pi }{2}$. (Valorile au fost verificate numeric.)

Exemplul 2. Integrare prin părți, cu regula descreșterii

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}\ln x$.

a) Arătați că $f$ admite primitive pe $(0,+\infty )$. (5 puncte)

b) Determinați primitivele funcției $f$. (5 puncte)

c) Determinați primitiva $F$ a lui $f$ cu $F(1)=-\frac{4}{9}$ și punctul ei de minim. (5 puncte)

Rezolvare. a) Pe $(0,+\infty )$, funcția $\ln$ este continuă și funcția  ​ este continuă, deci produsul lor este continuu. Fiind continuă pe un interval, $f$ admite primitive acolo.

b) Integrandul e un produs de tipuri diferite — un logaritm și o putere — deci intrăm pe ramura părților. Regula descreșterii cere să derivăm factorul care se simplifică, adică $\ln x$, și să integrăm factorul care nu se complică, adică $x^{\frac{1}{2}}$, a cărui primitivă este $\frac{2x\sqrt{x}}{3}$ (rândul $2$ din tabel). Cu $f(x)=\ln x$ și $g^{\prime }(x)=\sqrt{x}$, deci $g(x)=\frac{2x\sqrt{x}}{3}$:

$$\int \sqrt{x}\ln xdx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}\ln x-\int \frac{2x\sqrt{x}}{3}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}\ln x-\frac{2}{3}\int \sqrt{x}dx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}\ln x-\frac{4x\sqrt{x}}{9}+\mathcal{C}.$$

Rezultatul se scrie mai comod factorizat: $\int f(x)dx=\frac{2x\sqrt{x}}{9}\left(3\ln x-2\right)+\mathcal{C}$, pentru $x\in (0,+\infty )$. (Verificat prin derivare, numeric, în $0,3$, $2$ și $6$.)

c) Notăm cu $F_0$ expresia de la b) fără constantă. Cum $F_0(1)=\frac{2}{9}\left(0-2\right)=-\frac{4}{9}$, condiția $F(1)=-\frac{4}{9}$ dă $c=0$, deci $F(x)=\frac{2x\sqrt{x}}{9}\left(3\ln x-2\right)$.

Pentru minim folosim $F^{\prime }=f$: semnul lui $f$ este semnul lui $\ln x$, pentru că $\sqrt{x}>0$. Așadar $f<0$ pe $(0,1)$ și $f>0$ pe $(1,+\infty )$, deci $F$ este strict descrescătoare, apoi strict crescătoare, iar $x=1$ este punct de minim global, cu $F(1)=-\frac{4}{9}$. (Semnele au fost verificate numeric pe cele două intervale.)

Exemplul 3. Schimbare de variabilă, apoi rândul $12$ din tabel

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x\left({\ln }^{2}x+4\right)}$.

a) Arătați că $f(x)>0$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$ și că $f$ admite primitive. (5 puncte)

b) Determinați primitivele funcției $f$, folosind substituția $t=\ln x$. (5 puncte)

c) Determinați primitiva $F$ cu $F(1)=0$, calculați $F\left(e^2\right)$ și arătați că $F$ este mărginită. (5 puncte)

Rezolvare. a) Pentru $x>0$ avem $x>0$ și ${\ln }^{2}x+4\ge 4>0$, deci numitorul e strict pozitiv și $f(x)>0$. Funcția e continuă pe $(0,+\infty )$, ca raport de funcții continue cu numitorul nenul, deci admite primitive acolo.

b) Lanțul de metode are două verigi: substituție $t=\ln x$ $\to$ tabel. Notăm $t=\ln x$, cu $dt=\frac{dx}{x}$; factorul $\frac{1}{x}$ este chiar în integrand, deci substituția e legitimă. Cei trei pași ai schimbării de variabilă dau

$$\int \frac{dx}{x\left({\ln }^{2}x+4\right)}=\int \frac{dt}{t^2+2^2}=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{t}{2}+\mathcal{C},$$

unde am folosit rândul $12$ din tabelul primitivelor, cu $a=2$. Al treilea pas este revenirea la $x$, obligatorie la integrala nedefinită:

$$\int f(x)dx=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{\ln x}{2}+\mathcal{C},x\in (0,+\infty ).$$

(Verificat prin derivare, numeric, în $0,4$, $2$ și $9$.)

c) Din $F_0(1)=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}0=0$ rezultă $c=0$, deci $F(x)=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{\ln x}{2}$. Atunci

$$F\left(e^2\right)=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{2}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{8}.$$

Mărginirea: arctangenta ia valori în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, deci $F(x)\in \left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$ pentru orice $x>0$. Așadar $F$ este strict crescătoare (pentru că $F^{\prime }=f>0$) și totuși mărginită — un exemplu bun de ținut minte.

