Subiectul al III-lea: șiruri de integrale și limite cu sume Riemann

Cel mai greu subpunct din problema de analiză a lucrării de Bacalaureat M1 este, aproape întotdeauna, ultimul: cel care cere o limită. Iar limita vine, la clasa a 12-a, în două forme care par foarte diferite și se rezolvă cu aceleași două idei — un șir de integrale $\left(I_n\right)$ despre care se cere monotonia, mărginirea și limita, sau o sumă cu $n$ termeni care ascunde, sub o formă algebrică, o integrală pe intervalul $[0,1]$. Un șir de integrale se studiază în trei pași: monotonia, din compararea integranzilor; mărginirea, dintr-o încadrare a integrandului; și limita, obținută prin criteriul cleștelui sau dintr-o relație de recurență.

Lecția aceasta le pune față în față. Nu introduce nicio noțiune nouă: relațiile de recurență, încadrările și rețeta sumelor Riemann au fost construite în unitatea „Integrala definită". Ce adăugăm este strategia: cum recunoști tiparul din prima citire a enunțului, în ce ordine ataci cele trei întrebări și ce control faci la final, ca să nu predai o limită greșită cu toate calculele corecte.

Ce vei învăța

• Vei ști să răspunzi, pentru orice șir de integrale, la Întrebarea $1$, Întrebarea $2$ și Întrebarea $3$: monotonie, mărginire, limită.
• Vei ști să găsești o relație de recurență, fie prin integrare prin părți, fie printr-o identitate algebrică.
• Vei ști să calculezi $\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n$ pornind de la recurență, cu criteriul cleștelui.
• Vei ști să recunoști o sumă Riemann într-o limită de șir și să justifici trecerea la integrală.
• Vei ști să deosebești o sumă Riemann adevărată de o sumă care doar seamănă cu una.
• Vei ști ce scurtături dau simetriile intervalului și cum se citează ele corect.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere, exact, la o problemă cu șiruri de integrale?

Un șir de integrale este un șir ${\left(I_n\right)}_{n\ge 0}$ ai cărui termeni sunt integrale definite ale unei familii de funcții care depinde de indicele $n$, de pildă $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x+1}dx$; despre el se cer, în această ordine, monotonia, mărginirea sau o încadrare și limita, uneori împreună cu o relație de recurență între termeni.

Litera nu e fixată o dată pentru totdeauna: la Bacalaureat M1 ea se definește în enunț, iar tu o preiei ca atare. În lecția aceasta întâlnești $A_n$, $B_n$, $C_n$, $I_n$, $J_n$, $D_n$, $E_n$, $K_n$ și $L_n$ — de fiecare dată cu definiția scrisă alături.

Structura celor trei subpuncte e aproape mereu aceeași: a) se calculează primii termeni; b) se stabilește o proprietate — monotonia, o încadrare sau o relație de recurență; c) se cere limita, fie a șirului însuși, fie a lui $n{I}_n$. Uneori subpunctul c) părăsește complet șirul și cere o limită cu sume Riemann; de aceea cele două tipare stau împreună aici.

2. Cum se răspunde la cele trei întrebări despre un șir de integrale?

Sunt Întrebarea $1$, Întrebarea $2$ și Întrebarea $3$, fixate la lecția despre șirurile de integrale, recurențe și limite:

• Întrebarea $1$ — monotonia. Se compară integranzii, nu integralele. Pe $[0,1]$ avem $x^{n+1}\le x^n$, deci orice familie de forma $\frac{x^n}{g(x)}$, cu $g>0$, dă un șir descrescător. Concluzia se trage prin monotonia integralei, iar inegalitatea este strictă pentru că integranzii diferă pe un interval întreg.
• Întrebarea $2$ — mărginirea. Se obține dintr-o încadrare a integrandului, cu cele trei etape ale încadrării integralei. Pentru $\frac{x^n}{x+6}$ pe $[0,1]$: din $6\le x+6\le 7$ rezultă $\frac{1}{7(n+1)}\le I_n\le \frac{1}{6(n+1)}$.
• Întrebarea $3$ — limita. Cel mai adesea din încadrare, cu criteriul cleștelui; uneori din relația de recurență, când încadrarea nu e destul de strânsă.

Ordinea nu e întâmplătoare: monotonia plus pozitivitatea dau convergența, prin teorema lui Weierstrass pentru șiruri monotone și mărginite, iar încadrarea dă valoarea. Un șir descrescător și pozitiv converge, dar limita lui nu e neapărat $0$ — exercițiul $10$ arată un contraexemplu.

3. Cum se găsește o relație de recurență?

Două drumuri, alese după forma integrandului.

