Tabelul de variație cu derivata întâi

Un buletin meteo nu îți dă temperatura din fiecare secundă a zilei. Îți dă câteva numere — minima, maxima, ora la care se produc — și, între ele, niște săgeți: dimineața se încălzește, după-amiaza se răcește. Cu zece semne pe un rând, ai în cap întreaga desfășurare a zilei. Nimeni nu are nevoie de graficul complet ca să știe când să iasă cu bicicleta.

Tabelul de variație face exact acest lucru pentru o funcție. Adună într-o singură imagine tot ce ai calculat separat până acum — domeniul, semnul derivatei de la Monotonia unei funcții dedusă din semnul derivatei întâi, natura punctelor de la Punctele de extrem local și determinarea extremelor, valorile funcției și limitele la capete — și le așază astfel încât oricine să poată citi comportarea funcției dintr-o privire. Programa cere explicit ca intervalele de monotonie și punctele de extrem ale unei funcții să fie evidențiate în tabelul de variație, iar la Bacalaureat M1 el este forma standard în care se prezintă rezultatul unui studiu de funcție.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești tabelul de variație al unei funcții, cu cele trei rânduri ale lui: $x$, $f^{\prime }(x)$ și $f(x)$.
• Vei ști să numeri corect coloanele și să alternezi coloanele-punct cu cele de interval.
• Vei ști ce se scrie în fiecare celulă: semne, zerouri, săgeți, marcajele $\text{M}$ și $\text{m}$, limitele la capete.
• Vei ști să tratezi capetele închise ale domeniului, punctele în care derivata nu există și domeniile care nu sunt intervale.
• Vei ști să scrii citirea tabelului, adică traducerea lui în două-trei propoziții corecte matematic.

Hai să descoperim împreună

1. De la tabelul de semn la tabelul de variație

Scheletul îl ai deja. La Semnul unei funcții continue pe un interval ai învățat un tabel cu două rânduri — $x$ în antet, funcția dedesubt — în care coloanele alternează puncte și intervale. Tabelul de variație este același obiect, cu o singură schimbare de rol: rândul de semn nu mai este al funcției, ci al derivatei, iar sub el se adaugă un rând nou, al funcției, care nu mai conține semne, ci valori și săgeți.

Motivul acestei arhitecturi e simplu. Semnul lui $f^{\prime }$ este informația de calcul, cea pe care o obții rezolvând o inecuație; săgețile din rândul lui $f$ sunt informația de citit, traducerea acelui semn în comportarea funcției. Cele două stau una sub alta ca să se poată verifica reciproc: sub fiecare $+$ trebuie să apară $\nearrow$, sub fiecare $-$ trebuie să apară $\searrow$.

2. Structura: rândurile și coloanele

Rândurile, în această ordine exactă:

1. antetul, care este rândul lui $x$: eticheta $x$, apoi celulele de pe axă;
2. $f^{\prime }(x)$;
3. $f(x)$.

Tabelul acesta se numește tabelul de variație cu derivata întâi. Există și o variantă completă, cu un rând suplimentar, care se studiază mai târziu în unitate; până acolo, trei rânduri, nici unul în plus.

Coloanele. După coloana de etichete urmează, alternativ, coloane-punct și coloane-interval, în ordinea de pe axă: $$\text{capa˘tul din staˆnga}\to \text{interval}\to x_1\to \text{interval}\to \cdots \to x_k\to \text{interval}\to \text{capa˘tul din dreapta}.$$ Cu $k$ puncte interioare marcate, rezultă $2k+3$ coloane de date, deci $2k+4$ coloane în total. Numărătoarea aceasta e cea mai bună verificare rapidă: dacă tabelul tău are alt număr de coloane, ai uitat o coloană de interval sau ai pus un punct pe post de interval.

Ce puncte se marchează? Exact candidații din lecția precedentă: zerourile derivatei, punctele în care funcția nu e derivabilă și capetele domeniului.