Exemplul 4. Funcție rațională: împărțire, apoi fracții simple

Se consideră funcția $f:(3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+5}{x^2-5x+6}$.

a) Arătați că $f(x)=1-\frac{9}{x-2}+\frac{14}{x-3}$ pentru orice $x>3$. (5 puncte)

b) Determinați primitivele funcției $f$ pe $(3,+\infty )$. (5 puncte)

c) Determinați primitiva $F$ cu $F(4)=4$ și calculați $\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }F(x)$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Aplicăm rețeta fracțiilor simple. Etapa $1$ — împărțirea: gradul numărătorului este egal cu gradul numitorului, deci împărțim întâi:

$$\frac{x^2+5}{x^2-5x+6}=1+\frac{5x-1}{x^2-5x+6}.$$

Etapa $2$ — factorizarea: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Etapa $3$ — descompunerea: căutăm $A$ și $B$ cu $\frac{5x-1}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$, adică $A(x-3)+B(x-2)=5x-1$. Prin valori particulare, metoda potrivită la rădăcini reale distincte: pentru $x=2$ obținem $-A=9$, deci $A=-9$; pentru $x=3$ obținem $B=14$. Așadar

$$f(x)=1-\frac{9}{x-2}+\frac{14}{x-3},x>3.$$

(Identitatea a fost verificată exact, cu fracții, în $300$ de puncte raționale.)

b) Etapa $4$ — integrarea: fiecare termen e un rând din tabel. Pe $(3,+\infty )$ avem $x-2>1>0$ și $x-3>0$, deci modulele se pot scoate, cu justificarea scrisă:

$$\int f(x)dx=x-9\ln (x-2)+14\ln (x-3)+\mathcal{C},x\in (3,+\infty ).$$

(Verificat prin derivare, numeric, în $3,5$, $5$ și $12$.)

c) Notăm cu $F_0$ expresia de mai sus fără constantă. Atunci $F_0(4)=4-9\ln 2+14\ln 1=4-9\ln 2$, iar condiția $F(4)=4$ dă $c=9\ln 2$ și

$$F(x)=x-9\ln (x-2)+14\ln (x-3)+9\ln 2.$$

Când $x\to 3$, $x>3$, primii doi termeni au limite finite ($3$ și $-9\ln 1=0$), iar $\ln (x-3)\to -\infty$; coeficientul $14$ fiind pozitiv, obținem

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }F(x)=-\infty .$$

Rezultatul spune ceva important: primitiva nu se prelungește la capătul $3$, deci intervalul din enunț nu era un moft.

Exemplul 5. Lanț de trei verigi: rescriere, substituție, tabel

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}(x+4)}$.

a) Arătați că, prin substituția $t=\sqrt{x}$, integrandul devine $\frac{2}{t^2+4}$. (5 puncte)

b) Determinați primitivele funcției $f$ pe $(0,+\infty )$. (5 puncte)

c) Determinați primitiva $F$ cu $F(4)=\frac{\pi }{4}$ și arătați că $F$ este strict crescătoare și mărginită. (5 puncte)

Rezolvare. a) Substituția $t=\sqrt{x}$, cu $t>0$, dă $x=t^2$ și $dx=2tdt$. Înlocuind peste tot,

$$\frac{dx}{\sqrt{x}(x+4)}=\frac{2tdt}{t\left(t^2+4\right)}=\frac{2dt}{t^2+4},$$

pentru că $t\ne 0$. Aceasta e forma căutată. (Simplificarea cu $t$ e legitimă tocmai pentru că lucrăm pe $(0,+\infty )$.)

b) Lanțul are trei verigi: substituție $t=\sqrt{x}$ $\to$ rândul $12$ din tabel $\to$ revenirea la $x$. Din a),

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(x+4)}=2\int \frac{dt}{t^2+2^2}=2\cdot \frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{t}{2}+\mathcal{C}=\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{x}}{2}+\mathcal{C},$$

pentru $x\in (0,+\infty )$. (Verificat prin derivare, numeric, în $0,25$, $3$ și $16$.)

c) Cum $\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{4}}{2}=\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$, constanta este $0$ și $F(x)=\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{x}}{2}$.