Prin integrare prin părți, când în integrand apare un factor care coboară gradul prin derivare. Pentru $A_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{-x}dx$ se derivează $x^n$ și se integrează $e^{-x}$, cu cei trei pași ai integrării prin părți la integrala definită.

Printr-o identitate algebrică, când numitorul se poate reconstitui la numărător. Aceasta e regula recurenței: dacă numitorul este un polinom, coeficienții din recurență sunt chiar coeficienții numitorului, iar pasul recurenței este gradul lui. Pentru $\frac{x^n}{x+6}$ se obține

$$I_n+6I_{n-1}={\int }_0^1\frac{x^n+6x^{n-1}}{x+6}dx={\int }_0^1{x}^{n-1}\left(\frac{x+6}{x+6}\right)dx={\int }_0^1{x}^{n-1}dx=\frac{1}{n};$$

pentru un numitor de gradul al doilea, de pildă $(x+1)(x+3)=x^2+4x+3$, relația leagă trei termeni consecutivi. Metoda nu cere nicio integrare prin părți — e doar simplificarea unei fracții.

4. Cum se calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n$?

Aceasta e cerința care separă notele mari. Ideea e simplă: încadrarea directă a lui $I_n$ dă de obicei margini prea largi, iar recurența dă margini exacte, dacă știi deja că șirul e descrescător.

Pentru $I_n+a{I}_{n-1}=\frac{1}{n}$, cu $a>0$, procedeul e acesta. Din $I_n\le I_{n-1}$ obținem $\frac{1}{n}=I_n+a{I}_{n-1}\ge (1+a)I_n$, deci $I_n\le \frac{1}{(1+a)n}$. Din $I_{n-1}\ge I_n$ obținem $\frac{1}{n}\le (1+a)I_{n-1}$, adică $I_{n-1}\ge \frac{1}{(1+a)n}$, sau, scris pentru indicele $n$, $I_n\ge \frac{1}{(1+a)(n+1)}$. Înmulțind cu $n$,

$$\frac{n}{(1+a)(n+1)}\le n{I}_n\le \frac{1}{1+a},$$

iar criteriul cleștelui dă $\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n=\frac{1}{1+a}$. Pentru o recurență cu trei termeni, suma coeficienților ia locul lui $1+a$.

Controlul de plauzibilitate: rezultatul trebuie să fie egal cu $\frac{1}{\text{suma coeficienților}}$, iar $\frac{1}{\text{suma}}$ trebuie să cadă între marginile obținute la Întrebarea $2$.

5. Cum se recunoaște o sumă Riemann într-o limită de șir?

După cei patru pași ai sumei Riemann, fixați la lecția despre limitele de șiruri cu sume Riemann:

1. se scoate în față factorul $\frac{1}{n}$;
2. se scrie restul ca $f\left(\frac{k}{n}\right)$ — restul trebuie să depindă de $k$ numai prin raportul $\frac{k}{n}$;
3. se recunoaște diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$, cu $x_k=\frac{k}{n}$ și ${\xi }_k=\frac{k}{n}$, și se invocă integrabilitatea, spunând că $f$ este continuă pe $[0,1]$;
4. limita este ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

Pasul $3$ e cel care se uită și e punctat separat: fără propoziția „funcția $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă", subpunctul rămâne incomplet la Bacalaureat M1, oricât de corect ar fi rezultatul.

Iar pasul $2$ e cel care prinde capcanele. Suma $\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k}$ nu este o sumă Riemann: scrisă ca $\frac{1}{n}\sum \frac{1}{1+\frac{k}{n^2}}$, argumentul este $\frac{k}{n^2}$, nu $\frac{k}{n}$. Ea se rezolvă prin încadrare, nu prin integrală — vezi Exemplul $4$.

6. Ce scurtături dau simetriile?

Trei, toate fixate la lecția despre integralele funcțiilor pare, impare și periodice și citate aici pe nume:

• lema oglinzii: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$ — schimbarea de variabilă care „întoarce" intervalul;
• trucul simetriei, forma $f(a-x)$: aplicat pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, el schimbă $\sin$ cu $\cos$, ceea ce arată dintr-o linie că ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx$;
• formula unificată pe interval simetric, care reduce ${\int }_{-a}^{a}f$ la ${\int }_0^a(f(x)+f(-x))dx$.

