Interpretarea geometrică a derivatei. Ecuația tangentei la grafic

Un schior coboară pe o pârtie a cărei siluetă, văzută din lateral, este graficul unei funcții. În fiecare clipă el nu simte forma întregii pârtii, ci înclinația din locul unde se află — atât cât să știe dacă accelerează sau frânează. Dacă i-ai da coordonatele punctului și ți-ar cere un singur număr care descrie panta de sub schiuri, acel număr nu s-ar putea obține din două puncte ale pârtiei: două puncte dau înclinația medie dintre ele, nu pe cea de sub el.

Numărul căutat există și îl ai deja calculat: este derivata funcției în punctul respectiv. Lecția aceasta face legătura care dă sens geometric întregii teorii construite la definiția derivatei într-un punct: derivata este panta tangentei la grafic. Din ea rezultă imediat un instrument de lucru cerut în aproape fiecare sesiune de Bacalaureat M1 — ecuația tangentei —, iar drumul trece exact prin panta unei drepte, așa cum ai definit-o la lecția Panta unei drepte: tangenta unghiului format cu axa $Ox$.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici de ce panta tangentei la graficul lui $f$ în punctul de abscisă $x_0$ este exact $f^{\prime }(x_0)$, pornind de la pantele secantelor.
• Vei ști să scrii ecuația tangentei $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ și să o aduci la forma explicită.
• Vei ști să determini unghiul pe care tangenta îl face cu axa $Ox$, din relația $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}\alpha$.
• Vei ști să recunoști tangenta orizontală ($f^{\prime }(x_0)=0$) și tangenta verticală ($f^{\prime }(x_0)$ infinită), și să spui corect că în al doilea caz panta nu este definită.
• Vei ști să rezolvi problemele inverse: tangentă de pantă dată, tangentă paralelă cu o dreaptă dată, tangente duse dintr-un punct exterior graficului.

Hai să descoperim împreună

1. De la secante la tangentă

Fie $f$ o funcție și $M_0(x_0,f(x_0))$ un punct fixat de pe graficul ei. Luăm un al doilea punct de pe grafic, $M(x,f(x))$, cu $x\ne x_0$. Dreapta $M_{0}M$ se numește secantă (taie graficul în cel puțin două puncte). Ea trece prin două puncte cunoscute, deci panta ei se calculează cu formula din lecția Panta unei drepte:

$$m_{\text{sec}}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Privește cu atenție membrul drept: este exact raportul de diferențe din definiția derivatei. Nu e o coincidență, ci sensul lui geometric. Fiecare valoare a raportului este panta unei secante, iar mulțimea tuturor secantelor prin $M_0$ formează un evantai de drepte.

Ce se întâmplă când $x$ se apropie de $x_0$? Punctul $M$ alunecă pe grafic către $M_0$, secanta se rotește în jurul lui $M_0$, iar pantele ei se apropie de un număr — dacă acest număr există și e finit, el este, prin definiție, $f^{\prime }(x_0)$.

Merită numită diferența dintre cele două mărimi, pentru că ea explică de ce era nevoie de o noțiune nouă. Panta secantei este o pantă medie: ea comprimă într-un singur număr tot ce se întâmplă între $x_0$ și $x$, indiferent cât de agitat ar fi graficul între ele. Panta tangentei este o pantă instantanee: descrie doar punctul $x_0$, dar îl descrie exact. Trecerea de la prima la a doua nu se poate face prin niciun calcul finit, ci numai printr-o limită — motiv pentru care întregul capitol de limite a trebuit construit înaintea derivatelor. Construcția aceasta ai văzut-o deja pusă la lucru în lecția Problema tangentei și definiția derivatei într-un punct; lecția de față îi dă forma de instrument: o ecuație pe care o poți scrie în treizeci de secunde.

2. Definiția tangentei la grafic

Până acum, cuvântul „tangentă" îți era familiar de la cerc, unde însemna „dreaptă care atinge cercul într-un singur punct". Definiția aceasta nu se poate transporta la grafice oarecare: dreapta $y=0$ atinge graficul funcției $f(x)=x^2$ într-un singur punct și chiar e tangentă, dar axa $Oy$ atinge același grafic tot într-un singur punct fără să fie tangentă la el. Trebuie deci o definiție nouă, iar ea vine din procesul de mai sus.