Monotonia: $F^{\prime }=f>0$ pe $(0,+\infty )$, deci $F$ este strict crescătoare, prin Consecința $2$ a teoremei lui Lagrange. Mărginirea: $\frac{\sqrt{x}}{2}>0$, deci $\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{x}}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ pentru orice $x>0$. Prin urmare $0<F(x)<\frac{\pi }{2}$: o funcție strict crescătoare pe un interval nemărginit poate fi mărginită.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \left(x^2+4\right)$. Problema are formatul obișnuit al problemei $2$ din Subiectul al III-lea: trei subpuncte de câte $5$ puncte.

a) Arătați că $\frac{x^2}{x^2+4}=1-\frac{4}{x^2+4}$ pentru orice $x$ real. (5 puncte)

b) Determinați primitivele funcției $f$. (5 puncte)

c) Determinați primitiva $F$ cu $F(0)=0$ și arătați că $F$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, iar graficul ei are un singur punct de inflexiune. (5 puncte)

Rezolvare. a) Numitorul $x^2+4$ este strict pozitiv, deci scrierea are sens pentru orice $x$ real. Aducem membrul drept la același numitor:

$$1-\frac{4}{x^2+4}=\frac{x^2+4-4}{x^2+4}=\frac{x^2}{x^2+4}.$$

b) Integrandul este un logaritm singur, deci se integrează prin părți cu $g^{\prime }(x)=1$, adică $g(x)=x$ — exact tiparul de la $\int \ln xdx$. Cu ${\left(\ln \left(x^2+4\right)\right)}^{\prime }=\frac{2x}{x^2+4}$:

$$\int \ln \left(x^2+4\right)dx=x\ln \left(x^2+4\right)-\int \frac{2x^2}{x^2+4}dx.$$

Aici intervine subpunctul a): integrala rămasă se rezolvă prin pasul zero, adică prin rescrierea integrandului.

$$\int \frac{2x^2}{x^2+4}dx=2\int \left(1-\frac{4}{x^2+4}\right)dx=2x-8\cdot \frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x}{2}+\mathcal{C}=2x-4\mathrm{arctg}\frac{x}{2}+\mathcal{C}.$$

Prin urmare, pe $\mathbb{R}$,

$$\int f(x)dx=x\ln \left(x^2+4\right)-2x+4\mathrm{arctg}\frac{x}{2}+\mathcal{C}.$$

(Verificat prin derivare, numeric, în $-3$, $1$ și $5$.)

c) Expresia de mai sus fără constantă se anulează în $0$, deci $F(x)=x\ln \left(x^2+4\right)-2x+4\mathrm{arctg}\frac{x}{2}$ este primitiva cerută.

Monotonia. $F^{\prime }(x)=f(x)=\ln \left(x^2+4\right)\ge \ln 4>0$ pentru orice $x$ real, deci $F$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

Inflexiunea. $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+4}$, care are semnul lui $x$: negativ pe $(-\infty ,0)$, nul în $0$, pozitiv pe $(0,+\infty )$. Așadar $F$ este concavă pe $(-\infty ,0]$ și convexă pe $[0,+\infty )$, iar derivata a doua își schimbă semnul o singură dată. Graficul lui $F$ are un singur punct de inflexiune, anume $\left(0,0\right)$, pentru că $F(0)=0$.

Să exersăm

Exercițiile $1$–$3$ formează o problemă de tip Subiectul al III-lea: se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(6x+1)e^{3x}$.

1. Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=\left(2x-\frac{1}{3}\right)e^{3x}$, este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$.

2. Determinați primitiva $G$ a lui $f$ cu proprietatea $G(0)=1$.

3. Determinați punctul de extrem al funcției $F$ și precizați natura lui.

Exercițiile $4$–$6$: se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(3x+2)\sin 2x$.

4. Determinați primitivele funcției $f$ pe $\mathbb{R}$.

5. Determinați primitiva $F$ a lui $f$ cu proprietatea $F(0)=1$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice primitivă a lui $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$."

Exercițiile $7$–$9$: se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2+4x+8}$.