Ele nu înlocuiesc recurențele, dar scurtează calculul primilor termeni și, uneori, dau direct răspunsul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Recurență prin integrare prin părți

Pentru orice $n\in \mathbb{N}$ se consideră $A_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{-x}dx$.

a) Calculați $A_0$ și $A_1$. (5 puncte)

b) Arătați că $A_n=n{A}_{n-1}-\frac{1}{e}$, pentru orice $n\ge 1$. (5 puncte)

c) Arătați că șirul $\left(A_n\right)$ este strict descrescător, calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$ și apoi $\underset{n\to \infty }{\lim }n{A}_n$. (5 puncte)

Familia $x^n{e}^{-x}$ a fost tratată ca șir de primitive la lecția despre relațiile de recurență pentru integrale nedefinite; reluarea e deliberată — aici devine șir de integrale definite, deci capătă monotonie și limită.

Rezolvare. a) $A_0={\int }_0^1{e}^{-x}dx=-e^{-x}{|}_0^1=1-\frac{1}{e}\approx 0,632$. Pentru $A_1$ integrăm prin părți, cu $x$ derivat și $e^{-x}$ integrat (primitiva lui este $-e^{-x}$):

$$A_1={\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}{|}_0^1+{\int }_0^1{e}^{-x}dx=-\frac{1}{e}+1-\frac{1}{e}=1-\frac{2}{e}\approx 0,264.$$

b) Aceeași alegere, cu $x^n$ derivat:

$$A_n=-x^n{e}^{-x}{|}_0^1+n{\int }_0^1{x}^{n-1}{e}^{-x}dx=-\frac{1}{e}+n{A}_{n-1},$$

adică exact relația cerută. (Verificată numeric, pe termeni calculați independent, pentru $n=1,\dots ,7$.)

c) Monotonia. Pentru $x\in [0,1]$ avem $x^{n+1}\le x^n$, cu inegalitate strictă pe $(0,1)$, iar $e^{-x}>0$; prin monotonia integralei, $A_{n+1}<A_n$.

Limita șirului. Din $0\le e^{-x}\le 1$ pe $[0,1]$ obținem $0\le A_n\le {\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$, iar criteriul cleștelui dă $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n=0$.

Limita lui $n{A}_n$. Scriem recurența pentru indicele $n+1$: $A_{n+1}=(n+1)A_n-\frac{1}{e}$, deci $(n+1)A_n=A_{n+1}+\frac{1}{e}$. Cum $A_{n+1}\to 0$, obținem $\lim (n+1)A_n=\frac{1}{e}$, iar

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{A}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+1}\left(n+1\right)A_n=1\cdot \frac{1}{e}=\frac{1}{e}.$$

(Verificat numeric: $1000\cdot A_{1000}\approx 0,3675$, iar $\frac{1}{e}\approx 0,3679$.)

Exemplul 2. Cele trei întrebări, pe o recurență algebrică

Pentru orice $n\in \mathbb{N}$ se consideră $B_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x+6}dx$.

a) Calculați $B_0$ și $B_1$ și arătați că $\left(B_n\right)$ este strict descrescător. (5 puncte)

b) Arătați că $\frac{1}{7(n+1)}\le B_n\le \frac{1}{6(n+1)}$ și că $B_n+6B_{n-1}=\frac{1}{n}$ pentru $n\ge 1$. (5 puncte)

c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{B}_n$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }n{B}_n$. (5 puncte)

Familia $\frac{x^n}{x+a}$ este cea pe care s-a construit regula recurenței; o reluăm aici, cu $a=6$, tocmai pentru că e tiparul care apare cel mai des în variante.

Rezolvare. a) $B_0={\int }_0^1\frac{dx}{x+6}=\ln (x+6){|}_0^1=\ln \frac{7}{6}\approx 0,154$; logaritmul se scrie fără modul, pentru că $x+6>0$ pe interval. Pentru $B_1$ împărțim întâi, gradele fiind egale:

$$B_1={\int }_0^1\frac{x}{x+6}dx={\int }_0^1\left(1-\frac{6}{x+6}\right)dx=1-6\ln \frac{7}{6}\approx 0,075.$$

Întrebarea $1$: pe $[0,1]$ avem $x^{n+1}\le x^n$ și $x+6>0$, deci $\frac{x^{n+1}}{x+6}\le \frac{x^n}{x+6}$; prin monotonia integralei, $B_{n+1}<B_n$.

b) Întrebarea $2$, cu cele trei etape. Pe $[0,1]$ avem $6\le x+6\le 7$, deci $\frac{x^n}{7}\le \frac{x^n}{x+6}\le \frac{x^n}{6}$. Integrând,

$$\frac{1}{7(n+1)}\le B_n\le \frac{1}{6(n+1)}.$$

Recurența. Numitorul se reconstituie la numărător:

$$B_n+6B_{n-1}={\int }_0^1\frac{x^n+6x^{n-1}}{x+6}dx={\int }_0^1\frac{x^{n-1}(x+6)}{x+6}dx={\int }_0^1{x}^{n-1}dx=\frac{1}{n}.$$

(Ambele au fost verificate numeric, cu termeni calculați independent.)

c) Întrebarea $3$. Din încadrarea de la b), ambele margini tind la $0$, deci $\lim B_n=0$.