3. Ce se scrie în fiecare celulă

Simbolurile sunt fixe și se scriu ca formule, nu ca semne desenate:

• săgețile $\nearrow$ pentru „strict crescătoare" și $\searrow$ pentru „strict descrescătoare";
• marcajele de extrem, scrise după valoare: $\text{M}$ pentru maxim local, $\text{m}$ pentru minim local;
• $\nexists$ în rândul derivatei, acolo unde derivata nu există; natura punctului — unghiular sau de întoarcere — se explică în text, sub tabel, nu în celulă;
• la $\pm \infty$, coloana rândului $f^{\prime }(x)$ rămâne goală: nu există niciun punct în care să evaluezi derivata.

4. Rețeta în șase pași

1. Domeniul $D$ și forma lui (interval sau reuniune de intervale).
2. Derivata $f^{\prime }$, adusă la formă factorizată, și mulțimea pe care $f$ e derivabilă.
3. Punctele de marcat: zerourile lui $f^{\prime }$, punctele de nederivabilitate, capetele.
4. Semnul lui $f^{\prime }$ pe fiecare interval, cu valori de probă.
5. Valorile și limitele: $f(x_0)$ în punctele interioare marcate, limitele la capetele deschise, valorile la capetele închise.
6. Completarea și citirea: săgețile sub semne, marcajele $\text{M}$/$\text{m}$ după valori, apoi două-trei propoziții de citire.

Exemplu complet. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$.

Domeniul este $\mathbb{R}$, iar funcția e derivabilă peste tot, cu $$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3\left(x^2-2x-3\right)=3(x-3)(x+1).$$ Zerourile derivatei: $-1$ și $3$. Semnele, prin probe: $f^{\prime }(-2)=3\cdot (-5)\cdot (-1)=15>0$; $f^{\prime }(0)=-9<0$; $f^{\prime }(4)=3\cdot 1\cdot 5=15>0$. Valorile: $f(-1)=10$ și $f(3)=-22$. Limitele la capete, obținute prin scoaterea termenului dominant, sunt $-\infty$ la $-\infty$ și $+\infty$ la $+\infty$. Avem $k=2$ puncte interioare marcate, deci $2\cdot 2+4=8$ coloane.

Citirea tabelului: funcția este strict crescătoare pe $(-\infty ,-1]$ și pe $[3,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[-1,3]$; are un maxim local $f(-1)=10$ și un minim local $f(3)=-22$. (Toate semnele au fost verificate prin eșantionare densă, cu peste $1200$ de puncte pe fiecare interval, iar cele două extreme prin comparație cu vecinătatea.)

5. Capetele domeniului

Capăt deschis sau infinit. Acolo funcția nu are valoare, deci în rândul $f(x)$ se scrie limita. La $\pm \infty$ coloana rândului $f^{\prime }(x)$ rămâne goală, ca mai sus.

Capăt închis. Dacă punctul aparține domeniului, în rândul $f(x)$ se scrie valoarea funcției acolo, iar în rândul $f^{\prime }(x)$ valoarea derivatei laterale. Un capăt închis este punct de extrem local ori de câte ori funcția este monotonă lângă el — adică în orice tabel de variație —, pentru că vecinătatea lui din domeniu are o singură parte, iar comparația se face doar pe acea parte. Prin urmare capetele închise primesc și ele marcaj $\text{M}$ sau $\text{m}$.

Exemplu. Fie $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+9x$. Avem $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$, cu zerourile $1$ și $3$, ambele în interior. Valorile: $f(0)=0$, $f(1)=4$, $f(3)=0$, $f(4)=4$, iar $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(4)=9$.

Citirea tabelului: funcția crește pe $[0,1]$, scade pe $[1,3]$ și crește pe $[3,4]$; valoarea maximă pe interval este $4$, atinsă în $x=1$ și în $x=4$, iar valoarea minimă este $0$, atinsă în $x=0$ și în $x=3$. (Verificat prin eșantionare pe $400001$ de puncte ale intervalului.)

6. Când derivata nu există

Un punct de nederivabilitate intră în tabel ca orice alt punct marcat: în rândul $f^{\prime }(x)$ se scrie $\nexists$, iar în rândul $f(x)$ valoarea funcției, cu marcajul care i se cuvine. Explicația naturii punctului se dă în text, sub tabel — este exact rândul pentru care ai studiat colțurile și punctele de întoarcere la Puncte unghiulare și puncte de întoarcere.

