Tangenta într-un punct al unei conice: metoda dedublării

La lecția despre tangenta la cerc ți s-a cerut, ca temă, să scrii tangentele în cinci puncte cu coordonate întregi ale cercului $x^2+y^2=25$ și să compari coeficienții obținuți cu coordonatele punctelor. Cine a făcut exercițiul a văzut regularitatea: în punctul $(3,4)$ tangenta este $3x+4y=25$, în $(-3,4)$ este $-3x+4y=25$, în $(5,0)$ este $5x=25$. Coeficienții sunt coordonatele punctului. Lecția aceasta de clasa a 12-a explică de ce și transformă observația într-o metodă care merge la toate cele patru conice: metoda dedublării. Metoda dedublării este regula prin care ecuația tangentei într-un punct $M_0(x_0,y_0)$ al unei conice se obține din ecuația conicei înlocuind $x^2$ cu $x{x}_0$, $y^2$ cu $y{y}_0$, $2x$ cu $x+x_0$ și $2y$ cu $y+y_0$.

Câștigul este uriaș. Până acum, ca să scrii o tangentă, aveai nevoie fie de perpendiculara pe rază — și asta numai la cerc —, fie de un calcul cu discriminant. De acum scrii tangenta direct din ecuația conicei, printr-o singură înlocuire mecanică, în două rânduri. Programa cere explicit „determinarea ecuației tangentei la o conică într-un punct al acesteia (prin dedublare)", iar metoda va fi verificată din nou, cu instrumentele analizei matematice, la lecția despre conice și analiza matematică.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este dedublarea unei ecuații și cum se aplică regula ei mecanică pe fiecare dintre cele patru conice.
• Vei ști să demonstrezi formula de dedublare la cerc, prin perpendicularitatea pe rază, și la elipsă, prin condiția $\Delta =0$.
• Vei ști să verifici formulele la hiperbolă și la parabolă, arătând că sistemul tangentă–conică are rădăcină dublă.
• Vei ști să scrii tangenta într-un punct în trei etape, cu controlul obligatoriu de la final.
• Vei ști să determini cele două tangente duse dintr-un punct exterior, punând $\Delta =0$ într-o ecuație în panta $m$.
• Vei ști să găsești tangentele paralele cu o direcție dată și să le identifici punctele de contact.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este metoda dedublării?

Metoda dedublării este procedeul prin care ecuația tangentei într-un punct $M_0(x_0,y_0)$ al unei conice se obține direct din ecuația conicei, înlocuind fiecare termen de gradul al doilea cu produsul „mixt" corespunzător și fiecare termen de gradul întâi cu semisuma corespunzătoare. Rezultatul este o ecuație de gradul întâi în $x$ și $y$, adică o dreaptă, iar acea dreaptă este exact tangenta căutată.

Regula, în forma în care se ține minte, are patru linii: $$x^2\to x{x}_0,y^2\to y{y}_0,2x\to x+x_0,2y\to y+y_0,$$ iar termenul liber rămâne neschimbat. Numele vine tocmai de aici: fiecare pătrat se „dedublează" într-un produs în care un factor este variabila, iar celălalt este coordonata punctului.

⚠️ Condiția esențială, care se verifică întotdeauna prima: punctul $M_0$ trebuie să fie pe conică. Aplicată unui punct din afara curbei, formula dă tot o dreaptă, dar aceea nu mai este tangentă — vom vedea la punctul $7$ ce înseamnă ea de fapt.

2. De ce funcționează formula la cerc?

La cerc avem un argument geometric complet, care nu cere nimic nou: tangenta într-un punct al cercului este perpendiculară pe raza dusă în acel punct — proprietatea pe care se sprijină cei trei pași ai tangentei la cerc, fixați la lecția despre pozițiile relative ale unei drepte față de cerc.

Fie cercul $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$, de centru $C(a,b)$, și fie $M_0(x_0,y_0)$ un punct al său, cu $x_0\ne a$ și $y_0\ne b$. Raza $C{M}_0$ are panta $\frac{y_0-b}{x_0-a}$, deci tangenta are panta $-\frac{x_0-a}{y_0-b}$, după condiția de perpendicularitate a două drepte. Scriem tangenta prin punct și pantă: $$y-y_0=-\frac{x_0-a}{y_0-b}\left(x-x_0\right)⟺(x-x_0)(x_0-a)+(y-y_0)(y_0-b)=0.$$ Acum vine singurul truc: scriem $x-x_0=(x-a)-(x_0-a)$ și $y-y_0=(y-b)-(y_0-b)$. Egalitatea devine $$(x-a)(x_0-a)-(x_0-a{)}^2+(y-b)(y_0-b)-(y_0-b{)}^2=0,$$ iar cum $M_0$ este pe cerc, suma celor două pătrate scăzute este chiar $r^2$. Rămâne $$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2,$$ adică exact ecuația obținută prin dedublare din $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$.

Cele două cazuri lăsate deoparte se verifică direct. Dacă $y_0=b$, raza este orizontală și tangenta este verticala $x=x_0$; formula dă $(x-a)(x_0-a)=r^2$, iar din $(x_0-a{)}^2=r^2$ rezultă $x-a=x_0-a$, adică tot $x=x_0$ ✓. Simetric pentru $x_0=a$.