Pentru $\lim n{B}_n$ folosim recurența și monotonia. Din $B_n\le B_{n-1}$ rezultă $\frac{1}{n}=B_n+6B_{n-1}\ge 7B_n$, deci $B_n\le \frac{1}{7n}$. Din $B_{n-1}\ge B_n$ rezultă $\frac{1}{n}\le 7B_{n-1}$, adică $B_{n-1}\ge \frac{1}{7n}$, sau $B_n\ge \frac{1}{7(n+1)}$. Înmulțind cu $n$:

$$\frac{n}{7(n+1)}\le n{B}_n\le \frac{1}{7},$$

iar criteriul cleștelui dă $\underset{n\to \infty }{\lim }n{B}_n=\frac{1}{7}$ — exact $\frac{1}{1+6}$, cum prevedea regula recurenței. (Verificat numeric: $1000\cdot B_{1000}\approx 0,1428$.)

Exemplul 3. Trei limite cu sume Riemann

a) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{3n+k}$. (5 puncte)

b) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\cos \frac{k\pi }{2n}$. (5 puncte)

c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k}{2n^2+k^2}$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Pasul $1$: scoatem $\frac{1}{n}$, împărțind numitorul la $n$. Pasul $2$:

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{3n+k}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{3+\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right),\text{unde }f(x)=\frac{1}{3+x}.$$

Pasul $3$: este suma Riemann a lui $f$ pe $[0,1]$, pentru diviziunea echidistantă $x_k=\frac{k}{n}$ și punctele intermediare ${\xi }_k=\frac{k}{n}$; funcția $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă, iar norma diviziunii, $\frac{1}{n}$, tinde la $0$. Pasul $4$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{3n+k}={\int }_0^1\frac{dx}{3+x}=\ln (3+x){|}_0^1=\ln \frac{4}{3}\approx 0,288.$$

b) Factorul $\frac{1}{n}$ e deja scos, iar restul depinde de $k$ numai prin $\frac{k}{n}$, cu $f(x)=\cos \frac{\pi x}{2}$, continuă pe $[0,1]$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\cos \frac{k\pi }{2n}={\int }_0^1\cos \frac{\pi x}{2}dx=\frac{2}{\pi }\sin \frac{\pi x}{2}{|}_0^1=\frac{2}{\pi }\approx 0,637.$$

c) Împărțim numărătorul și numitorul la $n^2$:

$$\sum _{k=1}^n\frac{k}{2n^2+k^2}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{\frac{k}{n}}{2+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2},\text{deci }f(x)=\frac{x}{2+x^2}.$$

Funcția e continuă pe $[0,1]$, deci limita este

$${\int }_0^1\frac{x}{2+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln \left(2+x^2\right){|}_0^1=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}\approx 0,203.$$

(Toate trei au fost verificate numeric, calculând sumele efectiv pentru $n=10^2$, $10^3$ și $10^4$.)

Exemplul 4. Sume deghizate și o capcană

a) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{n^3+k^3}$. (5 puncte)

b) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}$. (5 puncte)

c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k}$ și explicați de ce rețeta sumelor Riemann nu se aplică aici. (5 puncte)

Rezolvare. a) Împărțim numărătorul și numitorul la $n^3$:

$$\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{n^3+k^3}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^3},f(x)=\frac{x^2}{1+x^3},$$

funcție continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă. Limita este ${\int }_0^1\frac{x^2}{1+x^3}dx=\frac{1}{3}\ln \left(1+x^3\right){|}_0^1=\frac{\ln 2}{3}\approx 0,231$.

b) Scoatem $n$ de sub radical: $\sqrt{n^2+kn}=n\sqrt{1+\frac{k}{n}}$, deci

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}},f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}},$$

continuă pe $[0,1]$. Limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x}}=2\sqrt{1+x}{|}_0^1=2\left(\sqrt{2}-1\right)\approx 0,828$.

c) Scrisă la fel, suma devine $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n^2}}$ — și aici se oprește rețeta: argumentul este $\frac{k}{n^2}$, nu $\frac{k}{n}$, deci pasul $2$ nu se poate face și suma nu este o sumă Riemann.

