Teorema de medie și interpretarea ei geometrică

O stație meteo măsoară temperatura din secundă în secundă și afișează la sfârșitul zilei o singură cifră: temperatura medie. Nu e media a douăzeci și patru de valori luate din oră în oră, ci media unei funcții continue pe un interval de timp — exact obiectul pe care îl construim în această lecție de clasa a 12-a. Întrebarea firească este dacă temperatura afișată a fost vreodată temperatura reală: a existat oare o clipă din zi în care termometrul a arătat exact media?

Răspunsul este da, și nu ține de meteorologie, ci de o teoremă. Dacă mărimea măsurată variază continuu, atunci media ei pe interval este efectiv atinsă, cel puțin o dată, ca valoare instantanee. Rezultatul se numește teorema de medie și este, pentru integrale, ceea ce este teorema lui Lagrange pentru derivate: leagă o informație globală, acumulată pe tot intervalul, de o valoare locală, luată într-un singur punct. Din ea se nasc toate încadrările de integrale din subiectele de Bacalaureat M1 și, în lecția de peste două pagini, chiar demonstrația faptului că orice funcție continuă admite primitive.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești valoarea medie a unei funcții continue pe un interval și să o calculezi.
• Vei ști să enunți teorema de medie cu ipoteza corectă și cu concluzia scrisă în forma cerută de bareme.
• Vei ști să o demonstrezi, folosind mărginirea, monotonia integralei și proprietatea valorilor intermediare.
• Vei ști să-i explici interpretarea geometrică: dreptunghiul de aceeași arie cu subgraficul.
• Vei ști să determini efectiv punctul $c$, rezolvând ecuația $f(c)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$.
• Vei ști să recunoști situațiile în care ipoteza de continuitate cade și concluzia devine falsă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este valoarea medie a unei funcții pe un interval?

Media a $n$ numere se calculează împărțind suma lor la $n$. Dacă funcția $f$ ia valorile $f(x_1),f(x_2),\dots ,f(x_n)$ în $n$ puncte echidistante ale intervalului $[a,b]$, media acestor valori este $$\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}=\frac{1}{b-a}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\frac{b-a}{n}.$$ În dreapta recunoști o sumă Riemann a funcției $f$, împărțită la lungimea intervalului. Când $n$ crește, punctele se îndesesc, suma Riemann tinde către integrala definită, iar media celor $n$ valori tinde către un număr bine determinat. Acel număr merită numele de medie a funcției.

Valoarea medie a funcției $f$ pe intervalul $[a,b]$ este numărul obținut împărțind integrala definită a funcției la lungimea intervalului, adică $$\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx,$$ unde $f$ este continuă pe $[a,b]$ și $a<b$. Ea este limita mediilor aritmetice ale valorilor funcției în puncte tot mai dese ale intervalului.

Condiția $a<b$ nu e o formalitate: pentru $a=b$ împărțirea la $b-a$ nu are sens, iar convenția ${\int }_a^{a}f=0$ nu ajută. Media unei funcții se calculează, ca orice medie, pe un interval de lungime nenulă.

Exemplu. Pentru $f(x)=x^2$ pe $[0,3]$ avem, prin formula Leibniz–Newton, ${\int }_0^3{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^3=9$, deci $\mu =\frac{9}{3}=3$. Media pătratelor numerelor din $[0,3]$ este $3$, nu ${\left(\frac{0+3}{2}\right)}^2=2,25$ — media unei funcții nu e funcția aplicată mediei.

2. Care este enunțul teoremei de medie?

Teorema de medie. Fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ o funcție continuă, cu $a<b$. Atunci există $c\in [a,b]$ astfel încât $${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a),\text{echivalent}f(c)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx.$$

Trei observații care fac diferența la corectare.

(i) Ipoteza este una singură: continuitatea. Nu se cere derivabilitate, nu se cere monotonie, nu se cere semn constant. În schimb, continuitatea se cere pe tot intervalul închis $[a,b]$, inclusiv în capete (unde e vorba de continuitatea laterală dinspre interior).

(ii) Concluzia afirmă existența, nu unicitatea. Punctul $c$ există, dar pot exista mai multe asemenea puncte. Scrie „un punct $c$", nu „punctul $c$", până când ai rezolvat efectiv ecuația și ai constatat că soluția e unică.

(iii) Aici $c$ aparține intervalului ÎNCHIS $[a,b]$. E deosebirea de formă față de teorema lui Lagrange, unde $c$ este strict interior. Demonstrația de mai jos livrează exact atât: un punct din $[a,b]$, care poate coincide cu un capăt. Enunțul cu interval închis este cel folosit în manuale și în bareme, așa că el se reține.

