Subiectul al III-lea: studiul funcțiilor, șirul lui Rolle și reprezentarea grafică

Ultimul subpunct al problemei de analiză de la Bacalaureat M1 nu mai cere un calcul, ci o citire. După limitele din subpunctul a) și derivata din b), la c) ți se cere ceva ce se vede din tabel: imaginea funcției, o inegalitate, numărul soluțiilor unei ecuații, o discuție după un parametru sau graficul. Lecția strânge tot ce ține de acest ultim pas, așa cum se cere el la clasa a 12-a, la specializarea matematică-informatică, plus unealta riguroasă pe care examenul o preferă graficului: șirul lui Rolle.

Nimic nou nu se predă aici: schema în nouă pași vine din unitatea de reprezentare grafică, iar tabelul de variație complet și șirul lui Rolle, din clasa a XI-a. Ce se schimbă e exigența de redactare: un tabel corect valorează, pe barem, cât toată rezolvarea, iar un capăt greșit al domeniului strică toate cele trei subpuncte deodată.

Ce vei învăța

• Vei ști să parcurgi schema în nouă pași ca pe o listă de control și să scrii tabelul de variație complet, fără abateri de format.
• Vei ști să faci discuția după un parametru și să prezinți răspunsul într-un tabel cu două coloane.
• Vei ști să construiești șirul lui Rolle și să-l citești, inclusiv când în el apare un parametru.
• Vei ști să deosebești un punct critic care este extrem de unul care nu este, și un zerou al lui $f^{\prime \prime }$ care dă inflexiune de unul care nu dă.
• Vei ști să trasezi graficul pornind de la tabel și de la lista asimptotelor.
• Vei ști ce se depunctează la redactarea acestui ultim subpunct și cum se evită.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere, exact, la subpunctul care încheie problema?

Tabelul de variație complet este tabelul care așează pe aceeași axă valorile marcate ale lui $x$, semnul primei derivate, semnul derivatei a doua și comportarea funcției — monotonia cu săgeți, convexitatea cu simbolurile $\cup$ și $\cap$, extremele cu $\text{M}$ și $\text{m}$, inflexiunile cu $\text{I}$. El este obiectul din care se citesc toate răspunsurile de mai jos.

Tiparele subpunctului c):

Formatul tabelului este cel canonic, fixat la clasa a XI-a în lecția despre tabelul de variație complet: antetul este rândul lui $x$; urmează $f^{\prime }(x)$, apoi $f^{\prime \prime }(x)$, apoi $f(x)$; coloanele alternează punct și interval; sub tabel se scrie întotdeauna citirea tabelului, în două-trei propoziții.

2. Cum se folosește schema în nouă pași?

Studiul complet al unei funcții se face în ordinea fixată de lecția despre schema completă a reprezentării grafice, iar la examen se citează pașii prin numărul lor:

Schema în nouă pași: (1) domeniul, cu intersecțiile cu axele (1b) și paritatea sau periodicitatea (1c) $\to$ (2) continuitatea și derivabilitatea $\to$ (3) limitele la capete și asimptotele $\to$ (4) $f^{\prime }$: puncte critice și semn $\to$ (5) $f^{\prime \prime }$: zerouri și semn $\to$ (6) valorile în punctele marcate $\to$ (7) tabelul de variație complet $\to$ (8) citirea tabelului $\to$ (9) trasarea graficului.

La examen nu se cer toți nouă pașii deodată, ci trei felii din ei, câte una pe subpunct — dar ordinea rămâne obligatorie: rândul $f(x)$ nu se poate scrie fără limitele de la pasul 3, iar pasul 9 nu se poate desena fără asimptote.

Două completări de format:

• la un punct exclus din domeniu, rândurile $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$ primesc $|$, iar rândul $f(x)$ primește cele două limite laterale despărțite de $|$ — și rămâne un singur tabel pe funcție;
• când domeniul e o reuniune de intervale disjuncte cu capete diferite, se scrie câte un tabel pe fiecare interval.

3. Cum se face discuția după un parametru?

Se pornește de la tabelul de variație și se folosesc valorile-prag — extremele locale și limitele finite de la capete — care taie axa ordonatelor în intervale. Pe fiecare astfel de interval numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$ e constant și se citește ca număr de intersecții ale dreptei $y=m$ cu graficul. Numele și metoda sunt cele fixate în lecția despre rezolvarea grafică a ecuației $f(x)=m$, împreună cu regula capătului deschis: dacă $m$ este ordonata unei asimptote orizontale, ramura care se apropie de ea nu aduce nicio soluție, pentru că valoarea nu este atinsă.

Răspunsul se scrie într-un tabel cu exact două coloane — intervalul lui $m$ și numărul soluțiilor — nu ca text curgător: baremul caută cazurile una sub alta.

⚠️ Cazurile de tangență sunt cele care se pierd: când $m$ e exact o valoare extremă, dreapta $y=m$ atinge graficul fără să-l traverseze, iar ecuația are acolo o rădăcină dublă. O verificare prin schimbări de semn nu vede astfel de rădăcini; ele se citesc din tabel, comparând $m$ cu valorile-prag.