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0\in D$ un punct în care $f$ are derivată. Tangenta la graficul lui $f$ în punctul $M_0(x_0,f(x_0))$ este poziția-limită a secantelor $M_{0}M$ atunci când $M\to M_0$ pe grafic. Concret:

• dacă $f$ este derivabilă în $x_0$ (adică $f^{\prime }(x_0)$ există și e finită), tangenta este dreapta care trece prin $M_0$ și are panta $m=f^{\prime }(x_0)$;
• dacă $f^{\prime }(x_0)=+\infty$ sau $f^{\prime }(x_0)=-\infty$, tangenta este dreapta verticală $x=x_0$.

Interpretarea geometrică a derivatei, formulată ca atare: derivata unei funcții într-un punct este panta tangentei la graficul funcției în punctul respectiv. Este afirmația pe care programa o cere sub numele „asocierea expresiei derivatei cu semnificația geometrică a tangentei la graficul funcției într-un punct dat".

Observă ce s-a schimbat față de geometria de gimnaziu: tangenta nu mai e definită prin câte puncte comune are cu curba, ci prin cum se apropie de curbă. O tangentă poate foarte bine să taie graficul și în alte locuri — vei vedea la exemplul 4 un caz în care se întâmplă exact asta.

3. Ecuația tangentei

Avem un punct și o pantă, deci suntem exact în situația din lecția Ecuația dreptei care trece printr-un punct și are panta dată: dreapta prin $M_0(x_0,y_0)$ de pantă $m$ are ecuația $y-y_0=m(x-x_0)$. Înlocuim $y_0=f(x_0)$ și $m=f^{\prime }(x_0)$:

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$$

Aceasta este ecuația tangentei și se reține în această formă, nu în forma explicită. Motivul e practic: forma de mai sus se scrie direct din cele două numere pe care le calculezi ($f(x_0)$ și $f^{\prime }(x_0)$), fără niciun risc de eroare, iar aducerea la $y=mx+n$ este o simplă desfacere de paranteze, făcută la sfârșit.

Algoritmul complet, în patru pași, valabil la orice exercițiu din această familie:

1. Verifici că $f$ este derivabilă în $x_0$ (sugestia metodologică a programei insistă pe „observarea prealabilă a derivabilității"). Dacă nu e, tangenta poate să nu existe sau să fie verticală.
2. Calculezi $f(x_0)$ — ordonata punctului de tangență.
3. Calculezi $f^{\prime }(x_0)$ — panta.
4. Scrii $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ și, dacă se cere, aduci la forma explicită.

Un control care nu costă nimic: după ce ai scris ecuația, înlocuiește $x=x_0$ în ea. Trebuie să obții $y=f(x_0)$. Dacă nu obții, ai greșit un semn.

4. Unghiul dintre tangentă și axa $Ox$

Panta unei drepte este tangenta unghiului $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$ pe care dreapta îl face cu semiaxa pozitivă $Ox$, măsurat în sens trigonometric. Prin urmare:

$$f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}\alpha .$$

De aici se citește imediat semnul derivatei ca informație geometrică:

Valorile remarcabile se recunosc dintr-o privire: $f^{\prime }(x_0)=1$ înseamnă $\alpha =45^{\circ }$, $f^{\prime }(x_0)=\sqrt{3}$ înseamnă $\alpha =60^{\circ }$, $f^{\prime }(x_0)=-1$ înseamnă $\alpha =135^{\circ }$. Când valoarea nu e remarcabilă, răspunsul se scrie cu funcția arctangentă, $\alpha =\mathrm{arctg}(f^{\prime }(x_0))$ pentru $f^{\prime }(x_0)>0$, la fel ca la lecția despre pantă. Pentru $f^{\prime }(x_0)<0$ funcția arctangentă dă un unghi negativ, deci se adaugă $180^{\circ }$: $\alpha =180^{\circ }+\mathrm{arctg}(f^{\prime }(x_0))$, ca să rămânem în intervalul convenit $[0^{\circ },180^{\circ })$.