Numărul $f(c)$ din concluzie este valoarea medie: teorema spune că valoarea medie a unei funcții continue este o valoare efectiv luată de funcție.

3. Cum se demonstrează teorema de medie?

Demonstrația are trei pași și folosește numai rezultate deja stabilite.

Pasul 1 — funcția are un cel mai mic și un cel mai mare element. Folosim un rezultat pe care îl admitem fără demonstrație: o funcție continuă pe un interval închis și mărginit $[a,b]$ este mărginită și își atinge marginile, adică există $x_m,x_M\in [a,b]$ cu $$m=f(x_m)\le f(x)\le f(x_M)=M\text{pentru orice }x\in [a,b].$$ Atenție la ce aduce el în plus: din proprietățile integralei definite știm deja că o funcție integrabilă este mărginită, dar mărginirea singură nu spune că marginile sunt atinse — or tocmai atingerea lor e ce ne trebuie la pasul $3$. Rezultatul poartă numele lui Weierstrass. ⚠️ Atenție la omonimie: în clasa a XI-a, teorema lui Weierstrass pentru șiruri spune cu totul altceva — că orice șir monoton și mărginit este convergent. Sunt două teoreme diferite ale aceluiași matematician; aici o folosim pe cea despre funcții.

Pasul 2 — încadrarea integralei. Funcțiile constante $x\mapsto m$ și $x\mapsto M$ sunt integrabile, cu ${\int }_a^{b}mdx=m(b-a)$ și ${\int }_a^{b}Mdx=M(b-a)$. Din $m\le f(x)\le M$ și din monotonia integralei, demonstrată în lecția despre proprietățile integralei definite, obținem $$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a).$$ Împărțim la $b-a>0$ și notăm cu $\mu$ valoarea medie: $$m\le \mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le M.$$

Pasul 3 — proprietatea valorilor intermediare. Numărul $\mu$ este cuprins între $f(x_m)=m$ și $f(x_M)=M$, iar $f$ este continuă pe intervalul determinat de $x_m$ și $x_M$, interval inclus în $[a,b]$. Conform proprietății valorilor intermediare, există un punct $c$ situat între $x_m$ și $x_M$ — deci $c\in [a,b]$ — cu $f(c)=\mu$. Înmulțind cu $b-a$ obținem ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$. $■$

Dacă $m=M$, funcția este constantă și orice $c\in [a,b]$ este bun; în acest caz pasul 3 nici nu e necesar.

Observație — a doua cale, și de ce nu o putem folosi ca demonstrație. Presupunem, pentru o clipă, că știm deja o primitivă $F$ a lui $f$ pe $[a,b]$. Atunci $F$ e derivabilă, deci continuă, iar formula Leibniz–Newton dă ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Aplicând lui $F$ teorema lui Lagrange obținem un $c\in (a,b)$ cu $F(b)-F(a)=F^{\prime }(c)(b-a)=f(c)(b-a)$ — exact concluzia, ba chiar cu $c$ strict interior. Drumul e scurt și merită reținut ca verificare la funcțiile uzuale, ale căror primitive sunt în tabel. El nu poate ține însă loc de demonstrație generală, pentru că presupune ceva ce nu am dovedit încă: că $f$ admite primitive. Tocmai acest fapt îl vom obține în lecția $116$, folosind teorema de medie — a o demonstra cu el ar însemna să ne învârtim în cerc.

4. Cum arată teorema de medie pe desen?

Presupunem, pentru desen, că $f\ge 0$. Atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx$ este aria subgraficului, iar $f(c)(b-a)$ este aria unui dreptunghi cu baza $[a,b]$ și înălțimea $f(c)$. Teorema de medie spune exact atât:

există o înălțime, luată chiar de pe grafic, pentru care dreptunghiul construit pe tot intervalul are aceeași arie cu subgraficul.

Citirea imaginii dă și intuiția demonstrației: dacă înălțimea dreptunghiului ar fi $m$, cea mai mică valoare, aria lui ar fi prea mică; dacă ar fi $M$, cea mai mare valoare, aria lui ar fi prea mare. Crescând înălțimea continuu de la $m$ la $M$, aria dreptunghiului crește continuu de la prea puțin la prea mult, deci trece prin valoarea potrivită.

Această citire justifică și numele „valoare medie": $f(c)$ este nivelul de echilibru al funcției pe interval. Dacă subgraficul ar fi un vas cu apă, iar apa s-ar liniști, suprafața ei s-ar opri exact la înălțimea $f(c)$.

