Teorema Kronecker-Capelli

Un inginer scrie trei ecuații care leagă trei mărimi dintr-o instalație, le dă unui program de calcul și primește un mesaj scurt: „sistem fără soluție". Nu e o defecțiune. Uneori condițiile impuse se bat cap în cap și niciun triplet de numere nu le poate îndeplini simultan; alteori ele se repetă între ele și lasă o infinitate de posibilități. Întrebarea care se pune înaintea oricărui calcul este, deci: sistemul acesta are măcar o soluție?

Până acum aveai un singur răspuns sigur, regula lui Cramer, care cere ca numărul ecuațiilor să fie egal cu al necunoscutelor și determinantul sistemului să fie nenul. În afara acestui caz — determinant nul, mai multe ecuații decât necunoscute sau invers — Cramer tace. Teorema Kronecker-Capelli acoperă exact tăcerea aceasta: decide compatibilitatea oricărui sistem liniar, comparând două numere pe care știi deja să le calculezi, rangurile a două matrice.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă sistem compatibil, incompatibil, compatibil determinat și compatibil nedeterminat.
• Vei ști să enunți și să folosești teorema: sistemul e compatibil dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$.
• Vei ști de ce e adevărată implicația „compatibil $\Rightarrow$ ranguri egale".
• Vei ști să citești din ranguri numărul soluțiilor și gradul de nedeterminare $n-r$.
• Vei ști să aplici un algoritm în patru pași pe sisteme cu până la $4$ ecuații și $4$ necunoscute, recunoscând când „fără soluție" înseamnă date contradictorii și „o infinitate de soluții", date insuficiente.

Hai să descoperim împreună

1. Unde se oprește regula lui Cramer

Privește două sisteme care diferă printr-un singur număr, ultimul termen liber:

$$(S_1):\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ x+2y+3z=14\\ 2x+3y+4z=20\end{array}(S_2):\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ x+2y+3z=14\\ 2x+3y+4z=21\end{array}$$

Amândouă au aceeași matrice a sistemului, cu determinantul nul:

$$\det A=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& 4\end{array}\right|=1(8-9)-1(4-6)+1(3-4)=0.$$

Regula lui Cramer nu se aplică la niciunul, și totuși ele se comportă diferit: la $(S_1)$ a treia ecuație este suma primelor două, deci nu aduce nimic nou, iar sistemul are o infinitate de soluții; la $(S_2)$ membrii stângi se adună la fel, dar $6+14=20\ne 21$, deci sistemul cere ca aceeași expresie să fie și $20$, și $21$ — el nu are nicio soluție. Diferența nu se vede în $A$, care e identică, ci numai când privim și coloana termenilor liberi.

2. Cele două matrice ale unui sistem

Reia notațiile din lecția Sisteme de ecuații liniare: forma matriceală: un sistem cu $m$ ecuații și $n$ necunoscute se scrie $AX=B$, cu $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$ matricea sistemului, $X$ coloana necunoscutelor și $B$ coloana termenilor liberi. Matricea extinsă $\overline{A}$ se obține din $A$ adăugând la dreapta coloana termenilor liberi; are $m$ linii și $n+1$ coloane. Pentru $(S_1)$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& 4\end{array}\right),\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 1& 2& 3& 14\\ 2& 3& 4& 20\end{array}\right).$$

Observația de bază, folosită tot restul lecției: orice minor al lui $A$ este și minor al lui $\overline{A}$, pentru că $A$ e alcătuită din primele $n$ coloane ale lui $\overline{A}$. Prin urmare $\mathrm{rang}A\le \mathrm{rang}\overline{A}\le \mathrm{rang}A+1$, a doua inegalitate venind din faptul că o singură coloană în plus poate crește rangul cu cel mult o unitate. Există deci numai două situații: rangurile sunt egale, sau cel al matricei extinse e cu exact $1$ mai mare.