4. Cum se construiește șirul lui Rolle?

Șirul lui Rolle separă soluțiile ecuației $f(x)=0$: spune câte sunt și unde se află, fără să le calculeze. Cei cinci pași fixați la clasa a XI-a, în lecția despre șirul lui Rolle: (1) domeniul și derivabilitatea; (2) rădăcinile lui $f^{\prime }$, în ordine crescătoare; (3) valorile lui $f$ acolo și limitele la capete; (4) tabelul; (5) citirea lui.

Tabelul are trei rânduri, în ordinea $x$ / $f(x)$ / semnul, iar la capete se scriu limitele, nu se lasă goale. Citirea:

• două valori consecutive de semne contrare $\Rightarrow$ exact o soluție între punctele lor;
• o valoare nulă $\Rightarrow$ punctul e el însuși soluție, și e soluție multiplă;
• două valori consecutive de același semn $\Rightarrow$ nicio soluție între ele.

La un domeniu cu punct exclus se scriu două tabele, câte unul pe interval — spre deosebire de tabelul de variație, care rămâne unul singur. Pentru „exact $n$ soluții", calea sancționată e perechea: teorema lui Rolle dă „cel mult", consecința de semn a proprietății valorilor intermediare dă „cel puțin".

5. Ce se schimbă în șirul lui Rolle când apare un parametru?

Valorile din rândul al doilea devin expresii în $m$, iar semnele lor nu mai pot fi decise dintr-o dată. Regula: rândul „semnul" nu se completează — el acceptă numai $+$, $-$ sau $0$ — ci se scrie sub tabel „semnul depinde de $m$", urmat de discuția pe cazuri.

Cazurile se obțin comparând fiecare valoare cu $0$: fiecare $m$ care anulează o valoare din șir deschide un caz nou. La un polinom de gradul al treilea cu două puncte critice ies exact cinci cazuri, iar cele două cu valoare nulă sunt tocmai cazurile de rădăcină dublă (Exemplul 4).

6. Când este un zerou al derivatei a doua punct de inflexiune?

Numai când $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul acolo și funcția e derivabilă în acel punct. Cele două capcane-pereche:

• $f(x)=x^4$ are $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar $f^{\prime \prime }$ nu-și schimbă semnul: funcția rămâne convexă, deci $0$ nu e punct de inflexiune;
• $f(x)=\frac{1}{x}$ are $f^{\prime \prime }$ care își schimbă semnul „în" $0$, dar $0$ nu aparține domeniului, deci nu există punct de inflexiune.

Marcajul $\text{I}$ se pune numai unde $f$ e derivabilă și convexitatea se schimbă; la un colț, cu două semitangente, nu se pune. Detaliile, în lecția despre punctele de inflexiune, cu dezambiguizarea obligatorie: $x_0$ e punctul de inflexiune al funcției, iar $\left(x_0,f(x_0)\right)$ al graficului.

Un punct critic poate fi, în același timp, punct de inflexiune: dacă $f^{\prime }(x_0)=0$ fără schimbare de semn, dar $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul, graficul are acolo tangentă orizontală și trece dintr-o parte în alta a ei (Exemplul 1).

7. Cum se redactează și cum se desenează?

Ordinea care adună punctele, la ultimul subpunct:

1. scrie tabelul, chiar dacă enunțul cere doar concluzia — el e justificarea;
2. numește valorile-prag înainte de a împărți cazurile, iar discuția scrie-o în tabel cu două coloane, cu cazurile de tangență separate;
3. la trasare, desenează întâi asimptotele, punctat, apoi marchează punctele din tabel (extreme, inflexiuni, intersecții cu axele) și abia apoi unește, respectând săgețile și simbolurile $\cup$ și $\cap$;
4. scrie sub grafic lista asimptotelor, cu ecuațiile lor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Funcție polinomială: studiu complet și discuție după parametru

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-4x^3+16x$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$ și $f^{\prime \prime }(x)$ și determinați punctele critice. (5 puncte) b) Alcătuiți tabelul de variație complet al funcției $f$. (5 puncte) c) Discutați, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor reale ale ecuației $f(x)=m$. (5 puncte)

Rezolvare. Domeniul e $\mathbb{R}$, funcția e polinomială (deci de două ori derivabilă), $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=+\infty$ și, fiind polinomială de grad $\ge 2$, nu are nicio asimptotă.

a) $f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+16=4\left(x^3-3x^2+4\right)=4(x+1)(x-2{)}^2$ și $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$. Punctele critice sunt $x=-1$ și $x=2$. (Identitatea și derivatele, verificate exact și numeric.) ✓

b) Semnul lui $f^{\prime }$ e dat numai de $x+1$, pentru că $(x-2{)}^2\ge 0$: negativ pe $(-\infty ,-1)$, pozitiv pe $(-1,+\infty )$, cu zerou și în $x=2$, unde nu își schimbă semnul; $f^{\prime \prime }$ alternează în $0$ și în $2$. Valorile: $f(-1)=-11$, $f(0)=0$, $f(2)=16$, $f^{\prime }(0)=16$, $f^{\prime \prime }(-1)=36$.