Ipoteza $f\ge 0$ a fost folosită doar pentru desen, nu în teoremă. Când funcția schimbă semnul, integrala numără porțiunile de sub axă cu minus, valoarea medie poate fi negativă sau nulă, iar dreptunghiul de aceeași arie se construiește sub axa $Ox$. Exemplul $4$ de mai jos e chiar de acest tip: acolo $\mu =0$, dreptunghiul se turtește la un segment, iar cele două bucăți ale subgraficului — una sub axă, una deasupra — se anulează reciproc.

5. Cum se determină efectiv punctul $c$?

Cerința tipică de examen sună: „determinați $c$ dat de teorema de medie pentru funcția…". Procedura are patru pași și se scrie de fiecare dată la fel.

1. Verifici ipoteza, cu justificare: $f$ este continuă pe $[a,b]$ pentru că este polinomială, rațională cu numitorul nenul, compusă de funcții continue etc.
2. Calculezi integrala ${\int }_a^{b}f(x)dx$, cu formula Leibniz–Newton și tabelul primitivelor.
3. Calculezi valoarea medie $\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$ și rezolvi ecuația $f(c)=\mu$.
4. Reții soluțiile din $[a,b]$ și le enumeri pe toate. Dacă nu rămâne niciuna, ai greșit undeva — teorema garantează cel puțin una.

Exemplu. $f(x)=2x+1$ pe $[1,4]$. Continuă (polinomială). ${\int }_1^4(2x+1)dx=(x^2+x){|}_1^4=20-2=18$, deci $\mu =\frac{18}{3}=6$. Ecuația $2c+1=6$ dă $c=2,5$, care este mijlocul intervalului $[1,4]$. Nu e o coincidență: pentru orice funcție de gradul întâi, valoarea medie este valoarea din mijlocul intervalului.

Exemplu. $f(x)=\frac{1}{x}$ pe $[1,e]$. Continuă pe $(0,+\infty )$, deci pe $[1,e]$. ${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=\ln |x|{|}_1^e=1$, deci $\mu =\frac{1}{e-1}$. Ecuația $\frac{1}{c}=\frac{1}{e-1}$ dă $c=e-1\approx 1,7182818$, iar $1<e-1<e$. ✓

Exemplu — cu o funcție rațională. $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ pe $[0,1]$. Numitorul nu se anulează, deci $f$ e continuă pe $\mathbb{R}$. Cu rândul $12$ al tabelului primitivelor, ${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\frac{\pi }{4}$, deci $\mu =\frac{\pi }{4}\approx 0,7853982$. Ecuația $\frac{1}{1+c^2}=\frac{\pi }{4}$ dă $c^2=\frac{4}{\pi }-1$, adică $c=\sqrt{\frac{4-\pi }{\pi }}\approx 0,5227232\in [0,1]$ (soluția negativă se respinge, nefiind în interval).

Exemplu — două soluții. $f(x)=\sin x$ pe $[0,\pi ]$. ${\int }_0^{\pi }\sin xdx=(-\cos x){|}_0^{\pi }=2$, deci $\mu =\frac{2}{\pi }\approx 0,6366198$. Ecuația $\sin c=\frac{2}{\pi }$ are pe $[0,\pi ]$ două soluții: $c_1=\arcsin \frac{2}{\pi }\approx 0,6901071$ și $c_2=\pi -c_1\approx 2,4514856$. Ambele sunt bune.

Când ecuația nu se rezolvă exact. Se întâmplă des ca $f(c)=\mu$ să fie o ecuație transcendentă. Pentru $f(x)=x+e^x$ pe $[0,1]$ avem ${\int }_0^1(x+e^x)dx=\left(\frac{x^2}{2}+e^x\right){|}_0^1=e-\frac{1}{2}\approx 2,2182818$, deci $\mu =e-\frac{1}{2}$, iar ecuația $c+e^c=e-\frac{1}{2}$ nu are soluție exprimabilă cu funcțiile elementare. Teorema garantează totuși că ea are soluție în $[0,1]$: funcția $g(x)=x+e^x-\mu$ e continuă, cu $g(0)=1-\mu <0$ și $g(1)=1+e-\mu >0$. Valoarea se aproximează numeric, $c\approx 0,5259$. Într-un asemenea subiect de Bacalaureat M1 nu ți se cere valoarea, ci justificarea existenței — și ea se scrie în două rânduri.

6. De ce ipoteza de continuitate nu e decor

O funcție poate fi integrabilă fără să fie continuă — și atunci concluzia teoremei chiar cade.