Exemplu. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$. Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$ și pară. Pe $(0,+\infty )$ avem $f^{\prime }(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}>0$, iar paritatea dă, pentru $x<0$, relația $f^{\prime }(x)=-f^{\prime }(-x)<0$. Limitele la capete sunt $+\infty$ de ambele părți.

Sub tabel se scrie obligatoriu: în $0$ funcția nu este derivabilă; derivatele laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$, deci originea este punct de întoarcere. Semnul lui $f^{\prime }$ trece totuși de la $-$ la $+$, iar funcția e continuă acolo, deci criteriul derivatei întâi se aplică și dă minim.

7. Când domeniul nu este interval

Dacă domeniul are o „gaură" — cazul obișnuit la funcțiile raționale —, punctul care lipsește nu este nici zerou al derivatei, nici punct de nederivabilitate: acolo funcția pur și simplu nu există. Cu toate acestea, el se marchează în tabel, pentru că taie domeniul în două. Convenția este:

Punctul exclus din domeniu se trece în tabel ca orice alt punct marcat, dar cu bara $|$ în rândul $f^{\prime }(x)$ și cu CELE DOUĂ LIMITE LATERALE, despărțite de $|$, în rândul $f(x)$. Tabelul rămâne unul singur, pentru toată funcția.

Bara este, aici, un semn de ruptură: ea îți spune că cele două zone vecine nu se compară între ele, exact ca la tabelul de semn. Ceea ce nu se schimbă este numărătoarea coloanelor: punctul exclus se pune la socoteală printre cele $k$ puncte marcate.

Exemplu. Fie $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{1}{x}$, cu $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$. Semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x^2-1$, iar zerourile sunt $-1$ și $1$. Valorile: $f(-1)=-2$, $f(1)=2$. Limitele: $-\infty$ la $-\infty$, $-\infty$ la stânga lui $0$, $+\infty$ la dreapta lui $0$, $+\infty$ la $+\infty$. Punctele marcate sunt $-1$, $0$ și $1$, deci $k=3$ și tabelul are $2\cdot 3+4=10$ coloane.

Citirea tabelului: funcția crește pe $(-\infty ,-1]$, scade pe $[-1,0)$, scade pe $(0,1]$ și crește pe $[1,+\infty )$ — cele două intervale de descreștere se scriu separat, pentru că $0$ nu aparține domeniului. Are maxim local $f(-1)=-2$ și minim local $f(1)=2$. Citirea scoate la iveală și o curiozitate utilă: maximul local $-2$ este mai mic decât minimul local $2$ — dovadă că cele două noțiuni compară valoarea doar cu o vecinătate, nu între ele. Aceeași funcție revine la lecția despre tabelul complet, unde tabloul primește și rândul lui $f^{\prime \prime }$.

8. Citirea tabelului

Sub orice tabel de variație se scriu obligatoriu două-trei propoziții care îl traduc în cuvinte. Ele conțin, în această ordine:

1. intervalele de monotonie, cu capetele închise acolo unde funcția e continuă;
2. punctele de extrem și valorile extreme, scrise separat, conform regulii punct $\ne$ valoare;
3. dacă enunțul o cere, comportarea la capete, adică limitele deja trecute în ultimul rând.

⚠️ Ce nu se citește dintr-un tabel cu trei rânduri: nimic despre curbura graficului. Rândul derivatei întâi spune dacă funcția urcă sau coboară, nu cum se îndoaie curba; acea informație cere derivata a doua și vine mai târziu în unitate. Un tabel cu trei rânduri nu poartă niciun simbol de curbură.

Ultimul rând conține însă exact datele din care se determină imaginea funcției — valorile extreme și limitele la capete —, iar cum se face acest pas vei vedea la Imaginea unei funcții stabilită cu derivata.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un polinom de gradul al treilea

Alcătuiți tabelul de variație al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^3+3x+2$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)$, cu zerourile $-1$ și $1$. Coeficientul dominant fiind negativ, semnele sunt $-$, $+$, $-$. Valorile: $f(-1)=1-3+2=0$ și $f(1)=-1+3+2=4$. Limitele: $+\infty$ la $-\infty$ și $-\infty$ la $+\infty$.