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(-\infty ,-1]$ și crește pe $[-1,+\infty )$, cu un singur punct de extrem — punctul de minim $x=-1$, cu valoarea minimă $-11$, minim global; imaginea este $[-11,+\infty )$. E convexă pe $(-\infty ,0]$ și pe $[2,+\infty )$ și concavă pe $[0,2]$, cu punctele de inflexiune $(0,0)$ și $(2,16)$. Punctul $x=2$ e critic fără să fie extrem: tangenta e orizontală, dar curba o traversează — un punct critic care e punct de inflexiune.

c) Valoarea-prag este singura valoare extremă, $-11$. Dreapta $y=m$ taie graficul astfel:

(Verificat: pentru $m=-11$, $f(x)+11$ păstrează semn constant de ambele părți ale lui $-1$ — rădăcină dublă; pentru $m=-12$, $0$ soluții; pentru $m=0$ și $m=100$, câte $2$.) ✓

Exemplul 2. Funcție rațională: un singur tabel, cu punct exclus

Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3}{(x-1{)}^2}$. a) Determinați asimptotele la graficul funcției $f$. (5 puncte) b) Alcătuiți tabelul de variație complet. (5 puncte) c) Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației $f(x)=m$, după valorile parametrului real $m$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Pasul 1: domeniul $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, un singur candidat la verticală. Pasul 2: în $1$ numărătorul valorează $1\ne 0$, iar $(x-1{)}^2>0$ de ambele părți, deci amândouă limitele laterale sunt $+\infty$ și dreapta $x=1$ este asimptotă verticală bilaterală. Pașii 3 și 4: la ambele capete $f(x)\to \pm \infty$, deci nu există orizontale. Din împărțire, $$x^3=(x+2)(x-1{)}^2+3x-2,\text{deci}f(x)=x+2+\frac{3x-2}{(x-1{)}^2},$$ de unde $m=1$ și $n=2$: dreapta $y=x+2$ este asimptotă oblică spre $-\infty$ și spre $+\infty$. (Verificat exact și numeric la $x=\pm 10^7$.) ✓

b) Derivatele: $$f^{\prime }(x)=\frac{3x^2(x-1{)}^2-x^3\cdot 2(x-1)}{(x-1{)}^4}=\frac{x^2(x-3)}{(x-1{)}^3},f^{\prime \prime }(x)=\frac{6x}{(x-1{)}^4}.$$ Semnul lui $f^{\prime }$: factorul $x^2$ e nenegativ, deci semnul e dat de $\frac{x-3}{(x-1{)}^3}$ — pozitiv pe $(-\infty ,1)$, negativ pe $(1,3)$, pozitiv pe $(3,+\infty )$. Semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui $x$. Valorile: $f(0)=0$, $f(3)=\frac{27}{4}$, $f^{\prime \prime }(3)=\frac{9}{8}$.

Citirea tabelului: pe $(-\infty ,1)$ funcția crește de la $-\infty$ la $+\infty$; pe $(1,+\infty )$ scade de la $+\infty$ la $\frac{27}{4}$, apoi crește iar la $+\infty$. Singurul extrem e minimul $\frac{27}{4}$, în punctul $x=3$; $x=0$ e critic fără să fie extrem, dar e punct de inflexiune. (Semnele verificate pe fiecare interval.) ✓

c) Ramura din stânga crește strict de la $-\infty$ la $+\infty$, deci aduce exact o soluție pentru orice $m$; ramura din dreapta are valoarea-prag $\frac{27}{4}$.

(Verificat pe fiecare ramură pentru $m\in \{5,6,7,10\}$, plus rădăcina dublă în $x=3$.) ✓

Exemplul 3. Funcție pară: paritate, convexitate, inflexiuni

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \left(x^2+9\right)$. a) Arătați că $f$ este pară și determinați intersecția graficului cu axa $Oy$. (5 puncte) b) Alcătuiți tabelul de variație complet și determinați punctele de inflexiune. (5 puncte) c) Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației $f(x)=m$, după valorile parametrului real $m$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Domeniul e $\mathbb{R}$, pentru că $x^2+9>0$. Pentru orice $x$ real, $f(-x)=\ln \left(x^2+9\right)=f(x)$, deci $f$ e pară, iar graficul e simetric față de $Oy$ (pasul 1c). Intersecția cu $Oy$: $f(0)=\ln 9=2\ln 3$; cu $Ox$ nu există, pentru că $x^2+9\ge 9>1$, deci $f(x)\ge \ln 9>0$. (Paritatea verificată exact.) ✓

b) $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+9}$, cu semnul lui $x$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\left(x^2+9\right)-2x\cdot 2x}{{\left(x^2+9\right)}^2}=\frac{2\left(9-x^2\right)}{{\left(x^2+9\right)}^2}$, cu semnul lui $9-x^2$. Valorile: $f(\pm 3)=\ln 18$, $f(0)=2\ln 3$, $f^{\prime }(\pm 3)=\pm \frac{1}{3}$, $f^{\prime \prime }(0)=\frac{2}{9}$. Limitele la ambele capete sunt $+\infty$; nu există asimptote, pentru că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$, iar panta unei oblice trebuie să fie nenulă.

