Puncte de extrem. Teorema lui Fermat

Arunci o minge în sus. Ea urcă, încetinește, se oprește pentru o clipă și începe să cadă. Dacă notezi cu $h(t)$ înălțimea la momentul $t$, cel mai interesant moment al zborului este exact acela în care mingea pare că stă pe loc: înălțimea e maximă, iar viteza — adică derivata $h^{\prime }(t)$ — este zero. Nu e o coincidență și nu ține de minge. E un tipar care se repetă oriunde o mărime își atinge vârful: în chiar acel punct, rata ei de variație se anulează.

Tiparul acesta are o consecință practică uriașă. Un maxim ar trebui, în principiu, căutat printre o infinitate de valori ale lui $x$ — imposibil. Dar dacă în vârf derivata e zero, atunci maximul se ascunde printre soluțiile ecuației $f^{\prime }(x)=0$, care sunt de obicei două sau trei numere. Căutarea infinită se transformă într-o listă scurtă. Lecția de față formulează riguros observația (teorema lui Fermat, demonstrată complet), îi arată limitele — pentru că are trei capcane care se cer la Bacalaureat M1 — și o transformă în metodă de lucru.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești corect punctul de maxim local, punctul de minim local și punctul de extrem local, și să le deosebești de valorile extreme corespunzătoare.
• Vei ști să deosebești extremele locale de cele globale (absolute) și să spui, pentru un exemplu dat, care este care.
• Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema lui Fermat, cu toate ipotezele ei, așa cum se cere în barem.
• Vei ști să determini punctele critice ale unei funcții, rezolvând ecuația $f^{\prime }(x)=0$, și să înțelegi de ce ele sunt doar o listă de candidați.
• Vei ști să explici de ce reciproca teoremei este falsă și de ce ipotezele „din interior" și „derivabilă" nu pot fi scoase.
• Vei ști să determini parametri dintr-o condiție de extrem, tipul de cerință care apare an de an în subiectele de Bacalaureat M1.

Hai să descoperim împreună

1. Vârfuri și văi: definițiile exacte

Fie $f:D\to \mathbb{R}$ o funcție și $x_0\in D$.

Definiție. Punctul $x_0$ se numește punct de maxim local al lui $f$ dacă există o vecinătate $V$ a lui $x_0$ astfel încât $$f(x)\le f(x_0)\text{pentru orice }x\in V\cap D.$$ Analog, $x_0$ este punct de minim local dacă $f(x)\ge f(x_0)$ pe o vecinătate a lui $x_0$. Un punct care este de maxim local sau de minim local se numește punct de extrem local.

Valoarea $f(x_0)$ se numește, în primul caz, maximul local al funcției, iar în al doilea, minimul local; împreună, ele sunt valorile extreme. Noțiunea de vecinătate este cea fixată la Punct de acumulare și punct izolat: în practică, un interval deschis $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$, oricât de mic.

Deosebirea care se cere la examen: punctul nu este valoarea. Pentru $f(x)=x^2-4x+7$, punctul de minim este $x_0=2$, iar valoarea minimă este $f(2)=3$. Cine răspunde „minimul este $2$" a confundat abscisa cu ordonata și pierde punctul.

Dacă inegalitatea are loc nu doar pe o vecinătate, ci pe tot domeniul, extremul se numește global (sau absolut): $x_0$ e punct de maxim global dacă $f(x)\le f(x_0)$ pentru orice $x\in D$. Orice extrem global este și local; reciproca e falsă — un deal mic rămâne deal, chiar dacă alături se ridică un munte.

2. Ce se vede pe grafic

Privește graficul unei funcții derivabile într-un punct de maxim din interiorul domeniului. Curba urcă până acolo, apoi coboară; în chiar acel punct ea „se culcă" pentru o clipă. Cum panta tangentei este $f^{\prime }(x_0)$ — legătura stabilită la Interpretarea geometrică a derivatei. Ecuația tangentei la grafic —, faptul că tangenta e orizontală înseamnă exact $$f^{\prime }(x_0)=0.$$

Aceasta este toată intuiția. Rămâne să o transformăm în demonstrație — și mai ales să vedem unde se rupe, pentru că exact acolo se dau punctele la examen.