3. Ce înseamnă, pe coloane, că sistemul are soluție

Notează cu $C_1,\dots ,C_n$ coloanele lui $A$. Sistemul $AX=B$ se rescrie ca o singură egalitate între coloane, $x_1{C}_1+x_2{C}_2+\cdots +x_n{C}_n=B$, deci e compatibil exact când coloana $B$ se obține din coloanele lui $A$, înmulțindu-le cu numere și adunându-le. Aici se vede de ce rangul e mărimea potrivită: dacă $B$ se obține din coloanele lui $A$, nu aduce nimic nou și rangul nu crește; dacă nu, aduce o direcție nouă și rangul crește cu $1$.

4. Enunțul teoremei

Teorema Kronecker-Capelli. Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse: $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$.

Precizarea de completare. Fie $r$ valoarea comună a rangurilor și $n$ numărul necunoscutelor. Dacă $r=n$, sistemul e compatibil determinat (soluție unică). Dacă $r<n$, e compatibil nedeterminat: o infinitate de soluții, cu $n-r$ necunoscute secundare. Numărul $n-r$ e gradul de nedeterminare — pentru $n-r=1$ spunem simplu nedeterminat, pentru $n-r=2$, dublu nedeterminat. Iar dacă rangurile diferă, sistemul e incompatibil.

Reține cele patru cuvinte din enunț: „dacă și numai dacă". Teorema se folosește deci și ca să arăți că un sistem are soluții, și ca să arăți că nu are.

5. De ce este adevărată

Demonstrăm implicația directă: dacă sistemul e compatibil, cele două ranguri sunt egale.

Folosim trei proprietăți ale determinanților, deja demonstrate: liniaritatea (dacă o coloană este o sumă de două coloane, determinantul se desface în suma celor doi determinanți corespunzători) și scoaterea factorului comun dintr-o coloană — Proprietățile 4 și 3 din lecția Proprietățile determinanților (I) — plus faptul că un determinant cu două coloane egale este nul, Proprietatea 6 din lecția Proprietățile determinanților (II). Toate trei sunt enunțate acolo pe linii, dar se transferă pe coloane prin proprietatea transpusei.

Fie $r=\mathrm{rang}A$ și $(s_1,\dots ,s_n)$ o soluție. Știm că $\mathrm{rang}\overline{A}\ge r$; arătăm că orice minor $D$ de ordin $r+1$ al lui $\overline{A}$ e nul.

Dacă $D$ nu folosește ultima coloană, el e minor de ordin $r+1$ al lui $A$, iar $\mathrm{rang}A=r$ înseamnă tocmai că toți minorii de ordin mai mare decât $r$ ai lui $A$ sunt nuli; deci $D=0$.

Dacă $D$ folosește ultima coloană, atunci, pe fiecare linie $i$ aleasă, ecuația $i$ spune că $b_i=s_1{a}_{i1}+\cdots +s_n{a}_{in}$. Ultima coloană a lui $D$ este, așadar, suma coloanelor lui $A$ (restrânse la aceleași linii), fiecare înmulțită cu $s_j$. Prin liniaritate și scoaterea factorilor comuni, determinantul se desface în $D=s_1{D}_1+\cdots +s_n{D}_n$, unde $D_j$ se obține din $D$ înlocuind ultima coloană cu coloana $j$ a lui $A$. Fiecare $D_j$ e nul: dacă acea coloană se afla deja în $D$, determinantul are două coloane egale; dacă nu, $D_j$ e minor de ordin $r+1$ al lui $A$. Deci $D=0$, de unde $\mathrm{rang}\overline{A}\le r$ și, în final, $\mathrm{rang}\overline{A}=r$. $■$

Implicația inversă — ranguri egale $\Rightarrow$ sistemul are soluție — o admitem aici: la lecția Teorema lui Rouché vei construi efectiv soluția, alegând un minor nenul de ordin $r$ în $A$, păstrând cele $r$ ecuații care îl conțin și rezolvând cu regula lui Cramer sistemul rămas. Tot acolo intervine și metoda bordării, pe care ai folosit-o la calculul rangului.

