Sume Riemann și interpretarea lor geometrică

Avem acum toate ingredientele: o funcție pe un interval închis, o diviziune care taie intervalul în bucăți și un sistem de puncte intermediare care spune de unde luăm înălțimea pe fiecare bucată. Din ele se obține un singur număr — suma ariilor dreptunghiurilor —, iar numărul acesta poartă numele matematicianului german Bernhard Riemann, care i-a dat, la mijlocul secolului al XIX-lea, forma pe care o învață și astăzi orice elev de clasa a 12-a la matematică-informatică.

Lecția construiește suma, o citește pe desen și o calculează efectiv, în forme închise, pentru câteva funcții: $f(x)=x$, $f(x)=x^2$, $f(x)=2x+1$ și o funcție care ia și valori negative. Va apărea o observație care schimbă tot: cu cât bucățile sunt mai mici, cu atât alegerea punctelor intermediare contează mai puțin, iar sumele se strâng în jurul unui singur număr, indiferent din ce loc al bucății am luat înălțimea. Aceasta este observația din care se naște, la lecția următoare, definiția integralei definite.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii suma Riemann ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )$ asociată unei funcții, unei diviziuni și unui sistem de puncte intermediare.
• Vei ști să o citești geometric, ca sumă de arii de dreptunghiuri, atunci când funcția este continuă și pozitivă.
• Vei ști să calculezi sume Riemann pe diviziuni oarecare, cu numere concrete, și pe diviziuni echidistante, în formă închisă cu parametrul $n$.
• Vei ști să compari sumele obținute cu punctele luate la stânga, la dreapta și la mijloc, și să explici de ce diferă.
• Vei ști să interpretezi semnul termenilor atunci când funcția ia valori negative.
• Vei ști ce se întâmplă cu sumele Riemann când norma diviziunii tinde la zero și de ce acest fapt cere o definiție nouă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o sumă Riemann?

Suma Riemann este numărul obținut adunând, pe fiecare bucată a unei diviziuni a intervalului $[a,b]$, produsul dintre valoarea funcției într-un punct intermediar al bucății și lungimea acelei bucăți; pentru o funcție pozitivă, ea este aria totală a dreptunghiurilor ridicate pe bucățile diviziunii. Scrisă complet, pentru funcția $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, diviziunea $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ și sistemul de puncte intermediare $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$, ea este

$${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1}).$$

Fiecare termen este un produs de două lucruri: valoarea funcției într-un punct al bucății și lungimea bucății. Notația ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )$ spune exact de ce depinde numărul: de funcție, de diviziune și de punctele intermediare. Schimbând unul singur dintre cele trei, suma se schimbă în general.

Un prim calcul, ca să se vadă că nu e nimic misterios. Luăm $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, diviziunea $\Delta =\left(1,\frac{3}{2},\frac{5}{2},3,4\right)$ studiată la lecția despre diviziuni și norma unei diviziuni și punctele intermediare luate la mijlocul fiecărei bucăți, adică $\xi =\left(\frac{5}{4},2,\frac{11}{4},\frac{7}{2}\right)$. Lungimile bucăților sunt $\frac{1}{2}$, $1$, $\frac{1}{2}$, $1$, deci

$${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=\frac{25}{16}\cdot \frac{1}{2}+4\cdot 1+\frac{121}{16}\cdot \frac{1}{2}+\frac{49}{4}\cdot 1=\frac{25}{32}+\frac{128}{32}+\frac{121}{32}+\frac{392}{32}=\frac{333}{16}=20,8125.$$

Cu aceeași diviziune, dar cu punctele luate la stânga, s-ar fi obținut $\frac{119}{8}=14,875$, iar cu punctele luate la dreapta, $\frac{223}{8}=27,875$. Trei numere destul de depărtate — pentru că diviziunea aceasta este grosolană, cu norma $1$.

2. Cum arată o sumă Riemann pe desen?

Când $f$ este continuă și pozitivă, fiecare termen $f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$ este aria unui dreptunghi: baza lui este bucata $[x_{i-1},x_i]$ de pe axă, iar înălțimea este $f({\xi }_i)$, adică ordonata punctului de pe grafic aflat deasupra lui ${\xi }_i$.

Interpretarea geometrică. Pentru $f$ continuă și pozitivă, suma Riemann ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )$ este suma ariilor celor $n$ dreptunghiuri de baze $[x_{i-1},x_i]$ și înălțimi $f({\xi }_i)$, adică aria unei figuri „în trepte" care aproximează subgraficul ${\Gamma }_f$.

