Subiectul al III-lea: șiruri de integrale și sume Riemann: pe scurt

Un șir de integrale are drept termeni integralele definite ale unei familii de funcții care depinde de indicele $n$; litera lui nu e fixată dinainte, ci se citește din enunț, împreună cu definiția termenului general. Despre el se pun, în ordine, Întrebarea 1 (monotonia), Întrebarea 2 (mărginirea sau o încadrare) și Întrebarea 3 (limita). Monotonia se citește comparând integranzii, nu integralele: pe $[0,1]$ avem $x^{n+1}\le x^n$, dar nu orice șir de integrale e descrescător — depinde de familia de funcții. Mărginirea vine dintr-o încadrare a integrandului, urmată de integrarea inegalităților. Relația de recurență se obține fie printr-o singură integrare prin părți, când integrandul are un factor care coboară gradul prin derivare, fie prin reconstituirea numitorului la numărător, caz în care coeficienții recurenței sunt chiar coeficienții numitorului, iar pasul recurenței este gradul lui. Pentru $\lim n{I}_n$ se pornește de la recurență și de la monotonie: rezultatul este inversul sumei coeficienților. O limită de sumă cu $n$ termeni devine integrală numai dacă restul depinde de $k$ prin raportul $\frac{k}{n}$; atunci se scoate $\frac{1}{n}$ în față, se recunoaște $f\left(\frac{k}{n}\right)$, se scrie propoziția „$f$ e continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă” — pas punctat separat — și limita este ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre următoarele limite nu se poate calcula cu rețeta sumelor Riemann?

   • a) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}$
   • b) $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$
   • c) $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+2k}$
   • d) $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n^2+k}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n^2+k}$

   Pasul $2$ al rețetei cere ca restul să depindă de $k$ numai prin raportul $\frac{k}{n}$. Scriind $\frac{1}{n^2+k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n+\frac{k}{n}}$, în paranteză rămâne un $n$ singur, deci nu e sumă Riemann (limita ei este $0$, prin încadrare). Celelalte trei se scriu ca $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ și dau ${\int }_0^1\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}$, ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi }{4}$ și ${\int }_0^1\frac{dx}{1+2x}=\frac{\ln 3}{2}$.

2. Pentru $A_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$, $n\ge 1$, integrarea prin părți dă:

   • a) $A_n=e-n{A}_{n-1}$
   • b) $A_n=e+n{A}_{n-1}$
   • c) $A_n=e-A_{n-1}$
   • d) $A_n=ne-A_{n-1}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $A_n=e-n{A}_{n-1}$

   Se derivează $x^n$ și se integrează $e^x$: $A_n=x^n{e}^x{|}_0^1-n{\int }_0^1{x}^{n-1}{e}^{x}dx=e-n{A}_{n-1}$. Termenul din afara integralei se evaluează între limite — pas propriu integralei definite. Semnul minus vine din formula $\int f{g}^{\prime }=fg-\int f^{\prime }g$, iar factorul $n$ din derivata lui $x^n$; variantele care le pierd se prind imediat pe $n=1$: $A_1=e-A_0=e-(e-1)=1$, iar ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=1$ ✓.

3. Integralele ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{5}xdx$ și ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{5}xdx$:

   • a) sunt opuse
   • b) prima este strict mai mare decât a doua
   • c) sunt egale, prin trucul simetriei $x\mapsto \frac{\pi }{2}-x$
   • d) a doua este strict mai mare decât prima
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) sunt egale, prin trucul simetriei $x\mapsto \frac{\pi }{2}-x$

   Lema oglinzii spune că ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$. Aplicată pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, substituția $x\mapsto \frac{\pi }{2}-x$ schimbă $\sin$ cu $\cos$, deci cele două integrale sunt egale — fără niciun calcul. (Valoarea lor comună este $\frac{8}{15}$.) Simetriile nu înlocuiesc recurențele, dar scurtează calculul primilor termeni și, uneori, dau direct răspunsul.