3. De ce funcționează formula la elipsă?

La elipsă nu mai există „rază", deci argumentul geometric cade. Îl înlocuim cu cel algebric: căutăm dreptele care trec prin $M_0$ și taie elipsa într-un punct dublu, adică impunem $\Delta =0$.

Fie elipsa $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ și $M_0(x_0,y_0)$ un punct al ei, cu $y_0\ne 0$. Dreptele prin $M_0$ care au pantă se scriu $y=mx+k$, cu $k=y_0-m{x}_0$. Condiția de tangență dedusă la lecția despre intersecția unei conice cu o dreaptă este $k^2=a^2{m}^2+b^2$, deci $$(y_0-m{x}_0{)}^2=a^2{m}^2+b^2⟺m^2\left(x_0^2-a^2\right)-2m{x}_0{y}_0+y_0^2-b^2=0.$$ Din faptul că $M_0$ este pe elipsă scoatem cele două înlocuiri care schimbă tot: $$x_0^2-a^2=-\frac{a^2{y}_0^2}{b^2},y_0^2-b^2=-\frac{b^2{x}_0^2}{a^2}.$$ Înlocuim și înmulțim ecuația cu $-a^2{b}^2$: $$a^4{y}_0^2{m}^2+2a^2{b}^2{x}_0{y}_{0}m+b^4{x}_0^2=0⟺{\left(a^2{y}_{0}m+b^2{x}_0\right)}^2=0.$$ Un pătrat perfect: ecuația în $m$ are o singură rădăcină, dublă, $$m=-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}.$$ Prin urmare prin fiecare punct al elipsei trece exact o tangentă, iar ecuația ei este $$y-y_0=-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}\left(x-x_0\right)⟺b^2{x}_{0}x+a^2{y}_{0}y=b^2{x}_0^2+a^2{y}_0^2=a^2{b}^2.$$ Împărțind prin $a^2{b}^2$ obținem forma finală: $$\frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}=1.$$ Cazul $y_0=0$ înseamnă că $M_0$ este unul dintre vârfurile $(\pm a,0)$; acolo tangenta este verticala $x=\pm a$, iar formula o dă corect, pentru că $\frac{x\cdot (\pm a)}{a^2}=1$ înseamnă $x=\pm a$ ✓.

4. Cum se verifică formula la hiperbolă și la parabolă?

La aceste două conice nu mai refacem drumul: verificăm că dreapta scrisă de regulă are cu adevărat un singur punct comun cu curba, și acela dublu. Verificarea e mai scurtă decât deducerea.

Parabola $y^2=2px$, cu $M_0(x_0,y_0)$ pe ea, deci $y_0^2=2p{x}_0$. Dedublarea dă $y{y}_0=p(x+x_0)$. Pentru $y_0\ne 0$ scoatem $x=\frac{y{y}_0}{p}-x_0$ și substituim în ecuația parabolei: $$y^2=2p\left(\frac{y{y}_0}{p}-x_0\right)=2y{y}_0-2p{x}_0=2y{y}_0-y_0^2⟺(y-y_0{)}^2=0.$$ Rădăcină dublă $y=y_0$: dreapta atinge parabola exact în $M_0$ ✓. Pentru $y_0=0$, punctul este vârful și formula dă $x=0$, tangenta verticală în vârf ✓.

Hiperbola $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Calculul se scurtează dacă notăm $u=\frac{x}{a}$, $v=\frac{y}{b}$, $u_0=\frac{x_0}{a}$, $v_0=\frac{y_0}{b}$: ecuația curbei devine $u^2-v^2=1$, punctul verifică $u_0^2-v_0^2=1$, iar dedublarea se scrie $u{u}_0-v{v}_0=1$. Pentru $v_0\ne 0$ scoatem $v=\frac{u{u}_0-1}{v_0}$ și înlocuim: $$v_0^2{u}^2-{\left(u{u}_0-1\right)}^2=v_0^2⟺u^2\left(v_0^2-u_0^2\right)+2u{u}_0-\left(1+v_0^2\right)=0.$$ Dar $v_0^2-u_0^2=-1$ și $1+v_0^2=u_0^2$, deci rămâne $-u^2+2u{u}_0-u_0^2=0$, adică $(u-u_0{)}^2=0$ ✓. Din nou rădăcină dublă, deci dreapta este tangentă în $M_0$. Cazul $v_0=0$ dă vârfurile, unde tangentele sunt verticalele $x=\pm a$.

5. Cele patru formule, strânse la un loc

Primele patru rânduri sunt aplicări directe ale regulilor $x^2\to x{x}_0$ și $y^2\to y{y}_0$. Al cincilea folosește regula $2x\to x+x_0$: în $y^2=2px$ termenul liniar este $2p\cdot x$, iar dedublarea îl duce în $p(x+x_0)$.

⚠️ Aici stă capcana cea mai frecventă. Coeficientul care apare în tangenta parabolei este $p$, adică jumătate din numărul citit în ecuație. Pentru $y^2=20x$ avem $2p=20$, deci $p=10$, iar tangenta în $M_0$ este $y{y}_0=10(x+x_0)$, nicidecum $20(x+x_0)$.