Aproximarea nu este nici prin lipsă, nici prin adaos: unele dreptunghiuri ies deasupra graficului, altele rămân sub el, iar erorile se compensează parțial. Cu cât bucățile sunt mai scurte, cu atât fiecare treaptă se lipește mai bine de arcul de curbă de deasupra ei.

3. Sumele din lecția precedentă erau sume Riemann

Acum se vede că nu am construit nimic cu adevărat nou. La lecția despre problema ariei și subgraficul unei funcții am lucrat, fără să le numim așa, cu două sume Riemann particulare:

• suma dreptunghiurilor înscrise $s_n$ este suma Riemann pe diviziunea echidistantă, cu punctele intermediare luate la stânga, atunci când $f$ este crescătoare;
• suma dreptunghiurilor circumscrise $S_n$ este suma Riemann pe aceeași diviziune, cu punctele intermediare luate la dreapta.

Legătura merge mai departe și este utilă. Dacă $f$ este crescătoare, atunci pentru orice sistem de puncte intermediare $\xi$ asociat aceleiași diviziuni are loc

$$s_n\le {\sigma }_{\Delta }(f,\xi )\le S_n,$$

pentru că pe fiecare bucată $f({\xi }_i)$ este cuprins între $f(x_{i-1})$ și $f(x_i)$: punctul ${\xi }_i$ stă în $[x_{i-1},x_i]$, iar funcția fiind crescătoare, valoarea ei în ${\xi }_i$ nu poate ieși dintre valorile de la capete. Prin urmare, dacă cele două margini se apropie una de alta, toate sumele Riemann de pe acea diviziune sunt prinse în același interval îngust — indiferent de unde am ales punctele. Aceasta este ideea centrală a capitolului, iar tot restul lecției o ilustrează pe exemple.

4. Cum se calculează o sumă Riemann pentru $f(x)=x$?

Luăm $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$, și diviziunea echidistantă cu $n$ bucăți, $x_i=\frac{i}{n}$, de lungime $\frac{1}{n}$ fiecare. Calculăm cele trei sume standard, folosind formula $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ din clasa a IX-a.

La dreapta: ${\xi }_i=\frac{i}{n}$, deci

$${\sigma }_{\text{dr}}=\sum _{i=1}^n\frac{i}{n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}.$$

La stânga: ${\xi }_i=\frac{i-1}{n}$, deci la numărător apare suma primelor $n-1$ numere naturale nenule:

$${\sigma }_{\text{st}}=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{(n-1)n}{2}=\frac{n-1}{2n}.$$

La mijloc: ${\xi }_i=\frac{2i-1}{2n}$, deci

$${\sigma }_{\text{mij}}=\sum _{i=1}^n\frac{2i-1}{2n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{2n^2}\left(2\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n\right)=\frac{1}{2n^2}\cdot n^2=\frac{1}{2}.$$

Rezultatul de la mijloc este remarcabil: suma este exact $\frac{1}{2}$ pentru orice $n$, adică exact aria triunghiului de sub grafic. Celelalte două sunt în jurul ei, la distanța $\frac{1}{2n}$:

Toate trei tind la $\frac{1}{2}$, dar cu viteze diferite. Alegerea punctelor intermediare nu schimbă limita; schimbă doar cât de repede se ajunge la ea.

Merită reținut și tiparul de calcul, pentru că se repetă la fiecare exemplu. Pe o diviziune echidistantă, lungimea bucății este aceeași peste tot, deci se scoate factor comun:

$${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=\frac{b-a}{n}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i).$$

Rămâne de calculat o sumă de valori ale funcției, iar aceasta se aduce la formă închisă cu formulele de sumare din clasa a IX-a. Pentru intervalul $[0,1]$ și punctele luate la dreapta, forma este $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)$ — scrierea pe care o vei recunoaște cel mai des în enunțuri.

5. Cum se calculează suma Riemann pentru $f(x)=x^2$?

Aceeași funcție ca la lecția precedentă, aceeași diviziune echidistantă a lui $[0,1]$, dar de data aceasta cu toate cele trei alegeri.