7. Arătați că $x^2+4x+8=(x+2{)}^2+4$ pentru orice $x$ real.

8. Determinați primitivele funcției $f$.

9. Arătați că orice primitivă a lui $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și convexă pe $(-\infty ,-2]$.

Exercițiile $10$–$12$: se consideră funcția $f:(4,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2-7x+12}$.

10. Arătați că $f(x)=\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3}$ pentru orice $x>4$.

11. Determinați primitivele funcției $f$ pe $(4,+\infty )$.

12. Determinați primitiva $F$ cu $F(5)=0$ și calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)$.

Exercițiile $13$–$15$: se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definită prin $f(x)=4x^3$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=6x-2$ pentru $x>1$.

13. Arătați că $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și deduceți că admite primitive pe $\mathbb{R}$.

14. Determinați primitivele funcției $f$ pe $\mathbb{R}$.

15. Arătați că orice primitivă a lui $f$ este strict crescătoare pe $[0,+\infty )$.

16. (Problemă aplicată.) Un mobil se deplasează pe o dreaptă cu viteza $v(t)=\frac{12}{(t+1{)}^2}$ metri pe secundă, pentru $t\ge 0$, și pornește din origine. Determinați legea de mișcare $s(t)$, distanța parcursă în primele $3$ secunde și limita lui $s$ când $t\to +\infty$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\mathrm{arctg}x}{1+x^2}$.

18. (Provocare.) Determinați primitivele funcției $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x{\left(1+\ln x\right)}^2}$.

Răspunsuri și explicații

1. $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, ca produs de funcții derivabile, iar $F^{\prime }(x)=2e^{3x}+3\left(2x-\frac{1}{3}\right)e^{3x}=(2+6x-1)e^{3x}=(6x+1)e^{3x}=f(x)$ pentru orice $x$ real. (Verificat numeric.)

2. Din $F(0)=-\frac{1}{3}$ și $G(0)=-\frac{1}{3}+c=1$ rezultă $c=\frac{4}{3}$, deci $G(x)=\left(2x-\frac{1}{3}\right)e^{3x}+\frac{4}{3}$.

3. $F^{\prime }=f$, iar $e^{3x}>0$, deci semnul lui $F^{\prime }$ este semnul lui $6x+1$: negativ pe $\left(-\infty ,-\frac{1}{6}\right)$ și pozitiv pe $\left(-\frac{1}{6},+\infty \right)$. Punctul $x=-\frac{1}{6}$ este punct de minim.

4. Prin părți, cu $3x+2$ derivat și $\sin 2x$ integrat (primitiva lui este $-\frac{\cos 2x}{2}$): $\int (3x+2)\sin 2xdx=-\frac{(3x+2)\cos 2x}{2}+\frac{3}{2}\int \cos 2xdx=-\frac{(3x+2)\cos 2x}{2}+\frac{3\sin 2x}{4}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

5. Expresia de la exercițiul $4$ fără constantă valorează $-1$ în $x=0$, deci $c=2$ și $F(x)=-\frac{(3x+2)\cos 2x}{2}+\frac{3\sin 2x}{4}+2$.

6. Fals. Avem $F^{\prime }=f$, iar $f$ își schimbă semnul: $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{3\pi }{4}+2>0$, în timp ce $f\left(\frac{3\pi }{4}\right)=-\left(\frac{9\pi }{4}+2\right)<0$. Prin urmare orice primitivă crește pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ și scade pe $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$.

7. Forma canonică a trinomului: $x^2+4x+8=\left(x^2+4x+4\right)+4=(x+2{)}^2+4$. Discriminantul $16-32=-16$ fiind negativ, trinomul este strict pozitiv pe $\mathbb{R}$.

8. Este rețeta trinomului cu numărător constant: după forma canonică se folosește rândul $12$ din tabel, cu $a=2$: $\int f(x)dx=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x+2}{2}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

9. $F^{\prime }=f>0$ pe $\mathbb{R}$, deci $F$ este strict crescătoare. Pentru convexitate, $F^{\prime \prime }=f^{\prime }=-\frac{2x+4}{{\left(x^2+4x+8\right)}^2}$, care este pozitivă pentru $x<-2$ și nulă în $-2$; deci $F$ este convexă pe $(-\infty ,-2]$.