Puntea cu ecuația generală a cercului, arătată o dată, pe numere. Fie cercul $x^2+y^2-2x+4y-20=0$, cu centrul $C(1,-2)$ și $r^2=1+4+20=25$, și punctul $(4,2)$, care îi aparține: $16+4-8+8-20=0$ ✓. Aplicăm regula pe forma generală, termen cu termen: $x^2\to 4x$, $y^2\to 2y$, $-2x\to -(x+4)$, $+4y\to +2(y+2)$, iar $-20$ rămâne. Obținem $$4x+2y-(x+4)+2(y+2)-20=0⟺3x+4y-20=0.$$ Pe forma canonică, $(x-1)(4-1)+(y+2)(2+2)=25$ dă $3x-3+4y+8=25$, adică aceeași dreaptă ✓. Control final: distanța de la $C(1,-2)$ la ea este $\frac{|3-8-20|}{5}=5=r$ ✓.

6. Cum scrii tangenta într-un punct, pas cu pas?

Rețeta are trei etape, numite ca la rețeta cercului prin trei puncte, ca să nu se confunde cu numerotările desenului.

• Etapa 1. Verifici că punctul este pe conică, substituind coordonatele lui în ecuație. Dacă nu este, oprește-te: problema are alt răspuns.
• Etapa 2. Aplici regula de dedublare, termen cu termen, pe ecuația conicei scrisă în forma pe care o ai.
• Etapa 3. Aduci rezultatul la forma $Ax+By+C=0$ și controlezi: punctul trebuie să verifice ecuația dreptei obținute; la cerc, distanța de la centru la dreaptă trebuie să fie raza; la orice conică, substituția dreptei în ecuația curbei trebuie să dea o rădăcină dublă.

Controlul din Etapa 3 durează un minut și prinde tot: o coordonată încurcată, un semn pierdut, jumătatea uitată la parabolă.

7. Cum duci tangentele dintr-un punct exterior?

Dacă punctul nu este pe conică, dedublarea nu se mai aplică. Metoda corectă este cea de la lecția precedentă, întoarsă pe dos: scrii fasciculul de drepte prin punct, impui condiția de tangență și rezolvi ecuația obținută în panta $m$.

Pe elipsa $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$, cu $a=4$, $b=2\sqrt{3}$, $c=2$ și $e=\frac{1}{2}$, luăm punctul $P(4,6)$. Este exterior, pentru că $\frac{16}{16}+\frac{36}{12}=4>1$. Dreptele prin $P$ care au pantă sunt $y=m(x-4)+6$, deci $n=6-4m$, iar condiția de tangență $n^2=a^2{m}^2+b^2$ devine $$(6-4m{)}^2=16m^2+12⟺36-48m+16m^2=16m^2+12⟺-48m+24=0.$$ Termenii în $m^2$ s-au redus: rămâne o ecuație de gradul întâi, cu $m=\frac{1}{2}$. Tangenta găsită este $y=\frac{1}{2}x+4$, adică $x-2y+8=0$, iar punctul ei de contact se află identificând coeficienții cu cei ai dedublării: din $\frac{x{x}_0}{16}+\frac{y{y}_0}{12}=1$ și $-\frac{x}{8}+\frac{y}{4}=1$ rezultă $x_0=-2$ și $y_0=3$, iar $(-2,3)$ este într-adevăr pe elipsă ✓.

A doua tangentă este verticala $x=4$, pe care fasciculul nu o conține — de aceea ecuația a ieșit de gradul întâi. O verificăm direct: substituind $x=4$ în ecuația elipsei rămâne $y^2=0$, rădăcină dublă, deci tangență în vârful $(4,0)$. Regula generală: după ce rezolvi ecuația în $m$, verifică întotdeauna și verticala prin punct.

⚠️ „Două tangente" este adevărat la cerc, la elipsă și la parabolă, dar nu la hiperbolă: din centrul ei nu se poate duce niciuna, iar dintr-un punct al unei asimptote, diferit de centru, se duce exact una. De aceea, la hiperbolă, numărul tangentelor nu se anunță dinainte — se citește la final, din numărul de soluții ale ecuației în $m$, verticala fiind cercetată separat ca mai sus.

(Observație în afara programei: dreapta care unește cele două puncte de contact se obține scriind dedublarea cu coordonatele punctului exterior. Aici, $\frac{4x}{16}+\frac{6y}{12}=1$ dă $x+2y-4=0$, dreaptă care trece atât prin $(-2,3)$, cât și prin $(4,0)$.)

8. Cum găsești tangentele paralele cu o direcție dată?

Aici panta este dată și necunoscuta este $n$: scrii condiția de tangență, o rezolvi în $n$ și obții două valori opuse, deci două tangente paralele.

Pe hiperbola $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$, cu $a=2$, $b=2\sqrt{3}$, $c=4$ și $e=2$, căutăm tangentele de pantă $m=2$. Condiția $n^2=a^2{m}^2-b^2$ dă $n^2=16-12=4$, deci $n=\pm 2$: tangentele sunt $$2x-y+2=0\text{și}2x-y-2=0.$$ Punctele de contact ies din dedublare: pentru $2x-y-2=0$, adică $\frac{4x}{4}-\frac{6y}{12}=1$, contactul este $(4,6)$; pentru cealaltă, $(-4,-6)$. Ambele verifică ecuația hiperbolei ✓.