Un avantaj practic al citirii cu unghiuri este că îți dă un control vizual gratuit. După ce ai calculat derivata, uită-te la graficul funcției în vecinătatea punctului: dacă acolo curba urcă, iar tu ai obținut un număr negativ, undeva s-a strecurat o greșeală de semn. Elevii care fac acest control ajung rar să predea o tangentă orientată invers, iar în baremele de Bacalaureat M1 semnul pantei costă, de regulă, tot punctajul subpunctului.

5. Cele două cazuri speciale

Tangenta orizontală. Dacă $f^{\prime }(x_0)=0$, ecuația devine $y=f(x_0)$: o dreaptă paralelă cu $Ox$. Aceste puncte vor deveni, peste câteva lecții, candidații la extrem — dar deocamdată reține doar citirea geometrică: graficul „se așază" pentru o clipă.

Tangenta verticală. Dacă $f^{\prime }(x_0)$ este $+\infty$ sau $-\infty$, atunci $f$ nu este derivabilă în $x_0$, dar are derivată în $\overline{\mathbb{R}}$, iar secantele se rotesc către poziția verticală. Tangenta există și are ecuația

$$x=x_0.$$

Aici se cere formularea exactă, cea punctată în barem: dreapta verticală nu are pantă — nu se spune „panta este infinită", pentru că $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există, iar infinitul nu este număr real. Exemplul-etalon este $f(x)=\sqrt[3]{x}$ în $x_0=0$: raportul de diferențe este $\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\to +\infty$, deci tangenta la grafic în origine este axa $Oy$.

Situațiile în care graficul are, în același punct, două semitangente diferite — colțuri și întoarceri — fac obiectul lecției următoare, Puncte unghiulare și puncte de întoarcere. Acolo instrumentul este perechea de derivate laterale de la Derivate laterale; aici lucrăm doar cu puncte în care derivata există, aceeași din ambele părți.

6. Cum se calculează pantele în această lecție

Regulile generale de derivare (sumă, produs, cât) vin abia la lecția 100, iar tabelul complet al derivatelor uzuale, la lecția Derivatele funcțiilor uzuale. Până atunci fiecare pantă se obține din definiție, exact cum ai făcut la lecțiile 94–96. Trei calcule care acoperă aproape toate exercițiile de azi:

$$\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=x+x_0⟶2x_0;\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}=x^2+x{x}_0+x_0^2⟶3x_0^2.$$

$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}⟶\frac{1}{2\sqrt{x_0}};\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0}=\frac{-1}{x{x}_0}⟶-\frac{1}{x_0^2}.$$

Când în expresie apar și termeni de grad întâi sau constante, ele se separă în raport, nu prin vreo regulă de derivare. De pildă, pentru $f(x)=x^3-3x+2$:

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}-3\cdot \frac{x-x_0}{x-x_0}=x^2+x{x}_0+x_0^2-3⟶3x_0^2-3,$$

iar trecerea la limită se face cu operațiile cu limite de funcții. Constanta $2$ s-a simplificat singură, pentru că apare și la $f(x)$, și la $f(x_0)$.

7. Problemele inverse

Cele trei tipuri care apar constant în subiectele de Bacalaureat M1 pornesc de la altceva decât punctul de tangență.

(a) Tangentă de pantă dată $m$. Rezolvi ecuația $f^{\prime }(x_0)=m$; fiecare soluție dă un punct de tangență și o tangentă. Varianta cea mai frecventă: tangenta paralelă cu dreapta $d:y=mx+n$ — două drepte neverticale sunt paralele exact când au aceeași pantă, deci condiția e tot $f^{\prime }(x_0)=m$.

(b) Tangentă perpendiculară pe o dreaptă dată. Din criteriul de perpendicularitate, $f^{\prime }(x_0)\cdot m_d=-1$, deci $f^{\prime }(x_0)=-\frac{1}{m_d}$, cu $m_d\ne 0$.

(c) Tangente duse dintr-un punct exterior $P(a,b)$. Aici $P$ nu este punctul de tangență, deci nu poți scrie direct nimic. Metoda: notezi cu $x_0$ abscisa (necunoscută a) punctului de tangență, scrii ecuația tangentei în $x_0$, apoi impui ca $P$ să verifice acea ecuație:

$$b-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(a-x_0).$$

Obții o ecuație în $x_0$; fiecare soluție dă o tangentă. Dintr-un punct exterior pot pleca două tangente, una singură sau niciuna.

