Tabelul primitivelor funcțiilor uzuale

Ai definiția primitivei, ai notația integralei nedefinite și ai liniaritatea. Îți lipsește materia primă: lista de funcții ale căror primitive se scriu direct, fără niciun calcul. Fără ea, fiecare exercițiu de clasa a 12-a ar începe cu o ghicire, iar programa spune limpede de unde se ia lista — „primitivele funcțiilor uzuale vor fi obținute pornind de la formulele de derivare". Lecția aceasta construiește tabelul, rând cu rând, exact așa.

Nu vei avea nimic nou de memorat. Tabelul primitivelor este tabelul derivatelor citit de la dreapta la stânga, plus atenția pe care trebuie să o dai domeniului: coloana intervalelor nu e decorativă, ci face diferența dintre un răspuns corect și unul fals. Vom deduce cele zece rânduri de bază și le vom verifica pe fiecare prin derivare; ultimele șase formule ale tabelului complet, care cer derivate pe care nu le avem încă, vin în lecția următoare.

Ce vei învăța

• Vei ști cele zece rânduri de bază ale tabelului primitivelor și cum se obține fiecare din formula de derivare corespunzătoare.
• Vei ști să verifici prin derivare orice rând al tabelului, în loc să te bazezi pe memorie.
• Vei ști de ce puterea cu exponent natural și puterea cu exponent real ocupă două rânduri diferite.
• Vei ști de ce primitiva lui $\frac{1}{x}$ se scrie cu modul și pe ce interval se lucrează de fiecare dată.
• Vei ști să combini tabelul cu liniaritatea, după prelucrarea algebrică a funcției de integrat.

Hai să descoperim împreună

1. De unde vine tabelul primitivelor?

Tabelul primitivelor funcțiilor uzuale este tabelul derivatelor citit invers: dacă în tabelul derivatelor scrie $G^{\prime }=g$, atunci în tabelul primitivelor scrie $\int g(x)dx=G(x)+\mathcal{C}$, pe orice interval pe care $G$ este derivabilă și $g$ e definită. Nicio formulă nu se învață separat; toate se recuperează din derivatele funcțiilor uzuale, pe care le știi din clasa a XI-a.

Traducerea nu e chiar mecanică, și tocmai de aceea merită făcută rând cu rând. Sunt două lucruri de așezat la loc.

Primul: coeficientul. Din ${\left(x^4\right)}^{\prime }=4x^3$ nu rezultă că primitiva lui $x^3$ e $x^4$, ci că e $\frac{x^4}{4}$ — trebuie împărțit la coeficientul apărut prin derivare. Verificarea e imediată: ${\left(\frac{x^4}{4}\right)}^{\prime }=\frac{4x^3}{4}=x^3$.

Al doilea: domeniul. În tabelul derivatelor, coloana din mijloc dădea mulțimea de derivabilitate a lui $G$. În tabelul primitivelor, aceeași mulțime spune pe ce interval are sens formula. Nu e o formalitate: formula $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\mathrm{tg}x+\mathcal{C}$ e adevărată pe orice interval care nu conține puncte de forma $\frac{\pi }{2}+k\pi$ și falsă dacă cineva o scrie „pe $\mathbb{R}$".

Convenția de scriere e cea fixată în lecția despre integrala nedefinită și proprietățile ei: în dreapta stă o mulțime, deci fiecare rând se încheie cu $\mathcal{C}$.

2. Care este primitiva lui $x^n$ (rândurile 1 și 2)?

Rândul 1 — exponent natural. Din ${\left(x^{n+1}\right)}^{\prime }=(n+1)x^n$, valabilă pe $\mathbb{R}$ pentru orice $n\in \mathbb{N}$, obținem, împărțind la $n+1\ne 0$:

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Verificare: ${\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)}^{\prime }=\frac{(n+1)x^n}{n+1}=x^n$. Cazul $n=0$ dă $\int 1dx=x+\mathcal{C}$, formulă pe care o folosim la fiecare polinom.

Rândul 2 — exponent real. Pentru $r\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}$, formula arată identic, dar numai pe $(0,+\infty )$:

$$\int x^{r}dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+\mathcal{C},x\in (0,+\infty ).$$

Verificarea e aceeași, dar restricția vine din chiar definiția puterii cu exponent real, pe care ai văzut-o la funcția putere cu exponent real: pentru $r$ neîntreg, $x^r$ se definește prin $e^{r\ln x}$, deci cere $x>0$.