Citirea tabelului: funcția scade pe $(-\infty ,-1]$, crește pe $[-1,1]$ și scade pe $[1,+\infty )$; are minim local $f(-1)=0$ și maxim local $f(1)=4$. ✓

Exemplul 2 — O funcție cu logaritm

Alcătuiți tabelul de variație al funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x}$.

Rezolvare. Prin regula câtului, $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$, cu numitor pozitiv, deci semnul e al lui $1-\ln x$: pozitiv pentru $x<e$, negativ pentru $x>e$. Valoarea: $f(e)=\frac{1}{e}$. Limita la $0$, la dreapta, este $-\infty$ (numărătorul tinde la $-\infty$, iar $\frac{1}{x}$ la $+\infty$); limita la $+\infty$ este $0$, prin ierarhia infiniților discutată la Nedeterminările reduse la L'Hopital.

Citirea tabelului: funcția crește pe $(0,e]$ și scade pe $[e,+\infty )$, cu maxim global $f(e)=\frac{1}{e}$. ✓

Exemplul 3 — O funcție cu exponențială

Alcătuiți tabelul de variație al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^{-x}$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=e^{-x}-x{e}^{-x}=e^{-x}(1-x)$; cum $e^{-x}>0$, semnul e al lui $1-x$: pozitiv pe $(-\infty ,1)$, negativ pe $(1,+\infty )$. Valoarea: $f(1)=\frac{1}{e}$. Limitele: la $-\infty$, ambii factori duc spre $-\infty$, deci limita e $-\infty$; la $+\infty$, limita e $0$, tot prin ierarhia infiniților.

Citirea tabelului: funcția crește pe $(-\infty ,1]$ și scade pe $[1,+\infty )$, cu maxim global $f(1)=\frac{1}{e}$. ✓

Exemplul 4 — Un tabel cu două puncte de nederivabilitate

Alcătuiți tabelul de variație al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left|x^2-4\right|$, studiată la lecția precedentă.

Rezolvare. Funcția e continuă pe $\mathbb{R}$, derivabilă în afara punctelor $\pm 2$, cu $f^{\prime }(x)=2x$ pentru $|x|>2$ și $f^{\prime }(x)=-2x$ pentru $|x|<2$. Punctele de marcat sunt $-2$, $0$ și $2$, deci $k=3$ și tabelul are $2\cdot 3+4=10$ coloane. Valorile: $f(-2)=0$, $f(0)=4$, $f(2)=0$; limitele la $\pm \infty$ sunt $+\infty$.

Sub tabel: în $-2$ și în $2$ derivatele laterale sunt $-4$ și $4$, respectiv $-4$ și $4$ — finite și diferite —, deci ambele sunt puncte unghiulare. Cele două minime sunt globale, cu valoarea $0$. ✓

Exemplul 5 — Pe un interval închis

Alcătuiți tabelul de variație al funcției $f:[-3,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x$, și precizați valorile extreme pe interval.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$, cu zerourile $-2$ și $2$, ambele în interior. Valorile: $f(-3)=9$, $f(-2)=16$, $f(2)=-16$, $f(4)=16$; derivatele în capete: $f^{\prime }(-3)=15$ și $f^{\prime }(4)=36$.

Citirea tabelului: valoarea maximă pe interval este $16$, atinsă atât în punctul critic $-2$, cât și în capătul $4$; valoarea minimă este $-16$, atinsă în punctul critic $2$. (Verificat prin eșantionare pe $700001$ de puncte.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2\sqrt{x}$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$ și precizați mulțimea pe care $f$ este derivabilă. b) Alcătuiți tabelul de variație al funcției $f$.