(d) Tangentă paralelă cu o coardă. Dacă $A(a,f(a))$ și $B(b,f(b))$ sunt două puncte ale graficului, coarda $AB$ are panta $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, iar condiția devine $f^{\prime }(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Că o astfel de abscisă $x_0$ există întotdeauna între $a$ și $b$ este conținutul unei teoreme pe care o vei întâlni la lecția 106; deocamdată o găsim prin calcul, caz cu caz.

(e) „Arătați că dreapta $d$ este tangentă la grafic". Formularea aceasta apare des și se rezolvă în două mișcări, nu într-una singură. Nu e suficient ca dreapta să aibă un punct comun cu graficul, și nici să aibă panta potrivită undeva: trebuie ca în același punct să fie îndeplinite ambele condiții. Concret, dacă $d:y=mx+n$, se caută $x_0$ care verifică simultan

$$f^{\prime }(x_0)=m\text{și}f(x_0)=m{x}_0+n.$$

Prima ecuație spune că înclinarea se potrivește, a doua că dreapta chiar trece prin punctul de pe grafic. Dacă sistemul are soluție, dreapta e tangentă (în punctul găsit); dacă nu are, dreapta poate tăia graficul, dar nu îi este tangentă nicăieri. Ordinea recomandată la scris este cea de mai sus: din prima ecuație scoți candidații pentru $x_0$, apoi îi treci prin a doua.

O observație de metodă valabilă pentru toate cele cinci tipuri: necunoscuta reală a problemei este $x_0$, nu ecuația tangentei. Aproape toate erorile la acest capitol vin din graba de a scrie o ecuație înainte de a ști despre ce punct de tangență e vorba. Scrie întâi propoziția „fie $x_0$ abscisa punctului de tangență", tratează $f(x_0)$ și $f^{\prime }(x_0)$ ca expresii în $x_0$ și abia la final înlocuiește valorile găsite.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tangenta la o parabolă

Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, în punctul de abscisă $x_0=3$.

Rezolvare. Funcția este derivabilă pe $\mathbb{R}$, deci pasul 1 e îndeplinit. Ordonata punctului: $f(3)=9$. Panta, din definiție:

$$f^{\prime }(3)=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }(x+3)=6.$$

Ecuația tangentei: $y-9=6(x-3)$, adică $y=6x-9$.

Control. Pentru $x=3$ dreapta dă $y=18-9=9=f(3)$. ✓

Exemplul 2 — Tangenta la graficul funcției radical

Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, în punctul de abscisă $x_0=4$.

Rezolvare. Pe $(0,+\infty )$ funcția este derivabilă, iar $4$ e punct interior domeniului. Avem $f(4)=2$ și

$$f^{\prime }(4)=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{4}.$$

Ecuația: $y-2=\frac{1}{4}(x-4)$, adică $y=\frac{x}{4}+1$.

Control. Pentru $x=4$: $y=1+1=2=f(4)$. ✓ Merită observat că în $x_0=0$ raționamentul nu s-ar putea repeta: acolo funcția nu e derivabilă, iar tangenta este verticală.

Exemplul 3 — Tangenta la hiperbolă și unghiul ei

Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$. Scrieți ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0=2$ și precizați natura unghiului format cu axa $Ox$.

Rezolvare. $f(2)=\frac{1}{2}$, iar

$$f^{\prime }(2)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2-x}{2x(x-2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(-\frac{1}{2x}\right)=-\frac{1}{4}.$$

Ecuația: $y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)$, adică $y=-\frac{x}{4}+1$.

Panta fiind negativă, unghiul $\alpha$ este obtuz; mai precis $\mathrm{tg}\alpha =-\frac{1}{4}$, deci $\alpha =180^{\circ }-\mathrm{arctg}\frac{1}{4}\approx 166^{\circ }$. Tangenta coboară — ceea ce se potrivește cu forma hiperbolei pe $(0,+\infty )$.

Exemplul 4 — O tangentă care taie graficul

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$. Scrieți ecuația tangentei în $x_0=1$ și aflați toate punctele comune ale tangentei cu graficul.

Rezolvare. $f(1)=1$ și $f^{\prime }(1)=\underset{x\to 1}{\lim }(x^2+x+1)=3$, deci tangenta este $y-1=3(x-1)$, adică $y=3x-2$.