⚠️ Cele două rânduri nu se contopesc, exact cum nu se contopeau nici în tabelul derivatelor. Formula e aceeași, domeniile diferă: rândul 1 lucrează pe tot $\mathbb{R}$, rândul 2 doar pe semiaxa pozitivă. A scrie „$\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\mathcal{C}$ pentru orice $x$ real" e o greșeală de domeniu, chiar dacă formula e corectă acolo unde are sens.

Excluderea lui $r=-1$ nu e un capriciu: pentru $r=-1$ numitorul $r+1$ se anulează, deci formula nici nu se poate scrie. Funcția $x^{-1}$ își primește propriul rând, imediat.

Micro-exemplu, ca să vezi rândul 2 la lucru cu exponent negativ. Pentru $f(x)=\frac{1}{x^3}=x^{-3}$, avem $r=-3$ și $r+1=-2$, deci

$$\int x^{-3}dx=\frac{x^{-2}}{-2}+\mathcal{C}=-\frac{1}{2x^2}+\mathcal{C}.$$

Verificare: ${\left(-\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{2}\cdot (-2)x^{-3}=x^{-3}$. Regula practică: la exponent negativ, numitorul $r+1$ e tot negativ, deci semnul minus apare de la sine; nu îl adăuga a doua oară.

Observație despre exponenții întregi. Când $r$ este întreg negativ, funcția $x^r$ e definită și pe intervale de numere negative, iar formula rămâne valabilă și acolo — se verifică direct, derivând. Tabelul canonic scrie totuși $(0,+\infty )$ la rândul 2, pentru că acesta e cel mai mare interval pe care formula e adevărată pentru orice $r$ real. Într-un exercițiu concret cu exponent întreg, precizezi intervalul din enunț și verifici prin derivare; într-un enunț cu $r$ oarecare, rămâi pe semiaxa pozitivă.

3. Rândul 3: de ce apare modulul la primitiva lui $\frac{1}{x}$?

Pe $(0,+\infty )$ răspunsul e cunoscut: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, deci $\int \frac{1}{x}dx=\ln x+\mathcal{C}$.

Pe $(-\infty ,0)$, în schimb, $\ln x$ nici nu are sens, deși funcția $\frac{1}{x}$ e definită și continuă acolo. Luăm atunci $G(x)=\ln (-x)$, definită și derivabilă pe acest interval, și derivăm cu regula compunerii:

$$G^{\prime }(x)=\frac{(-x{)}^{\prime }}{-x}=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}.$$

Cele două formule se strâng într-una singură, folosind modulul: pentru $x>0$, $\ln |x|=\ln x$; pentru $x<0$, $\ln |x|=\ln (-x)$. Așadar

$$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+\mathcal{C},x\in (-\infty ,0)\text{ sau }x\in (0,+\infty ).$$

Cuvântul sau din enunț e important. Domeniul lui $\frac{1}{x}$ nu e interval, deci nu putem vorbi de o singură familie de primitive pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$; formula se aplică pe fiecare dintre cele două intervale, cu constanta lui. Este exact capcana discutată la lecția despre noțiunea de primitivă.

4. Cum se integrează exponențialele (rândurile 4 și 5)?

Rândul 4. Pentru $a>0$, $a\ne 1$, formula de derivare este ${\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\ln a$ pe $\mathbb{R}$. Cum $\ln a\ne 0$ (aici se folosește $a\ne 1$), putem împărți:

$$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Verificare: ${\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)}^{\prime }=\frac{a^x\ln a}{\ln a}=a^x$.

Rândul 5. Cazul $a=e$ merită rând propriu, pentru că $\ln e=1$ face numitorul să dispară:

$$\int e^{x}dx=e^x+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Este singura funcție uzuală care e propria ei primitivă, așa cum era și propria ei derivată. Reține tiparul de greșeală: la $\int 2^{x}dx$ mulți elevi scriu $2^x\ln 2$ în loc de $\frac{2^x}{\ln 2}$, adică înmulțesc în loc să împartă. Controlul prin derivare taie imediat eroarea.

Un caz care sperie fără motiv: baza subunitară. Pentru $0<a<1$ avem $\ln a<0$, deci primitiva $\frac{a^x}{\ln a}$ este negativă, ceea ce e firesc — funcția $a^x$ e descrescătoare acolo unde ar trebui, iar primitiva ei trebuie să crească, dar de la valori negative în sus. Formula nu are nevoie de niciun caz separat: semnul iese singur din $\ln a$.

5. Care sunt primitivele funcțiilor trigonometrice (rândurile 6–9)?

Cele patru formule se citesc din derivatele trigonometrice, cu grijă la semne.