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(-\infty ,0]$ și crește pe $[0,+\infty )$, cu punctul de minim $x=0$ și valoarea minimă $2\ln 3$, minim global; imaginea e $[2\ln 3,+\infty )$. E convexă pe $[-3,3]$ și concavă în afară, deci punctele de inflexiune sunt $(-3,\ln 18)$ și $(3,\ln 18)$ — simetrice, ca la orice funcție pară.

c) Valoarea-prag este minimul global $2\ln 3=\ln 9$.

Exemplul 4. Șirul lui Rolle cu parametru

Se consideră ecuația $x^3-6x^2+m=0$, cu $m$ număr real, și funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^3-6x^2+m$. a) Determinați punctele critice ale funcției $g$ și valorile șirului lui Rolle. (5 puncte) b) Discutați, după $m$, numărul soluțiilor reale ale ecuației. (5 puncte) c) Determinați valorile lui $m$ pentru care ecuația are exact două soluții reale. (5 puncte)

Rezolvare. a) $g$ e polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$ (pasul 1 al procedurii). $g^{\prime }(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$, cu rădăcinile $x_1=0$ și $x_2=4$ (pasul 2). Valorile și limitele (pasul 3): $g(0)=m$, $g(4)=64-96+m=m-32$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=-\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=+\infty$. Tabelul (pasul 4):

Rândul „semnul" nu se completează: el acceptă numai $+$, $-$ sau $0$, iar aici semnul depinde de $m$. (Valori verificate exact.) ✓

b) Comparăm fiecare valoare cu $0$. Valorile-prag ale parametrului sunt $m=0$ (care anulează $g(0)$) și $m=32$ (care anulează $g(4)$). Rezultă cinci cazuri; iată, ca model, tabelul completat pentru $m=10$:

Trei schimbări de semn, deci trei soluții reale, câte una în $(-\infty ,0)$, $(0,4)$ și $(4,+\infty )$. Discuția completă:

(Verificat pentru $m\in \{-5,0,10,32,40\}$, cu rădăcinile duble numărate separat.) ✓

c) Din tabel, exact două soluții reale se obțin pentru $m=0$ și pentru $m=32$, iar în ambele cazuri una e dublă: ecuația devine $x^2(x-6)=0$, respectiv $(x-4{)}^2(x+2)=0$. Criteriul rădăcinii duble se verifică obligatoriu: $g$ se anulează în punctul respectiv și păstrează semn constant de ambele părți ale lui. ✓

Exemplul 5. Punct critic care nu e extrem, dar e inflexiune

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2-2x+2\right)e^{-x}$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$ și arătați că $f$ este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$. (5 puncte) b) Calculați $f^{\prime \prime }(x)$ și determinați punctele de inflexiune ale graficului. (5 puncte) c) Alcătuiți tabelul de variație complet și determinați imaginea funcției. (5 puncte)

Rezolvare. a) Cu regula produsului și derivarea funcției compuse, $$f^{\prime }(x)=(2x-2)e^{-x}-\left(x^2-2x+2\right)e^{-x}=-\left(x^2-4x+4\right)e^{-x}=-(x-2{)}^2{e}^{-x}.$$ Cum $e^{-x}>0$ și $(x-2{)}^2\ge 0$, avem $f^{\prime }(x)\le 0$ pe $\mathbb{R}$, cu egalitate numai în $x=2$. O derivată negativă în afara unui singur punct dă stricta descreștere pe tot intervalul, deci $f$ e strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$; punctul $x=2$ e critic, dar nu e extrem, pentru că $f^{\prime }$ nu-și schimbă semnul acolo. (Verificat numeric, cu semnul eșantionat de ambele părți ale lui $2$.) ✓

b) $f^{\prime \prime }(x)=-2(x-2)e^{-x}+(x-2{)}^2{e}^{-x}=(x-2)[(x-2)-2]e^{-x}=(x-2)(x-4)e^{-x}$, cu semnul trinomului: pozitiv în afara rădăcinilor, negativ între ele. $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul în $2$ și în $4$, unde $f$ e derivabilă, deci punctele de inflexiune ale graficului sunt $\left(2,\frac{2}{e^2}\right)$ și $\left(4,\frac{10}{e^4}\right)$.

c) Limitele: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ (produs de doi factori care cresc) și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$, deci $y=0$ e asimptotă orizontală spre $+\infty$; spre $-\infty$ nu există asimptotă, pentru că $\frac{f(x)}{x}\to -\infty$.

