Tabelul de variație cu derivata întâi: pe scurt

Tabelul de variație strânge într-o singură imagine tot ce ai calculat despre o funcție. Are trei rânduri, în ordinea $x$, $f^{\prime }(x)$, $f(x)$, iar rândul lui $x$ este chiar antetul tabelului. După coloana etichetelor, coloanele alternează punct–interval, de la stânga la dreapta pe axă; cu $k$ puncte marcate în interior ies $2k+4$ coloane, iar numărătoarea aceasta este cea mai rapidă verificare a unui tabel.

Se marchează zerourile derivatei, punctele în care $f$ nu este derivabilă, capetele domeniului și punctele scoase din domeniu. În coloanele-interval, rândul derivatei primește $+$ sau $-$, iar rândul funcției săgeata potrivită: sub fiecare $+$ stă $\nearrow$, sub fiecare $-$ stă $\searrow$. În coloanele-punct se trec valori sau limite, urmate de marcajele $\text{M}$ și $\text{m}$.

Regulile de la capete merită memorate ca atare: la $\pm \infty$ celula derivatei rămâne goală, pentru că acolo nu există niciun punct al axei; într-un capăt finit care nu aparține domeniului se pune bara $|$ în rândul derivatei și cele două limite laterale, despărțite tot de $|$, în rândul funcției — într-un singur tabel. Într-un capăt închis se scriu valoarea derivatei laterale și valoarea funcției, cu marcajul de extrem cuvenit.

Sub tabel se scrie întotdeauna citirea lui în cuvinte. Un tabel cu trei rânduri nu spune însă nimic despre curbură — aceea cere derivata a doua.

Exerciții din această mini-lecție

1. Tabelul de variație al unei funcții definite pe $\mathbb{R}$, cu trei puncte marcate în interiorul domeniului, are:

   • a) $8$ coloane
   • b) $9$ coloane
   • c) $12$ coloane
   • d) $10$ coloane
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $10$ coloane

   Formula este $2k+4$, unde $k$ este numărul punctelor marcate în interior. Cu $k=3$ se obțin $10$ coloane: eticheta, cele două capete, cele trei puncte și cele patru intervale dintre ele. Dacă numărătoarea ta dă altceva, ai uitat o coloană-interval sau ai folosit un punct pe post de interval.

2. Într-un tabel de variație, în coloana lui $+\infty$, celula din rândul $f^{\prime }(x)$:

   • a) conține limita derivatei
   • b) conține bara $|$
   • c) rămâne goală
   • d) conține $\nexists$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) rămâne goală

   Simbolul $+\infty$ nu este un punct al axei, deci nu ai unde să calculezi $f^{\prime }$ acolo: celula rămâne goală, iar limita derivatei nu se trece în tabel. Bara $|$ se pune într-un punct finit care nu aparține domeniului, iar $\nexists$ se scrie doar acolo unde punctul este în domeniu, dar derivata nu există.

3. Se consideră $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{4}{x}$. În tabelul de variație, celula din rândul $f(x)$, în coloana lui $0$, conține:

   • a) valoarea $0$
   • b) $-\infty |+\infty$
   • c) bara $|$
   • d) nimic, pentru că $0$ nu se marchează
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-\infty |+\infty$

   Punctul $0$ nu aparține domeniului, dar taie domeniul în două, deci se marchează. Convenția cere bara $|$ în rândul derivatei și cele două limite laterale în rândul funcției: la stânga lui $0$ raportul $\frac{4}{x}$ duce funcția spre $-\infty$, la dreapta spre $+\infty$. Se scrie un singur tabel, nu două, iar monotonia se enunță separat pe fiecare interval.