Rândul 6. Din $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ rezultă $(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$, deci

$$\int \sin xdx=-\cos x+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Rândul 7. Din $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$:

$$\int \cos xdx=\sin x+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Cele două se confundă între ele mai des decât orice altceva din tabel. Regula de memorare, verificabilă în două secunde: semnul minus stă la primitiva sinusului, pentru că el vine din derivata cosinusului.

Rândul 8. Din $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$:

$$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\mathrm{tg}x+\mathcal{C},$$

pe orice interval $I\subseteq \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}$, adică pe orice interval pe care cosinusul nu se anulează.

Rândul 9. Din $(\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ rezultă $(-\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, deci

$$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\mathrm{ctg}x+\mathcal{C},$$

pe orice interval $I\subseteq \mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$. Și aici minusul vine din derivată, nu din senin.

Ce nu găsești în aceste patru rânduri. Tabelul dă primitivele funcțiilor $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ și $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, dar nu dă primitivele lui $\mathrm{tg}x$ și $\mathrm{ctg}x$ — pentru simplul motiv că nicio funcție uzuală nu are ca derivată tangenta. Ele există și se vor adăuga tabelului în lecțiile următoare, cu o metodă pe care nu o avem încă. Până atunci, dacă într-un exercițiu apare $\mathrm{tg}x$ sub semnul integral, verifică întâi dacă nu cumva o identitate trigonometrică îl transformă în ceva din tabel; de pildă ${\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$, care se integrează imediat și dă $\mathrm{tg}x-x+\mathcal{C}$.

6. Rândul 10: radicalul de la numitor

Formula $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+\mathcal{C}$ pe $(0,+\infty )$ este, în principiu, cazul $r=-\frac{1}{2}$ al rândului 2:

$$\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{x}.$$

Primește totuși rând propriu, pentru că apare des și pentru că forma $2\sqrt{x}$ e mult mai ușor de recunoscut decât $2x^{\frac{1}{2}}$. Verificare directă, din tabelul derivatelor: ${\left(2\sqrt{x}\right)}^{\prime }=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Atenție la capătul $x=0$: funcția $\frac{1}{\sqrt{x}}$ nu e definită acolo, deci intervalul de lucru este $(0,+\infty )$, deschis la stânga. Funcția $2\sqrt{x}$ e continuă și în $0$, dar continuitatea primitivei nu extinde formula dincolo de domeniul integrandului.

Tot din rândul 2 se obțin, fără nicio formulă nouă, primitivele radicalilor înșiși: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ dă $\frac{2}{3}x\sqrt{x}+\mathcal{C}$, iar $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$ dă $\frac{3}{4}x\sqrt[3]{x}+\mathcal{C}$. Tiparul general, pentru $\sqrt[n]{x}$ cu $n\ge 2$, este $\frac{n}{n+1}x\sqrt[n]{x}+\mathcal{C}$ pe $(0,+\infty )$ — se verifică imediat, scriind radicalul ca putere. Reține procedeul, nu formula: orice radical se transformă în putere și se întoarce la rândul 2.

7. Tabelul canonic al primitivelor

Iată cele zece rânduri, adunate. Peste tot $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante pe intervalul din ultima coloană, iar $a>0$.

Tabelul nu e complet: mai există șase formule, care conduc la funcții pe care nu le-am derivat încă. Ele se adaugă la lecția următoare, despre completarea tabelului de primitive, după ce vom fi dedus derivatele care lipsesc. Până atunci, orice exercițiu se rezolvă cu cele zece rânduri de mai sus și cu liniaritatea.

Cum recunoști rândul potrivit, într-o singură privire asupra integrandului:

• e o putere a lui $x$? dacă exponentul e natural, rândul 1; dacă e orice alt număr real diferit de $-1$, rândul 2; dacă e exact $-1$, rândul 3;
• apare $x$ la exponent? rândul 5 dacă baza e $e$, rândul 4 în rest;
• e o funcție trigonometrică? rândurile 6 și 7 pentru sinus și cosinus, rândurile 8 și 9 pentru pătratele de la numitor;
• apare un radical? scrie-l ca putere și te întorci la rândul 2 sau, dacă e exact $\frac{1}{\sqrt{x}}$, la rândul 10.

Sfat de folosire, valabil tot anul: nu memora tabelul, ci verifică-l. Dacă ai o îndoială la un rând, derivează coloana a treia și compară cu a doua; calculul durează cinci secunde și e complet. Elevii care fac asta constant nu greșesc niciodată semnul de la rândurile 6 și 9.

8. Cum se folosește tabelul într-un calcul?

Se folosește după prelucrarea algebrică, niciodată înainte. Rețeta în trei etape a lecției anterioare rămâne valabilă, iar tabelul intervine abia la a treia.