Se rezolvă prin încadrare. Pentru $k\in \{1,\dots ,n\}$ avem $n^2+1\le n^2+k\le n^2+n$, deci fiecare dintre cei $n$ termeni este cuprins între $\frac{n}{n^2+n}$ și $\frac{n}{n^2+1}$:

$$\frac{n^2}{n^2+n}\le \sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k}\le \frac{n^2}{n^2+1}.$$

Ambele margini tind la $1$, deci limita este $1$. (Verificat numeric: pentru $n=10^4$ suma valorează aproximativ $0,99995$.)

Reține contrastul: dacă restul depinde de $k$ prin $\frac{k}{n}$, mergi pe sume Riemann; dacă depinde prin $\frac{k}{n^2}$ sau altfel, mergi pe încadrare.

Exemplul 5. Recurență cu trei termeni

Pentru orice $n\in \mathbb{N}$ se consideră $C_n={\int }_0^1\frac{x^n}{(x+1)(x+3)}dx$.

a) Calculați $C_0$. (5 puncte)

b) Arătați că $C_n+4C_{n-1}+3C_{n-2}=\frac{1}{n-1}$, pentru orice $n\ge 2$. (5 puncte)

c) Arătați că $\left(C_n\right)$ este strict descrescător și calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }n{C}_n$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Descompunem în fracții simple: din $\frac{1}{(x+1)(x+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}\right)$, valabilă pentru $x\ge 0$, obținem

$$C_0=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x+3}{|}_0^1=\frac{1}{2}\left(\ln \frac{1}{2}-\ln \frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}\approx 0,203.$$

b) Numitorul, desfăcut, este $x^2+4x+3$ — exact combinația din enunț. Prin liniaritate,

$$C_n+4C_{n-1}+3C_{n-2}={\int }_0^1\frac{x^n+4x^{n-1}+3x^{n-2}}{(x+1)(x+3)}dx={\int }_0^1\frac{x^{n-2}\left(x^2+4x+3\right)}{x^2+4x+3}dx={\int }_0^1{x}^{n-2}dx=\frac{1}{n-1}.$$

Simplificarea e legitimă pentru că $x^2+4x+3>0$ pe $[0,1]$. (Verificată numeric, pe termeni calculați independent, pentru $n=2,\dots ,8$.)

c) Monotonia: pe $[0,1]$ avem $x^{n+1}\le x^n$ și numitorul strict pozitiv, deci $C_{n+1}<C_n$.

Limita. Din monotonie, $C_n\le C_{n-1}\le C_{n-2}$, deci suma coeficienților, $1+4+3=8$, dă cele două margini:

$$\frac{1}{n-1}=C_n+4C_{n-1}+3C_{n-2}\ge 8C_n⟹C_n\le \frac{1}{8(n-1)};$$

$$\frac{1}{n-1}\le 8C_{n-2}⟹C_{n-2}\ge \frac{1}{8(n-1)},\text{ adica˘ }{C}_n\ge \frac{1}{8(n+1)}.$$

Înmulțind cu $n$ obținem $\frac{n}{8(n+1)}\le n{C}_n\le \frac{n}{8(n-1)}$, iar ambele capete tind la $\frac{1}{8}$. Prin criteriul cleștelui,

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{C}_n=\frac{1}{8}=\frac{1}{1+4+3}.$$

(Verificat numeric: $1000\cdot C_{1000}\approx 0,1249$.)

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Pentru orice $n \in \mathbb{N}^{}$seconsider\breve{a}$I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{1+x^{n}}$.Problemaareformatulobișnuitalproblemei$2$dinSubiectulalIII-lea:treisubpunctedec\hat{a}te$5$ puncte.*

a) Calculați $I_1$ și $I_2$. (5 puncte)

b) Arătați că șirul $\left(I_n\right)$ este strict crescător și că $I_n<1$ pentru orice $n\ge 1$. (5 puncte)

c) Arătați că $0<1-I_n\le \frac{1}{n+1}$ și calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$. (5 puncte)

Rezolvare. a) $I_1={\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln (1+x){|}_0^1=\ln 2\approx 0,693$, iar $I_2={\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\frac{\pi }{4}\approx 0,785$ — rândul $12$ din tabelul primitivelor, cu $a=1$.

b) Aici integrandul nu are forma $\frac{x^n}{g(x)}$, iar șirul iese crescător — de aceea comparația se face tot pe integranzi, fără prejudecăți. Pentru $x\in (0,1)$ avem $x^{n+1}<x^n$, deci $1+x^{n+1}<1+x^n$ și, prin trecerea la invers a numerelor strict pozitive,

$$\frac{1}{1+x^{n+1}}>\frac{1}{1+x^n},x\in (0,1).$$

Prin monotonia integralei, $I_{n+1}>I_n$: șirul este strict crescător. Mărginirea superioară e imediată: $\frac{1}{1+x^n}<1$ pe $(0,1]$, deci $I_n<{\int }_0^{1}1dx=1$.

