Puncte de extrem și teorema lui Fermat: pe scurt

$x_0$ este punct de maxim local al lui $f$ dacă există o vecinătate $V$ a lui $x_0$ cu $f(x)\le f(x_0)$ pentru orice $x\in V\cap D$; analog pentru minim local. Regula permanentă de redactare: punctul nu este valoarea — punctul de extrem este $x_0$, valoarea extremă este $f(x_0)$. Dacă inegalitatea are loc pe tot domeniul, extremul se numește global.

Teorema lui Fermat. Fie $f:I\to \mathbb{R}$, $I$ interval, și $x_0$ un punct de extrem local din interiorul lui $I$. Dacă $f$ este derivabilă în $x_0$, atunci $f^{\prime }(x_0)=0$. Demonstrația compară semnele raportului de diferențe pe cele două părți: $f_s^{\prime }(x_0)\ge 0$ și $f_d^{\prime }(x_0)\le 0$, iar derivabilitatea le lipește într-o singură valoare.

Punctele în care $f$ e derivabilă și $f^{\prime }(x_0)=0$ se numesc puncte critice (staționare). Ele sunt doar candidați: reciproca este falsă, cum arată $f(x)=x^3$ în $0$. Nici ipoteza „din interior", nici „derivabilă" nu se pot scoate — pe $[0,3]$, funcția $x^2-4x+7$ are maximul în capătul $0$, iar $|x|$ are minim în $0$ fără să fie derivabilă acolo.

Extremele se caută în trei locuri: punctele critice, capetele domeniului și punctele de nederivabilitate. Natura unui punct critic se decide, deocamdată, algebric: studiezi semnul diferenței $f(x)-f(x_0)$, după o factorizare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Punctele critice ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3+3x^2-36x+1$, sunt:

   • a) $\{-2,3\}$
   • b) $\{0,6\}$
   • c) $\{-3,2\}$
   • d) $\{1,-6\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\{-3,2\}$

   $f^{\prime }(x)=6x^2+6x-36=6(x+3)(x-2)$, iar ecuația $f^{\prime }(x)=0$ are soluțiile $-3$ și $2$. Atenție la semne: rădăcinile trinomului $x^2+x-6$ sunt $-3$ și $2$, nu $3$ și $-2$.

2. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5$. Care afirmație este corectă?

   • a) $0$ este punct de minim local
   • b) $0$ este punct critic, dar nu este punct de extrem
   • c) $f^{\prime }(0)\ne 0$
   • d) $0$ este punct de maxim local
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $0$ este punct critic, dar nu este punct de extrem

   $f^{\prime }(x)=5x^4$, deci $f^{\prime }(0)=0$ și $0$ este punct critic. Funcția putere cu exponent impar este însă strict crescătoare, deci în orice vecinătate a originii ia și valori negative, și valori pozitive: nu poate fi extrem. Reciproca teoremei lui Fermat este falsă.

3. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-10x+21$, formularea corectă este:

   • a) punctul de minim este $-4$, iar valoarea minimă este $5$
   • b) punctul de minim este $5$, iar valoarea minimă este $5$
   • c) punctul de minim este $x_0=5$, iar valoarea minimă este $f(5)=-4$
   • d) funcția nu are puncte de extrem
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) punctul de minim este $x_0=5$, iar valoarea minimă este $f(5)=-4$

   $f^{\prime }(x)=2x-10$ se anulează în $x_0=5$, iar din forma canonică $f(x)=(x-5{)}^2-4$ rezultă $f(x)\ge -4=f(5)$ pentru orice $x$ real. Punctul de extrem este abscisa $5$; valoarea extremă este ordonata $-4$. Confuzia dintre ele este cea mai des sancționată greșeală de redactare.