Sumele la stânga și la dreapta le știm deja, sub numele lor vechi:

$${\sigma }_{\text{st}}=s_n=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2},{\sigma }_{\text{dr}}=S_n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}.$$

La mijloc, punctul din bucata $i$ este ${\xi }_i=\frac{2i-1}{2n}$, deci

$${\sigma }_{\text{mij}}=\sum _{i=1}^n\frac{(2i-1{)}^2}{4n^2}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{4n^3}\sum _{i=1}^n(2i-1{)}^2.$$

Suma pătratelor numerelor impare nu este una dintre formulele memorate, dar se obține din cele două care sunt, desfăcând pătratul:

$$\sum _{i=1}^n(2i-1{)}^2=\sum _{i=1}^n\left(4i^2-4i+1\right)=4\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n=\frac{n(4n^2-1)}{3}.$$

(Ultima egalitate se obține dând factor comun $n$ și reducând: $\frac{2(n+1)(2n+1)}{3}-2(n+1)+1=\frac{4n^2-1}{3}$.) Prin urmare

$${\sigma }_{\text{mij}}=\frac{1}{4n^3}\cdot \frac{n(4n^2-1)}{3}=\frac{4n^2-1}{12n^2}.$$

Iată cele trei sume, cu patru zecimale:

Toate trei tind la $\frac{1}{3}$, iar cea de la mijloc se apropie vizibil mai repede. Ultima coloană arată încă o dată de ce: banda în care sunt prinse toate sumele Riemann de pe diviziunea cu $n$ bucăți are lățimea $\frac{1}{n}$, deci se strânge la zero.

6. Ce se întâmplă la funcțiile de gradul întâi?

Luăm $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$, funcție pozitivă pe $[0,2]$, și diviziunea echidistantă cu $n$ bucăți, de lungime $\frac{2}{n}$, cu $x_i=\frac{2i}{n}$.

La dreapta:

$${\sigma }_{\text{dr}}=\sum _{i=1}^n\left(\frac{4i}{n}+1\right)\frac{2}{n}=\frac{2}{n}\left(\frac{4}{n}\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n\right)=\frac{2}{n}(2(n+1)+n)=\frac{2(3n+2)}{n}=6+\frac{4}{n}.$$

La stânga, printr-un calcul identic cu suma $0+1+\cdots +(n-1)$, se obține ${\sigma }_{\text{st}}=6-\frac{4}{n}$. La mijloc, suma este exact $6$ pentru orice $n$.

Controlul geometric confirmă: subgraficul este trapezul dreptunghic cu bazele $f(0)=1$ și $f(2)=5$ și înălțimea $2$, deci are aria $\frac{1+5}{2}\cdot 2=6$. Iar faptul că mijlocul dă valoarea exactă nu este un accident: pentru o funcție de gradul întâi, $f$ luat în mijlocul unei bucăți este media valorilor din capete, deci fiecare dreptunghi are exact aria trapezului de deasupra bucății lui.

7. Ce se întâmplă când funcția ia valori negative?

Definiția sumei Riemann nu cere nicăieri $f\ge 0$: ea are sens pentru orice funcție $f:[a,b]\to \mathbb{R}$. Ce se pierde este doar interpretarea „sumă de arii", care se înlocuiește cu o interpretare cu semn:

• dacă $f({\xi }_i)>0$, termenul $f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$ este aria dreptunghiului de deasupra axei, luată cu plus;
• dacă $f({\xi }_i)<0$, termenul este aria dreptunghiului de sub axă, luată cu minus, pentru că lungimea bucății este pozitivă, iar înălțimea este negativă;
• dacă $f({\xi }_i)=0$, termenul dispare.

Exemplu: $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-2$, care este negativă pe $[0,1)$ și pozitivă pe $(1,2]$. Pe diviziunea echidistantă cu $n$ bucăți se obține

$${\sigma }_{\text{dr}}=\sum _{i=1}^n\left(\frac{4i}{n}-2\right)\frac{2}{n}=\frac{2}{n}(2(n+1)-2n)=\frac{4}{n},{\sigma }_{\text{st}}=-\frac{4}{n},{\sigma }_{\text{mij}}=0.$$

Toate trei tind la $0$. Geometric, era de așteptat: sub axă rămâne un triunghi de arie $1$, iar deasupra axei un triunghi de arie $1$, și ele se anulează reciproc în sumă. Numărul obținut nu este aria figurii mărginite de grafic și axă — aceea ar fi $2$ —, ci diferența dintre partea de deasupra și partea de dedesubt.

8. Ce se întâmplă când norma diviziunii tinde la zero?

Toate exemplele de până acum au avut același deznodământ: sumele Riemann s-au strâns în jurul unui singur număr, iar alegerea punctelor intermediare a contat tot mai puțin. Merită văzut și pe o funcție a cărei arie nu o putem calcula deloc cu mijloacele de până acum.

