Tabelul primitivelor uzuale: pe scurt

Tabelul primitivelor se obține citind invers tabelul derivatelor și împărțind la coeficientul apărut prin derivare. Primele zece rânduri sunt: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$; $\int x^{r}dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+\mathcal{C}$, cu $r\ne -1$, pe $(0,+\infty )$; $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+\mathcal{C}$; $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+\mathcal{C}$ și $\int e^{x}dx=e^x+\mathcal{C}$; $\int \sin xdx=-\cos x+\mathcal{C}$, $\int \cos xdx=\sin x+\mathcal{C}$; $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\mathrm{tg}x+\mathcal{C}$, $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\mathrm{ctg}x+\mathcal{C}$; $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+\mathcal{C}$.

Fiecare rând vine la pachet cu un interval: rândul 1 lucrează pe $\mathbb{R}$, rândul 2 doar pe $(0,+\infty )$ — de aceea nu se contopesc — iar rândul 3 se aplică separat pe fiecare dintre cele două intervale ale domeniului. Modulul din $\ln |x|$ nu este podoabă: fără el formula n-ar avea sens pe intervalele de numere negative.

Tabelul intervine abia după Etapa 1, prelucrarea algebrică, și Etapa 2, liniaritatea: fracțiile, produsele și radicalii se aduc întâi la sumă de termeni din tabel, iar orice rezultat se poate controla în zece secunde prin derivare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe $\mathbb{R}$, $\int 5^{x}dx$ este egală cu:

   • a) $5^x+\mathcal{C}$
   • b) $5^x\ln 5+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{5^x}{\ln 5}+\mathcal{C}$
   • d) $\frac{5^{x+1}}{x+1}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{5^x}{\ln 5}+\mathcal{C}$

   Din ${\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\ln a$ rezultă că primitiva se obține împărțind la $\ln a$. Varianta $5^x\ln 5$ este derivata, nu primitiva, iar $\frac{5^{x+1}}{x+1}$ aplică regula puterii unei exponențiale: acolo variabila este la exponent, nu la bază.

2. Pe intervalul $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, $\int \left(\sin x-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)dx$ este egală cu:

   • a) $\cos x-\mathrm{tg}x+\mathcal{C}$
   • b) $-\cos x+\mathrm{tg}x+\mathcal{C}$
   • c) $\cos x+\mathrm{ctg}x+\mathcal{C}$
   • d) $-\cos x-\mathrm{tg}x+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $-\cos x-\mathrm{tg}x+\mathcal{C}$

   Rândul 6 dă $\int \sin xdx=-\cos x+\mathcal{C}$ (minusul vine din derivata cosinusului), iar rândul 8 dă $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\mathrm{tg}x+\mathcal{C}$; scăderea păstrează semnul minus în fața tangentei. Controlul prin derivare: $(-\cos x-\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\sin x-\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

3. Pe $(0,+\infty )$, $\int \frac{3}{\sqrt{x}}dx$ este egală cu:

   • a) $6\sqrt{x}+\mathcal{C}$
   • b) $2x\sqrt{x}+\mathcal{C}$
   • c) $3\sqrt{x}+\mathcal{C}$
   • d) $\frac{3}{2\sqrt{x}}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $6\sqrt{x}+\mathcal{C}$

   Rândul 10 dă $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+\mathcal{C}$, iar constanta $3$ iese în față: $6\sqrt{x}+\mathcal{C}$. Varianta $\frac{3}{2\sqrt{x}}$ este derivata lui $3\sqrt{x}$, deci exact drumul invers.