6. Cele trei situații, într-un tabel

Notăm $r=\mathrm{rang}A$, $\overline{r}=\mathrm{rang}\overline{A}$, iar $n$ e numărul necunoscutelor.

Trei observații de știut pe de rost. Numărul ecuațiilor nu apare în tabel: un sistem cu $5$ ecuații și $2$ necunoscute poate fi determinat, iar unul cu $2$ ecuații și $5$ necunoscute nu poate fi niciodată, pentru că $r\le 2<5$. Sistemul de tip Cramer e un caz particular: dacă $m=n$ și $\det A\ne 0$, atunci $\mathrm{rang}A=n$, iar $\overline{A}$ având tot $n$ linii, $\overline{r}=n$. Determinant nul nu înseamnă incompatibil: $(S_1)$ și $(S_2)$ au același determinant nul și răspunsuri opuse.

7. Algoritmul în patru pași

1. Scrie $A$ și $\overline{A}$, cu $0$ acolo unde o necunoscută lipsește și cu toate necunoscutele trecute în membrul stâng.
2. Calculează $r=\mathrm{rang}A$ și reține minorul nenul de ordin maxim găsit.
3. Calculează $\overline{r}=\mathrm{rang}\overline{A}$, fără să o iei de la capăt: minorul de la pasul 2 e și minor al lui $\overline{A}$, deci $\overline{r}\ge r$, iar un eventual minor nenul de ordin $r+1$ trebuie să folosească ultima coloană (altfel ar fi minor al lui $A$ și ar fi nul).
4. Compară cele două ranguri între ele și cu $n$, după tabel.

Pe cele două sisteme din prima secțiune, pașii 1 și 2 sunt identici: minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$ arată $r\ge 2$, iar $\det A=0$ arată $r<3$, deci $r=2$. Abia la pasul 3 drumurile se despart, pentru că acolo intră în calcul coloana termenilor liberi — vezi exemplele 2 și 3 de mai jos, unde $(S_1)$ iese compatibil nedeterminat, iar $(S_2)$ incompatibil.

8. Punctul slab al metodei — și unde se repară

Pasul 3 e, în practică, obositor: pentru un sistem cu $4$ ecuații ar trebui, la limită, cercetați toți minorii de ordin $r+1$ ai matricei extinse. Teorema Kronecker-Capelli e impecabilă ca idee și greoaie ca procedură. Scurtătura vine în lecția următoare: e de ajuns să calculezi $m-r$ determinanți anume aleși, numiți determinanți caracteristici — aceasta e teorema lui Rouché, aceeași teoremă în haine de lucru. Rezultatul de față explică de ce funcționează scurtătura, iar la Bacalaureat M1 enunțul lui se cere ca atare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Când determinantul nu se anulează

Studiați sistemul $2x+3y-z=9$, $x-y+2z=-3$, $3x+y+z=4$.

Rezolvare.

$$\det A=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& -1& 2\\ 3& 1& 1\end{array}\right|=2(-1-2)-3(1-6)+(-1)(1+3)=5\ne 0,$$

deci $\mathrm{rang}A=3$. Matricea extinsă are $3$ linii, deci rangul ei e cel mult $3$; conținând minorul de mai sus, $\mathrm{rang}\overline{A}=3=n$: sistem compatibil determinat. Fiind de tip Cramer, se rezolvă cu formulele cunoscute: $x=1$, $y=2$, $z=-1$. Verificare: $2+6+1=9$ ✓, $1-2-2=-3$ ✓, $3+2-1=4$ ✓.

Exemplul 2 — Determinant nul, o infinitate de soluții

Studiați compatibilitatea sistemului $(S_1)$ și scrieți mulțimea soluțiilor.

