Sume Riemann: pe scurt

Suma Riemann asociată funcției $f$, diviziunii $\Delta$ și sistemului de puncte intermediare $\xi$ este ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$. Ea depinde de toate cele trei date: schimbând punctele intermediare pe aceeași diviziune, numărul se schimbă.

Citirea geometrică, pentru $f$ continuă și pozitivă: suma este aria unei figuri în trepte, formată din dreptunghiuri de baze $[x_{i-1},x_i]$ și înălțimi $f({\xi }_i)$, care aproximează subgraficul. Punctele diviziunii dau lungimea bucății, iar punctele intermediare dau înălțimea — de aceea $\sum f({\xi }_i)$, fără factorul de lungime, nu este o sumă Riemann.

Alegerile standard se notează ${\sigma }_{\text{st}}$, ${\sigma }_{\text{mij}}$ și ${\sigma }_{\text{dr}}$. Sumele dreptunghiurilor înscrise și circumscrise ale unei funcții crescătoare sunt exact ${\sigma }_{\text{st}}$ și ${\sigma }_{\text{dr}}$. La diviziunea echidistantă factorul $\frac{b-a}{n}$ este constant și se scoate în față.

Când $f$ ia și valori negative, termenii respectivi intră cu semnul minus: suma măsoară o arie cu semn. Pentru $f$ crescătoare și diviziune echidistantă, toate sumele Riemann stau într-o bandă de lățime $\Vert \Delta \Vert (f(b)-f(a))$, care se strânge la zero odată cu norma — nu cu numărul de bucăți.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, diviziunea $\Delta =(0,1,3,4)$ și punctele intermediare luate în capetele din dreapta. Suma Riemann ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )$ este:

   • a) $26$
   • b) $11$
   • c) $35$
   • d) $\frac{41}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $35$

   Punctele intermediare sunt $1$, $3$ și $4$, iar lungimile bucăților $1$, $2$ și $1$: ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=1\cdot 1+9\cdot 2+16\cdot 1=35$. Varianta $11$ este suma cu punctele la stânga, varianta $26$ adună doar valorile $f({\xi }_i)$, fără lungimi, iar $\frac{41}{2}$ este suma cu punctele la mijloc.

2. Suma Riemann asociată funcției $f$, diviziunii $\Delta =(x_0,\dots ,x_n)$ și sistemului $\xi$ este:

   • a) $\sum _{i=1}^{n}f(x_i)({\xi }_i-{\xi }_{i-1})$
   • b) $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$
   • c) $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)$
   • d) $\sum _{i=1}^{n}f(x_i)(x_i-x_{i-1})$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$

   Fiecare termen este o arie: înălțimea $f({\xi }_i)$ înmulțită cu lungimea $x_i-x_{i-1}$. Varianta c) pierde lungimile, varianta a) inversează rolurile celor două familii de puncte, iar varianta d) este corectă numai dacă s-a spus explicit că punctele intermediare se iau la dreapta.

3. Pentru $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$, diviziunea echidistantă cu $n$ intervale și punctele intermediare luate la dreapta, suma Riemann este:

   • a) $\frac{n+1}{2n}$
   • b) $\frac{n-1}{2n}$
   • c) $\frac{1}{2}$
   • d) $\frac{n+1}{2n^2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{n+1}{2n}$

   Punctele intermediare sunt $\frac{k}{n}$, cu $k$ de la $1$ la $n$, iar pasul este $\frac{1}{n}$: ${\sigma }_{\text{dr}}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}$. Cu punctele la stânga suma este $\frac{n-1}{2n}$; ambele tind la $\frac{1}{2}$, dar niciuna nu este constant $\frac{1}{2}$.