Fie $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=0$ pentru $x\in [0,1)$ și $f(x)=1$ pentru $x\in [1,2]$. Funcția este mărginită și are un singur punct de discontinuitate, deci este integrabilă; prin aditivitatea în raport cu intervalul, ca în lecția despre integrala funcțiilor pe ramuri, $${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^{1}0dx+{\int }_1^{2}1dx=0+1=1.$$ Valoarea medie este $\mu =\frac{1}{2}$. Numai că funcția ia doar valorile $0$ și $1$: nu există niciun $c\in [0,2]$ cu $f(c)=\frac{1}{2}$. Concluzia teoremei este falsă, pentru că ipoteza a căzut.

Contraexemplul nu arată că teorema ar fi greșită, ci că ea nu are nimic de spus când ipotezele nu sunt îndeplinite. O teoremă este o promisiune condiționată: fără condiție, promisiunea pur și simplu nu se activează.

7. Ce deschide teorema de medie mai departe?

Privește din nou pasul 2 al demonstrației, izolat de restul: $$m\le f(x)\le M\text{ pe }[a,b]⟹m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a).$$ Aceasta este încadrarea integralei: fără să calculezi integrala, îi afli două margini, doar din marginile funcției. De pildă, pe $[0,1]$ avem $0\le x^2\le 1$, deci $1\le e^{x^2}\le e$, de unde $1\le {\int }_0^1{e}^{x^2}dx\le e$ — o încadrare obținută fără niciun calcul de primitivă, ceea ce e esențial, pentru că această integrală nici nu se poate calcula cu funcțiile din tabel. Este metoda pe care o dezvoltăm în lecția următoare, despre încadrarea și compararea integralelor, și cu care se rezolvă majoritatea inegalităților cu integrale din subiectele de Bacalaureat M1.

A doua deschidere e mai profundă. Dacă în locul capătului fix $b$ punem un capăt care se plimbă, integrala devine o funcție de acel capăt, iar teorema de medie aplicată pe intervale foarte scurte spune ceva despre viteza cu care crește această funcție. De aici se obține, în teorema de existență a primitivelor unei funcții continue, răspunsul la întrebarea rămasă deschisă încă de la lecția despre funcțiile care admit primitive: de ce orice funcție continuă are primitive. Teorema de medie este cheia acelei demonstrații.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valoarea medie a unei funcții polinomiale

Determinați valoarea medie a funcției $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, și punctul $c$ dat de teorema de medie.

Rezolvare. Funcția e polinomială, deci continuă pe $[0,2]$; teorema se aplică. $${\int }_0^2{x}^{3}dx=\frac{x^4}{4}{|}_0^2=\frac{16}{4}=4,\mu =\frac{4}{2-0}=2.$$ Ecuația $c^3=2$ are soluția reală unică $c=\sqrt[3]{2}\approx 1,2599210$, iar $\sqrt[3]{2}\in [0,2]$. ✓

Exemplul 2 — O funcție exponențială

Determinați $c$ dat de teorema de medie pentru $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$.

Rezolvare. Funcția exponențială e continuă pe $\mathbb{R}$, deci pe $[0,1]$. $${\int }_0^1{e}^{x}dx=e^x{|}_0^1=e-1,\mu =\frac{e-1}{1}=e-1\approx 1,7182818.$$ Ecuația $e^c=e-1$ dă $c=\ln (e-1)\approx 0,5413248$. Verificăm apartenența: $1<e-1<e$, deci $0<\ln (e-1)<1$. ✓

Exemplul 3 — Când sunt două puncte $c$

Determinați toate valorile $c$ date de teorema de medie pentru $f:[1,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+5$.

Rezolvare. Polinomială, deci continuă. $${\int }_1^3(x^2-4x+5)dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+5x\right){|}_1^3=6-\frac{10}{3}=\frac{8}{3},$$ deci $\mu =\frac{8/3}{2}=\frac{4}{3}$. Ecuația $c^2-4c+5=\frac{4}{3}$ devine $c^2-4c+\frac{11}{3}=0$, cu $\Delta =16-\frac{44}{3}=\frac{4}{3}$, deci $c_{1,2}=2\pm \frac{1}{\sqrt{3}}=2\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Numeric, $c_1\approx 1,4226497$ și $c_2\approx 2,5773503$, ambele în $[1,3]$. ✓

Exemplul 4 — Un punct $c$ chiar în capăt

Determinați valorile $c$ date de teorema de medie pentru $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x$.