Observă că cele două puncte de contact sunt simetrice față de centrul curbei: tangentele paralele ating conica în puncte diametral opuse. Este adevărat la cerc, la elipsă și la hiperbolă — la parabolă nu, pentru că parabola nu are centru de simetrie, iar de fiecare direcție de pantă nenulă se leagă o singură tangentă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tangenta la cerc, pe amândouă căile

Scriem tangenta la cercul $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$ în punctul $M_0(4,6)$.

Etapa 1: $(4-1{)}^2+(6-2{)}^2=9+16=25$ ✓, deci punctul este pe cerc.

Etapa 2, prin dedublare: $(x-1)(4-1)+(y-2)(6-2)=25$, adică $3(x-1)+4(y-2)=25$.

Etapa 3: desfacem și obținem $3x+4y-36=0$. Control: $12+24-36=0$ ✓ și $\mathrm{dist}(C,t)=\frac{|3+8-36|}{5}=5=r$ ✓.

Pe calea veche: panta razei este $\frac{6-2}{4-1}=\frac{4}{3}$, deci tangenta are panta $-\frac{3}{4}$ și ecuația $y-6=-\frac{3}{4}(x-4)$, adică $3x+4y-36=0$ — aceeași dreaptă, cu de trei ori mai mult calcul.

Exemplul 2 — Cele patru tangente în punctele întregi ale unei elipse

Determinăm punctele cu coordonate întregi ale elipsei $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ și tangentele în ele.

Scrisă fără numitori, ecuația este $3x^2+4y^2=48$. Pentru $x=\pm 2$ obținem $4y^2=36$, deci $y=\pm 3$; pentru $x=\pm 4$ obținem $y=0$. Punctele întregi sunt deci $(\pm 2,\pm 3)$ și $(\pm 4,0)$.

Aplicăm dedublarea $\frac{x{x}_0}{16}+\frac{y{y}_0}{12}=1$:

Control pe prima: substituind $y=\frac{8-x}{2}$ în $3x^2+4y^2=48$ obținem $3x^2+(8-x{)}^2=48$, adică $4x^2-16x+16=0$, deci $(x-2{)}^2=0$ — rădăcină dublă în $x=2$ ✓.

Exemplul 3 — Tangenta la hiperbolă

Scriem tangenta la hiperbola $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ în punctul $M_0(4,6)$ și o verificăm prin discriminant.

Etapa 1: $\frac{16}{4}-\frac{36}{12}=4-3=1$ ✓.

Etapa 2: $\frac{4x}{4}-\frac{6y}{12}=1$, adică $x-\frac{y}{2}=1$.

Etapa 3: înmulțim cu $2$ și obținem $2x-y-2=0$. Control prin discriminant: din $y=2x-2$ și $3x^2-y^2=12$ rezultă $3x^2-(2x-2{)}^2=12$, adică $-x^2+8x-16=0$, deci $(x-4{)}^2=0$ — rădăcină dublă în $x=4$ ✓. Al doilea control, cu condiția de tangență: $n^2=a^2{m}^2-b^2$ dă $4=4\cdot 4-12$ ✓.

Exemplul 4 — Tangenta la parabolă și capcana parametrului

Scriem tangentele la parabola $y^2=20x$ în punctele $M_1(5,10)$ și $M_2\left(\frac{4}{5},4\right)$.

Din $2p=20$ rezultă $p=10$, deci formula este $y{y}_0=10(x+x_0)$ — cu $10$, nu cu $20$.

Pentru $M_1$: verificăm $100=20\cdot 5$ ✓, apoi $10y=10(x+5)$, adică $x-y+5=0$. Control: $(x+5{)}^2=20x$ dă $x^2-10x+25=0$, deci $(x-5{)}^2=0$ ✓.

Pentru $M_2$: verificăm $16=20\cdot \frac{4}{5}$ ✓, apoi $4y=10\left(x+\frac{4}{5}\right)$, adică $5x-2y+4=0$. Control: din $y=\frac{5x+4}{2}$ obținem $25x^2-40x+16=0$, adică $(5x-4{)}^2=0$, cu rădăcina dublă $x=\frac{4}{5}$ ✓.

Dacă cineva folosește din greșeală $20$ în loc de $10$, pentru $M_1$ obține $10y=20(x+5)$, adică $y=2x+10$; controlul o respinge imediat, pentru că $(2x+10{)}^2=20x$ dă $4x^2+20x+100=0$, cu discriminant negativ — o dreaptă care nici măcar nu atinge parabola.

Exemplul 5 — Tangentele dintr-un punct exterior la o parabolă

Ducem tangentele din $P(4,12)$ la parabola $y^2=20x$ și determinăm punctele de contact.