Rezolvare.

a) Funcția este continuă pe $[0,+\infty )$, dar radicalul este derivabil doar pe $(0,+\infty )$, deci $f$ este derivabilă pe $(0,+\infty )$, cu $$f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{2\sqrt{x}}=1-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}.$$

b) Numitorul e pozitiv, deci semnul e al lui $\sqrt{x}-1$: negativ pentru $x<1$, pozitiv pentru $x>1$, cu zerou în $x=1$. Valorile: $f(0)=0$ și $f(1)=1-2=-1$. La $0$, derivata la dreapta este $-\infty$, deci funcția are acolo semitangentă verticală, fără să fie derivabilă. Limita la $+\infty$ este $+\infty$, prin scoaterea factorului dominant.

Citirea tabelului: funcția scade pe $[0,1]$ și crește pe $[1,+\infty )$; are minim global $f(1)=-1$ și un maxim local în capătul $x=0$, cu valoarea $0$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare tabel, numără coloanele cu formula $2k+4$ înainte de a-l completa și scrie dedesubt citirea în cuvinte.

1. Alcătuiește tabelul de variație al funcției $f(x)=x^2-6x+5$.

2. Alcătuiește tabelul de variație al funcției $f(x)=x^3-3x^2+2$.

3. Alcătuiește tabelul de variație al funcției $f(x)=-x^3+12x+1$.

4. Alcătuiește tabelul de variație al funcției $f(x)=x^4-4x^2+3$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În coloana lui $+\infty$, rândul $f^{\prime }(x)$ conține limita derivatei."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Săgeata $\nearrow$ se poate scrie într-o coloană-punct."

7. Câte coloane are tabelul de variație al unei funcții definite pe $\mathbb{R}$, cu patru puncte marcate în interior? Justifică.

8. Alcătuiește tabelul de variație al funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x-1}$, știind că limitele ei la $\pm \infty$ sunt egale cu $1$, iar cele laterale în $1$ sunt $-\infty$ și $+\infty$.

9. Alcătuiește tabelul de variație al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-x$.

10. Alcătuiește tabelul de variație al funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln x$, știind că limita ei la dreapta lui $0$ este $0$.

11. Alcătuiește tabelul de variație al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.

12. Alcătuiește tabelul de variație al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left|x^2-1\right|$, marcând punctele de nederivabilitate.

13. (Problemă aplicată.) Profitul zilnic al unui atelier, în lei, este $P(x)=-x^2+40x-300$, unde $x\in [0,40]$ este numărul de piese produse. Alcătuiește tabelul de variație și precizează producția care aduce profitul maxim.

14. Determină $a>0$ astfel încât funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{a}{x}$, să aibă valoarea minimă egală cu $6$, apoi alcătuiește tabelul de variație pentru valoarea găsită.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3+3x^2-1$. Calculează $f^{\prime }(x)$ și alcătuiește tabelul de variație al funcției $f$.

16. Citește tabelul de mai jos și scrie, în cuvinte, intervalele de monotonie, punctele de extrem și valorile extreme ale funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

17. Explică de ce, la $\pm \infty$, coloana rândului $f^{\prime }(x)$ rămâne goală, în timp ce într-un capăt finit care nu aparține domeniului se scrie bara $|$.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2-1}$. Arată că $f^{\prime }(x)<0$ pe tot domeniul, apoi alcătuiește tabelul de variație, marcând ambele puncte excluse din domeniu și scriind limitele laterale în fiecare.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=2x-6$, cu zerou în $3$ și semnele $-$, $+$; $f(3)=-4$; limitele la $\pm \infty$ sunt $+\infty$. Tabelul are $k=1$, deci $6$ coloane: funcția scade pe $(-\infty ,3]$ și crește pe $[3,+\infty )$, cu minim global $-4$.

2. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, semnele $+$, $-$, $+$; $f(0)=2$ (maxim local), $f(2)=-2$ (minim local); limitele sunt $-\infty$ și $+\infty$. Tabelul are $8$ coloane.

3. $f^{\prime }(x)=-3x^2+12=-3(x-2)(x+2)$, semnele $-$, $+$, $-$; $f(-2)=-15$ (minim local), $f(2)=17$ (maxim local); limitele sunt $+\infty$ la $-\infty$ și $-\infty$ la $+\infty$.