c) Scădem din $1={\int }_0^{1}1dx$ și aducem la același numitor:

$$1-I_n={\int }_0^1\left(1-\frac{1}{1+x^n}\right)dx={\int }_0^1\frac{x^n}{1+x^n}dx.$$

Integrandul e strict pozitiv pe $(0,1]$, deci $1-I_n>0$; iar din $1+x^n\ge 1$ obținem $\frac{x^n}{1+x^n}\le x^n$, deci

$$1-I_n\le {\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}.$$

Ambele margini ale lui $1-I_n$ tind la $0$, deci, prin criteriul cleștelui, $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=1$.

Observă că șirul e crescător, mărginit superior de $1$, și tinde chiar la marginea lui — un tipar diferit de cel al Exemplelor $1$, $2$ și $5$, unde limita era $0$. (Verificat numeric: $1-I_{1000}\approx 0,00069\le \frac{1}{1001}$.)

Să exersăm

Exercițiile $1$–$3$ formează o problemă de tip Subiectul al III-lea: pentru $n\in \mathbb{N}$ se consideră $E_n={\int }_0^1{x}^n(1-x)dx$.

1. Calculați $E_0$ și $E_1$.

2. Arătați că $E_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ pentru orice $n\in \mathbb{N}$.

3. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{E}_n$.

Exercițiile $4$–$6$: pentru $n\in \mathbb{N}$ se consideră $J_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x^2+x+1}dx$.

4. Arătați că $\frac{1}{3(n+1)}\le J_n\le \frac{1}{n+1}$ pentru orice $n\in \mathbb{N}$.

5. Arătați că $\left(J_n\right)$ este strict descrescător și calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{J}_n$.

6. Arătați că $J_n+J_{n-1}+J_{n-2}=\frac{1}{n-1}$ pentru orice $n\ge 2$ și deduceți $\underset{n\to \infty }{\lim }n{J}_n$.

7. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{2n+3k}$.

8. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+2k}$.

9. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{{\left(1+\frac{k}{n}\right)}^3}$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un șir de integrale este strict descrescător și are toți termenii pozitivi, atunci limita lui este $0$."

11. Folosind trucul simetriei pe intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, arătați că ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx$ pentru orice $n\in \mathbb{N}$.

12. Pentru $n\in \mathbb{N}$ se consideră $D_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x^2+9}dx$. Arătați că $\left(D_n\right)$ este strict descrescător și că $\frac{1}{10(n+1)}\le D_n\le \frac{1}{9(n+1)}$.

13. Cu notațiile exercițiului $12$, arătați că $D_n+9D_{n-2}=\frac{1}{n-1}$ pentru orice $n\ge 2$ și deduceți $\underset{n\to \infty }{\lim }n{D}_n$.

14. (Problemă aplicată.) Un program de calcul aproximează numărul ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ prin suma Riemann $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^2$. Calculați aproximarea pentru $n=10$ și eroarea făcută.

15. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1\frac{x^n}{1+x^n}dx$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pentru $n\in \mathbb{N}$ se consideră $K_n={\int }_0^{\pi /4}{\mathrm{tg}}^{n}xdx$. a) Calculați $K_0$ și $K_1$. b) Arătați că $K_{n+2}+K_n=\frac{1}{n+1}$. c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{K}_n$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left(e^{-\frac{1}{n}}+e^{-\frac{2}{n}}+\cdots +e^{-\frac{n}{n}}\right)$.

18. (Provocare.) Pentru $n\in \mathbb{N}$ se consideră $L_n={\int }_0^1{\left(1-x^2\right)}^{n}dx$. Arătați că $L_n=\frac{2n}{2n+1}{L}_{n-1}$ pentru orice $n\ge 1$ și calculați $L_3$.

Răspunsuri și explicații

1. $E_0={\int }_0^1(1-x)dx=\left(x-\frac{x^2}{2}\right){|}_0^1=\frac{1}{2}$, iar $E_1={\int }_0^1\left(x-x^2\right)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$. (Verificat numeric.)

2. Prin liniaritate, $E_n={\int }_0^1\left(x^n-x^{n+1}\right)dx=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$. (Verificat numeric pentru $n=0,\dots ,5$.)

3. Din formula închisă, $\lim E_n=0$, iar $n^2{E}_n=\frac{n^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2}{n^2+3n+2}\to 1$. Aici formula închisă a înlocuit orice încadrare — când există, e cea mai scurtă cale.