Rezolvare. Continuă. ${\int }_0^3(x^2-2x)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_0^3=9-9=0$, deci $\mu =0$. Ecuația $c^2-2c=0$ are soluțiile $c=0$ și $c=2$, ambele în intervalul închis $[0,3]$. Exemplul arată de ce enunțul cu $c\in [a,b]$ e comod: nu trebuie să respingi soluția din capăt. ✓

Exemplul 5 — Media fără să calculezi punctul

Temperatura într-o seră, în primele $6$ ore după răsărit, este modelată de $T:[0,6]\to \mathbb{R}$, $T(t)=20+6t-t^2$ (grade Celsius, $t$ în ore). Determinați temperatura medie și momentele în care ea a fost atinsă.

Rezolvare. $T$ e polinomială, deci continuă. $${\int }_0^6(20+6t-t^2)dt=\left(20t+3t^2-\frac{t^3}{3}\right){|}_0^6=120+108-72=156,$$ deci temperatura medie este $\mu =\frac{156}{6}=26$ grade Celsius. Ecuația $20+6c-c^2=26$ devine $c^2-6c+6=0$, cu soluțiile $c=3\pm \sqrt{3}$, adică $c_1\approx 1,2679492$ ore și $c_2\approx 4,7320508$ ore. Ambele sunt în $[0,6]$: temperatura medie a fost atinsă de două ori, o dată la urcare și o dată la coborâre. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$. a) Arătați că $f$ îndeplinește ipoteza teoremei de medie pe $[1,4]$ și calculați ${\int }_1^{4}f(x)dx$. b) Determinați valoarea medie a lui $f$ pe $[1,4]$ și punctul $c$ dat de teorema de medie. c) Arătați că valoarea medie a lui $f$ pe $[1,4]$ este mai mică decât valoarea funcției la mijlocul intervalului.

Rezolvare.

a) Funcția radical este continuă pe $[0,+\infty )$, deci pe $[1,4]$; ipoteza e îndeplinită. Cu rândul $2$ al tabelului primitivelor, ${\int }_1^4{x}^{1/2}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_1^4=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}$. ✓

b) $\mu =\frac{14/3}{4-1}=\frac{14}{9}\approx 1,5555556$. Ecuația $\sqrt{c}=\frac{14}{9}$ dă $c=\frac{196}{81}\approx 2,4197531\in [1,4]$. ✓

c) Mijlocul intervalului este $\frac{1+4}{2}=2,5$, iar $f(2,5)=\sqrt{2,5}\approx 1,5811388$. Comparăm prin ridicare la pătrat: ${\left(\frac{14}{9}\right)}^2=\frac{196}{81}\approx 2,4197531<2,5$, deci $\frac{14}{9}<\sqrt{2,5}$. Așadar $\mu <f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ — o inegalitate care ține de faptul că radicalul e o funcție concavă, spre deosebire de cazul funcțiilor de gradul întâi, unde cele două valori coincid. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare aplicare a teoremei, scrie întâi verificarea continuității, apoi calculul — este ordinea cerută de barem.

1. Determină valoarea medie și punctul $c$ pentru $f(x)=x^2$ pe $[0,2]$.

2. Determină valoarea medie și punctul $c$ pentru $f(x)=3x+2$ pe $[0,4]$.

3. Determină valoarea medie și punctul $c$ pentru $f(x)=x^3$ pe $[0,1]$.

4. Determină valoarea medie și punctul $c$ pentru $f(x)=\cos x$ pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

5. Determină valoarea medie și punctul $c$ pentru $f(x)=\frac{1}{x^2}$ pe $[1,2]$.

6. Determină valoarea medie și punctul $c$ pentru $f(x)=e^x$ pe $[0,2]$.

7. Determină valoarea medie și punctul $c$ pentru $f(x)=\sqrt{x}$ pe $[0,9]$.

8. Determină valoarea medie și punctul $c$ pentru $f(x)=\frac{1}{x}$ pe $[1,4]$.

9. Determină toate valorile $c$ date de teorema de medie pentru $f(x)=x^2-2x$ pe $[0,3]$.

10. Determină valoarea medie și punctul $c$ pentru $f(x)=2x$ pe $[1,3]$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Teorema de medie cere ca funcția să fie derivabilă pe $[a,b]$."

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Punctul $c$ dat de teorema de medie este unic."

13. Arată că pentru orice funcție de gradul întâi $f(x)=mx+n$ și orice interval $[a,b]$, punctul $c$ este mijlocul intervalului.

