Subiectul al III-lea: studiul funcțiilor și graficul: pe scurt

Tabelul de variație complet — rândurile $x$, $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$, $f(x)$ — este obiectul din care se citesc toate răspunsurile subpunctului final: imaginea funcției, inegalitățile, numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$, punctele de inflexiune și graficul. Studiul complet urmează schema în nouă pași: domeniul cu intersecțiile și paritatea, continuitatea și derivabilitatea, limitele și asimptotele, $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$, valorile în punctele marcate, tabelul, citirea lui și trasarea. La un punct exclus din domeniu rămâne un singur tabel, cu $|$ pe rândurile derivatelor și cu cele două limite laterale despărțite de $|$ pe rândul funcției. Discuția după parametru pornește de la valorile-prag — extremele locale și limitele finite de la capete — și se scrie într-un tabel cu exact două coloane; cazurile de tangență, în care $m$ e chiar o valoare extremă și ecuația are rădăcină dublă, primesc rând separat, iar regula capătului deschis spune că o ramură care se apropie de o asimptotă orizontală nu aduce nicio soluție. Șirul lui Rolle separă soluțiile ecuației $f(x)=0$: două valori consecutive de semne contrare dau exact o soluție între punctele lor, o valoare nulă dă soluție multiplă, două valori de același semn nu dau niciuna. Un zerou al lui $f^{\prime \prime }$ este punct de inflexiune numai dacă $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul acolo și funcția e derivabilă în acel punct.

Exerciții din această mini-lecție

1. O funcție cu un punct exclus din domeniu se studiază:

   • a) în două tabele de variație, câte unul pe interval
   • b) fără tabel de variație, doar cu lista asimptotelor
   • c) într-un tabel din care coloana punctului exclus lipsește
   • d) într-un singur tabel de variație, în care rândul $f(x)$ primește cele două limite laterale despărțite de $|$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) într-un singur tabel de variație, în care rândul $f(x)$ primește cele două limite laterale despărțite de $|$

   La tabelul de variație, punctul exclus primește $|$ pe rândurile derivatelor și cele două limite laterale pe rândul funcției, iar tabelul rămâne unul singur. Două tabele se scriu doar la șirul lui Rolle, unde domeniul cu punct exclus cere câte un tabel pe interval — deosebirea dintre cele două situații e locul din care se pierde cel mai des un punct la subpunctul c).

2. Punctele de inflexiune ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-6x^2+5$, sunt:

   • a) $x=-1$ și $x=1$
   • b) $x=0$
   • c) $x=-1$, $x=0$ și $x=1$
   • d) funcția nu are puncte de inflexiune
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $x=-1$ și $x=1$

   $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$ se anulează în $\pm 1$ și își schimbă semnul în amândouă: pozitiv pe $(-\infty ,-1)$, negativ pe $(-1,1)$, pozitiv pe $(1,+\infty )$. Deci ambele sunt puncte de inflexiune ale funcției. În $x=0$ se anulează $f^{\prime }$, nu $f^{\prime \prime }$ — acolo funcția are un maxim local, nu o inflexiune. Contraexemplul-pereche de reținut: la $x^4$, $f^{\prime \prime }(0)=0$ fără schimbare de semn, deci $0$ nu e punct de inflexiune.

3. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+1$, cu maximul local $f(0)=1$ și minimul local $f(2)=-3$. Ecuația $f(x)=m$ are exact două soluții reale pentru:

   • a) $m\in (-3,1)$
   • b) $m\in \{-3,1\}$
   • c) $m\in (-\infty ,-3)\cup (1,+\infty )$
   • d) $m=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $m\in \{-3,1\}$

   Valorile-prag sunt cele două extreme locale, $-3$ și $1$. Pentru $m$ strict între ele dreapta $y=m$ taie graficul în trei puncte; în afara lor, într-unul singur. Exact în valorile-prag apare tangența: dreapta atinge graficul fără să-l traverseze, ecuația are acolo o rădăcină dublă și, cu cea simplă de pe cealaltă ramură, exact două soluții reale. Cazurile de tangență se scriu pe rând separat în tabelul discuției — sărirea lor costă jumătate din subpunct.