Punctul este exterior, pentru că $12^2=144>20\cdot 4=80$. Aici condiția de tangență este $2mn=p=10$, iar dreptele cu pantă prin $P$ au $n=12-4m$, deci $$2m(12-4m)=10⟺8m^2-24m+10=0⟺4m^2-12m+5=0.$$ De data aceasta ecuația în $m$ este chiar de gradul al doilea, cu $\Delta =144-80=64$ și rădăcinile $m_1=\frac{1}{2}$, $m_2=\frac{5}{2}$. Cele două tangente sunt $$x-2y+20=0\text{și}5x-2y+4=0.$$ Punctele de contact ies din formula $y{y}_0=10(x+x_0)$, scrisă $10x-y{y}_0+10x_0=0$: prima tangentă, amplificată la $10x-20y+200=0$, dă $y_0=20$ și $x_0=20$; a doua, amplificată la $10x-4y+8=0$, dă $y_0=4$ și $x_0=\frac{4}{5}$. Regăsim astfel, pe alt drum, tangenta din Exemplul $4$, iar $(20,20)$ este punctul din exercițiul $6$.

Verticala se verifică și aici, dar concluzia este alta: substituind $x=4$ în ecuația parabolei obținem $y^2=80$, cu două rădăcini distincte, deci dreapta $x=4$ este secantă, nu tangentă. Verificarea nu adaugă de fiecare dată o tangentă; ea doar ne asigură că nu am pierdut una.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră elipsa de ecuație $3x^2+4y^2=48$.

a) Aduceți ecuația la forma canonică și determinați semiaxele, focarele și excentricitatea. Împărțind prin $48$ obținem $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$, deci $a=4$ și $b=2\sqrt{3}$. Atunci $c=\sqrt{16-12}=2$, focarele sunt $F(2,0)$ și $F^{\prime }(-2,0)$, iar excentricitatea este $e=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

b) Arătați că punctul $M_0(2,3)$ aparține elipsei și scrieți ecuația tangentei în acest punct. Substituim: $3\cdot 4+4\cdot 9=12+36=48$ ✓. Prin dedublare, $\frac{2x}{16}+\frac{3y}{12}=1$, adică $\frac{x}{8}+\frac{y}{4}=1$ și, în final, $x+2y-8=0$.

c) Determinați punctul de intersecție al tangentelor duse în $M_0(2,3)$ și în simetricul său față de axa $Ox$. Simetricul este $M_1(2,-3)$, iar tangenta în el este, prin dedublare, $x-2y-8=0$. Rezolvăm sistemul format din cele două tangente: adunându-le obținem $2x-16=0$, deci $x=8$, iar apoi $y=0$. Punctul căutat este $(8,0)$, situat pe axa $Ox$ — ceea ce era de așteptat, prin simetria configurației față de această axă.

Să exersăm

1. Scrieți tangenta la cercul $x^2+y^2=100$ în punctul $(6,8)$ și verificați prin distanța de la centru.

2. Scrieți tangenta la cercul $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$ în punctul $(-3,-1)$.

3. Scrieți tangenta la elipsa $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ în punctul $(-2,-3)$ și verificați că punctul îi aparține.

4. Scrieți tangenta la elipsa $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ în vârful $(-4,0)$ și explicați forma rezultatului.

5. Scrieți tangenta la hiperbola $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ în punctul $(-4,-6)$.

6. Scrieți tangenta la parabola $y^2=20x$ în punctul $(20,20)$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Formula de dedublare se poate aplica oricărui punct din plan, nu doar unui punct al conicei."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Tangenta la parabola $y^2=20x$ în punctul $(5,10)$ este $10y=20(x+5)$."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Prin fiecare punct al unei elipse trece exact o tangentă la ea."

10. Verificați, prin substituție și discriminant, că dreapta $x+2y-8=0$ este tangentă elipsei $3x^2+4y^2=48$.

11. Determinați tangentele de pantă $2$ la hiperbola $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ și punctele lor de contact.

12. Determinați punctul de contact al tangentei $5x-2y+4=0$ la parabola $y^2=20x$, folosind identificarea cu formula de dedublare.

13. Scrieți tangenta la cercul $x^2+y^2-2x+4y-20=0$ în punctul $(-3,1)$, aplicând regula direct pe forma generală.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră hiperbola $3x^2-y^2=12$. a) Aduceți ecuația la forma canonică și determinați vârfurile, focarele și asimptotele. b) Arătați că punctul $(4,6)$ aparține hiperbolei și scrieți tangenta în el. c) Determinați punctul în care această tangentă taie axa $Ox$.

15. (Problemă aplicată.) O oglindă are, în secțiune, forma elipsei $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$, cu unitatea în decimetri. Un fascicul atinge oglinda în punctul $(2,3)$. Scrieți ecuația dreptei după care este orientată oglinda în acel punct.

16. Determinați tangentele duse din punctul $(0,6)$ la parabola $y^2=20x$.

17. Arătați că tangentele la elipsa $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ în punctele $(2,3)$ și $(-2,-3)$ sunt paralele.

18. (Provocare.) Arătați că tangenta într-un punct $M_0(x_0,y_0)$ al hiperbolei $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ taie axa $Ox$ în punctul de abscisă $\frac{a^2}{x_0}$, iar produsul acestei abscise cu $x_0$ nu depinde de punctul ales.

Răspunsuri și explicații

1. $36+64=100$ ✓. Dedublarea dă $6x+8y=100$, adică $3x+4y-50=0$. Distanța de la origine: $\frac{50}{5}=10=r$ ✓.