10. $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$, iar $\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3}=\frac{(x-3)-(x-4)}{(x-3)(x-4)}=\frac{1}{(x-3)(x-4)}$. Pe $(4,+\infty )$ ambii numitori sunt nenuli.

11. Pe $(4,+\infty )$ avem $x-4>0$ și $x-3>1>0$, deci modulele se scot cu justificare: $\int f(x)dx=\ln (x-4)-\ln (x-3)+\mathcal{C}=\ln \frac{x-4}{x-3}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

12. $F_0(5)=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2$, deci $c=\ln 2$ și $F(x)=\ln \frac{x-4}{x-3}+\ln 2$. Cum $\frac{x-4}{x-3}\to 1$, obținem $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=\ln 2$. Primitiva este strict crescătoare și mărginită superior de $\ln 2$.

13. Pe $(-\infty ,1)$ și pe $(1,+\infty )$ funcția e polinomială, deci continuă. În $x=1$: limita la stânga este $4\cdot 1^3=4$, limita la dreapta este $6\cdot 1-2=4$, iar $f(1)=4$. Cele trei valori coincid, deci $f$ e continuă pe $\mathbb{R}$ și, fiind continuă pe un interval, admite primitive.

14. Pe fiecare ramură integrăm cu tabelul: $x^4+c_1$ pe $(-\infty ,1]$ și $3x^2-2x+c_2$ pe $(1,+\infty )$. Constantele nu sunt independente: primitiva trebuie să fie continuă în $1$, deci $1+c_1=3-2+c_2$, adică $c_2=c_1$. Cu $c_1=c$, primitivele sunt $F(x)=x^4+c$ pentru $x\le 1$ și $F(x)=3x^2-2x+c$ pentru $x>1$. (Verificat numeric pe fiecare ramură; racordul a fost verificat separat.)

15. $F^{\prime }=f$, iar $f(x)=4x^3\ge 0$ pe $[0,1]$, cu anulare doar în $0$, și $f(x)=6x-2>0$ pe $(1,+\infty )$. Deci $F^{\prime }\ge 0$ pe $[0,+\infty )$, cu anulare într-un singur punct, iar monotonia este strictă prin argumentul punctelor izolate: dacă $F$ ar lua aceeași valoare în două puncte, ar fi constantă între ele, deci $F^{\prime }$ ar fi identic nulă acolo — imposibil.

16. Legea de mișcare este acea primitivă a vitezei care satisface $s(0)=0$. Din $\int \frac{12}{(t+1{)}^2}dt=-\frac{12}{t+1}+c$ și $s(0)=-12+c=0$ obținem $c=12$, deci $s(t)=12-\frac{12}{t+1}$ metri. În primele $3$ secunde mobilul parcurge $s(3)=12-3=9$ metri, iar $\underset{t\to +\infty }{\lim }s(t)=12$ metri: mobilul se apropie oricât de mult de punctul aflat la $12$ metri, fără să-l atingă. (Verificat numeric.)

17. Se vede o funcție compusă înmulțită cu derivata interiorului, deci schimbare de variabilă cu $t=\mathrm{arctg}x$ și $dt=\frac{dx}{1+x^2}$: $\int \frac{\mathrm{arctg}x}{1+x^2}dx=\int tdt=\frac{t^2}{2}+\mathcal{C}$, iar revenirea la $x$ dă $\frac{{\mathrm{arctg}}^{2}x}{2}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

18. Lanțul are trei verigi: substituție $t=\ln x$ $\to$ fracții simple $\to$ tabel. Pe $(1,+\infty )$ avem $t=\ln x>0$, deci $1+t>1>0$. Cu $dt=\frac{dx}{x}$ obținem $\int \frac{tdt}{(1+t{)}^2}$; scriem $t=(1+t)-1$ și rupem fracția: $\frac{t}{(1+t{)}^2}=\frac{1}{1+t}-\frac{1}{(1+t{)}^2}$. Integrând, $\ln (1+t)+\frac{1}{1+t}+\mathcal{C}$, iar revenirea la $x$ dă $\int f(x)dx=\ln \left(1+\ln x\right)+\frac{1}{1+\ln x}+\mathcal{C}$, pentru $x\in (1,+\infty )$. (Verificat numeric.)