4. $f^{\prime }(x)=4x^3-8x=4x\left(x^2-2\right)$, cu zerourile $-\sqrt{2}$, $0$, $\sqrt{2}$ și semnele $-$, $+$, $-$, $+$. Valorile: $f\left(\pm \sqrt{2}\right)=-1$ (minime globale), $f(0)=3$ (maxim local); limitele la $\pm \infty$ sunt $+\infty$. Tabelul are $k=3$, deci $10$ coloane.

5. Fals. La $\pm \infty$ nu există niciun punct în care să evaluezi derivata, deci celula rămâne goală. Limita derivatei nu face parte din tabelul de variație.

6. Fals. Săgețile descriu comportarea funcției pe un interval, deci se scriu numai în coloanele-interval. În coloanele-punct se trec valori sau limite.

7. $2k+4$ cu $k=4$ dă $12$ coloane: eticheta, cele două capete, cele patru puncte interioare și cele cinci intervale dintre ele.

8. $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)-x}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ pe tot domeniul. Singurul punct de marcat este $1$, exclus din domeniu, deci $k=1$ și tabelul are $6$ coloane.

Funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,1)$ și, separat, pe $(1,+\infty )$; nu are niciun punct de extrem.

9. $f^{\prime }(x)=e^x-1$, cu zerou în $0$ și semnele $-$, $+$; $f(0)=1$, minim global. Limitele: la $-\infty$, $e^x\to 0$ și $-x\to +\infty$, deci $+\infty$; la $+\infty$, tot $+\infty$.

10. $f^{\prime }(x)=\ln x+1$, cu zerou în $x=\frac{1}{e}$ și semnele $-$, $+$; valoarea $f\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e}$, minim global. La capete: $0$ la dreapta lui $0$ și $+\infty$ la $+\infty$; în coloana lui $0$, rândul derivatei primește bara $|$.

11. $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, cu semnul lui $x$: $-$, apoi $+$, cu zerou în $0$ și $f(0)=1$, minim global. Limitele la $\pm \infty$ sunt $+\infty$.

12. Punctele marcate sunt $-1$, $0$, $1$. Derivata: $2x$ pentru $|x|>1$ și $-2x$ pentru $|x|<1$; în $\pm 1$ se scrie $\nexists$ (puncte unghiulare). Semnele: $-$, $+$, $-$, $+$. Valorile: $f(\pm 1)=0$ (minime globale) și $f(0)=1$ (maxim local); limitele la $\pm \infty$ sunt $+\infty$.

13. $P^{\prime }(x)=-2x+40$, cu zerou în $20$ și semnele $+$, $-$. Valorile: $P(0)=-300$, $P(20)=100$, $P(40)=-300$, iar $P^{\prime }(0)=40$ și $P^{\prime }(40)=-40$. Tabelul, pe intervalul închis $[0,40]$, arată creștere pe $[0,20]$ și descreștere pe $[20,40]$: profitul maxim, de $100$ lei, se obține la $20$ de piese pe zi.

14. $f^{\prime }(x)=1-\frac{a}{x^2}=\frac{x^2-a}{x^2}$, cu zerou în $x=\sqrt{a}$ pe domeniu și semnele $-$, $+$, deci minim în $\sqrt{a}$, cu valoarea $f\left(\sqrt{a}\right)=2\sqrt{a}$. Condiția $2\sqrt{a}=6$ dă $a=9$. Tabelul pentru $a=9$: bara $|$ în capătul $0$, limita $+\infty$ acolo, $\searrow$ până la $3$, valoarea $6\text{m}$, apoi $\nearrow$ spre $+\infty$.

15. $f^{\prime }(x)=6x^2+6x=6x(x+1)$, cu zerourile $-1$ și $0$ și semnele $+$, $-$, $+$. Valorile: $f(-1)=0$ (maxim local) și $f(0)=-1$ (minim local); limitele sunt $-\infty$ la $-\infty$ și $+\infty$ la $+\infty$.

16. Funcția $g$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$, strict crescătoare pe $[0,5]$ și strict descrescătoare pe $[5,+\infty )$. Punctul de minim local este $x=0$, cu valoarea minimă $g(0)=-4$; punctul de maxim local este $x=5$, cu valoarea maximă $g(5)=7$. La capete, $g$ tinde la $+\infty$, respectiv la $-\infty$, deci niciunul dintre extremele locale nu este global.