Citirea tabelului: $f$ e strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$, fără extreme; e convexă pe $(-\infty ,2]$ și pe $[4,+\infty )$ și concavă pe $[2,4]$. Scăzând continuu de la $+\infty$ la $0$, imaginea e $(0,+\infty )$ — capătul $0$ nu se atinge, fiind ordonata unei asimptote orizontale. (Valori și semne verificate numeric.) ✓

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{x+1}$. a) Determinați asimptotele la graficul funcției $f$. (5 puncte) b) Alcătuiți tabelul de variație complet al funcției $f$. (5 puncte) c) Discutați, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor reale ale ecuației $f(x)=m$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Pasul 1: domeniul $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Pasul 2: în $-1$ numărătorul valorează $e^{-1}>0$, iar numitorul schimbă semnul, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x<-1\end{array}}{\lim }f(x)=\frac{e^{-1}}{0^{-}}=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x>-1\end{array}}{\lim }f(x)=\frac{e^{-1}}{0^{+}}=+\infty ,$$ și $x=-1$ este asimptotă verticală bilaterală. Pasul 3: spre $-\infty$, $e^x\to 0$ și $x+1\to -\infty$, deci $f(x)\to 0$ prin valori negative: dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$. Pasul 4: spre $+\infty$, $f(x)\to +\infty$ (exponențiala învinge polinomul), iar $\frac{f(x)}{x}=\frac{e^x}{x(x+1)}\to +\infty$, deci panta nu e finită: nicio asimptotă spre $+\infty$. (Verificat numeric la $x=-160$ și pe $-1\pm 10^{-k}$.) ✓

b) Cu regula câtului, $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1{)}^2}=\frac{x{e}^x}{(x+1{)}^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{e^x\left(x^2+1\right)}{(x+1{)}^3}.$$ Semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x$; semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui $(x+1{)}^3$. Valorile: $f(0)=1$, $f^{\prime \prime }(0)=1$.

Citirea tabelului: pe $(-\infty ,-1)$ funcția scade de la $0$ la $-\infty$ și e concavă; pe $(-1,+\infty )$ scade de la $+\infty$ la $1$, apoi crește la $+\infty$, și e convexă, cu punctul de minim $x=0$ și valoarea $1$. Graficul nu are niciun punct de inflexiune, deși $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul: schimbarea are loc în $x=-1$, care nu e în domeniu — a doua capcană-pereche din secțiunea 6. ✓

c) Valorile-prag sunt $0$, ordonata asimptotei orizontale, și $1$, valoarea minimă de pe ramura din dreapta. Ramura din stânga are imaginea $(-\infty ,0)$, deci aduce o soluție exact pentru $m<0$; regula capătului deschis spune că pentru $m=0$ ea nu aduce niciuna, valoarea nefiind atinsă. Ramura din dreapta are imaginea $[1,+\infty )$.

(Verificat pe fiecare ramură pentru $m\in \{-2,0,0,5,3\}$, plus rădăcina dublă în $x=0$.) ✓

Să exersăm

1. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-4x^3+16x$, scrieți $f^{\prime }(x)$ în formă factorizată și determinați punctele critice.

2. Pentru funcția de la exercițiul 1, calculați $f^{\prime \prime }(x)$ și determinați punctele de inflexiune ale graficului.

3. Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației $x^4-4x^3+16x=20$.

4. Determinați asimptotele la graficul funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3}{(x-1{)}^2}$.

5. Arătați că, pentru funcția de la exercițiul 4, $x=0$ este punct de inflexiune, deși $f^{\prime }(0)=0$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, atunci $x_0$ este punct de inflexiune al funcției $f$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă derivata a doua își schimbă semnul la trecerea prin $x_0$, atunci graficul are punct de inflexiune de abscisă $x_0$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un punct critic în care derivata întâi nu-și schimbă semnul nu poate fi punct de inflexiune."

9. Folosind șirul lui Rolle, determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației $x^3-9x+2=0$ și intervalele în care se află.

10. Discutați, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor reale ale ecuației $2x^3+9x^2-24x+m=0$.

11. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \left(x^2+9\right)$, arătați că funcția este pară și determinați punctele de inflexiune ale graficului.

12. Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației $\ln \left(x^2+9\right)=\ln 18$.

13. Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2-2x+2\right)e^{-x}$, este strict descrescătoare și determinați imaginea ei.

14. (Problemă aplicată.) Concentrația unui poluant într-un lac, la $t$ zile de la deversare, este $C(t)=\frac{100t}{t^2+16}$ (miligrame pe metru cub), $t\ge 0$. Determinați ziua în care concentrația este maximă și valoarea maximă.

15. Determinați asimptotele la graficul funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{x+1}$, și arătați că graficul nu are puncte de inflexiune.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-8x^3+18x^2$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$ și scrieți-l factorizat. b) Alcătuiți tabelul de variație complet. c) Discutați, după $m$, numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+3}{x^2+1}$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$. b) Determinați imaginea funcției. c) Discutați, după $m$, numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$.