Etapa 1 — aducerea la sumă de funcții din tabel. Se desfac parantezele, se împart fracțiile termen cu termen, se scriu radicalii ca puteri, se simplifică ce se poate. Un integrand care nu seamănă cu niciun rând devine, de regulă, sumă de trei-patru rânduri.

Etapa 2 — liniaritatea. Integrala se sparge în sumă, constantele nenule ies în față.

Etapa 3 — tabelul. Fiecare termen se înlocuiește cu primitiva lui, iar la sfârșit se scrie un singur $\mathcal{C}$.

Cele mai frecvente prelucrări de Etapa 1, pe care le vei repeta la nesfârșit:

• fracție cu numitor monom: $\frac{2x^3-x+4}{x^2}=2x-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}$;
• radical scris ca putere: $x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$, $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$, $\frac{1}{x^4}=x^{-4}$;
• pătrat desfăcut: ${\left(\sqrt{x}-1\right)}^2=x-2\sqrt{x}+1$;
• simplificare cu factor comun: $\frac{x^4-1}{x^2+1}=x^2-1$.

Ultima merită privită de două ori: integrandul părea o fracție rațională complicată, dar diferența de pătrate a topit numitorul. Înainte de a declara o integrală „grea", verifică dacă nu cumva Etapa 1 o face banală.

O situație care apare des în problemele din fizică: se caută o primitivă a unei primitive. Dacă se cunoaște accelerația unui corp, o primitivă a ei dă viteza, iar o primitivă a vitezei dă poziția — două aplicări succesive ale tabelului, fiecare cu constanta ei, determinate prin cele două condiții inițiale (viteza de pornire și poziția de pornire). Ordinea contează: constanta din primul pas intră în funcția de integrat la pasul al doilea, deci trebuie determinată înainte. Exercițiul 10 este exact acest tipar.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Un polinom, termen cu termen

Calculați $\int \left(x^5-3x^2+7\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

Toți termenii sunt de tipul rândului 1. Cu liniaritatea:

$$\int \left(x^5-3x^2+7\right)dx=\frac{x^6}{6}-3\cdot \frac{x^3}{3}+7x+\mathcal{C}=\frac{x^6}{6}-x^3+7x+\mathcal{C}.$$

Verificare: ${\left(\frac{x^6}{6}-x^3+7x\right)}^{\prime }=x^5-3x^2+7$. (Verificat numeric în trei puncte.)

Exemplul 2. Radicali scriși ca puteri

Calculați $\int \left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx$ pe $(0,+\infty )$.

Etapa 1: scriem radicalul ca putere, $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$. Etapa 3: primul termen e rândul 2 cu $r=\frac{1}{3}$, al doilea e rândul 10.

$$\int x^{\frac{1}{3}}dx=\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+\mathcal{C}=\frac{3}{4}x\sqrt[3]{x}+\mathcal{C},\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+\mathcal{C}.$$

Prin urmare rezultatul este $\frac{3}{4}x\sqrt[3]{x}+2\sqrt{x}+\mathcal{C}$, pe $(0,+\infty )$. Intervalul e obligatoriu: ambele rânduri folosite îl cer. (Verificat numeric.)

Exemplul 3. Fracție cu numitor monom

Calculați $\int \frac{2x^3-x+4}{x^2}dx$ pe $(0,+\infty )$.

Etapa 1, împărțire termen cu termen:

$$\frac{2x^3-x+4}{x^2}=2x-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}=2x-\frac{1}{x}+4x^{-2}.$$

Etapele 2 și 3, cu rândurile 1, 3 și 2:

$$\int \frac{2x^3-x+4}{x^2}dx=2\cdot \frac{x^2}{2}-\ln |x|+4\cdot \frac{x^{-1}}{-1}+\mathcal{C}=x^2-\ln |x|-\frac{4}{x}+\mathcal{C}.$$

Aceeași formulă e valabilă și pe $(-\infty ,0)$, cu altă constantă — de aceea modulul rămâne scris. (Verificat numeric pe ambele ramuri.)

Exemplul 4. Două exponențiale

Calculați $\int \left(3^x-4e^x\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

Primul termen e rândul 4 cu $a=3$, al doilea e rândul 5:

$$\int \left(3^x-4e^x\right)dx=\frac{3^x}{\ln 3}-4e^x+\mathcal{C}.$$

Observă asimetria: la $3^x$ apare împărțirea la $\ln 3$, la $e^x$ nu apare nimic, pentru că $\ln e=1$. Verificare: ${\left(\frac{3^x}{\ln 3}\right)}^{\prime }=\frac{3^x\ln 3}{\ln 3}=3^x$. (Verificat numeric.)