2. $(-3-1{)}^2+(-1-2{)}^2=16+9=25$ ✓. Dedublarea: $(x-1)(-4)+(y-2)(-3)=25$, adică $-4x-3y+10=25$, deci $4x+3y+15=0$. Control: $\frac{|4+6+15|}{5}=5=r$ ✓.

3. $\frac{4}{16}+\frac{9}{12}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ ✓. Dedublarea: $-\frac{2x}{16}-\frac{3y}{12}=1$, adică $-\frac{x}{8}-\frac{y}{4}=1$ și, înmulțind cu $-8$, $x+2y+8=0$.

4. Dedublarea dă $\frac{-4x}{16}=1$, adică $x=-4$: o dreaptă verticală. Este firesc — în vârful de pe axa mare tangenta este perpendiculară pe axă, deci nu are pantă, iar formula o produce fără niciun caz special.

5. $\frac{16}{4}-\frac{36}{12}=1$ ✓. Dedublarea: $\frac{-4x}{4}-\frac{-6y}{12}=1$, adică $-x+\frac{y}{2}=1$, deci $2x-y+2=0$.

6. $400=20\cdot 20$ ✓. Cu $p=10$: $20y=10(x+20)$, adică $x-2y+20=0$. Control: din $x=2y-20$ rezultă $y^2-40y+400=0$, adică $(y-20{)}^2=0$ ✓.

7. Fals. Formula dă o dreaptă pentru orice punct, dar aceea este tangentă numai când punctul este pe conică. Pentru un punct exterior ea dă dreapta care unește punctele de contact ale celor două tangente duse din el, iar demonstrațiile de la punctele $2$–$4$ folosesc esențial faptul că $M_0$ verifică ecuația curbei.

8. Fals. În $y^2=20x$ avem $2p=20$, deci $p=10$, iar formula este $y{y}_0=p(x+x_0)$, adică $10y=10(x+5)$ și tangenta este $x-y+5=0$. Dreapta din enunț, $y=2x+10$, nu atinge deloc parabola: substituind, discriminantul iese negativ.

9. Adevărat. La punctul $3$ am arătat că ecuația în pantă se reduce la ${\left(a^2{y}_{0}m+b^2{x}_0\right)}^2=0$, deci are o singură rădăcină; pentru punctele cu $y_0=0$ tangenta este verticală și tot unică. Prin urmare fiecărui punct al elipsei îi corespunde exact o tangentă.

10. Din $x=8-2y$ obținem $3(8-2y{)}^2+4y^2=48$, adică $192-96y+12y^2+4y^2=48$, deci $16y^2-96y+144=0$ și $y^2-6y+9=0$, adică $(y-3{)}^2=0$: rădăcină dublă $y=3$, deci tangentă în $(2,3)$ ✓.

11. Condiția de tangență la hiperbolă: $n^2=a^2{m}^2-b^2=4\cdot 4-12=4$, deci $n=\pm 2$. Tangentele sunt $2x-y+2=0$ și $2x-y-2=0$, cu punctele de contact $(-4,-6)$, respectiv $(4,6)$, simetrice față de centru.

12. Formula de dedublare este $y{y}_0=10(x+x_0)$, adică $10x-y{y}_0+10x_0=0$. Comparând cu $5x-2y+4=0$, amplificat la $10x-4y+8=0$, obținem $y_0=4$ și $10x_0=8$, deci $x_0=\frac{4}{5}$. Punctul de contact este $\left(\frac{4}{5},4\right)$, care verifică $16=20\cdot \frac{4}{5}$ ✓.

13. Verificăm: $9+1+6+4-20=0$ ✓. Aplicând regula termen cu termen, $-3x+y-(x-3)+2(y+1)-20=0$, adică $-4x+3y-15=0$, deci $4x-3y+15=0$. Pe forma canonică, $(x-1)(-4)+(y+2)\cdot 3=25$ dă aceeași dreaptă ✓. Control: cercul are $C(1,-2)$ și $r=5$, iar $\frac{|4+6+15|}{5}=5=r$ ✓.

14. a) Împărțind prin $12$: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$, deci $a=2$, $b=2\sqrt{3}$, $c=\sqrt{4+12}=4$. Vârfurile sunt $(\pm 2,0)$, focarele $(\pm 4,0)$, iar asimptotele $y=\pm \sqrt{3}x$. b) $\frac{16}{4}-\frac{36}{12}=1$ ✓; dedublarea dă $\frac{4x}{4}-\frac{6y}{12}=1$, adică $2x-y-2=0$. c) Punând $y=0$ obținem $x=1$, deci tangenta taie axa $Ox$ în $(1,0)$, punct situat între centru și vârf.

15. Direcția oglinzii în punctul de atingere este direcția tangentei, iar tangenta în $(2,3)$ este $x+2y-8=0$, adică $y=-\frac{x}{2}+4$. Fasciculul se reflectă față de această dreaptă.