Punctele comune se află rezolvând $x^3=3x-2$, adică $x^3-3x+2=0$. Cum $x=1$ este soluție (chiar punctul de tangență), împărțim și obținem $x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1{)}^2(x+2)$. Soluțiile sunt $x=1$ (dublă) și $x=-2$.

Așadar tangenta atinge graficul în $(1,1)$ și îl taie în $(-2,-8)$ — verificare: $3\cdot (-2)-2=-8$. ✓ Iată de ce definiția „atinge într-un singur punct" nu funcționează pentru grafice: tangenta este o noțiune locală, nu una globală.

Exemplul 5 — Tangente dintr-un punct exterior

Determinați ecuațiile tangentelor la graficul funcției $f(x)=x^2$ care trec prin punctul $P(0,-1)$.

Rezolvare. Punctul $P$ nu este pe grafic (ar trebui ca $-1=0^2$). Notăm cu $x_0$ abscisa punctului de tangență. Tangenta în $x_0$ are ecuația $y-x_0^2=2x_0(x-x_0)$, adică $y=2x_{0}x-x_0^2$.

Impunem ca $P(0,-1)$ să o verifice: $-1=2x_0\cdot 0-x_0^2$, deci $x_0^2=1$ și $x_0\in \{-1,1\}$.

• pentru $x_0=1$: $y=2x-1$;
• pentru $x_0=-1$: $y=-2x-1$.

Control. Ambele drepte trec prin $P$ (pentru $x=0$ dau $y=-1$) și ating parabola în $(1,1)$, respectiv $(-1,1)$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+2$. a) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă $x_0=2$. b) Determinați abscisele punctelor în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta $d:y=9x+5$.

Rezolvare. Din calculul de la punctul 6 al lecției, $f^{\prime }(x_0)=3x_0^2-3$.

a) $f(2)=8-6+2=4$ și $f^{\prime }(2)=3\cdot 4-3=9$. Tangenta: $y-4=9(x-2)$, adică $y=9x-14$. Control: pentru $x=2$, $y=18-14=4$. ✓

b) Dreapta $d$ are panta $9$. Paralelismul cere $f^{\prime }(x_0)=9$, adică $3x_0^2-3=9$, deci $x_0^2=4$ și $x_0\in \{-2,2\}$. Abscisele cerute sunt $-2$ și $2$; tangentele corespunzătoare sunt $y=9x-14$ (de la punctul a) și, pentru $x_0=-2$ cu $f(-2)=-8+6+2=0$, dreapta $y=9x+18$. Cele două sunt distincte între ele și distincte de $d$, deci ambele sunt tangente paralele cu $d$, nu confundate cu ea.

Să exersăm

1. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f(x)=x^2$ în punctul de abscisă $x_0=-2$.

2. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f(x)=x^3$ în punctul de abscisă $x_0=-1$.

3. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, în punctul de abscisă $x_0=1$.

4. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f(x)=\sqrt{x}$ în punctul de abscisă $x_0=9$.

5. Determinați punctul în care tangenta la graficul funcției $f(x)=x^2-4x+3$ este orizontală și scrieți ecuația acelei tangente.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+2$. Scrieți ecuația tangentei la graficul lui $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $f^{\prime }(x_0)=0$, atunci tangenta la grafic în punctul de abscisă $x_0$ este paralelă cu axa $Ox$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) O dreaptă tangentă la graficul unei funcții nu poate avea alte puncte comune cu graficul.

9. Determinați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției $f(x)=x^2$ face un unghi de $45^{\circ }$ cu axa $Ox$.

10. Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f(x)=x^2$ care este paralelă cu dreapta $d:y=3x+1$.

11. Determinați ecuațiile tangentelor duse din punctul $P(2,0)$ la graficul funcției $f(x)=x^2$.

12. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$. Ce fel de tangentă are graficul în origine? Scrieți-i ecuația.

13. Fie $f(x)=x^2$ și punctele $A(1,1)$, $B(3,9)$ de pe graficul ei. Determinați abscisa punctului în care tangenta la grafic este paralelă cu coarda $AB$.