14. Fie $f$ continuă pe $[1,4]$, cu $2\le f(x)\le 5$ pentru orice $x$. Încadrează ${\int }_1^{4}f(x)dx$ între două numere.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$. Calculează ${\int }_0^{1}f(x)dx$, valoarea medie a lui $f$ și punctul $c$ dat de teorema de medie.

16. (Problemă aplicată.) Viteza unui automobil este $v(t)=12t-t^2$ (metri pe secundă) pe intervalul $[0,6]$ secunde. Determină viteza medie pe acest interval și momentele în care ea a fost atinsă.

17. Fie $f$ continuă pe $[0,2]$ cu ${\int }_0^{2}f(x)dx=6$. Arată că există $c\in [0,2]$ cu $f(c)=3$.

18. (Provocare.) Fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă, cu $f(x)\ge 0$ pentru orice $x$ și ${\int }_a^{b}f(x)dx=0$. Arată că $f(x)=0$ pentru orice $x\in [a,b]$. (Indicație: presupune că $f(x_0)>0$ într-un punct și folosește continuitatea pentru a găsi un interval mic pe care $f>\frac{f(x_0)}{2}$.)

Răspunsuri și explicații

1. Continuă (polinomială). ${\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{8}{3}$, deci $\mu =\frac{4}{3}$. Din $c^2=\frac{4}{3}$ rezultă $c=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,1547005\in [0,2]$.

2. ${\int }_0^4(3x+2)dx=\left(\frac{3x^2}{2}+2x\right){|}_0^4=32$, deci $\mu =8$. Din $3c+2=8$ rezultă $c=2$, mijlocul lui $[0,4]$.

3. ${\int }_0^1{x}^{3}dx=\frac{1}{4}=\mu$. Din $c^3=\frac{1}{4}$ rezultă $c=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}\approx 0,6299605\in [0,1]$.

4. ${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=\sin x{|}_0^{\pi /2}=1$, deci $\mu =\frac{2}{\pi }\approx 0,6366198$. Din $\cos c=\frac{2}{\pi }$ rezultă $c=\arccos \frac{2}{\pi }\approx 0,8806892\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

5. ${\int }_1^2{x}^{-2}dx=\left(-\frac{1}{x}\right){|}_1^2=\frac{1}{2}=\mu$. Din $\frac{1}{c^2}=\frac{1}{2}$ rezultă $c=\sqrt{2}\approx 1,4142136\in [1,2]$ (soluția negativă se respinge, nefiind în interval).

6. ${\int }_0^2{e}^{x}dx=e^2-1\approx 6,3890561$, deci $\mu =\frac{e^2-1}{2}\approx 3,1945280$. Din $e^c=\mu$ rezultă $c=\ln \frac{e^2-1}{2}\approx 1,1613876\in [0,2]$.

7. ${\int }_0^9\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_0^9=18$, deci $\mu =2$. Din $\sqrt{c}=2$ rezultă $c=4\in [0,9]$.

8. ${\int }_1^4\frac{1}{x}dx=\ln 4\approx 1,3862944$, deci $\mu =\frac{\ln 4}{3}\approx 0,4620981$. Din $\frac{1}{c}=\mu$ rezultă $c=\frac{3}{\ln 4}\approx 2,1640426\in [1,4]$.

9. $\mu =0$ (vezi Exemplul 4). Ecuația $c^2-2c=0$ dă $c\in \{0,2\}$; ambele valori sunt în intervalul închis $[0,3]$, deci ambele se acceptă.

10. ${\int }_1^{3}2xdx=x^2{|}_1^3=8$, deci $\mu =4$. Din $2c=4$ rezultă $c=2$, mijlocul lui $[1,3]$.

11. Fals. Se cere doar continuitatea. Funcția $f(x)=|x|$ pe $[-1,1]$ nu e derivabilă în $0$, dar e continuă: teorema se aplică, ${\int }_{-1}^1|x|dx=1$, $\mu =\frac{1}{2}$, iar $c=\pm \frac{1}{2}$.

12. Fals. Teorema afirmă doar existența. Pentru $\sin x$ pe $[0,\pi ]$ există două valori, iar pentru o funcție constantă orice punct al intervalului este bun.

13. ${\int }_a^b(mx+n)dx=\frac{m(b^2-a^2)}{2}+n(b-a)$. Împărțind la $b-a$ obținem $\mu =\frac{m(a+b)}{2}+n=f\left(\frac{a+b}{2}\right)$. Cum ecuația $mc+n=\mu$ are soluție unică pentru $m\ne 0$, rezultă $c=\frac{a+b}{2}$; pentru $m=0$ funcția e constantă și orice $c$ e bun, inclusiv mijlocul.

