Teorema de medie: pe scurt

Valoarea medie a unei funcții continue $f$ pe $[a,b]$ este $\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$: integrala împărțită la lungimea intervalului. Ea generalizează media aritmetică a unui număr finit de valori.

Teorema de medie spune că, dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$, atunci există $c\in [a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$: media este efectiv atinsă de funcție. Demonstrația folosește trei ingrediente — marginile atinse (teorema lui Weierstrass pentru funcții), monotonia integralei și proprietatea valorilor intermediare.

Interpretarea geometrică: dreptunghiul cu baza $[a,b]$ și înălțimea $f(c)$ are aceeași arie cu subgraficul funcției. Punctul $c$ se determină rezolvând ecuația $f(c)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$; el poate să nu fie unic, deci se spune „valorile $c$” până la constatarea unicității, iar intervalul din concluzie este închis, deci un capăt este o soluție acceptabilă.

Ipoteza de continuitate nu este decor: pentru o funcție în trepte nu există niciun $c$. Două capcane: valoarea medie a lui $f$ nu este $f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ decât la funcțiile de gradul întâi, iar factorul $b-a$ nu se pierde. Din demonstrație rămâne o unealtă independentă: încadrarea integralei, $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Valoarea medie a funcției $f:[0,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, este:

   • a) $72$
   • b) $12$
   • c) $9$
   • d) $36$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $12$

   Valoarea medie este $\frac{1}{6}{\int }_0^6{x}^{2}dx=\frac{1}{6}\cdot \frac{216}{3}=12$. Varianta $72$ este chiar integrala, fără împărțirea la $b-a$; varianta $9$ este $f\left(\frac{0+6}{2}\right)$ — egalitate valabilă numai la funcțiile de gradul întâi; varianta $36$ este $f(6)$.

2. Punctul $c$ dat de teorema de medie pentru $f:[1,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$, este:

   • a) $3$
   • b) $2$
   • c) $7$
   • d) $4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $3$

   Valoarea medie este $\frac{1}{4}{\int }_1^5(2x+1)dx=\frac{28}{4}=7$, iar ecuația $2c+1=7$ dă $c=3$ — mijlocul intervalului, ca la orice funcție de gradul întâi. Varianta $7$ confundă valoarea medie cu punctul în care este atinsă.

3. În concluzia teoremei de medie, punctul $c$:

   • a) este unic întotdeauna
   • b) există și fără ipoteza de continuitate
   • c) aparține numai intervalului deschis $(a,b)$
   • d) aparține intervalului închis $[a,b]$, deci poate fi și un capăt
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) aparține intervalului închis $[a,b]$, deci poate fi și un capăt

   Spre deosebire de teorema lui Lagrange, aici concluzia se scrie cu $c\in [a,b]$: demonstrația se sprijină pe valorile intermediare dintre marginile atinse, iar un capăt este o soluție legitimă. Unicitatea nu este garantată — la $\sin$ pe $[0,\pi ]$ există două valori —, iar fără continuitate concluzia poate fi falsă.