Rezolvare. Știm că $\mathrm{rang}A=2$. În $\overline{A}$, minorii de ordin $3$ care conțin coloana termenilor liberi sunt toți nuli — cel din coloanele $1$, $2$ și ultima, de pildă, este $-2+8-6=0$. Deci $\mathrm{rang}\overline{A}=2=\mathrm{rang}A<3=n$: sistem compatibil, cu gradul de nedeterminare $1$. Minorul nenul de ordin $2$ ocupă liniile $1$, $2$ și coloanele lui $x$, $y$, așa că păstrăm primele două ecuații, trecem $z$ în dreapta și notăm $z=\alpha$:

$$\{\begin{array}{l}x+y=6-\alpha \\ x+2y=14-3\alpha \end{array}$$

Scăzând, $y=8-2\alpha$ și $x=\alpha -2$, deci $S=\{(\alpha -2,8-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Verificare în ecuația lăsată deoparte: $2(\alpha -2)+3(8-2\alpha )+4\alpha =20$ ✓, pentru orice $\alpha$.

Exemplul 3 — Determinant nul, niciun răspuns

Arătați că sistemul $(S_2)$ este incompatibil.

Rezolvare. $\mathrm{rang}A=2$, ca mai sus. Însă același minor ca la exemplul precedent, cu $21$ în loc de $20$, nu mai e nul:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 6\\ 1& 2& 14\\ 2& 3& 21\end{array}\right|=1(42-42)-1(21-28)+6(3-4)=0+7-6=1\ne 0,$$

deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3\ne 2$: sistemul e incompatibil. Se vede și direct: adunând primele două ecuații obținem $2x+3y+4z=20$, iar a treia cere $21$. Minorul nenul e forma calculabilă a acestei contradicții — el o „vede" fără să ghicim combinația potrivită de ecuații.

Exemplul 4 — Mai multe ecuații decât necunoscute

Studiați sistemul $x+y=3$, $y+z=5$, $x+z=4$, $x+y+z=6$.

Rezolvare. Aici $m=4$, $n=3$. Minorul lui $A$ din liniile $1$, $2$, $4$ este $1(1-1)-1(0-1)+0=1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=3$, maximul posibil. Pentru $\overline{A}$, singurul minor de ordin $4$ e chiar determinantul ei, care iese $0$; deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3=n$: sistem compatibil determinat.

Adunând primele trei ecuații, $2(x+y+z)=12$, deci $x+y+z=6$ — exact ecuația a patra, care era o consecință a celorlalte. De aici $z=3$, $x=1$, $y=2$, iar $(1,2,3)$ verifică toate ecuațiile.

Exemplul 5 — Mai multe necunoscute decât ecuații

Studiați compatibilitatea sistemului $x+y+z+t=3$, $x+2y+z-t=4$, $2x+3y+2z=7$.

Rezolvare. $m=3$, $n=4$, deci $r\le 3<4$: sistemul nu poate fi determinat. Minorul din liniile $1$, $2$ și coloanele lui $x$, $y$ este $1\ne 0$, deci $r\ge 2$; iar a treia linie e suma primelor două atât în $A$, cât și în $\overline{A}$ (căci $3+4=7$), deci orice minor de ordin $3$ al lui $\overline{A}$ e nul. Așadar $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$.

Sistemul e compatibil dublu nedeterminat, cu $4-2=2$ necunoscute secundare: cu $z=\alpha$, $t=\beta$, primele două ecuații dau $y=1+2\beta$ și $x=2-\alpha -3\beta$, deci

$$S=\{(2-\alpha -3\beta ,1+2\beta ,\alpha ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare în ecuația a treia: $2(2-\alpha -3\beta )+3(1+2\beta )+2\alpha =7$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră sistemul $x+y+z=1$, $x+2y+3z=3$, $2x+3y+mz=5$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Determinați valorile lui $m$ pentru care sistemul este compatibil determinat. b) Studiați compatibilitatea pentru valoarea rămasă a lui $m$.