4. Pe $[0,1]$ avem $1\le x^2+x+1\le 3$, deci $\frac{x^n}{3}\le \frac{x^n}{x^2+x+1}\le x^n$. Integrând, $\frac{1}{3(n+1)}\le J_n\le \frac{1}{n+1}$. (Verificat numeric.)

5. Pe $[0,1]$ avem $x^{n+1}\le x^n$ și numitorul strict pozitiv, deci $J_{n+1}<J_n$. Ambele margini din exercițiul $4$ tind la $0$, deci $\lim J_n=0$.

6. Numitorul se reconstituie la numărător: $J_n+J_{n-1}+J_{n-2}={\int }_0^1\frac{x^{n-2}\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1}dx={\int }_0^1{x}^{n-2}dx=\frac{1}{n-1}$. Din monotonie, $\frac{1}{n-1}\ge 3J_n$ și $\frac{1}{n-1}\le 3J_{n-2}$, deci $\frac{1}{3(n+1)}\le J_n\le \frac{1}{3(n-1)}$, iar $\lim n{J}_n=\frac{1}{3}=\frac{1}{1+1+1}$. (Verificat numeric.)

7. $\sum _{k=1}^n\frac{1}{2n+3k}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{2+3\frac{k}{n}}$, sumă Riemann a funcției $f(x)=\frac{1}{2+3x}$, continuă pe $[0,1]$. Limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{2+3x}=\frac{1}{3}\ln (2+3x){|}_0^1=\frac{1}{3}\ln \frac{5}{2}\approx 0,305$. (Verificat numeric.)

8. Analog, cu $f(x)=\frac{1}{1+2x}$, continuă pe $[0,1]$: limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{1+2x}=\frac{1}{2}\ln (1+2x){|}_0^1=\frac{\ln 3}{2}\approx 0,549$. (Verificat numeric.)

9. Factorul $\frac{1}{n}$ e deja scos, iar $f(x)=\frac{1}{(1+x{)}^3}$ e continuă pe $[0,1]$. Limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{(1+x{)}^3}=-\frac{1}{2(1+x{)}^2}{|}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$. (Verificat numeric.)

10. Fals. Un asemenea șir este convergent, prin teorema șirurilor monotone și mărginite, dar limita lui poate fi orice număr nenegativ. Contraexemplu: $I_n={\int }_0^1\left(1+x^n\right)dx=1+\frac{1}{n+1}$, șir strict descrescător, cu toți termenii pozitivi, a cărui limită este $1$, nu $0$.

11. Aplicăm trucul simetriei, adică schimbarea de variabilă $t=\frac{\pi }{2}-x$, cu limitele schimbate: când $x$ parcurge $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, $t$ parcurge același interval în sens invers, iar $dx=-dt$. Cum $\sin \left(\frac{\pi }{2}-t\right)=\cos t$, obținem ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}tdt$, adică exact egalitatea cerută. (Verificat numeric pentru $n\in \{0,1,2,3,5\}$.)

12. Pe $[0,1]$ avem $x^{n+1}\le x^n$ și $x^2+9>0$, deci $D_{n+1}<D_n$. Tot pe $[0,1]$, $9\le x^2+9\le 10$, deci $\frac{x^n}{10}\le \frac{x^n}{x^2+9}\le \frac{x^n}{9}$, iar integrarea dă încadrarea cerută. (Verificat numeric.)

13. $D_n+9D_{n-2}={\int }_0^1\frac{x^{n-2}\left(x^2+9\right)}{x^2+9}dx={\int }_0^1{x}^{n-2}dx=\frac{1}{n-1}$. Din monotonie, $\frac{1}{n-1}\ge 10D_n$ și $\frac{1}{n-1}\le 10D_{n-2}$, deci $\frac{1}{10(n+1)}\le D_n\le \frac{1}{10(n-1)}$ și $\lim n{D}_n=\frac{1}{10}=\frac{1}{1+9}$. (Verificat numeric: $1000\cdot D_{1000}\approx 0,0999$.)

14. $\frac{1}{10}\sum _{k=1}^{10}{\left(\frac{k}{10}\right)}^2=\frac{1}{1000}\cdot \frac{10\cdot 11\cdot 21}{6}=\frac{385}{1000}=0,385$, folosind formula sumei pătratelor. Valoarea exactă a integralei este $\frac{1}{3}$, deci eroarea este $0,385-\frac{1}{3}=\frac{31}{600}\approx 0,0517$. Aproximarea e prin adaos, pentru că punctele intermediare s-au luat la dreapta, iar funcția e crescătoare. (Verificat numeric.)

