Ecuația tangentei la grafic: pe scurt

Panta secantei prin $M_0(x_0,f(x_0))$ și $M(x,f(x))$ este raportul de diferențe; când $M\to M_0$ pe grafic, secantele se rotesc spre o poziție-limită. De aici, interpretarea geometrică a derivatei: $f^{\prime }(x_0)$ este panta tangentei la graficul lui $f$ în punctul $M_0$.

Având un punct și o pantă, ecuația tangentei se scrie imediat: $$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$$ Algoritmul are patru pași: verifici derivabilitatea în $x_0$, calculezi $f(x_0)$, calculezi $f^{\prime }(x_0)$, scrii ecuația. Controlul gratuit: pentru $x=x_0$ ecuația trebuie să dea $y=f(x_0)$. La $f(x)=x^2$ și $x_0=1$ obții $y=2x-1$.

Legătura cu unghiul: $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}\alpha$, unde $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$ este unghiul făcut de tangentă cu semiaxa pozitivă $Ox$. Derivată pozitivă înseamnă unghi ascuțit, derivată negativă înseamnă unghi obtuz.

Două cazuri speciale: dacă $f^{\prime }(x_0)=0$, tangenta este orizontală, $y=f(x_0)$; dacă $f^{\prime }(x_0)$ este infinită, tangenta este verticală, $x=x_0$, și nu are pantă — formularea „panta este infinită" se depunctează.

Problemele inverse pornesc de la altceva decât punctul de tangență: tangentă de pantă dată sau paralelă cu o dreaptă ($f^{\prime }(x_0)=m$), perpendiculară pe o dreaptă ($f^{\prime }(x_0)\cdot m_d=-1$), dusă dintr-un punct exterior $P(a,b)$ (se impune $b-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(a-x_0)$). Necunoscuta reală este mereu $x_0$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x$, în punctul de abscisă $x_0=3$ este:

   • a) $y=4x+3$
   • b) $y=3x-4$
   • c) $y=4x-3$
   • d) $y=4x-9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $y=4x-9$

   $f(3)=9-6=3$ și $f^{\prime }(3)=4$ (din definiție, $\frac{x^2-2x-3}{x-3}=x+1\to 4$). Ecuația este $y-3=4(x-3)$, adică $y=4x-9$. Controlul: pentru $x=3$ se obține $y=3=f(3)$; variantele $y=4x+3$ și $y=4x-3$ nu trec prin punctul de tangență.

2. Graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x-1}$, are în punctul de abscisă $x_0=1$:

   • a) tangentă orizontală, de ecuație $y=0$
   • b) tangentă verticală, de ecuație $x=1$, care nu are pantă
   • c) tangentă de pantă $+\infty$
   • d) două semitangente distincte
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) tangentă verticală, de ecuație $x=1$, care nu are pantă

   $f(1)=0$, iar raportul $\frac{\sqrt[3]{x-1}}{x-1}=\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1{)}^2}}$ tinde la $+\infty$ din ambele părți. Derivata există și este infinită, deci tangenta este dreapta verticală $x=1$. Formularea corectă este că această dreaptă nu are pantă, fiindcă $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există.

3. Tangenta la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, este paralelă cu dreapta $d:y=12x+5$ în punctele de abscise:

   • a) doar $x_0=2$
   • b) $x_0\in \{-4,4\}$
   • c) $x_0\in \{-2,2\}$
   • d) $x_0=\pm \sqrt{12}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $x_0\in \{-2,2\}$

   Două drepte neverticale sunt paralele exact când au aceeași pantă, deci condiția este $f^{\prime }(x_0)=12$. Cum $f^{\prime }(x_0)=3x_0^2$, obținem $3x_0^2=12$, adică $x_0^2=4$ și $x_0\in \{-2,2\}$. Soluția negativă nu se pierde: pătratul are două rădăcini.