Fie $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$, funcție continuă, pozitivă și crescătoare. Pe diviziunea echidistantă cu $n$ bucăți, sumele Riemann standard au valorile aproximative:

Cele trei coloane se apropie de aceeași valoare, aproximativ $1,7183$. Ultima coloană explică de ce: funcția fiind crescătoare, lățimea benzii în care sunt prinse toate sumele Riemann este $\Vert \Delta \Vert (f(1)-f(0))$, deci tinde la zero odată cu norma. Nu am dovedit nimic despre valoarea exactă a numărului — pentru asta ne trebuie instrumentele lecțiilor următoare —, dar am văzut mecanismul.

Iată, așadar, întrebarea cu care se încheie lecția: ce înseamnă riguros că sumele Riemann „se strâng în jurul unui număr" când $\Vert \Delta \Vert \to 0$, și ce funcții au această proprietate? Răspunsul este definiția funcției integrabile, dată la lecția despre funcții integrabile și integrala definită; numărul obținut se va nota, ca anticipare, ${\int }_a^{b}f(x)dx$. Iar metoda scurtă de a-l calcula, fără nicio sumă, apare la lecția despre calculul integralei definite cu ajutorul primitivelor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Sumă Riemann pe o diviziune cu bucăți inegale

Calculează cele trei sume Riemann standard pentru $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$, și diviziunea $\Delta =(0,1,3,4)$.

Bucățile sunt $[0,1]$, $[1,3]$, $[3,4]$, de lungimi $1$, $2$, $1$.

La stânga: $\xi =(0,1,3)$, deci ${\sigma }_{\text{st}}=0\cdot 1+1\cdot 2+3\cdot 1=5$.

La mijloc: $\xi =\left(\frac{1}{2},2,\frac{7}{2}\right)$, deci ${\sigma }_{\text{mij}}=\frac{1}{2}\cdot 1+2\cdot 2+\frac{7}{2}\cdot 1=8$.

La dreapta: $\xi =(1,3,4)$, deci ${\sigma }_{\text{dr}}=1\cdot 1+3\cdot 2+4\cdot 1=11$.

Aria subgraficului este aria triunghiului cu catetele $4$ și $4$, adică $8$ — exact suma de la mijloc, conform observației din secțiunea a șasea (funcția este de gradul întâi).

Exemplul 2 — Aceeași diviziune, altă funcție

Calculează sumele Riemann la stânga, la mijloc și la dreapta pentru $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, și diviziunea $\Delta =(0,1,2)$.

Bucățile au amândouă lungimea $1$.

$${\sigma }_{\text{st}}=f(0)+f(1)=0+1=1,{\sigma }_{\text{mij}}=f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2},{\sigma }_{\text{dr}}=f(1)+f(2)=1+4=5.$$

Aria subgraficului este $\frac{2^3}{3}=\frac{8}{3}\approx 2,67$, deci prinsă între $1$ și $5$, cum cere încadrarea. Se vede și aici că alegerea de la mijloc, $2,5$, este cea mai bună dintre cele trei, deși diviziunea este foarte grosolană.

Exemplul 3 — Formă închisă și limită

Pentru $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, scrie suma Riemann de la mijloc pe diviziunea echidistantă cu $n$ bucăți și calculează-i limita.

Din secțiunea a cincea, ${\sigma }_{\text{mij}}=\frac{4n^2-1}{12n^2}$. Pentru $n=2$ dă $\frac{15}{48}=\frac{5}{16}$, iar pentru $n=10$ dă $\frac{399}{1200}=\frac{133}{400}=0,3325$. Limita:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4n^2-1}{12n^2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3},$$

aceeași cu limita sumelor de la stânga și de la dreapta, calculate la lecția precedentă.

Exemplul 4 — Sumă cu termeni negativi

Calculează suma Riemann la dreapta pentru $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-2$, pe diviziunea echidistantă cu $4$ bucăți, și interpretează rezultatul.

Bucățile au lungimea $\frac{1}{2}$, iar capetele din dreapta sunt $\frac{1}{2}$, $1$, $\frac{3}{2}$, $2$, cu valorile $f$ egale cu $-1$, $0$, $1$, $2$. Atunci

$${\sigma }_{\text{dr}}=(-1)\cdot \frac{1}{2}+0\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2}=1.$$

Primul termen este negativ, pentru că dreptunghiul corespunzător coboară sub axă; ceilalți sunt pozitivi sau nuli. Formula generală ${\sigma }_{\text{dr}}=\frac{4}{n}$ dă, pentru $n=4$, tot $1$. Cum $n$ crește, suma tinde la $0$: cele două triunghiuri, cel de sub axă și cel de deasupra, au arii egale.