15. Este chiar $1-I_n$ din Exemplul $6$, unde am arătat că $0<1-I_n\le \frac{1}{n+1}$. Prin criteriul cleștelui, limita este $0$. (Verificat numeric.)

16. Este familia ${\mathrm{tg}}^{n}x$ de la relațiile de recurență, luată acum pe un interval fix. a) $K_0={\int }_0^{\pi /4}1dx=\frac{\pi }{4}$, iar $K_1={\int }_0^{\pi /4}\mathrm{tg}xdx=-\ln |\cos x|{|}_0^{\pi /4}=-\ln \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\ln 2}{2}$. b) Scoatem factorul comun și folosim ${\mathrm{tg}}^{2}x+1=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$: $K_{n+2}+K_n={\int }_0^{\pi /4}{\mathrm{tg}}^{n}x\left({\mathrm{tg}}^{2}x+1\right)dx={\int }_0^{\pi /4}\frac{{\mathrm{tg}}^{n}x}{{\cos }^{2}x}dx=\frac{{\mathrm{tg}}^{n+1}x}{n+1}{|}_0^{\pi /4}=\frac{1}{n+1}$. c) Pe $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ avem $\mathrm{tg}x\in [0,1]$, deci șirul e descrescător și pozitiv; din $2K_{n+2}\le K_{n+2}+K_n=\frac{1}{n+1}$ rezultă $K_{n+2}\le \frac{1}{2(n+1)}$, deci $\lim K_n=0$. (Verificat numeric.)

17. Suma este $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{e}^{-\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$, cu $f(x)=e^{-x}$, funcție continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă. Limita este ${\int }_0^1{e}^{-x}dx=-e^{-x}{|}_0^1=1-\frac{1}{e}\approx 0,632$. (Verificat numeric.)

18. Integrăm prin părți, cu ${\left(1-x^2\right)}^n$ derivat și $1$ integrat: $L_n=x{\left(1-x^2\right)}^n{|}_0^1+2n{\int }_0^1{x}^2{\left(1-x^2\right)}^{n-1}dx=2n{\int }_0^1{x}^2{\left(1-x^2\right)}^{n-1}dx$, termenul din afara integralei fiind nul la ambele capete. Scriem $x^2=1-\left(1-x^2\right)$ și obținem $L_n=2n\left(L_{n-1}-L_n\right)$, de unde $(2n+1)L_n=2n{L}_{n-1}$, adică relația cerută. Cu $L_0=1$ rezultă $L_1=\frac{2}{3}$, $L_2=\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{15}$ și $L_3=\frac{6}{7}\cdot \frac{8}{15}=\frac{16}{35}$. (Verificat numeric.)

De reținut

• Despre un șir de integrale se cer, în această ordine, monotonia — comparând integranzii, nu integralele —, mărginirea sau o încadrare și limita.
• Litera șirului nu este fixată dinainte: ea se citește din enunț, împreună cu definiția termenului general, iar rezolvarea o folosește exact așa cum a fost dată.
• O relație de recurență se obține fie printr-o singură integrare prin părți, fie prin reconstituirea numitorului la numărător, caz în care coeficienții din recurență sunt coeficienții numitorului.
• Pentru $\lim n{I}_n$ se pornește de la recurență și de la monotonie, iar rezultatul este inversul sumei coeficienților din recurență.
• O limită de sumă cu $n$ termeni devine integrală numai dacă restul depinde de $k$ prin raportul $\frac{k}{n}$, iar trecerea trebuie sprijinită explicit pe continuitatea funcției pe $[0,1]$.

Greșeli frecvente

• Compari integralele în loc de integranzi. Monotonia lui $\left(I_n\right)$ se citește din inegalitatea dintre funcțiile de sub integrală, pe intervalul de integrare; comparația directă a valorilor nu se poate face fără această inegalitate.
• Presupui că orice șir de integrale este descrescător. Depinde de familia de funcții: pentru $\frac{1}{1+x^n}$ pe $[0,1]$ șirul este crescător, iar limita lui este $1$, nu $0$.
• Treci de la sumă la integrală fără justificarea integrabilității. Propoziția „funcția este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă" este un pas punctat separat, nu o formalitate.
• Aplici rețeta sumelor Riemann la o sumă care doar seamănă cu una. Dacă argumentul care apare este $\frac{k}{n^2}$, și nu $\frac{k}{n}$, rețeta nu se aplică; suma se rezolvă prin încadrare.
• Calculezi $\lim n{I}_n$ direct din încadrarea de la Întrebarea $2$. Marginile de acolo sunt de obicei prea largi și dau două valori diferite; recurența, împreună cu monotonia, dă marginile potrivite.