Tangenta la o conică prin dedublare: pe scurt

Dedublarea transformă ecuația unei conice în ecuația tangentei într-un punct $M_0(x_0,y_0)$ al ei, după o regulă mecanică: $x^2\to x{x}_0$, $y^2\to y{y}_0$, $2x\to x+x_0$, $2y\to y+y_0$, iar termenul liber rămâne neschimbat. Metoda dă tangenta direct, fără pante și fără discriminanți.

Cele patru formule fixate sunt: cerc, $(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$; elipsă, $\frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}=1$; hiperbolă, $\frac{x{x}_0}{a^2}-\frac{y{y}_0}{b^2}=1$; parabolă, $y{y}_0=p(x+x_0)$, unde $p$ este parametrul, adică jumătate din coeficientul lui $x$. La cerc formula se demonstrează din perpendicularitatea tangentei pe rază, iar la elipsă din condiția $\Delta =0$, care duce la un pătrat perfect și arată că prin fiecare punct al curbei trece exact o tangentă.

Prima etapă a rețetei este obligatorie: se verifică prin substituție că punctul aparține conicei. Aplicată unui punct care nu e pe curbă, dedublarea dă tot o dreaptă, dar nu tangenta căutată. A doua capcană este înlocuirea ambelor variabile: dedublarea păstrează câte o variabilă în fiecare termen, deci $x^2$ devine $x{x}_0$, nu $x_0^2$. Dintr-un punct exterior se duc două tangente, găsite rezolvând condiția de tangență ca ecuație în panta $m$, iar verticala prin acel punct se verifică întotdeauna separat. Controlul final: substituția dreptei în ecuația curbei trebuie să dea o rădăcină dublă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Regula de memorat a dedublării este:

   • a) $x^2\to 2x{x}_0$, $y^2\to 2y{y}_0$
   • b) $x^2\to x_0^2$, $y^2\to y_0^2$
   • c) $x^2\to x{x}_0$, $y^2\to y{y}_0$, $2x\to x+x_0$, $2y\to y+y_0$
   • d) $x\to x_0$, $y\to y_0$, termenul liber se dublează
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $x^2\to x{x}_0$, $y^2\to y{y}_0$, $2x\to x+x_0$, $2y\to y+y_0$

   Dedublarea păstrează câte o variabilă în fiecare termen: pătratele devin produse mixte, iar termenii de gradul întâi devin semisume. Dacă înlocuiești tot cu coordonatele punctului, obții numere, nu o dreaptă — semn sigur că regula a fost aplicată greșit. Termenul liber rămâne neschimbat.

2. Tangenta la elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ în punctul $M_0\left(4,\frac{9}{5}\right)$ are ecuația:

   • a) $4x+5y-25=0$
   • b) $4x+9y-25=0$
   • c) $5x+4y-25=0$
   • d) $4x+5y-1=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $4x+5y-25=0$

   Punctul e pe elipsă: $\frac{16}{25}+\frac{81/25}{9}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$. Dedublând: $\frac{4x}{25}+\frac{(9/5)y}{9}=1$, adică $\frac{4x}{25}+\frac{y}{5}=1$, deci $4x+5y=25$. Control: substituția în elipsă dă $25x^2-200x+400=0$, cu rădăcina dublă $x=4$.

3. Tangenta la parabola $y^2=16x$ în punctul $(1,4)$ este:

   • a) $4y=16(x+1)$
   • b) $4y=8(x+1)$, adică $y=2x+2$
   • c) $y=4x$
   • d) $4y=16x+1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $4y=8(x+1)$, adică $y=2x+2$

   Formula este $y{y}_0=p(x+x_0)$, iar $p$ este parametrul: din $2p=16$ rezultă $p=8$, nu $16$. Deci $4y=8(x+1)$, adică $y=2x+2$. Verificare: $(2x+2{)}^2=16x$ devine $(x-1{)}^2=0$, rădăcină dublă. Folosirea lui $2p$ în locul lui $p$ este capcana clasică la parabolă.