16. Punctul este exterior, pentru că $36>20\cdot 0$. Condiția de tangență este $2mn=p=10$, iar dreptele cu pantă prin $(0,6)$ au $n=6$, deci $12m=10$ și $m=\frac{5}{6}$: prima tangentă este $5x-6y+36=0$, cu punctul de contact $\left(\frac{36}{5},12\right)$. A doua este verticala $x=0$, pe care fasciculul nu o conține: substituind, $y^2=0$ are rădăcină dublă, deci ea este tangentă în vârful $(0,0)$. Din $(0,6)$ pornesc, așadar, exact două tangente.

17. Prima are ecuația $x+2y-8=0$, a doua $x+2y+8=0$: aceiași coeficienți ai lui $x$ și $y$, deci aceeași pantă $-\frac{1}{2}$ și drepte distincte. Este cazul general al tangentelor în puncte diametral opuse, discutat la punctul $8$.

18. Tangenta este $\frac{x{x}_0}{a^2}-\frac{y{y}_0}{b^2}=1$. Punând $y=0$ obținem $\frac{x{x}_0}{a^2}=1$, deci $x=\frac{a^2}{x_0}$, ceea ce cere $x_0\ne 0$ — adevărat, pentru că pe hiperbolă $|x_0|\ge a>0$. Produsul abscisei punctului de contact cu abscisa punctului de intersecție este $x_0\cdot \frac{a^2}{x_0}=a^2$, constantă care nu depinde de punctul ales. Verificare pe Exemplul $3$: $x_0=4$ și $\frac{a^2}{x_0}=1$, cu produsul $4=a^2$ ✓.

De reținut

• Dedublarea transformă ecuația unei conice în ecuația tangentei într-un punct al ei, după regula $x^2\to x{x}_0$, $y^2\to y{y}_0$, $2x\to x+x_0$, $2y\to y+y_0$, termenul liber rămânând neschimbat.
• Formulele fixate sunt $(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$ la cerc, $\frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}=1$ la elipsă, $\frac{x{x}_0}{a^2}-\frac{y{y}_0}{b^2}=1$ la hiperbolă și $y{y}_0=p(x+x_0)$ la parabola $y^2=2px$.
• Metoda se aplică numai unui punct situat pe conică, iar verificarea apartenenței este prima etapă obligatorie a rețetei.
• La cerc formula se demonstrează din perpendicularitatea tangentei pe rază, iar la elipsă din condiția $\Delta =0$, care duce la pătratul perfect ${\left(a^2{y}_{0}m+b^2{x}_0\right)}^2=0$ și arată că prin fiecare punct trece exact o tangentă.
• Dintr-un punct exterior se duc două tangente, găsite rezolvând condiția de tangență ca ecuație în panta $m$, iar dreapta verticală prin acel punct se verifică întotdeauna separat.

Greșeli frecvente

• Aplici dedublarea unui punct care nu este pe conică. Rezultatul este o dreaptă, dar nu tangenta căutată. Prima etapă a rețetei este substituția coordonatelor în ecuația conicei; dacă egalitatea nu iese, problema este de alt tip.
• Folosești $2p$ în loc de $p$ la parabolă. Din $y^2=20x$ rezultă $p=10$, deci tangenta este $y{y}_0=10(x+x_0)$. Regula $2x\to x+x_0$ înseamnă că se ia jumătate din coeficientul termenului de gradul întâi, exact ca la termenii $-2x$ și $+4y$ din ecuația generală a cercului.
• Înlocuiești ambele variabile cu coordonatele punctului. Dedublarea păstrează câte o variabilă în fiecare termen: $x^2$ devine $x{x}_0$, nu $x_0^2$. Dacă înlocuiești tot, obții numere, nu o dreaptă — semn sigur că regula a fost aplicată greșit.
• Uiți verticala la tangentele dintr-un punct exterior. Fasciculul $y=m(x-x_P)+y_P$ nu conține dreapta $x=x_P$. Când ecuația în $m$ iese de gradul întâi, a doua tangentă este tocmai verticala, iar dacă nu o verifici, raportezi o singură tangentă în loc de două.
• Sari controlul final. După ce ai scris tangenta, substituie punctul în ea și, la cerc, compară distanța de la centru cu raza. La celelalte conice, substituția dreptei în ecuația curbei trebuie să dea o rădăcină dublă — un minut de calcul care prinde orice greșeală de semn.

Aplică acasă

1. Regularitatea de la cerc, verificată. Scrie, prin dedublare, tangentele cercului $x^2+y^2=100$ în punctele $(6,8)$, $(8,6)$, $(-6,8)$, $(10,0)$ și $(0,-10)$. Așază ecuațiile una sub alta și observă că, de fiecare dată, coeficienții sunt chiar coordonatele punctului, iar termenul liber este $100$.

2. Elipsa și cele patru tangente. Desenează pe hârtie milimetrică elipsa $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ și trasează tangentele în cele patru puncte cu coordonate întregi. Verifică cu rigla că perechile de tangente din puncte diametral opuse sunt paralele și găsește, pe desen, cele patru puncte în care se taie două câte două.

3. Punctul exterior. Alege trei puncte exterioare elipsei de mai sus, cu coordonate simple, și încearcă pentru fiecare să duci cu rigla cele două tangente. Rezolvă apoi algebric un caz și compară punctele de contact desenate cu cele calculate.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă a treia cerință a competenței specifice despre configurații geometrice din programa de matematică-informatică: determinarea ecuației tangentei la o conică într-un punct al acesteia, prin dedublare. Este una dintre puținele formule ale capitolului care se rețin ca atare, dar programa cere ca elevul să știe și de unde vine: aici, demonstrația se face complet la cerc și la elipsă, iar la hiperbolă și la parabolă se verifică prin apariția rădăcinii duble.