Rezolvare. a) Determinantul sistemului:

$$\det A=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& m\end{array}\right|=1(2m-9)-1(m-6)+1(3-4)=m-4.$$

Pentru $m\ne 4$ avem $\det A\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=3=n$: compatibil determinat (pentru $m=5$, de pildă, soluția e $x=y=0$, $z=1$).

b) Rămâne $m=4$, când $\det A=0$, iar minorul din primele două linii și coloane, egal cu $1\ne 0$, dă $\mathrm{rang}A=2$. În matricea extinsă, minorul din coloanele $1$, $2$ și coloana termenilor liberi este

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& 5\end{array}\right|=1(10-9)-1(5-6)+1(3-4)=1\ne 0,$$

deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3\ne 2$. Concluzie: sistemul e compatibil determinat pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{4\}$ și incompatibil pentru $m=4$.

Să exersăm

Scrie de fiecare dată $A$ și $\overline{A}$, calculează rangurile și abia apoi trage concluzia; verifică soluțiile în toate ecuațiile.

1. Scrie $A$ și $\overline{A}$ pentru sistemul $2x-y+3z=5$, $x+4y-z=2$, $3x+2y=7$, precizând formatul fiecăreia.

2. Arată, cu teorema Kronecker-Capelli, că sistemul $3x-2y=8$, $x+y=1$ e compatibil determinat și rezolvă-l.

3. Studiază compatibilitatea sistemului $x+y+z=3$, $2x+y-z=2$, $3x+2y=5$ și scrie, dacă există, mulțimea soluțiilor.

4. Aceleași ecuații, dar ultimul termen liber devine $6$. Ce se schimbă?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$, atunci sistemul are soluție unică."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice sistem liniar, $\mathrm{rang}\overline{A}\ge \mathrm{rang}A$."

7. Studiază sistemul cu patru ecuații și două necunoscute $x+y=5$, $x-y=1$, $2x+y=8$, $3x-y=7$.

8. Același sistem, cu ultima ecuație $3x-y=8$. Determină noul rang al matricei extinse și concluzia.

9. Studiază compatibilitatea sistemului cu necunoscutele $x,y,z,t,u$: $x+y+z+t+u=5$, $x+2y+z+2t+u=7$, $y+t=2$, și află gradul de nedeterminare.

10. (Problemă aplicată.) Pe un bon apar trei linii: „2 pixuri și un caiet: 17 lei", „un pix și 2 caiete: 19 lei", „3 pixuri și 3 caiete: 40 lei". Arată că datele se contrazic și află ce sumă ar fi trebuit scrisă pe ultima linie.

11. Studiază sistemul $x+y+z=2$, $2x+2y+2z=4$, $3x+3y+3z=6$ și precizează gradul de nedeterminare.

12. Același sistem, cu ultima ecuație $3x+3y+3z=7$. Ce concluzie tragi acum?

13. Determină $\mathrm{rang}A$ și $\mathrm{rang}\overline{A}$ pentru $x+2y-z=4$, $3x-y+2z=1$, $4x+y+z=5$ și precizează tipul sistemului, fără să-l rezolvi.

14. Poate un sistem cu $3$ ecuații și $5$ necunoscute să fie compatibil determinat? Justifică.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $x+y+2z=1$, $2x+3y+z=3$, $3x+4y+az=5$, cu $a\in \mathbb{R}$. a) Calculați $\det A$. b) Determinați valorile lui $a$ pentru care sistemul este incompatibil.

16. Studiază și rezolvă sistemul $x+y+z=6$, $x+2y+3z=14$, $x+3y+6z=25$, $2x+3y+5z=23$.

17. Același sistem, cu ultima ecuație $2x+3y+5z=24$. Ce se schimbă în rangul matricei extinse?

18. (Provocare.) Arată că diferența $\mathrm{rang}\overline{A}-\mathrm{rang}A$ ia numai valorile $0$ și $1$, și explică ce înseamnă fiecare.