Exemplul 5. Trigonometrice, cu atenție la interval

Calculați $\int \left(5\cos x-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)dx$ pe intervalul $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Alegerea intervalului nu e întâmplătoare: al doilea termen cere ca $\cos x$ să nu se anuleze, iar $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ este cel mai mare interval cu această proprietate care conține originea. Cu rândurile 7 și 8:

$$\int \left(5\cos x-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)dx=5\sin x-\mathrm{tg}x+\mathcal{C}.$$

Dacă enunțul ar fi cerut rezultatul „pe $\mathbb{R}$", răspunsul corect ar fi fost că integrala nu are sens acolo: funcția de integrat nici nu e definită în punctele $\frac{\pi }{2}+k\pi$. (Verificat numeric.)

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x}$.

a) Calculați $\int f(x)dx$.

b) Determinați primitiva $G$ a lui $f$ pentru care $G(1)=0$.

c) Determinați punctele de extrem local ale oricărei primitive a lui $f$.

Funcția aceasta este firul roșu al unității: ai întâlnit-o ca exercițiu la lecția despre noțiunea de primitivă, unde primitiva lui $\frac{2}{x}$ ți-a fost dată; acum o obții singur, din tabel.

a) Etapa 1, împărțire termen cu termen: $f(x)=x-3+\frac{2}{x}$. Apoi rândurile 1 și 3:

$$\int f(x)dx=\frac{x^2}{2}-3x+2\ln |x|+\mathcal{C}.$$

Modulul se păstrează în scriere, deși pe $(0,+\infty )$ el nu schimbă nimic: $\ln |x|=\ln x$ acolo.

b) Orice primitivă are forma $G(x)=\frac{x^2}{2}-3x+2\ln |x|+c$. Din condiția $G(1)=0$:

$$\frac{1}{2}-3+2\ln 1+c=-\frac{5}{2}+c=0⟹c=\frac{5}{2},$$

deci $G(x)=\frac{x^2}{2}-3x+2\ln |x|+\frac{5}{2}$. (Verificat numeric: $G^{\prime }=f$ și $G(1)=0$.)

c) Fie $H$ o primitivă oarecare. Atunci $H^{\prime }=f$, iar pe $(0,+\infty )$

$$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x}=\frac{(x-1)(x-2)}{x}.$$

Numitorul e strict pozitiv, deci semnul lui $f$ e dat de numărător: $+$ pe $(0,1)$, $-$ pe $(1,2)$, $+$ pe $(2,+\infty )$. Prin urmare $H$ crește, scade, apoi crește: $x=1$ este punct de maxim local și $x=2$ este punct de minim local, pentru orice primitivă, deoarece constanta nu schimbă monotonia. (Verificat numeric: semnul lui $f$ în $0,5$, $1,5$ și $3$ este $+$, $-$, $+$.)

Să exersăm

1. Calculați $\int x^{7}dx$ pe $\mathbb{R}$.

2. Calculați $\int \left(x^4-5x^2+3\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

3. Calculați $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx$ pe $(0,+\infty )$.

4. Calculați $\int x\sqrt{x}dx$ pe $(0,+\infty )$.

5. Calculați $\int 2^{x}dx$ pe $\mathbb{R}$.

6. Calculați $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$ pe $(0,\pi )$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Formula $\int x^{r}dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+\mathcal{C}$ este valabilă pentru orice număr real $r$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe orice interval din domeniul funcției $\frac{1}{x}$ avem $\int \frac{1}{x}dx=\ln x+\mathcal{C}$."

9. Calculați $\int \frac{x^2+3}{x}dx$ pe $(0,+\infty )$.

10. (Problemă aplicată.) Un corp se mișcă rectiliniu cu accelerația $a(t)=6t-2$ metri pe secundă la pătrat, cu viteza inițială $v(0)=4$ metri pe secundă și pornind din origine, $s(0)=0$. Determinați $v(t)$ și legea de mișcare $s(t)$.

11. Calculați $\int \left(\frac{2}{x}+3e^x\right)dx$ pe $(0,+\infty )$.

12. Calculați $\int {\left(\sqrt{x}-1\right)}^{2}dx$ pe $(0,+\infty )$.

13. Calculați $\int \frac{1}{x^4}dx$ pe $(0,+\infty )$.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Are loc egalitatea $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\mathrm{tg}x+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$."

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{(x+1{)}^2}{x}$. a) Calculați $\int f(x)dx$. b) Determinați primitiva $F$ cu $F(1)=\frac{5}{2}$. c) Arătați că $F$ este strict crescătoare.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care funcția $F(x)=(ax+b)\sqrt{x}$ este o primitivă a funcției $f(x)=\frac{3x+1}{2\sqrt{x}}$ pe $(0,+\infty )$.