De reținut

• Problema de primitive din Subiectul al III-lea are trei subpuncte legate între ele: a) o verificare pregătitoare, b) calculul primitivelor, c) o proprietate a primitivei — iar descompunerea cerută la a) este cheia calculului de la b).
• Verificarea „$F$ este o primitivă a lui $f$" se face derivând, în trei rânduri: intervalul și derivabilitatea, calculul derivatei, concluzia cu cuvintele enunțului.
• Metoda de integrare se alege din forma integrandului, parcurgând arborele de decizie în ordine și oprindu-te la primul „da"; când o singură metodă nu ajunge, se scrie lanțul de metode, cu tabelul ca ultimă verigă.
• Semnul lui $f$ dă monotonia primitivei, iar monotonia lui $f$ dă convexitatea ei, așa că subpunctul c) se rezolvă fără să mai derivezi expresia găsită la b).
• Orice rezultat de integrală nedefinită se scrie pe un interval, cu $+\mathcal{C}$, iar modulul dintr-un logaritm se scoate numai împreună cu propoziția care spune de ce argumentul e pozitiv.

Greșeli frecvente

• Începi subpunctul a) integrând. Cerința „arătați că $F$ este o primitivă a lui $f$" se rezolvă derivând pe $F$; integrarea aici înseamnă timp pierdut și, de obicei, un rezultat care nu se potrivește cu enunțul.
• Sari peste împărțire la funcțiile raționale. Când gradul numărătorului este cel puțin egal cu al numitorului, prima etapă e împărțirea; altfel sistemul de coeficienți al fracțiilor simple nu are soluție.
• Lași rezultatul în variabila de substituție. La integrala nedefinită, al treilea pas al schimbării de variabilă este revenirea la $x$; fără el, răspunsul nu este o funcție de $x$ și nu se punctează.
• Alegi liber constantele pe ramuri. La o funcție definită pe ramuri, primitiva trebuie să fie continuă în punctul de racord, deci a doua constantă se determină din prima printr-o ecuație.
• Confunzi rândurile tabelului după numitor. $\int \frac{dx}{x^2+4}$ dă o arctangentă, iar $\int \frac{xdx}{x^2+4}$ dă un logaritm; numărătorul decide, nu numitorul.

Aplică acasă

1. Trierea în treizeci de secunde. Ia douăzeci de integrale nedefinite dintr-o culegere și, fără să le rezolvi, scrie în dreptul fiecăreia doar eticheta ramurii din arborele de decizie: tabel, schimbare de variabilă, părți, fracții simple, trinom, recurență. Verifică apoi rezolvând cinci dintre ele. Trierea corectă e jumătate din timpul câștigat la examen.

2. Fișa celor trei subpuncte. Scrie pe o singură foaie, în trei coloane, ce se cere la a), la b) și la c), iar sub fiecare coloană rețeta cu pașii ei numiți. Completează foaia cu greșeala pe care ai făcut-o cel mai des la fiecare coloană și ține-o la vedere la următoarele cinci probleme.

3. Trei probleme cu cronometrul. Rezolvă din nou Exemplele $1$, $4$ și $6$, cu foaia acoperită, în cel mult zece minute fiecare, cu redactare completă. Notează unde ai pierdut timp: de regulă se pierde la alegerea metodei, iar puncte se pierd la interval și la constantă.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide seria celor patru recapitulări dedicate problemei a doua din Subiectul al III-lea și adună competențele XII.CS.1.5, XII.CS.4.5 și XII.CS.5.5 într-un singur format. Nu introduce nicio noțiune nouă: toate cele șase probleme folosesc exclusiv metode predate în unitatea „Primitive". Valoarea ei stă în triere, redactare și verificare — trei deprinderi care se antrenează separat de calcul.

Ce verifică lecția: (1) recunoașterea tiparului a) – b) – c) și legătura dintre subpuncte; (2) verificarea unei primitive prin derivare, cu intervalul precizat; (3) alegerea metodei din forma integrandului; (4) integrarea prin părți și schimbarea de variabilă, inclusiv revenirea la variabila inițială; (5) descompunerea în fracții simple, cu împărțirea prealabilă; (6) citirea monotoniei, extremelor și convexității primitivei din funcția inițială.

Întrebări bune de control: „Ce cere subpunctul a) și de ce e legat de b)?", „Pe ce interval lucrezi și de ce?", „Ce metodă ai ales și după ce criteriu?", „De ce ai scris logaritmul fără modul?", „Ce spune semnul funcției despre primitiva ei?". Semn că elevul a înțeles: începe orice problemă scriind intervalul și termină derivând rezultatul, chiar dacă enunțul nu cere nici una, nici alta.