14. Din monotonia integralei, $2(4-1)\le {\int }_1^{4}f(x)dx\le 5(4-1)$, adică $6\le {\int }_1^{4}f(x)dx\le 15$.

15. ${\int }_0^1(x^2+1)dx=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$, deci $\mu =\frac{4}{3}$ (intervalul are lungimea $1$). Din $c^2+1=\frac{4}{3}$ rezultă $c^2=\frac{1}{3}$ și $c=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,5773503\in [0,1]$.

16. ${\int }_0^6(12t-t^2)dt=\left(6t^2-\frac{t^3}{3}\right){|}_0^6=216-72=144$, deci viteza medie este $\frac{144}{6}=24$ metri pe secundă. Ecuația $12c-c^2=24$ devine $c^2-12c+24=0$, cu soluțiile $c=6\pm 2\sqrt{3}$, adică $c_1\approx 2,5358984$ și $c_2\approx 9,4641016$. Doar $c_1$ este în $[0,6]$; a doua soluție se respinge.

17. Valoarea medie este $\mu =\frac{6}{2-0}=3$. Cum $f$ e continuă pe $[0,2]$, teorema de medie garantează existența unui $c\in [0,2]$ cu $f(c)=\mu =3$.

18. Presupunem prin absurd că există $x_0\in [a,b]$ cu $f(x_0)>0$. Din continuitatea în $x_0$, există un interval $[\alpha ,\beta ]\subseteq [a,b]$ de lungime nenulă, care îl conține pe $x_0$, pe care $f(x)>\frac{f(x_0)}{2}$. Prin aditivitate în raport cu intervalul și monotonie, ${\int }_a^{b}f\ge {\int }_{\alpha }^{\beta }f\ge \frac{f(x_0)}{2}(\beta -\alpha )>0$, ceea ce contrazice ipoteza. Deci $f(x)=0$ peste tot. (Concluzia e falsă fără continuitate: o funcție nulă cu excepția unui punct are integrala $0$.)

De reținut

• Valoarea medie a unei funcții continue pe $[a,b]$ este $\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$, adică integrala împărțită la lungimea intervalului.
• Teorema de medie afirmă că, dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$, există $c\in [a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$: media este efectiv atinsă de funcție.
• Ipoteza este continuitatea, iar demonstrația folosește trei ingrediente: marginile atinse, monotonia integralei și proprietatea valorilor intermediare.
• Interpretarea geometrică: dreptunghiul cu baza $[a,b]$ și înălțimea $f(c)$ are aceeași arie cu subgraficul funcției.
• Din pasul 2 al demonstrației rămâne o unealtă independentă, încadrarea integralei: din $m\le f\le M$ rezultă $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$.

Greșeli frecvente

• Confunzi media funcției cu funcția aplicată mediei. Pentru $f(x)=x^2$ pe $[0,3]$, valoarea medie e $3$, nu $f\left(\frac{0+3}{2}\right)=2,25$. Cele două coincid doar la funcțiile de gradul întâi.
• Uiți să împarți la $b-a$. Concluzia teoremei este ${\int }_a^{b}f=f(c)(b-a)$; dacă scrii direct $f(c)={\int }_a^{b}f$, rezultatul e corect numai când intervalul are lungimea $1$.
• Aplici teorema unei funcții discontinue. Pe funcția în trepte din secțiunea $6$ nu există niciun $c$. Verifică întâi continuitatea, apoi calculează — verificarea are punctaj separat la Bacalaureat M1.
• Respingi soluțiile din capetele intervalului. Spre deosebire de teorema lui Lagrange, aici concluzia se scrie cu $c\in [a,b]$, interval închis; la $f(x)=x^2-2x$ pe $[0,3]$, valoarea $c=0$ se acceptă.
• Spui „punctul $c$" înainte de a rezolva ecuația. Pot exista mai multe soluții, ca la $\sin x$ pe $[0,\pi ]$; scrie „valorile $c$" până când ai constatat efectiv unicitatea.

Aplică acasă

1. Media unei zile. Notează temperatura din oră în oră, timp de opt ore, și calculează media celor nouă valori. Apoi construiește o funcție de gradul al doilea care trece prin prima, ultima și valoarea de la mijloc, calculează-i valoarea medie pe interval cu integrala și compară cele două numere. Cât de mult diferă media discretă de cea continuă?

2. Dreptunghiul de aceeași arie, pe hârtie milimetrică. Desenează graficul funcției $f(x)=4-x^2$ pe $[0,2]$, hașurează subgraficul și numără pătrățelele ca să estimezi aria. Calculează apoi ${\int }_0^2(4-x^2)dx$, împarte la $2$ și trasează dreptunghiul de înălțime $\mu$. Verifică vizual că surplusul de deasupra dreptunghiului umple exact golul de sub grafic.