Exemplul 5 — Când suma nu depinde de $n$

Arată că, pentru o funcție de gradul întâi și pentru punctele intermediare luate la mijloc, suma Riemann este egală cu aria trapezului, oricare ar fi diviziunea.

Fie $f(x)=mx+p$ și o diviziune oarecare $\Delta =(x_0,\dots ,x_n)$. Mijlocul bucății $i$ este ${\xi }_i=\frac{x_{i-1}+x_i}{2}$, iar

$$f({\xi }_i)=m\cdot \frac{x_{i-1}+x_i}{2}+p=\frac{(m{x}_{i-1}+p)+(m{x}_i+p)}{2}=\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}.$$

Prin urmare termenul $f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$ este exact aria trapezului de bază $[x_{i-1},x_i]$ mărginit de grafic. Adunând, se obține aria întregului trapez, adică $\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$. Rezultatul explică valorile exacte $\frac{1}{2}$ și $6$ obținute mai sus.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, și diviziunea echidistantă a intervalului $[0,3]$ cu $n$ bucăți.

a) Scrie suma Riemann cu punctele intermediare luate la dreapta.

Bucata are lungimea $\frac{3}{n}$, iar capătul din dreapta al bucății $i$ este $\frac{3i}{n}$, deci

$${\sigma }_{\text{dr}}=\sum _{i=1}^n\frac{9i^2}{n^2}\cdot \frac{3}{n}=\frac{27}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{9(n+1)(2n+1)}{2n^2}.$$

b) Calculează limita acestei sume când $n\to \infty$.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{9(2n^2+3n+1)}{2n^2}=\frac{9\cdot 2}{2}=9.$$

c) Calculează diferența dintre suma de la dreapta și cea de la stânga și arată că ea tinde la zero.

Cele două sume au aceiași termeni, în afară de primul, respectiv ultimul: diferența este $\frac{3}{n}(f(3)-f(0))=\frac{3}{n}\cdot 9=\frac{27}{n}$, care tinde la $0$. Prin urmare orice sumă Riemann de pe această diviziune tinde tot la $9$, indiferent de punctele intermediare alese.

Să exersăm

1. Calculează suma Riemann pentru $f(x)=x$, diviziunea $\Delta =(0,1,3,4)$ și punctele intermediare luate la mijloc.

2. Calculează sumele Riemann la stânga și la dreapta pentru $f(x)=x^2$ și diviziunea $\Delta =(0,1,2)$.

3. Calculează suma Riemann la dreapta pentru $f(x)=x$ pe $[0,1]$, pe diviziunea echidistantă cu $4$ bucăți.

4. Aceeași funcție și aceeași diviziune, cu punctele luate la stânga.

5. Aceeași funcție și aceeași diviziune, cu punctele luate la mijloc. Ce observi?

6. Calculează suma Riemann de la mijloc pentru $f(x)=x^2$ pe $[0,1]$, cu $n=2$.

7. Calculează aceeași sumă pentru $n=10$, folosind formula $\frac{4n^2-1}{12n^2}$.

8. Arată că, pentru $f$ de gradul întâi și punctele luate la mijloc, suma Riemann pe orice diviziune este exact aria trapezului de sub grafic.

9. Calculează sumele Riemann la stânga și la dreapta pentru $f(x)=2x+1$ pe $[0,2]$, cu $n=4$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Suma Riemann nu depinde de alegerea punctelor intermediare."

11. Calculează suma Riemann la dreapta și cea de la mijloc pentru $f(x)=2x-2$ pe $[0,2]$, cu $n=4$.

12. Interpretează geometric rezultatele de la exercițiul precedent.

13. Calculează aproximativ suma Riemann la dreapta pentru $f(x)=e^x$ pe $[0,1]$, cu $n=4$, folosind $e^{0,25}\approx 1,2840$, $e^{0,5}\approx 1,6487$, $e^{0,75}\approx 2,1170$ și $e\approx 2,7183$.

14. (Problemă aplicată.) Viteza unui vehicul este măsurată din $2$ în $2$ secunde, timp de $8$ secunde, și dă valorile $0$, $6$, $10$, $12$, $14$ (în metri pe secundă). Aproximează distanța parcursă printr-o sumă Riemann cu punctele luate la dreapta.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f\ge 0$ pe $[a,b]$, atunci orice sumă Riemann a lui $f$ este mai mare sau egală cu zero."

16. Scrie forma închisă a sumei Riemann la dreapta pentru $f(x)=x^3$ pe $[0,1]$ și calculează valoarea ei pentru $n=4$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, și diviziunea echidistantă cu $n$ bucăți. a) Scrie suma Riemann cu punctele la dreapta. b) Calculează limita ei. c) Calculează diferența dintre sumele de la dreapta și de la stânga.