17. Explicați, în două-trei propoziții, de ce rândurile 1 și 2 ale tabelului nu pot fi contopite într-unul singur.

18. (Provocare.) Calculați $\int \frac{x^4-1}{x^2+1}dx$ pe $\mathbb{R}$, aducând mai întâi integrandul la o formă din tabel.

Răspunsuri și explicații

1. Rândul 1 cu $n=7$: $\int x^{7}dx=\frac{x^8}{8}+\mathcal{C}$. Verificare: ${\left(\frac{x^8}{8}\right)}^{\prime }=x^7$.

2. $\int \left(x^4-5x^2+3\right)dx=\frac{x^5}{5}-\frac{5x^3}{3}+3x+\mathcal{C}$, aplicând rândul 1 termen cu termen. (Verificat numeric.)

3. Rândul 10: $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+\mathcal{C}$, pe $(0,+\infty )$. Verificare: ${\left(2\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x}}$.

4. $x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$, deci rândul 2 cu $r=\frac{3}{2}$: $\int x\sqrt{x}dx=\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+\mathcal{C}=\frac{2}{5}{x}^2\sqrt{x}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

5. Rândul 4 cu $a=2$: $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+\mathcal{C}$. Se împarte la $\ln 2$, nu se înmulțește — greșeala clasică la acest rând.

6. Rândul 9: $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\mathrm{ctg}x+\mathcal{C}$ pe $(0,\pi )$, interval pe care sinusul nu se anulează.

7. Fals. Pentru $r=-1$ numitorul $r+1$ se anulează, deci formula nu se poate scrie; acest caz face obiectul rândului 3, cu $\ln |x|$. În plus, pentru $r$ neîntreg formula e valabilă doar pe $(0,+\infty )$.

8. Fals. Pe un interval de numere negative, $\ln x$ nu are sens. Formula corectă, valabilă pe fiecare dintre cele două intervale, este $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+\mathcal{C}$, adică $\ln (-x)+\mathcal{C}$ pe ramura negativă.

9. $\frac{x^2+3}{x}=x+\frac{3}{x}$, deci integrala este $\frac{x^2}{2}+3\ln |x|+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

10. Viteza este o primitivă a accelerației: $v(t)=3t^2-2t+c_1$, iar din $v(0)=4$ rezultă $c_1=4$, deci $v(t)=3t^2-2t+4$. Poziția este o primitivă a vitezei: $s(t)=t^3-t^2+4t+c_2$, iar din $s(0)=0$ rezultă $c_2=0$, deci $s(t)=t^3-t^2+4t$ metri. (Verificat numeric ambele etape.)

11. $\int \left(\frac{2}{x}+3e^x\right)dx=2\ln |x|+3e^x+\mathcal{C}$, cu rândurile 3 și 5. (Verificat numeric.)

12. Etapa 1: ${\left(\sqrt{x}-1\right)}^2=x-2\sqrt{x}+1$. Cum $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, o primitivă a lui $\sqrt{x}$ este $\frac{2}{3}x\sqrt{x}$. Deci integrala este $\frac{x^2}{2}-\frac{4}{3}x\sqrt{x}+x+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

13. $\frac{1}{x^4}=x^{-4}$, deci rândul 2 cu $r=-4$: $\frac{x^{-3}}{-3}+\mathcal{C}=-\frac{1}{3x^3}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

14. Fals. Funcția de integrat nu e definită în punctele $\frac{\pi }{2}+k\pi$, deci nu se poate vorbi de primitive pe $\mathbb{R}$. Formula e adevărată pe orice interval care evită aceste puncte, de exemplu pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

15. a) $f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x}=x+2+\frac{1}{x}$, deci $\int f(x)dx=\frac{x^2}{2}+2x+\ln |x|+\mathcal{C}$ pe $(0,+\infty )$. b) $F(1)=\frac{1}{2}+2+0+c=\frac{5}{2}+c$, iar condiția dă $c=0$, deci $F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+\ln |x|$. c) $F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{(x+1{)}^2}{x}>0$ pe $(0,+\infty )$, care e interval, deci $F$ e strict crescătoare. (Verificat numeric.)

16. Scriem $F(x)=a{x}^{\frac{3}{2}}+b{x}^{\frac{1}{2}}$ și derivăm cu rândul corespunzător din tabelul derivatelor:

$$F^{\prime }(x)=\frac{3a}{2}{x}^{\frac{1}{2}}+\frac{b}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{3ax+b}{2\sqrt{x}}.$$

Identificăm cu $\frac{3x+1}{2\sqrt{x}}$: $3a=3$ și $b=1$, deci $\mathbf{a}=1$ și $\mathbf{b}=1$, iar $F(x)=(x+1)\sqrt{x}$. (Verificat numeric.)