Răspunsuri și explicații

1. $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 4& -1\\ 3& 2& 0\end{array}\right)$ ($3\times 3$) și $\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 3& 5\\ 1& 4& -1& 2\\ 3& 2& 0& 7\end{array}\right)$ ($3\times 4$). Atenție la coeficientul $0$ al lui $z$ din ultima ecuație.

2. $\det A=3+2=5\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$; matricea extinsă are doar două linii, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=2=n$. Soluția: $x=2$, $y=-1$ ($6+2=8$ ✓, $2-1=1$ ✓).

3. A treia linie e suma primelor două, deci $\det A=0$, iar minorul din primele două linii și coloane, egal cu $-1\ne 0$, dă $\mathrm{rang}A=2$. În $\overline{A}$ e la fel ($3+2=5$), deci $\mathrm{rang}\overline{A}=2$: compatibil simplu nedeterminat, $S=\{(2\alpha -1,4-3\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$; verificare în ecuația a treia: $3(2\alpha -1)+2(4-3\alpha )=5$ ✓.

4. $\mathrm{rang}A$ rămâne $2$, dar acum $3+2\ne 6$, iar minorul lui $\overline{A}$ din coloanele $1$, $2$ și coloana termenilor liberi este $-1\ne 0$. Deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3$: sistemul devine incompatibil.

5. Fals. Egalitatea rangurilor dă doar existența soluțiilor; unicitatea cere în plus $r=n$. Exercițiul 3 e un contraexemplu.

6. Adevărat. Un minor nenul de ordin $r$ al lui $A$ e și minor al lui $\overline{A}$, care are aceleași linii și o coloană în plus.

7. Minorul din primele două linii este $-2\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$ (maximul, $A$ având două coloane). Din primele două ecuații, $x=3$, $y=2$; verifică și ultimele două ($6+2=8$ ✓, $9-2=7$ ✓), deci $\mathrm{rang}\overline{A}=2=n$: compatibil determinat, soluția $(3,2)$.

8. Perechea $(3,2)$ nu mai verifică ultima ecuație. Minorul lui $\overline{A}$ din liniile $1$, $2$, $4$ este $-2\ne 0$, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3\ne 2$: incompatibil.

9. Minorul din liniile $1$, $2$ și coloanele lui $x$, $y$ este $1\ne 0$. A treia ecuație se obține scăzând prima din a doua, și la coeficienți, și la termenii liberi ($7-5=2$), deci $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$: sistem compatibil, cu gradul de nedeterminare $3$.

10. Cu $x$ prețul pixului și $y$ al caietului, primele două linii dau $x=5$, $y=7$, deci a treia ar trebui să fie $3\cdot 5+3\cdot 7=36$ lei. Cu $40$, minorul lui $\overline{A}$ de ordin $3$ este $12\ne 0$, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3>2=\mathrm{rang}A$: bonul conține o eroare.

11. Toate liniile lui $A$ sunt proporționale cu prima, deci $\mathrm{rang}A=1$; termenii liberi $2,4,6$ respectă aceleași proporții, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=1$. Gradul de nedeterminare e $2$, iar $S=\{(2-\alpha -\beta ,\alpha ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}$.

12. $\mathrm{rang}A=1$, dar $\overline{A}$ conține minorul de ordin $2$ format din coloana lui $x$ și coloana termenilor liberi (liniile $1$ și $3$), egal cu $1\ne 0$; deci $\mathrm{rang}\overline{A}=2$: sistem incompatibil, ultima ecuație cerând $x+y+z=\frac{7}{3}$.

13. $\det A=1(-1-2)-2(3-8)+(-1)(3+4)=0$, iar minorul din primele două linii și coloane este $-7\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$. A treia linie e suma primelor două și în $A$, și în $\overline{A}$ ($4+1=5$), deci $\mathrm{rang}\overline{A}=2$: compatibil simplu nedeterminat.