3. Consumul mediu. Caută pe eticheta unui aparat electric puterea în wați și presupune că, într-o oră de funcționare, puterea variază după modelul $P(t)=100+50\sin (2\pi t)$ (în wați, $t$ în ore). Calculează puterea medie pe $[0,1]$ și explică-i unui coleg de ce ea iese exact $100$ de wați, indiferent cât de mare ar fi amplitudinea oscilației.

Pentru părinți și profesori

Teorema de medie este puntea dintre proprietățile integralei și analiza fină de la finalul capitolului. Programa cere explicit „interpretarea geometrică a teoremei de medie în diferite contexte matematice" și „aproximarea valorii unei integrale definite prin încadrarea acesteia între două constante, folosind monotonia integralei și teorema de medie" (competența XII.CS.4.6). De aceea lecția insistă pe desen — dreptunghiul de aceeași arie — și pe pasul de încadrare din demonstrație, care devine metodă de sine stătătoare în lecția următoare.

Ce verifică lecția: (1) definiția valorii medii, cu împărțirea la lungimea intervalului; (2) enunțul complet, cu ipoteza de continuitate și cu $c$ în intervalul închis; (3) demonstrația în trei pași; (4) determinarea efectivă a lui $c$, cu toate soluțiile din interval; (5) recunoașterea situației în care continuitatea cade.

Întrebări bune de control: „De ce se împarte la $b-a$?", „Ce garantează continuitatea, mai exact?", „Poate exista mai mult de un punct $c$?", „Cum se citește teorema pe desen?". La BAC M1, teorema apare fie direct, într-un subpunct care cere valoarea medie sau punctul $c$, fie indirect, ca justificare într-o problemă de încadrare. Semn că elevul a înțeles: verifică singur continuitatea și nu confundă valoarea medie cu valoarea de la mijlocul intervalului.

Întrebări frecvente

Ce spune, pe scurt, teorema de medie? Spune că o funcție continuă pe un interval închis își atinge efectiv media: există un punct $c$ din interval în care valoarea funcției este exact media ei pe tot intervalul. Scris cu integrale, ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$, unde $c$ aparține intervalului $[a,b]$.

Care este formula valorii medii a unei funcții? Valoarea medie a funcției $f$ pe intervalul $[a,b]$ este $\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$. Se calculează integrala definită cu formula Leibniz–Newton, apoi se împarte rezultatul la lungimea intervalului. Împărțirea la $b-a$ este pasul uitat cel mai des.

Care este interpretarea geometrică a teoremei de medie? Pentru o funcție continuă și pozitivă, integrala este aria subgraficului. Teorema spune că există o înălțime luată chiar de pe grafic, anume $f(c)$, pentru care dreptunghiul cu baza $[a,b]$ și această înălțime are exact aceeași arie cu subgraficul. Surplusul de deasupra dreptunghiului umple golul de sub el.

Cum găsesc punctul $c$ din teorema de medie? Calculezi integrala, o împarți la $b-a$ ca să obții valoarea medie $\mu$, apoi rezolvi ecuația $f(c)=\mu$ și păstrezi toate soluțiile din intervalul $[a,b]$. Dacă nu rămâne nicio soluție, ai o greșeală de calcul sau funcția nu era continuă.

De ce aici $c$ este în intervalul închis, iar la teorema lui Lagrange în cel deschis? Pentru că demonstrațiile sunt diferite. Aici punctul $c$ se obține din proprietatea valorilor intermediare aplicată între punctul de minim și cel de maxim, care pot fi chiar capetele intervalului. Enunțul cu interval închis este cel folosit în manuale și în bareme, deci el se reține.

Ce se întâmplă dacă funcția nu este continuă? Concluzia poate deveni falsă. Funcția care este $0$ pe $[0,1)$ și $1$ pe $[1,2]$ este integrabilă, are integrala $1$ și media $\frac{1}{2}$, dar nu ia niciodată valoarea $\frac{1}{2}$. Nu există contradicție: o teoremă cu ipoteza neîndeplinită nu spune nimic.

La ce folosește teorema de medie în probleme? La trei lucruri: la calculul mediei unei mărimi care variază continuu, la încadrarea unei integrale între două constante și, mai departe, la demonstrația faptului că orice funcție continuă admite primitive. Ultima aplicație este cea mai importantă pentru restul capitolului.