Ce verifică lecția: (1) verificarea apartenenței punctului la conică, înaintea oricărui calcul; (2) aplicarea corectă a regulii, cu atenție la jumătatea de la parabolă; (3) capacitatea de a justifica formula, măcar la cerc; (4) controlul final prin discriminant sau prin distanță; (5) deosebirea dintre punct al conicei și punct exterior, cu metodele diferite care li se aplică; (6) verificarea verticalei la tangentele dintr-un punct exterior.

Întrebări bune de control: „Ce verifici înainte de a scrie tangenta prin dedublare?"; „De ce în formula parabolei apare $p$, nu $2p$?"; „Câte tangente trec printr-un punct al conicei și câte printr-un punct exterior?"; „Cum arăți, fără desen, că dreapta pe care ai scris-o este chiar tangentă?". Un semn sigur că elevul a înțeles: după fiecare tangentă, face singur controlul cu rădăcina dublă.

La BAC, profilul matematică-informatică va cere acest tip de determinare odată cu intrarea în examen a programei noi. Formatul previzibil este cel din Exemplul 6, cu trei subpuncte în stilul Subiectului al II-lea: elementele conicei, tangenta într-un punct dat, apoi o intersecție sau o proprietate care decurge din ea. Verificarea prin instrumentele analizei matematice, cu funcțiile-ramură, urmează la lecția despre conice și analiză.

Întrebări frecvente

Ce este metoda dedublării?

Este procedeul prin care ecuația tangentei într-un punct al unei conice se obține direct din ecuația curbei, înlocuind $x^2$ cu $x{x}_0$, $y^2$ cu $y{y}_0$, $2x$ cu $x+x_0$ și $2y$ cu $y+y_0$, unde $(x_0,y_0)$ sunt coordonatele punctului. Termenul liber rămâne neschimbat, iar rezultatul este o ecuație de gradul întâi, deci o dreaptă.

Care este formula tangentei la elipsă într-un punct al ei?

Pentru elipsa $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ și punctul $M_0(x_0,y_0)$ de pe ea, tangenta are ecuația $\frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}=1$. Se obține prin dedublare și se demonstrează punând condiția ca dreptele prin $M_0$ să taie elipsa într-un punct dublu, ceea ce duce la o ecuație cu rădăcină unică în pantă.

Cum se demonstrează formula de dedublare?

La cerc, scriind tangenta ca perpendiculară pe rază și rearanjând termenii cu ajutorul ecuației cercului. La elipsă, impunând condiția de tangență $n^2=a^2{m}^2+b^2$ dreptelor care trec prin punct: ecuația obținută în pantă devine un pătrat perfect, deci are o singură soluție. La hiperbolă și la parabolă se verifică apariția rădăcinii duble.

Se poate aplica dedublarea unui punct care nu este pe conică?

Nu, pentru tangentă. Toate demonstrațiile folosesc faptul că punctul verifică ecuația curbei, iar fără această ipoteză dreapta obținută nu mai atinge conica. Dintr-un punct exterior tangentele se determină altfel: se scriu dreptele prin acel punct și se pune condiția de tangență, care devine o ecuație în pantă.

Câte tangente se pot duce dintr-un punct la o conică?

Dintr-un punct al conicei se duce exact una. Dintr-un punct exterior se duc exact două, dintre care una poate fi verticală și trebuie verificată separat, pentru că fasciculul de drepte cu pantă nu o conține. Dintr-un punct interior nu se poate duce niciuna, fiindcă orice dreaptă prin el taie curba de două ori. Numărul „două" se referă la cerc, la elipsă și la parabolă; la hiperbolă apar două excepții — din centru nu se duce nicio tangentă, iar dintr-un punct al unei asimptote, diferit de centru, se duce exact una.

De ce în formula parabolei apare $p$ și nu $2p$?

Pentru că regula spune $2x\to x+x_0$, adică termenul liniar își pierde coeficientul $2$. În $y^2=2px$ termenul liniar este $2p\cdot x$, deci dedublarea îl duce în $p(x+x_0)$. Concret, pentru $y^2=20x$ avem $2p=20$, deci $p=10$, iar tangenta este $y{y}_0=10(x+x_0)$.

Cum verific rapid că dreapta scrisă este într-adevăr tangentă?

Substitui ecuația dreptei în ecuația conicei: trebuie să obții o ecuație de gradul al doilea cu discriminantul zero, deci un pătrat perfect. La cerc, controlul este și mai scurt: distanța de la centru la dreaptă trebuie să fie exact raza. În ambele cazuri, verificarea durează sub un minut.

Apar conicele în subiectele de Bacalaureat M1?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut, pentru că ele intră în examen odată cu programa nouă. Tangenta prin dedublare rămâne însă materie de clasa a 12-a și una dintre cele mai probabile cerințe de examen, fiind scurtă de scris și ușor de punctat pe pași.