14. Nu: rangul unei matrice cu $3$ linii nu depășește $3$, deci $r\le 3<5=n$ și condiția $r=n$ nu poate fi îndeplinită. Sistemul e ori incompatibil, ori nedeterminat cu cel puțin două necunoscute secundare.

15. a) $\det A=1(3a-4)-1(2a-3)+2(8-9)=a-3$. b) Pentru $a\ne 3$ sistemul e compatibil determinat. Pentru $a=3$ avem $\mathrm{rang}A=2$, iar minorul lui $\overline{A}$ din coloanele $1$, $2$ și coloana termenilor liberi este $3-1-1=1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3$: sistemul e incompatibil exact pentru $a=3$.

16. Minorul din primele trei linii este $3-3+1=1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=3$. Din primele trei ecuații: $z=3$, $y=2$, $x=1$; verifică și ultima ($2+6+15=23$ ✓), deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3=n$: compatibil determinat, soluția $(1,2,3)$.

17. Soluția $(1,2,3)$ dă acum $23\ne 24$: $\mathrm{rang}A$ rămâne $3$, dar determinantul lui $\overline{A}$ (de ordin $4$) devine nenul, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=4$ și sistemul e incompatibil.

18. Orice minor nenul al lui $A$ e minor al lui $\overline{A}$, deci $\mathrm{rang}\overline{A}\ge \mathrm{rang}A=r$. Invers, fie $D$ un minor de ordin $r+2$ al lui $\overline{A}$: dacă nu folosește ultima coloană, e minor de ordin mai mare decât $r$ al lui $A$, deci nul; dacă o folosește, dezvoltându-l după ultima coloană obținem o combinație de minori de ordin $r+1$ ai lui $A$, toți nuli, deci iarăși $D=0$. Așadar $\mathrm{rang}\overline{A}\le r+1$. Diferența $0$ înseamnă sistem compatibil, diferența $1$, sistem incompatibil.

De reținut

• Enunțul: un sistem liniar e compatibil dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$; fiind o echivalență, funcționează în ambele sensuri.
• Cele trei situații: $r\ne \overline{r}$ — incompatibil; $r=\overline{r}=n$ — determinat; $r=\overline{r}<n$ — nedeterminat, cu $n-r$ necunoscute secundare.
• $\mathrm{rang}\overline{A}$ e egal cu $\mathrm{rang}A$ sau cu $\mathrm{rang}A+1$, matricea extinsă având exact o coloană în plus.
• Numărul ecuațiilor nu decide singur nimic: contează rangul, nu $m$.
• Teorema conține regula lui Cramer: dacă $m=n$ și $\det A\ne 0$, atunci automat $r=\overline{r}=n$.

Greșeli frecvente

• „Determinantul e nul, deci sistemul nu are soluții." Fals: determinantul nul spune doar că regula lui Cramer nu se aplică. $(S_1)$ și $(S_2)$ au același determinant nul și răspunsuri opuse.
• Uitarea coeficienților nuli. Coeficientul unei necunoscute care lipsește dintr-o ecuație este $0$ și trebuie trecut în matrice; o coloană „sărită" schimbă rangul și tot răspunsul.
• Compararea lui $m$ cu $n$ în loc de ranguri. „Trei ecuații, trei necunoscute, deci soluție unică" e un raționament fals.
• Alegerea numărului de parametri. Gradul de nedeterminare este $n-r$ și se citește din ranguri, nu se alege.
• Recalcularea rangului matricei extinse de la zero. Rămân de cercetat doar minorii de ordin $r+1$ care conțin coloana termenilor liberi.

Aplică acasă

1. Bonul de cumpărături. Ia un bon cu cel puțin trei linii de forma „atâtea bucăți din A și atâtea din B, total X lei", scrie sistemul și calculează cele două ranguri: dacă bonul e corect, sistemul trebuie să iasă compatibil.