18. (Provocare.) Arătați că, pentru orice număr real $m$, ecuația $\frac{x^3}{(x-1{)}^2}=m$ are cel puțin o soluție în intervalul $(-\infty ,1)$ și determinați valorile lui $m$ pentru care ea are exact trei soluții reale.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+16=4(x+1)(x-2{)}^2$, deci punctele critice sunt $x=-1$ și $x=2$. Numai primul e punct de extrem, pentru că în al doilea semnul nu se schimbă.

2. $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$, care își schimbă semnul în $0$ și în $2$; funcția e derivabilă în ambele, deci punctele de inflexiune ale graficului sunt $(0,0)$ și $(2,16)$.

3. Valoarea-prag este minimul global $-11$; cum $20>-11$, ecuația are două soluții reale. (Verificat prin eșantionare densă: două schimbări de semn.)

4. Verticală: $x=1$, bilaterală, cu $+\infty$ de ambele părți. Oblică: $y=x+2$, la ambele capete, obținută din $f(x)=x+2+\frac{3x-2}{(x-1{)}^2}$.

5. $f^{\prime }(x)=\frac{x^2(x-3)}{(x-1{)}^3}$ se anulează în $0$, dar $x^2$ nu schimbă semnul, deci $0$ nu e extrem. În schimb $f^{\prime \prime }(x)=\frac{6x}{(x-1{)}^4}$ are semnul lui $x$: graficul trece de la concav la convex, cu punct de inflexiune $(0,0)$.

6. Fals. Mai trebuie ca $f^{\prime \prime }$ să-și schimbe semnul. Contraexemplul standard: $f(x)=x^4$ are $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar $f^{\prime \prime }(x)=12x^2\ge 0$ peste tot, deci funcția rămâne convexă și $0$ nu e punct de inflexiune.

7. Fals. Mai trebuie ca $x_0$ să aparțină domeniului și funcția să fie derivabilă acolo. Contraexemplul din Exemplul 6: la $f(x)=\frac{e^x}{x+1}$, derivata a doua își schimbă semnul „în" $-1$, dar $-1$ nu e în domeniu, deci graficul nu are niciun punct de inflexiune.

8. Fals. Cele două proprietăți sunt independente. La funcția din Exemplul 1, $x=2$ e punct critic fără schimbare de semn a lui $f^{\prime }$, dar $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul acolo, deci este punct de inflexiune, cu tangentă orizontală.

9. $g^{\prime }(x)=3x^2-9$, cu rădăcinile $\pm \sqrt{3}$. Valorile: $g\left(-\sqrt{3}\right)=2+6\sqrt{3}>0$ și $g\left(\sqrt{3}\right)=2-6\sqrt{3}<0$; limitele sunt $\mp \infty$.

Trei schimbări de semn, deci trei soluții reale, câte una în $\left(-\infty ,-\sqrt{3}\right)$, $\left(-\sqrt{3},\sqrt{3}\right)$ și $\left(\sqrt{3},+\infty \right)$. (Verificat prin eșantionare densă.)

10. $g^{\prime }(x)=6x^2+18x-24=6(x+4)(x-1)$, cu rădăcinile $-4$ și $1$; $g(-4)=112+m$ și $g(1)=-13+m$. Valorile-prag ale parametrului sunt $m=-112$ și $m=13$; rândul semnului nu se completează, pentru că semnul depinde de $m$.

(Verificat pentru cinci valori ale lui $m$, cu criteriul rădăcinii duble aplicat separat.)

11. $f(-x)=\ln \left(x^2+9\right)=f(x)$, deci $f$ e pară. $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\left(9-x^2\right)}{{\left(x^2+9\right)}^2}$ își schimbă semnul în $\pm 3$, deci punctele de inflexiune ale graficului sunt $(-3,\ln 18)$ și $(3,\ln 18)$.

12. Din tabelul Exemplului 3, $\ln 18>\ln 9$, deci ecuația are două soluții. Ele se pot și calcula: $x^2+9=18$ dă $x=\pm 3$ — exact abscisele punctelor de inflexiune.

13. $f^{\prime }(x)=-(x-2{)}^2{e}^{-x}\le 0$, cu egalitate numai în $x=2$, deci $f$ e strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$. Cum $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$, iar $f$ e continuă, imaginea este $(0,+\infty )$.

14. $C^{\prime }(t)=\frac{100\left(16-t^2\right)}{{\left(t^2+16\right)}^2}$, pozitivă pe $[0,4)$ și negativă pe $(4,+\infty )$. Punctul de maxim este $t=4$, deci concentrația e maximă în ziua a patra, iar valoarea maximă este $C(4)=\frac{400}{32}=12,5$ miligrame pe metru cub. (Verificat numeric.)

15. Asimptote: $x=-1$ (verticală bilaterală, cu $-\infty$ la stânga și $+\infty$ la dreapta) și $y=0$ (orizontală numai spre $-\infty$). $f^{\prime \prime }(x)=\frac{e^x\left(x^2+1\right)}{(x+1{)}^3}$ nu se anulează nicăieri, iar singura schimbare de semn are loc în $-1$, punct care nu aparține domeniului: graficul nu are puncte de inflexiune.