14. (Problemă aplicată.) Distanța parcursă de un mobil, în metri, după $t$ secunde, este $s(t)=t^2$, $t\ge 0$. Scrieți ecuația tangentei la graficul lui $s$ în punctul de abscisă $t_0=3$ și explicați ce reprezintă panta ei.

15. Determinați $a\in \mathbb{R}$ astfel încât tangenta la graficul funcției $f(x)=a{x}^2$ în punctul de abscisă $x_0=1$ să aibă panta $6$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$, în punctul de abscisă $x_0=0$.

17. Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f(x)=x^2$ care este perpendiculară pe dreapta $d:y=-\frac{x}{4}+7$.

18. (Provocare.) Arătați că tangenta la graficul funcției $f(x)=x^2$ în punctul de abscisă $x_0\ne 0$ intersectează axa $Ox$ în punctul de abscisă $\frac{x_0}{2}$.

Răspunsuri și explicații

1. $f(-2)=4$, $f^{\prime }(-2)=2\cdot (-2)=-4$. Tangenta: $y-4=-4(x+2)$, adică $y=-4x-4$. Control: pentru $x=-2$, $y=8-4=4$. ✓

2. $f(-1)=-1$, $f^{\prime }(-1)=3\cdot (-1{)}^2=3$. Tangenta: $y+1=3(x+1)$, adică $y=3x+2$. Control: pentru $x=-1$, $y=-3+2=-1$. ✓

3. $f(1)=1$, $f^{\prime }(1)=-\frac{1}{1^2}=-1$. Tangenta: $y-1=-(x-1)$, adică $y=-x+2$.

4. $f(9)=3$, $f^{\prime }(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}$. Tangenta: $y-3=\frac{1}{6}(x-9)$, adică $y=\frac{x}{6}+\frac{3}{2}$.

5. $f^{\prime }(x_0)=2x_0-4=0$ dă $x_0=2$, iar $f(2)=4-8+3=-1$. Punctul este $(2,-1)$, tangenta este $y=-1$ (vârful parabolei).

6. $f(1)=1-3+2=0$ și $f^{\prime }(1)=3-3=0$. Tangenta este orizontală: $y=0$, adică chiar axa $Ox$.

7. Adevărat. $f^{\prime }(x_0)=0$ înseamnă $\mathrm{tg}\alpha =0$, deci $\alpha =0^{\circ }$, iar ecuația devine $y=f(x_0)$ — o dreaptă paralelă cu $Ox$ (sau chiar $Ox$, dacă $f(x_0)=0$).

8. Fals. Contraexemplul din exemplul 4: tangenta la graficul lui $f(x)=x^3$ în $x_0=1$ este $y=3x-2$ și mai taie graficul în $(-2,-8)$. Tangența este o proprietate locală, în vecinătatea punctului.

9. $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$, deci $2x_0=1$ și $x_0=\frac{1}{2}$. Punctul este $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$.

10. Panta lui $d$ este $3$, deci $2x_0=3$, $x_0=\frac{3}{2}$, $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}$. Tangenta: $y-\frac{9}{4}=3\left(x-\frac{3}{2}\right)$, adică $y=3x-\frac{9}{4}$.

11. Tangenta în $x_0$ este $y=2x_{0}x-x_0^2$. Impunem $0=4x_0-x_0^2$, deci $x_0(x_0-4)=0$ și $x_0\in \{0,4\}$. Tangentele sunt $y=0$ (axa $Ox$, tangentă în origine) și $y=8x-16$ (tangentă în $(4,16)$). Ambele trec prin $P(2,0)$. ✓

12. Raportul de diferențe în $0$ este $\frac{\sqrt[3]{x}-0}{x-0}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\to +\infty$ din ambele părți, deci $f$ nu este derivabilă în $0$, dar are derivată $+\infty$. Tangenta este verticală, de ecuație $x=0$ (axa $Oy$), și nu are pantă.

13. Panta coardei: $\frac{9-1}{3-1}=4$. Din $2x_0=4$ rezultă $x_0=2$, punctul $(2,4)$.

14. $s(3)=9$ și $s^{\prime }(3)=6$. Tangenta: $y-9=6(t-3)$, adică $y=6t-9$. Panta $6$ este viteza instantanee a mobilului la momentul $t=3$, măsurată în metri pe secundă: derivata distanței în raport cu timpul.