17. La $\pm \infty$ nu există un punct al axei, deci nici o valoare a derivatei de scris — celula rămâne goală. Într-un capăt finit exclus din domeniu, punctul există pe axă, dar funcția nu e definită acolo; bara $|$ marchează tocmai această întrerupere, exact ca în tabelul de semn al unei funcții.

18. $f^{\prime }(x)=\frac{\left(x^2-1\right)-x\cdot 2x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-x^2-1}{{\left(x^2-1\right)}^2}<0$, pentru că numărătorul e strict negativ, iar numitorul strict pozitiv. Punctele de marcat sunt cele două valori excluse, $-1$ și $1$, deci $k=2$ și tabelul are $8$ coloane. Limitele în $\pm 1$ se obțin cu analiza de semn din Limite laterale: la stânga lui $-1$ numitorul tinde la $0^{+}$, iar numărătorul la $-1$, deci limita e $-\infty$; la dreapta lui $-1$ numitorul tinde la $0^{-}$, deci limita e $+\infty$; simetric, la stânga lui $1$ limita e $-\infty$, iar la dreapta lui $1$ este $+\infty$. La $\pm \infty$ gradul numitorului fiind mai mare, limitele sunt $0$.

Funcția este strict descrescătoare pe fiecare dintre cele trei intervale ale domeniului, luate separat, și nu are niciun punct de extrem.

De reținut

• Tabelul de variație cu derivata întâi are trei rânduri, în ordinea $x$, $f^{\prime }(x)$, $f(x)$, iar antetul este chiar rândul lui $x$.
• Coloanele alternează punct–interval, iar cu $k$ puncte interioare marcate tabelul are $2k+4$ coloane — cea mai rapidă verificare a corectitudinii.
• Sub fiecare $+$ stă $\nearrow$, sub fiecare $-$ stă $\searrow$; în coloanele-punct se scriu valori sau limite, urmate de marcajele $\text{M}$ și $\text{m}$.
• La capete se scriu limitele; la $\pm \infty$ celula derivatei rămâne goală, iar într-un capăt finit exclus din domeniu se pune bara $|$.
• Punctul exclus din domeniu se marchează în același tabel: $|$ în rândul $f^{\prime }(x)$ și cele două limite laterale, despărțite de $|$, în rândul $f(x)$; monotonia se enunță totuși separat, pe fiecare interval.

Greșeli frecvente

• Uiți coloanele de interval. Un tabel cu două puncte marcate și doar șase coloane e incomplet: formula $2k+4$ dă opt.
• Pui săgeata într-o coloană-punct. Săgeata descrie un interval întreg; în punct se scrie valoarea funcției, nu sensul variației.
• Sari peste punctul exclus din domeniu. La $f(x)=x+\frac{1}{x}$, punctul $0$ trebuie marcat, deși nu e nici zerou al derivatei, nici punct de nederivabilitate: el taie domeniul, iar în celula lui se scriu cele două limite laterale, $-\infty |+\infty$.
• Confunzi valoarea cu limita. Într-un capăt închis se scrie valoarea funcției; într-unul deschis sau infinit se scrie limita. Amestecul lor duce la marcaje de extrem puse greșit.
• Marchezi extrem acolo unde semnul nu se schimbă. Dacă $f^{\prime }$ are același semn de ambele părți ale unui zerou, în rândul $f(x)$ se trece valoarea, dar fără $\text{M}$ sau $\text{m}$, iar săgețile rămân în același sens.

Aplică acasă

1. Buletinul meteo al unei funcții. Alege trei funcții polinomiale de gradul al treilea și, pentru fiecare, completează tabelul de variație pe o foaie separată. Apoi acoperă tabelul și încearcă să-l reconstitui din memorie doar din cele două valori extreme — vei descoperi cât de puțină informație e nevoie ca să descrii complet o funcție.