16. a) $f^{\prime }(x)=4x^3-24x^2+36x=4x(x-3{)}^2$. b) Semnul lui $f^{\prime }$ e semnul lui $x$; $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-48x+36=12(x-1)(x-3)$, cu zerourile $1$ și $3$; valorile: $f(0)=0$, $f(1)=11$, $f(3)=27$.

Punctul de minim este $x=0$, cu valoarea $0$, minim global; $x=3$ e punct critic fără extrem, dar e punct de inflexiune, ca și $x=1$. c) Valoarea-prag e $0$: pentru $m<0$ nicio soluție, pentru $m=0$ o soluție (dublă), pentru $m>0$ două soluții.

17. a) $f(x)=1+\frac{2}{x^2+1}$, deci $f^{\prime }(x)=\frac{-4x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, cu semnul lui $-x$. b) Punctul de maxim este $x=0$, cu valoarea $3$; limitele la $\pm \infty$ sunt $1$, valoare neatinsă, deci imaginea este $(1,3]$. c) Valorile-prag sunt $1$ (ordonata asimptotei orizontale) și $3$: pentru $m\le 1$ sau $m>3$ nicio soluție, pentru $m=3$ o soluție, pentru $1<m<3$ două soluții. Cazul $m=1$ e regula capătului deschis. (Verificat numeric.)

18. Pe $(-\infty ,1)$ funcția e continuă și strict crescătoare, cu limitele $-\infty$ și $+\infty$: consecința de semn a proprietății valorilor intermediare dă cel puțin o soluție, iar stricta monotonie, cel mult una — deci exact una, pentru orice $m$. Pe $(1,+\infty )$, valoarea-prag e minimul $\frac{27}{4}$: două soluții pentru $m>\frac{27}{4}$, una pentru $m=\frac{27}{4}$, niciuna sub. Deci exact trei soluții pentru $m>\frac{27}{4}$. (Verificat pentru $m=6$ și $m=7$.)

De reținut

• Tabelul de variație complet este obiectul central al ultimului subpunct. Imaginea, inegalitățile, numărul soluțiilor și graficul se citesc toate din el; un tabel greșit strică toate răspunsurile deodată.
• Discuția după parametru se scrie într-un tabel cu două coloane — intervalul lui $m$ și numărul soluțiilor — iar cazurile de tangență, în care apare o rădăcină dublă, se scriu separat.
• Șirul lui Rolle are trei rânduri și limitele scrise la capete; cu parametru, rândul semnului nu se completează, ci se scrie „semnul depinde de $m$" și se trece la discuția pe cazuri.
• Un zerou al lui $f^{\prime \prime }$ dă inflexiune numai dacă $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul acolo și funcția e derivabilă în acel punct. Capcanele-pereche sunt $x^4$ în $0$ și $\frac{1}{x}$ în $0$.
• Un punct critic poate fi punct de inflexiune: când $f^{\prime }(x_0)=0$ fără schimbare de semn, dar $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul, graficul are acolo tangentă orizontală și o traversează.

Greșeli frecvente

• Se scriu două tabele de variație pentru o funcție cu un punct exclus. Corect: rămâne un singur tabel, cu $|$ pe rândurile derivatelor și cu cele două limite laterale despărțite de $|$ pe rândul funcției. Două tabele se scriu doar la șirul lui Rolle.
• Se sar cazurile de tangență din discuția după parametru. Corect: fiecare valoare extremă a funcției este o valoare-prag a lui $m$ și primește un caz al ei, în care apare o rădăcină dublă.
• Se declară punct de inflexiune într-un punct care nu aparține domeniului. Corect: schimbarea de semn a lui $f^{\prime \prime }$ trebuie să aibă loc într-un punct al domeniului, în care funcția e și derivabilă.
• Se completează rândul semnului din șirul lui Rolle cu expresii în $m$. Corect: acel rând conține numai $+$, $-$ sau $0$; cu parametru, se scrie sub tabel „semnul depinde de $m$" și se face discuția pe cazuri.
• Se uită regula capătului deschis. Corect: dacă $m$ este ordonata unei asimptote orizontale, ramura care se apropie de ea nu aduce nicio soluție, pentru că valoarea nu se atinge — de aici cazul cu zero soluții din Exemplul 6.