2. Fabrica de sisteme incompatibile. Adună două ecuații cu trei necunoscute și scrie a treia ecuație cu membrul stâng obținut, dar cu alt termen liber; confirmă prin ranguri că sistemul e incompatibil, apoi pune termenul liber corect și vezi cum rangul matricei extinse scade cu o unitate.

3. Trei puncte pe un grafic. Scrie sistemul care cere ca $f(x)=a{x}^2+bx+c$ să treacă prin trei puncte alese de tine și explică de ce, pentru abscise distincte, el iese întotdeauna compatibil determinat.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide o problemă rămasă deschisă: regula lui Cramer rezolvă doar sistemele pătratice cu determinant nenul. Teorema Kronecker-Capelli dă criteriul general de compatibilitate și, cu precizarea despre $r$ și $n$, clasifică orice sistem liniar în trei categorii.

De verificat în caiet: (1) coeficienții nuli sunt trecuți în matrice; (2) rangul se justifică prin două afirmații — un minor nenul de ordinul $r$ și anularea tuturor minorilor de ordin $r+1$; (3) concluzia compară rangurile între ele și cu $n$; (4) soluțiile se verifică în toate ecuațiile. Întrebări de control: „Ce înseamnă compatibil nedeterminat?"; „Poate $\mathrm{rang}\overline{A}$ să fie cu $2$ mai mare decât $\mathrm{rang}A$?".

La BAC M1 tema apare aproape întotdeauna ca sistem cu parametru: se cere determinantul, apoi valorile parametrului pentru care sistemul e determinat, nedeterminat sau incompatibil. Punctele se pierd la valoarea care anulează determinantul, acolo unde trebuie calculate efectiv rangurile. Semn că elevul a înțeles: nu mai spune „determinantul e zero, deci nu are soluții", ci trece la compararea rangurilor.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema Kronecker-Capelli? Că un sistem liniar are cel puțin o soluție dacă și numai dacă rangul matricei sistemului e egal cu rangul matricei extinse. Dacă rangul matricei extinse e mai mare, sistemul nu are soluții.

Cum se scrie matricea extinsă a unui sistem? Se scrie matricea coeficienților și i se adaugă la dreapta, ca ultimă coloană, coloana termenilor liberi. Pentru $m$ ecuații și $n$ necunoscute, ea are $m$ linii și $n+1$ coloane.

Când este un sistem compatibil determinat și când nedeterminat? Când rangurile sunt egale, valoarea lor comună $r$ decide: dacă $r=n$, soluția e unică; dacă $r<n$, sistemul are o infinitate de soluții, iar $n-r$ necunoscute rămân secundare.

Ce înseamnă gradul de nedeterminare al unui sistem? Este numărul $n-r$ al necunoscutelor secundare, cele cărora li se dau valori arbitrare. Pentru $n-r=1$ sistemul e simplu nedeterminat, pentru $n-r=2$, dublu nedeterminat.

Dacă determinantul sistemului este zero, sistemul e incompatibil? Nu neapărat: determinantul nul arată doar că sistemul nu e de tip Cramer. El poate fi incompatibil, dar poate la fel de bine să aibă o infinitate de soluții — decizia se ia comparând rangurile.

Cum se calculează mai repede rangul matricei extinse? Se pornește de la minorul nenul de ordin $r$ găsit în matricea sistemului și se cercetează numai minorii de ordin $r+1$ care conțin coloana termenilor liberi. Varianta cea mai economică o dă teorema lui Rouché.

Unde apare teorema Kronecker-Capelli la Bacalaureat M1? În problemele cu sisteme care conțin un parametru: se cere pentru ce valori sistemul are soluție unică, o infinitate de soluții sau niciuna. Enunțul se poate cere și direct, ca justificare.