15. $\frac{a{x}^2-a}{x-1}=a(x+1)\to 2a$, deci $f^{\prime }(1)=2a$. Din $2a=6$ rezultă $a=3$.

16. $f(0)=1$, iar $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ — exact limita fundamentală demonstrată la lecția despre limitele fundamentale cu exponențială și logaritm, în cazul $a=e$. Tangenta: $y-1=1\cdot (x-0)$, adică $y=x+1$.

17. Panta lui $d$ este $-\frac{1}{4}$, deci panta tangentei trebuie să verifice $m\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)=-1$, de unde $m=4$. Din $2x_0=4$ rezultă $x_0=2$ și $f(2)=4$. Tangenta: $y-4=4(x-2)$, adică $y=4x-4$.

18. Tangenta în $x_0$ are ecuația $y-x_0^2=2x_0(x-x_0)$, adică $y=2x_{0}x-x_0^2$. Punând $y=0$ obținem $2x_{0}x=x_0^2$, iar cum $x_0\ne 0$ putem simplifica: $x=\frac{x_0}{2}$. Proprietatea aceasta era cunoscută grecilor cu două mii de ani înaintea derivatelor și dă o metodă de a trasa tangenta la parabolă cu rigla.

De reținut

• Interpretarea geometrică a derivatei: $f^{\prime }(x_0)$ este panta tangentei la graficul lui $f$ în punctul $M_0(x_0,f(x_0))$, obținută ca limită a pantelor secantelor.
• Ecuația tangentei: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Se scrie în această formă, apoi se aduce la forma explicită dacă se cere.
• Legătura cu unghiul: $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}\alpha$, unde $\alpha$ este unghiul dintre tangentă și semiaxa pozitivă $Ox$; semnul derivatei spune dacă tangenta urcă sau coboară.
• Cazuri speciale: $f^{\prime }(x_0)=0$ dă tangentă orizontală $y=f(x_0)$; $f^{\prime }(x_0)$ infinită dă tangentă verticală $x=x_0$, care nu are pantă.
• Problemele inverse (tangentă de pantă dată, paralelă cu o dreaptă, dusă dintr-un punct exterior) se rezolvă notând cu $x_0$ abscisa necunoscută a punctului de tangență și punând condiția din enunț.

Greșeli frecvente

• Confunzi punctul dat cu punctul de tangență. Când problema cere tangenta dusă prin punctul $P$, iar $P$ nu e pe grafic, nu ai voie să scrii $f^{\prime }$ în abscisa lui $P$. Se notează cu $x_0$ abscisa punctului de tangență și se impune ca $P$ să verifice ecuația obținută.
• Scrii „panta tangentei verticale este infinită". Formularea corectă, cea punctată în baremele de Bacalaureat M1, este: dreapta este verticală, deci nu are pantă; $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există. Dreapta orizontală, în schimb, are pantă, egală cu $0$.
• Confunzi $f(x_0)$ cu $f^{\prime }(x_0)$ în ecuație. În $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, valoarea funcției stă în stânga, derivata este factorul din dreapta. Controlul cu $x=x_0$ prinde imediat inversarea.
• Uiți să verifici derivabilitatea. La funcții definite pe ramuri, cu modul sau cu radical, punctul cerut poate fi tocmai unul în care derivata nu există; atunci răspunsul nu este o ecuație de tangentă, ci discuția din lecția următoare.
• Crezi că tangenta atinge graficul într-un singur punct. Este definiția de la cerc, nu cea generală. Tangenta este poziția-limită a secantelor și poate intersecta graficul în alte puncte, chiar oricât de departe.

Aplică acasă

1. Desenează pe hârtie milimetrică graficul funcției $f(x)=x^2$ pentru $x\in [-3,3]$, folosind pasul $0,5$. Alege punctul de abscisă $1$ și trasează secantele către punctele de abscise $2$; $1,5$; $1,2$; $1,1$. Măsoară pantele cu rigla (raportul dintre creșterea pe verticală și cea pe orizontală) și compară șirul obținut cu valoarea $2$.
2. Fotografiază profilul unei rampe de acces, al unui acoperiș sau al unei pârtii, apoi suprapune peste imagine o riglă în punctul care ți se pare cel mai înclinat. Estimează panta acolo ca raport dintre două lungimi măsurate pe fotografie și transformă rezultatul în unghi cu ajutorul unui tabel de valori ale tangentei.
3. Deschide o aplicație de grafice (Desmos, GeoGebra sau echivalent) și trasează simultan $f(x)=x^3-3x+2$ și dreapta $y=mx+n$ obținută de tine la exercițiul 6. Mărește imaginea în jurul punctului de tangență până când cele două curbe devin vizual imposibil de deosebit — este exact conținutul geometric al derivatei.