18. (Provocare.) Fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ crescătoare și diviziunea echidistantă cu $n$ bucăți. Arată că diferența dintre suma Riemann de la dreapta și cea de la stânga este $\Vert \Delta \Vert (f(b)-f(a))$ și deduce că toate sumele Riemann de pe acea diviziune diferă între ele cu cel mult atât.

Răspunsuri și explicații

1. Punctele de la mijloc sunt $\frac{1}{2}$, $2$, $\frac{7}{2}$, iar lungimile $1$, $2$, $1$: $\sigma =\frac{1}{2}+4+\frac{7}{2}=8$, adică exact aria triunghiului de sub $y=x$ pe $[0,4]$.

2. La stânga: $f(0)\cdot 1+f(1)\cdot 1=1$. La dreapta: $f(1)\cdot 1+f(2)\cdot 1=5$. Aria reală, $\frac{8}{3}$, este între ele.

3. ${\sigma }_{\text{dr}}=\frac{n+1}{2n}=\frac{5}{8}$.

4. ${\sigma }_{\text{st}}=\frac{n-1}{2n}=\frac{3}{8}$.

5. ${\sigma }_{\text{mij}}=\frac{1}{2}$. Este exact aria triunghiului: funcția fiind de gradul întâi, mijlocul dă valoarea exactă pentru orice $n$.

6. Bucățile au lungimea $\frac{1}{2}$, mijloacele sunt $\frac{1}{4}$ și $\frac{3}{4}$: $\sigma =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{16}+\frac{9}{16}\right)=\frac{5}{16}$.

7. $\frac{4\cdot 100-1}{12\cdot 100}=\frac{399}{1200}=\frac{133}{400}=0,3325$.

8. Pentru $f(x)=mx+p$, valoarea în mijlocul bucății este media valorilor din capete, deci fiecare termen al sumei este aria trapezului de deasupra bucății. Adunându-le, se obține aria trapezului mare, $\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$.

9. ${\sigma }_{\text{dr}}=6+\frac{4}{4}=7$ și ${\sigma }_{\text{st}}=6-\frac{4}{4}=5$; aria trapezului este $6$, între ele.

10. Fals. Pe aceeași diviziune, sumele de la stânga, de la mijloc și de la dreapta sunt în general diferite — vezi exercițiile 3, 4 și 5. Ceea ce nu depinde de alegere este limita, când norma tinde la zero.

11. La dreapta: $\frac{4}{n}=1$. La mijloc: $0$. Formulele generale sunt ${\sigma }_{\text{dr}}=\frac{4}{n}$ și ${\sigma }_{\text{mij}}=0$.

12. Dreptunghiurile aflate sub axă contribuie cu termeni negativi, cele de deasupra cu termeni pozitivi. Suma este diferența dintre aria de deasupra și cea de dedesubt, nu aria totală a figurii; la mijloc, cele două se compensează exact.

13. ${\sigma }_{\text{dr}}=\frac{1}{4}(1,2840+1,6487+2,1170+2,7183)\approx \frac{1}{4}\cdot 7,7680\approx 1,9420$.

14. Diviziunea este $(0,2,4,6,8)$, cu bucăți de lungime $2$; valorile la capetele din dreapta sunt $6$, $10$, $12$, $14$. Suma este $2(6+10+12+14)=84$ de metri. Este o supraevaluare, viteza fiind crescătoare.

15. Adevărat. Fiecare termen $f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$ este produsul unui număr nenegativ cu o lungime strict pozitivă, deci este nenegativ; suma unor termeni nenegativi este nenegativă.

16. ${\sigma }_{\text{dr}}=\sum _{i=1}^n\frac{i^3}{n^3}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^4}\cdot \frac{n^2(n+1{)}^2}{4}=\frac{(n+1{)}^2}{4n^2}$; pentru $n=4$ dă $\frac{25}{64}$.

17. a) ${\sigma }_{\text{dr}}=\frac{9(n+1)(2n+1)}{2n^2}$. b) Limita este $9$. c) Diferența este $\frac{3}{n}(f(3)-f(0))=\frac{27}{n}$, care tinde la $0$.

