Teorema Kronecker-Capelli: pe scurt

Regula lui Cramer tace ori de câte ori $\det A=0$ sau sistemul nu e pătratic. Teorema Kronecker-Capelli acoperă exact aceste cazuri, comparând două numere: $\mathrm{rang}A$ și $\mathrm{rang}\overline{A}$, unde $\overline{A}$ este matricea extinsă.

Enunțul. Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$. Fiind o echivalență, teorema se folosește în ambele sensuri: și ca să arăți că sistemul are soluții, și ca să arăți că nu are.

Precizarea de completare. Fie $r$ valoarea comună a rangurilor și $n$ numărul necunoscutelor. Dacă $r=n$, sistemul e compatibil determinat; dacă $r<n$, e compatibil nedeterminat, cu $n-r$ necunoscute secundare — numărul $n-r$ se numește grad de nedeterminare (simplu nedeterminat pentru $1$, dublu nedeterminat pentru $2$). Dacă rangurile diferă, sistemul e incompatibil.

Cum $A$ este formată din primele $n$ coloane ale lui $\overline{A}$, orice minor al lui $A$ este și minor al lui $\overline{A}$, deci $\mathrm{rang}A\le \mathrm{rang}\overline{A}\le \mathrm{rang}A+1$: există numai două situații posibile. Numărul ecuațiilor nu apare nicăieri în concluzie — contează rangul, nu $m$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Teorema Kronecker-Capelli afirmă că un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă:

   • a) $\det A\ne 0$
   • b) $\mathrm{rang}A=n$, unde $n$ este numărul necunoscutelor
   • c) $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$
   • d) $\mathrm{rang}\overline{A}=\mathrm{rang}A+1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$

   Condiția $\det A\ne 0$ se poate pune numai la sisteme pătratice și este mai tare decât compatibilitatea — ea dă soluție unică. Condiția $\mathrm{rang}A=n$ înseamnă tot determinare, nu simplă compatibilitate. Iar $\mathrm{rang}\overline{A}=\mathrm{rang}A+1$ este exact situația opusă: sistem incompatibil.

2. Un sistem cu $4$ ecuații și $3$ necunoscute are $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$. Sistemul este:

   • a) compatibil simplu nedeterminat
   • b) compatibil determinat
   • c) incompatibil
   • d) compatibil dublu nedeterminat
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) compatibil simplu nedeterminat

   Rangurile fiind egale, sistemul este compatibil. Cum $r=2<3=n$, el este nedeterminat, iar gradul de nedeterminare este $n-r=3-2=1$: o singură necunoscută secundară, deci simplu nedeterminat. Numărul ecuațiilor, $4$, nu intervine în concluzie.

3. Sistemul $x+2y-z=3$, $2x-y+3z=1$, $3x+y+2z=5$ este:

   • a) compatibil determinat
   • b) compatibil simplu nedeterminat
   • c) compatibil dublu nedeterminat
   • d) incompatibil
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) incompatibil

   În matricea sistemului $L_3=L_1+L_2$, deci $\det A=0$; minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right|=-5\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$. La termenii liberi însă relația se rupe: $3+1=4\ne 5$. Minorul lui $\overline{A}$ din coloanele $1$, $2$ și coloana termenilor liberi este $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& -1& 1\\ 3& 1& 5\end{array}\right|=-5\ne 0$, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3\ne 2$: sistem incompatibil.