Pentru părinți și profesori

Ce verifică lecția: (1) că elevul înțelege derivata ca limită a pantelor secantelor, nu doar ca formulă; (2) că scrie corect ecuația tangentei, în forma $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, și o poate aduce la forma explicită; (3) că deosebește tangenta orizontală de cea verticală și folosește formularea corectă pentru a doua; (4) că rezolvă problemele inverse notând cu $x_0$ abscisa necunoscută a punctului de tangență.

Întrebări de control: Ce reprezintă geometric numărul $f^{\prime }(2)$? — panta tangentei în punctul de abscisă $2$. De ce nu putem scrie tangenta pentru o funcție care nu are derivată în punct? — pentru că secantele nu au o singură poziție-limită. Ce se schimbă dacă panta iese negativă? — unghiul devine obtuz, tangenta coboară.

Semne că a înțeles: face singur controlul cu $x=x_0$ după ce scrie ecuația; nu confundă „tangentă la grafic" cu „dreaptă care atinge într-un punct"; la o problemă cu punct exterior, primul lucru pe care îl scrie este „fie $x_0$ abscisa punctului de tangență".

Unde apare la BAC M1: aproape în fiecare sesiune, la subiectul II sau III, sub formulările „scrieți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă…", „determinați ecuația tangentei paralele cu dreapta…" sau „arătați că tangenta în punctul… trece prin punctul…". Sunt exerciții de punctaj sigur, dacă algoritmul în patru pași e automatizat.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă, pe scurt, interpretarea geometrică a derivatei? Înseamnă că derivata unei funcții într-un punct este panta tangentei la graficul funcției în acel punct. Numărul $f^{\prime }(x_0)$ măsoară cât de înclinat este graficul exact acolo, nu în medie pe un interval.

Care este formula ecuației tangentei la un grafic? Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Ai nevoie de două numere: valoarea funcției în $x_0$ și valoarea derivatei în $x_0$.

Cum aflu unghiul dintre tangentă și axa $Ox$? Din relația $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}\alpha$. Dacă derivata este $1$, unghiul e de $45^{\circ }$; dacă este $\sqrt{3}$, e de $60^{\circ }$; dacă e negativă, unghiul este obtuz. Pentru valori oarecare pozitive se scrie $\alpha =\mathrm{arctg}(f^{\prime }(x_0))$.

Ce se întâmplă când derivata este zero? Tangenta este orizontală și are ecuația $y=f(x_0)$. Graficul „se așază" pentru o clipă; astfel de puncte devin, mai târziu, candidații la maxim sau minim local.

Poate o tangentă să fie verticală? Da, atunci când derivata în punct este $+\infty$ sau $-\infty$. Ecuația ei este $x=x_0$, iar formularea corectă este că dreapta nu are pantă — nu că panta ar fi infinită. Exemplul standard este $f(x)=\sqrt[3]{x}$ în origine.

Tangenta poate atinge graficul în mai multe puncte? Da. Tangența este o proprietate locală: cere doar ca dreapta să fie poziția-limită a secantelor în punctul respectiv. Tangenta la graficul lui $x^3$ în punctul de abscisă $1$ mai taie graficul o dată, în punctul de abscisă $-2$.

Cum scriu tangenta dusă dintr-un punct care nu e pe grafic? Notezi cu $x_0$ abscisa necunoscută a punctului de tangență, scrii ecuația tangentei în $x_0$, apoi impui ca punctul din enunț să o verifice. Obții o ecuație în $x_0$; fiecare soluție dă câte o tangentă.

De ce se cere verificarea derivabilității înainte de a scrie ecuația? Pentru că într-un punct fără derivată finită nu există o singură tangentă cu pantă: graficul poate avea tangentă verticală sau două semitangente diferite. Programa cere explicit „observarea prealabilă a derivabilității funcției".