17. Pentru că formula, deși scrisă la fel, are domenii diferite. Rândul 1 tratează exponenții naturali, pentru care $x^n$ e definită pe tot $\mathbb{R}$ ca înmulțire repetată. Rândul 2 tratează exponenții reali, pentru care $x^r=e^{r\ln x}$ cere $x>0$. Contopirea lor ar face să pară valabilă pe $\mathbb{R}$ o formulă care nu are sens pentru $x\le 0$.

18. Etapa 1, cu diferența de pătrate: $\frac{x^4-1}{x^2+1}=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=x^2-1$, simplificare legitimă pentru că $x^2+1>0$. Deci integrala este $\frac{x^3}{3}-x+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$. (Verificat numeric.)

De reținut

• Tabelul primitivelor se obține citind invers tabelul derivatelor și împărțind la coeficientul apărut prin derivare.
• Fiecare rând al tabelului vine la pachet cu un interval, iar formula scrisă fără interval poate fi falsă chiar dacă expresia e corectă.
• Puterea cu exponent natural și puterea cu exponent real ocupă rânduri diferite, pentru că prima lucrează pe $\mathbb{R}$ și a doua doar pe $(0,+\infty )$.
• Primitiva funcției $\frac{1}{x}$ se scrie $\ln |x|+\mathcal{C}$ și se aplică separat pe fiecare dintre cele două intervale ale domeniului.
• Tabelul intervine abia după prelucrarea algebrică a funcției de integrat și după aplicarea liniarității.

Greșeli frecvente

• Înmulțești cu $\ln a$ în loc să împarți. Primitiva lui $a^x$ este $\frac{a^x}{\ln a}$, nu $a^x\ln a$; ultima este derivata. Controlul prin derivare separă instantaneu cele două formule.
• Confunzi semnele la sinus și cosinus. Minusul apare la primitiva sinusului, $\int \sin xdx=-\cos x+\mathcal{C}$, pentru că el vine din derivata cosinusului.
• Scrii $\ln x$ fără modul. Pe intervale de numere negative formula devine lipsită de sens, deși funcția de integrat e perfect definită acolo.
• Aplici rândul 2 pe tot $\mathbb{R}$. Pentru exponent neîntreg, puterea e definită doar pe $(0,+\infty )$; scrierea „pentru orice $x$ real" e o eroare de domeniu, nu de calcul.
• Cauți în tabel înainte de a prelucra. Fracțiile, produsele și radicalii trebuie aduși întâi la sumă de termeni din tabel; sărind Etapa 1, exercițiul pare imposibil.

Aplică acasă

1. Tabelul, reconstruit de mână. Acoperă coloana a treia a tabelului și reconstruiește-o pornind numai de la tabelul derivatelor de clasa a XI-a. Verifică fiecare rând derivând ce ai scris. Repetă exercițiul trei zile la rând: după a treia oară nu vei mai avea nevoie de tabel deloc.

2. Zece prelucrări de Etapa 1. Scrie zece integrande care nu apar ca atare în tabel — fracții cu numitor monom, pătrate de binoame cu radicali, câturi care se simplifică — și fă doar Etapa 1 pentru fiecare, fără să calculezi integralele. Vei constata că partea grea a exercițiilor de examen se termină aici.

3. Colecția de intervale. Pentru fiecare dintre rândurile 2, 3, 8, 9 și 10, notează pe o fișă cel mai mare interval pe care formula are sens și un exemplu de interval pe care formula ar fi scrisă greșit. Fișa aceasta rezolvă majoritatea cerințelor de tipul „precizați domeniul pe care este valabil rezultatul".

Pentru părinți și profesori

Lecția este a treia din unitatea „Primitive" și acoperă competențele XII.CS.1.5, XII.CS.3.5 și XII.CS.6.5 din programa de matematică-informatică. Ea urmează literal sugestia metodologică a programei: primitivele funcțiilor uzuale se obțin pornind de la formulele de derivare, nu se dau ca listă de memorat. De aceea fiecare rând al tabelului este dedus și verificat în text.

Ce verifică lecția: (1) deducerea fiecărei formule din derivata corespunzătoare, cu împărțirea la coeficient; (2) precizarea intervalului la fiecare rând; (3) separarea rândurilor 1 și 2, cu motivul ei; (4) modulul de la rândul 3; (5) prelucrarea algebrică înaintea folosirii tabelului; (6) verificarea rezultatului prin derivare.