18. Cele două sume au aceiași $n-1$ termeni de mijloc; diferă doar prin primul, respectiv ultimul. Cu $h=\frac{b-a}{n}=\Vert \Delta \Vert$,

$${\sigma }_{\text{dr}}-{\sigma }_{\text{st}}=hf(b)-hf(a)=\Vert \Delta \Vert (f(b)-f(a)).$$

Cum $f$ este crescătoare, orice sumă Riemann de pe această diviziune este cuprinsă între ${\sigma }_{\text{st}}$ și ${\sigma }_{\text{dr}}$, deci două astfel de sume diferă cu cel mult $\Vert \Delta \Vert (f(b)-f(a))$ — o mărime care tinde la zero odată cu norma. Vom numi această observație lema benzii: toate sumele Riemann de pe o diviziune stau într-o „bandă" de lățime $\Vert \Delta \Vert (f(b)-f(a))$; lecțiile următoare o citează cu acest nume.

De reținut

• Suma Riemann asociată funcției $f$, diviziunii $\Delta$ și sistemului de puncte intermediare $\xi$ este ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$ și depinde de toate cele trei date.
• Pentru $f$ continuă și pozitivă, suma Riemann este aria unei figuri în trepte formate din dreptunghiuri de baze $[x_{i-1},x_i]$ și înălțimi $f({\xi }_i)$, care aproximează subgraficul lui $f$.
• Sumele dreptunghiurilor înscrise și circumscrise studiate anterior sunt sumele Riemann cu punctele intermediare luate la stânga, respectiv la dreapta, pentru o funcție crescătoare.
• Când funcția ia valori negative, termenii corespunzători intră în sumă cu semnul minus, iar rezultatul este diferența dintre aria de deasupra axei și cea de dedesubt.
• Pentru o funcție crescătoare și o diviziune echidistantă, toate sumele Riemann sunt cuprinse într-o bandă de lățime $\Vert \Delta \Vert (f(b)-f(a))$, care se strânge la zero odată cu norma diviziunii.

Greșeli frecvente

• Confunzi punctele diviziunii cu punctele intermediare. În sumă apar amândouă, dar în roluri diferite: $x_{i-1}$ și $x_i$ dau lungimea bucății, iar ${\xi }_i$ dă înălțimea dreptunghiului. Scrierea $\sum f(x_i)(x_i-x_{i-1})$ este corectă doar dacă s-a spus explicit că punctele intermediare sunt luate la dreapta.
• Uiți factorul care dă lungimea bucății. $\sum f({\xi }_i)$ nu este o sumă Riemann; fiecare valoare a funcției trebuie înmulțită cu lungimea bucății ei. La diviziunea echidistantă acest factor este constant, $\frac{b-a}{n}$, și poate fi scos în față — de aici vine forma $\frac{b-a}{n}\sum f({\xi }_i)$.
• Greșești indicele la punctele de la stânga. La stânga se ia ${\xi }_i=x_{i-1}$, deci pentru diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$ punctele sunt $0,\frac{1}{n},\dots ,\frac{n-1}{n}$, iar suma corespunzătoare se oprește la $n-1$, nu la $n$.
• Iei suma Riemann drept arie când funcția schimbă semnul. Pentru $f(x)=2x-2$ pe $[0,2]$ sumele tind la $0$, deși figura mărginită de grafic și de axă are aria $2$. Suma măsoară o arie cu semn; aria propriu-zisă se calculează altfel.
• Crezi că un $n$ mare garantează o aproximare bună. Pe o diviziune cu multe bucăți, dar cu una lungă rămasă nedivizată, eroarea rămâne mare. Mărimea care controlează eroarea este norma, nu numărul de bucăți.

Aplică acasă

1. Trei alegeri, aceeași curbă. Pe hârtie milimetrică, desenează $y=x^2$ pe $[0,1]$ și, pentru $n=5$, cele trei trepte de dreptunghiuri: cu înălțimile luate la stânga, la mijloc și la dreapta. Colorează-le diferit și compară vizual cât de bine se lipesc de curbă.

2. Foaia de calcul. Construiește în trei coloane sumele Riemann de la stânga, de la mijloc și de la dreapta pentru $f(x)=e^x$ pe $[0,1]$, cu $n=4$, $n=20$, $n=200$. Urmărește cu câte zecimale coincid cele trei coloane la fiecare pas.

3. Distanța dintr-un tabel. Notează, pe un drum cunoscut, indicația vitezometrului din minut în minut timp de zece minute. Calculează suma Riemann la stânga și pe cea la dreapta și compară media lor cu distanța citită pe kilometraj.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce obiectul central al capitolului și corespunde primei activități de învățare din competența XII.CS.2.6 a programei de matematică-informatică: calcularea sumei Riemann asociate unei funcții, unei diviziuni și unui sistem de puncte intermediare, cu interpretarea ei geometrică pentru o funcție continuă și pozitivă. Este ultima lecție dinaintea definiției integrabilității; tot ce se construiește aici devine acolo ipoteză.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a sumei Riemann, cu distincția între punctele diviziunii și cele intermediare; (2) calculul pe diviziuni concrete, cu bucăți inegale; (3) obținerea formelor închise pe diviziuni echidistante, cu formulele de sumare din clasa a IX-a; (4) compararea celor trei alegeri standard și înțelegerea faptului că limita nu depinde de ele; (5) semnul termenilor la funcțiile care iau valori negative.