Aplică acasă

1. Fișa celor trei citiri. Desenează caseta „tabelul de variație complet" și trage din ea trei săgeți — imaginea, numărul soluțiilor, graficul — scriind pe fiecare forma exactă a răspunsului: un interval, un tabel cu două coloane, o curbă cu asimptote punctate.
2. Un studiu complet pe zi, cu cronometrul. Alege o funcție dintr-o variantă de Bacalaureat M1 și parcurge cei nouă pași în cel mult douăzeci de minute, desenând graficul la final. Compară-l cu cel de pe un calculator grafic din telefon: dacă diferă, greșeala e aproape sigur într-o limită de la capete.
3. Fabrica de discuții după parametru. Ia trei funcții cu extreme cunoscute și scrie, fără calcule noi, tabelul cu două coloane al discuției. Verifică apoi câte soluții are ecuația pentru trei valori concrete ale lui $m$, din intervale diferite.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie grupul dedicat primei probleme din Subiectul al III-lea, adunând competențele XII.CS.4.4, XII.CS.3.4 și XII.CS.5.4 din programa de matematică-informatică. Ea nu introduce noțiuni noi — schema în nouă pași, tabelul de variație complet și șirul lui Rolle sunt deja studiate; valoarea ei stă în format, ordine și verificare încrucișată.

Trei lucruri merită urmărite: formatul tabelului, identic peste tot (antetul e rândul lui $x$, punctele excluse primesc $|$, dedesubt se scrie citirea în cuvinte); discuția după parametru, prezentată în tabel cu două coloane și cu cazurile de tangență incluse; deosebirea dintre punct critic, punct de extrem și punct de inflexiune, pe care exemplele 1, 2, 5 și 6 o pun deliberat în situații în care cele trei nu coincid.

Ce verifică lecția: (1) parcurgerea completă a schemei în nouă pași; (2) scrierea corectă a tabelului de variație, inclusiv cu punct exclus; (3) construirea și citirea șirului lui Rolle, cu și fără parametru; (4) discuția după parametru, cu valorile-prag și regula capătului deschis; (5) recunoașterea punctelor de inflexiune, cu ambele capcane-pereche.

Întrebări bune de control: „Ce se schimbă în tabel la punctul exclus?", „Care sunt valorile-prag și de unde le iei?", „Aici $f^{\prime \prime }$ se anulează — de ce nu e punct de inflexiune?", „Câte tabele scrii la șirul lui Rolle?". Semn că elevul e pregătit: după ce termină tabelul, poate răspunde la toate cele trei tipuri de cerințe fără să mai calculeze nimic. La BAC M1, aceste tipuri închid, în fiecare variantă, prima problemă din Subiectul al III-lea.

Întrebări frecvente

Ce se cere la ultimul subpunct de la Subiectul al III-lea? O citire a tabelului de variație: imaginea funcției, o inegalitate, numărul soluțiilor unei ecuații sau o discuție după un parametru. Mai rar, trasarea graficului. Toate răspunsurile ies din același tabel, motiv pentru care merită scris complet chiar dacă enunțul nu-l cere explicit.

Cum determin numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$? Din tabelul de variație: identifici valorile-prag, adică extremele locale și limitele finite de la capete, apoi numeri, pe fiecare ramură de monotonie, câte o soluție pentru fiecare interval de valori atinse. Răspunsul se scrie într-un tabel cu două coloane, cu cazurile de tangență separate.

Ce este regula capătului deschis? Este observația că, atunci când $m$ este ordonata unei asimptote orizontale, ramura care se apropie de acea dreaptă nu aduce nicio soluție, pentru că valoarea nu se atinge niciodată. Ea explică apariția cazurilor cu zero soluții acolo unde graficul pare să treacă prin dreapta orizontală.

Când folosesc șirul lui Rolle și când graficul? Graficul e potrivit când ai deja tabelul complet și cerința e vizuală. Șirul lui Rolle e drumul riguros, cerut la Bacalaureat M1 pentru ecuațiile polinomiale cu parametru: el separă soluțiile fără să deseneze nimic și dă răspunsul pe cazuri, direct din semnele valorilor.

Cum arăt că o ecuație are exact $n$ soluții? Cu perechea de argumente: teorema lui Rolle limitează numărul de soluții dintre două rădăcini consecutive ale derivatei la cel mult una, iar consecința de semn a proprietății valorilor intermediare garantează cel puțin una acolo unde valorile au semne contrare. „Cel mult" plus „cel puțin" dă „exact".

Ce scriu în tabel la un punct care nu e în domeniu? Pe rândurile $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$ scrii $|$, iar pe rândul $f(x)$ scrii cele două limite laterale despărțite de $|$. Tabelul rămâne unul singur; nu se rupe în două. La șirul lui Rolle, dimpotrivă, un punct exclus cere două tabele separate.

De ce nu e punct de inflexiune orice zerou al derivatei a doua? Pentru că definiția cere schimbarea convexității, nu doar anularea lui $f^{\prime \prime }$. La $f(x)=x^4$ derivata a doua se anulează în $0$, dar rămâne pozitivă de ambele părți, deci curba rămâne convexă. Se cere, în plus, ca punctul să fie în domeniu și funcția să fie derivabilă acolo.

Ce lecții acoperă cele trei subpuncte ale problemei de analiză? Ea încheie drumul început de lecția despre limite, continuitate și asimptote, care rezolvă primul subpunct, și continuat de cea despre derivate, monotonie și extreme, care rezolvă al doilea. Aici cele două se adună în tabel, iar tabelul dă răspunsul la al treilea.