Întrebări bune de control: „De unde vine numitorul $n+1$?", „De ce se împarte la $\ln a$ și nu se înmulțește?", „Pe ce interval ai lucrat și de ce?", „Ce se schimbă dacă exponentul nu e număr natural?", „Cum verifici fără să te uiți în tabel?". Semn că elevul a înțeles: își verifică singur fiecare rezultat prin derivare și scrie intervalul înainte de a scrie formula.

Un avertisment pentru cine urmărește caietul acasă: greșelile de la acest capitol arată la fel, dar au cauze diferite. Un semn greșit la sinus sau la cotangentă e o problemă de memorie și se repară cu verificarea prin derivare. Un interval lipsă e o problemă de rigoare și se repară cerând, la fiecare exercițiu, ca prima linie scrisă să fie domeniul. O prelucrare algebrică sărită e, de fapt, o rămânere în urmă la calculul cu fracții și radicali din clasele mai mici, și se repară acolo, nu aici.

La BAC, tabelul acesta este unealta de bază a Subiectului al III-lea: aproape orice subpunct de analiză din clasa a XII-a începe cu o integrală care se rezolvă din tabel, eventual după o împărțire. Exercițiile 15 și 16 sunt în tiparul examenului; exercițiul 16 este chiar tipul „determinați parametrii ca $F$ să fie primitivă", care apare frecvent și se rezolvă exclusiv prin derivare și identificare.

Întrebări frecvente

Care este tabelul primitivelor funcțiilor uzuale?

Sunt zece formule de bază: puterea cu exponent natural, puterea cu exponent real, $\frac{1}{x}$, exponențiala în bază oarecare, exponențiala în baza $e$, sinusul, cosinusul, $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ și $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Fiecare se obține din formula de derivare corespunzătoare și vine însoțită de intervalul pe care e valabilă.

Cum se obțin primitivele funcțiilor uzuale?

Se citește tabelul derivatelor invers și se împarte la coeficientul apărut prin derivare. De exemplu, din ${\left(x^{n+1}\right)}^{\prime }=(n+1)x^n$ rezultă că primitiva lui $x^n$ este $\frac{x^{n+1}}{n+1}$. Verificarea se face imediat, derivând rezultatul obținut și comparându-l cu funcția de integrat.

De ce primitiva lui $1$ supra $x$ se scrie cu modul?

Pentru că funcția $\frac{1}{x}$ este definită și pe intervale de numere negative, unde $\ln x$ nu are sens. Acolo primitiva este $\ln (-x)$, iar cele două formule se strâng în $\ln |x|$. Cum domeniul nu este interval, constanta se alege separat pe fiecare dintre cele două ramuri.

Care este primitiva funcției $a$ la puterea $x$?

Pentru $a>0$ și $a\ne 1$, primitiva este $\frac{a^x}{\ln a}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$. Se împarte la $\ln a$, spre deosebire de derivare, unde se înmulțește cu $\ln a$. Pentru $a=e$ numitorul devine $1$, de unde formula $\int e^{x}dx=e^x+\mathcal{C}$.

De ce apar două rânduri separate pentru puteri?

Pentru că domeniile diferă. Puterea cu exponent natural e definită pe tot $\mathbb{R}$, ca înmulțire repetată, deci formula se aplică peste tot. Puterea cu exponent real neîntreg se definește prin $e^{r\ln x}$ și cere $x>0$, deci formula se aplică doar pe semiaxa pozitivă, oricât de asemănătoare ar arăta.

Pe ce interval este valabilă formula cu tangenta?

Pe orice interval care nu conține puncte de forma $\frac{\pi }{2}+k\pi$, adică pe orice interval pe care cosinusul nu se anulează. Un exemplu tipic este $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. Scrierea rezultatului „pe $\mathbb{R}$" este greșită, pentru că acolo nici funcția de integrat nu e definită.

Cum folosesc tabelul dacă funcția nu apare în el?

O aduci mai întâi la o sumă de funcții din tabel: desfaci parantezele, împarți fracția termen cu termen, scrii radicalii ca puteri, simplifici ce se poate. Abia apoi aplici liniaritatea și tabelul. Această prelucrare algebrică este pasul care consumă cel mai mult timp și în care se fac cele mai multe greșeli.

Trebuie să învăț tabelul pe de rost?

Nu, dar trebuie să îl poți reconstrui în câteva secunde din tabelul derivatelor și să îl poți verifica prin derivare. Elevii care verifică nu greșesc niciodată semnele de la funcțiile trigonometrice și nici sensul împărțirii la $\ln a$. Memorarea fără verificare este exact sursa greșelilor de la examen.