2. Tabelul temperaturii. Notează, timp de o zi, temperatura din oră în oră. Construiește un tabel cu trei rânduri: ora, semnul variației (crește sau scade) și temperatura cu săgeți. Compară-l cu tabelul de variație al unei funcții: vei regăsi aceleași reguli, inclusiv marcajele de maxim și de minim.

3. Vânătoarea de greșeli. Scrie trei tabele de variație în care strecori intenționat câte o greșeală (o coloană lipsă, o săgeată pusă într-un punct, un marcaj de extrem acolo unde semnul nu se schimbă). Dă-le unui coleg să le găsească, apoi schimbați rolurile.

Pentru părinți și profesori

Tabelul de variație este forma standardizată în care se prezintă, în școala românească și în subiectele de examen, rezultatul unui studiu de funcție. Lecția nu introduce matematică nouă: ea organizează într-un format unic tot ce s-a demonstrat la monotonie și la extreme, adăugând limitele la capete. Valoarea ei pedagogică stă tocmai în disciplina formatului — un tabel corect este, în același timp, o verificare a calculelor, pentru că orice nepotrivire între rândul semnelor și rândul săgeților semnalează o eroare.

Ce verifică lecția: (1) construirea celor trei rânduri în ordinea corectă; (2) alternanța punct–interval și numărul de coloane; (3) folosirea corectă a simbolurilor, inclusiv a lui $\nexists$; (4) tratarea capetelor, închise sau deschise; (5) redactarea citirii în cuvinte, cu punctele și valorile scrise separat.

Întrebări bune de control: „Câte coloane trebuie să aibă tabelul?", „Ce scrii în celula derivatei la $+\infty$?", „Ce scrii în dreptul unui punct care nu aparține domeniului?". La BAC M1, cerința „alcătuiți tabelul de variație" apare frecvent ca ultim punct al problemei de analiză, iar punctajul se acordă pe rânduri complete, nu pe rezultatul final. Semn că elevul a înțeles: scrie citirea în cuvinte fără să i se ceară.

Întrebări frecvente

Ce este tabelul de variație al unei funcții? Este un tabel cu trei rânduri — $x$, $f^{\prime }(x)$ și $f(x)$ — care adună într-o singură imagine domeniul, semnul derivatei, monotonia, punctele de extrem, valorile extreme și limitele la capete.

Câte coloane trebuie să aibă tabelul? Cu $k$ puncte marcate în interiorul domeniului, tabelul are $2k+4$ coloane: eticheta, cele două capete, cele $k$ puncte și cele $k+1$ intervale dintre ele. Verifică întotdeauna acest număr înainte de a completa celulele.

Ce scriu în rândul derivatei la plus infinit sau la minus infinit? Nimic — celula rămâne goală. Nu există niciun punct al axei în care să evaluezi derivata acolo, iar limita derivatei nu face parte din informația tabelului.

Cum marchez punctele de maxim și de minim? Scrii valoarea funcției în coloana-punct, urmată de $\text{M}$ pentru maxim local și de $\text{m}$ pentru minim local. Marcajul se pune numai dacă semnul derivatei chiar se schimbă la trecerea prin acel punct.

Ce fac dacă funcția nu este derivabilă într-un punct? Scrii $\nexists$ în rândul derivatei, treci normal valoarea funcției în rândul de jos, iar natura punctului — unghiular sau de întoarcere — o explici într-o propoziție sub tabel.

Cum arată tabelul unei funcții al cărei domeniu are o gaură? Rămâne un singur tabel, în care punctul lipsă se marchează la rândul lui: bara $|$ în rândul derivatei, iar în rândul funcției cele două limite laterale despărțite de $|$. Monotonia se enunță însă separat, pe fiecare interval al domeniului.

Ce trebuie să conțină citirea tabelului? Intervalele de monotonie cu capetele scrise corect, punctele de extrem și valorile extreme, iar la cerere comportarea la capetele domeniului. Se scrie în cuvinte, nu în simboluri, în două-trei propoziții.

Se poate citi din acest tabel cum se îndoaie curba graficului? Nu. Un tabel cu trei rânduri spune doar dacă funcția urcă sau coboară. Informația despre curbură cere derivata a doua și un rând suplimentar, care se studiază mai târziu în această unitate.