Întrebări bune de control: „De ce depinde ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )$?"; „Ce reprezintă un termen al sumei, pe desen?"; „De ce dă mijlocul rezultatul exact la funcțiile de gradul întâi?"; „Poate o sumă Riemann să fie negativă?".

Semne că a înțeles: scrie factorul $x_i-x_{i-1}$ fără să i se amintească; spune că suma de la mijloc este mai bună, dar că limita e aceeași; explică singur de ce banda ${\sigma }_{\text{dr}}-{\sigma }_{\text{st}}$ se strânge.

Dificultatea tipică: trecerea de la o diviziune concretă la forma închisă cu parametrul $n$. Elevul calculează corect pentru $n=4$, dar nu regăsește tiparul general; exercițiile 16 și 17 fac exact acest pas, iar Exemplul 6 îl arată complet.

Unde apare la BAC M1: sumele Riemann apar în subiectul al III-lea în două forme — recunoașterea unui șir dat ca sumă Riemann, pentru calculul limitei lui, și justificarea prin sume a unei arii. Formula $\frac{b-a}{n}\sum f({\xi }_i)$, cu diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$, este cea care se recunoaște cel mai des în enunțuri.

Întrebări frecvente

Ce este o sumă Riemann?

Suma Riemann asociată funcției $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, diviziunii $\Delta =(x_0,\dots ,x_n)$ și sistemului de puncte intermediare $\xi$ este numărul ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )={\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$. Fiecare termen este produsul dintre valoarea funcției într-un punct al unei bucăți și lungimea acelei bucăți.

Care este interpretarea geometrică a sumei Riemann?

Când $f$ este continuă și pozitivă, fiecare termen este aria unui dreptunghi cu baza pe intervalul parțial și cu înălțimea $f({\xi }_i)$. Suma lor este aria unei figuri în trepte care aproximează subgraficul funcției; unele dreptunghiuri ies deasupra curbei, altele rămân sub ea, iar erorile se compensează parțial.

Cum se calculează o sumă Riemann pe o diviziune echidistantă?

Lungimea fiecărei bucăți este $\frac{b-a}{n}$ și se scoate factor comun, deci suma devine $\frac{b-a}{n}\sum f({\xi }_i)$. Apoi se înlocuiesc punctele intermediare — la stânga, la dreapta sau la mijloc — și se folosesc formulele de sumare pentru $1+2+\cdots +n$, pentru suma pătratelor sau pentru cea a cuburilor.

Depinde suma Riemann de punctele intermediare alese?

Da, valoarea ei depinde: pentru $f(x)=x^2$ pe $[0,1]$ cu $n=4$, alegerile la stânga, la mijloc și la dreapta dau $0,2188$, $0,3281$ și respectiv $0,4688$. Ce nu depinde de alegere este limita spre care se îndreaptă sumele când norma diviziunii tinde la zero.

Poate o sumă Riemann să fie negativă?

Da, dacă funcția ia valori negative. Un termen cu $f({\xi }_i)<0$ intră în sumă cu minus, pentru că lungimea bucății este pozitivă. Rezultatul devine atunci o arie cu semn: diferența dintre aria părții de deasupra axei și aria părții de dedesubt, nu aria totală a figurii.

De ce se cere ca norma diviziunii să tindă la zero?

Pentru că norma controlează eroarea. La o funcție crescătoare, toate sumele Riemann de pe o diviziune sunt cuprinse într-o bandă de lățime $\Vert \Delta \Vert (f(b)-f(a))$; când norma tinde la zero, banda se strânge, iar sumele se apropie de un singur număr, oricare ar fi punctele intermediare.

La ce folosesc sumele Riemann la examen?

La Bacalaureat M1 apar în subiectul al III-lea, cel mai des sub forma unui șir dat printr-o sumă care trebuie recunoscută ca sumă Riemann pe diviziunea echidistantă a intervalului $[0,1]$, pentru a i se calcula limita. A doua utilizare este justificarea prin sume a unei arii, cerută ori de câte ori enunțul spune „din definiție".