La BAC, problema de acest tip valorează $15$ puncte, adică o șesime din lucrare, și apare la fiecare sesiune. Exercițiul $17$ este formulat exact ca în variante și merită rezolvat cu cronometrul, în cel mult opt minute. Lecția următoare mută discuția de la primitive la integrala definită și teorema de medie, unde aceleași metode de calcul primesc întrebări noi.

Întrebări frecvente

Ce se cere la subiectul cu primitive la Bacalaureat M1?

Este a doua problemă din Subiectul al III-lea, cu trei subpuncte de câte cinci puncte. Subpunctul a) cere o verificare pregătitoare — că o funcție dată este primitivă, că o descompunere algebrică e corectă sau că funcția admite primitive. Subpunctul b) cere calculul primitivelor cu una dintre metodele predate, iar c) o proprietate a primitivei: primitiva cu condiție, monotonie, extreme, convexitate sau o limită.

Cum alegi metoda de integrare potrivită?

Se parcurge arborele de decizie în ordine și te oprești la primul răspuns afirmativ: rescrierea integrandului, tabelul cu liniaritate, schimbarea de variabilă, integrarea prin părți, fracțiile simple, rețeta trinomului, recurența. Criteriul e forma integrandului, nu dificultatea aparentă. Dacă nicio verigă singură nu ajunge, se scrie lanțul de metode, cu tabelul ca ultimă verigă.

Cum arăți că o funcție $F$ este o primitivă a lui $f$?

Se scrie în trei rânduri: se precizează intervalul și se spune că $F$ este derivabilă pe el, se derivează efectiv, cu calculul la vedere, și se compară cu $f$. Concluzia se formulează complet: „$F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x$ din interval, deci $F$ este o primitivă a lui $f$ acolo". Intervalul nu se omite, pentru că face parte din definiție.

Când se scrie logaritmul cu modul și când fără?

Forma implicită a oricărui rezultat de primitivă este $\ln |\cdot |$. Modulul dispare în două situații, ambele scrise: la trinoamele cu discriminantul negativ, unde argumentul e strict pozitiv oricum, și pe un interval pe care ai arătat că argumentul are semn constant, de pildă „pe $(3,+\infty )$ avem $x-3>0$". Fără propoziția care justifică, modulul rămâne.

De ce trebuie precizat intervalul la primitive?

Pentru că afirmația „două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă" este adevărată doar pe un interval. Pe o reuniune de intervale, cum e ${\mathbb{R}}^{\ast }$, constantele de pe ramuri pot fi diferite, iar diferența a două primitive nu mai e constantă. De aceea toate enunțurile de examen pornesc de la o funcție definită pe un interval, iar rezultatul se scrie tot cu intervalul alături.

Cum determini primitiva care trece printr-un punct dat?

În trei pași. Întâi se determină mulțimea tuturor primitivelor, sub forma $F(x)+\mathcal{C}$. Apoi se scrie primitiva căutată ca $G(x)=F(x)+c$, cu $c$ o constantă necunoscută. În final se impune condiția $G(x_0)=y_0$, se rezolvă ecuația de gradul întâi în $c$ și se scrie răspunsul ca funcție completă, nu ca valoare a constantei.

Ce spune semnul funcției despre primitiva ei?

Semnul lui $f$ dă monotonia primitivei, pentru că $F^{\prime }=f$: unde $f$ este pozitivă, $F$ este strict crescătoare, iar unde $f$ este negativă, $F$ este strict descrescătoare. Punctele de extrem ale lui $F$ sunt exact punctele în care $f$ își schimbă semnul, nu simpla anulare a lui $f$. Convexitatea se citește la fel, din monotonia lui $f$.

Cum se redactează ca să iasă baremul?

Pe pași scurți, fiecare punctabil singur: intervalul cu motivul lui, metoda numită înainte de calcul, transformarea scrisă complet, rezultatul cu $+\mathcal{C}$ și răspunsul la cerință, cu cuvintele enunțului. Un pas ținut în minte nu primește nimic, iar un rezultat corect obținut fără justificări scrise pierde de obicei jumătate din punctajul subpunctului.