3. Teorema lui Fermat

Teorema lui Fermat. *Fie $f:I\to \mathbb{R}$, unde $I$ este un interval, și fie $x_0$ un punct de extrem local din interiorul intervalului $I$. Dacă $f$ este derivabilă în $x_0$, atunci* $$f^{\prime }(x_0)=0.$$

Trei ipoteze, niciuna decorativă: $x_0$ este punct de extrem, $x_0$ este interior intervalului (nu un capăt) și $f$ este derivabilă acolo. La Bacalaureat M1 se depunctează ipotezele lipsă, deci enunțul se învață întreg.

Numele vine de la Pierre de Fermat, care a folosit ideea în jurul anului 1636, cu treizeci de ani înainte ca derivata să fie definită ca limită. El căuta maximul unei expresii comparând valorile în $x$ și în $x+h$ — exact gestul care avea să devină, mai târziu, raportul incrementar.

4. Demonstrația

Presupunem că $x_0$ este punct de maxim local (cazul minimului se tratează identic, cu inegalitățile schimbate de sens). Există deci $\epsilon >0$ cu $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )\subset I$ — aici se folosește faptul că $x_0$ e interior — și cu $$f(x)\le f(x_0)\text{pentru orice }x\in (x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon ).$$

Privim raportul din definiția derivatei, $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$, pe cele două părți ale lui $x_0$. Numărătorul $f(x)-f(x_0)$ este $\le 0$ în ambele cazuri; numitorul își schimbă semnul:

• pentru $x<x_0$ avem $x-x_0<0$, deci raportul este $\ge 0$;
• pentru $x>x_0$ avem $x-x_0>0$, deci raportul este $\le 0$.

Trecem la limită pe fiecare parte. Prin trecerea la limită în inegalități, limita unei expresii nenegative este $\ge 0$, iar limita uneia nepozitive este $\le 0$. Obținem, cu notațiile de la Derivate laterale. Funcții derivabile într-un punct, $$f_s^{\prime }(x_0)\ge 0\text{și}{f}_d^{\prime }(x_0)\le 0.$$

Aici intervine a treia ipoteză: $f$ fiind derivabilă în $x_0$, cele două derivate laterale există, sunt finite și egale cu $f^{\prime }(x_0)$. Prin urmare $f^{\prime }(x_0)\ge 0$ și $f^{\prime }(x_0)\le 0$ simultan, ceea ce lasă o singură posibilitate: $$f^{\prime }(x_0)=0.■$$

Observă ce a făcut fiecare ipoteză: „interior" a dat cele două părți, „extrem" a dat semnul numărătorului, „derivabilă" a lipit cele două inegalități într-una singură.

5. Puncte critice: lista scurtă de candidați

Definiție. Un punct $x_0$ din domeniu în care $f$ este derivabilă și $f^{\prime }(x_0)=0$ se numește punct critic (sau punct staționar) al funcției $f$.

Teorema lui Fermat, citită invers, spune: orice punct de extrem local interior, în care funcția e derivabilă, este punct critic. Așadar, dacă vrei extremele unei funcții derivabile, nu ai de cercetat decât trei categorii de puncte:

1. punctele critice — soluțiile ecuației $f^{\prime }(x)=0$;
2. capetele domeniului, dacă acestea îi aparțin;
3. punctele în care $f$ nu este derivabilă — colțuri și puncte de întoarcere, studiate la Puncte unghiulare și puncte de întoarcere.

În afara acestor trei categorii nu există extreme. E o reducere spectaculoasă: de la infinit de puncte, la o listă de câteva.

Exemplu. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$, avem $f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)$, deci punctele critice sunt $-1$ și $2$, cu $f(-1)=12$ și $f(2)=-15$. Domeniul fiind $\mathbb{R}$, nu există capete, iar funcția e derivabilă peste tot: candidații sunt exact aceste două puncte.

6. Trei capcane — și trei contraexemple

(a) Reciproca este falsă: $f^{\prime }(x_0)=0$ nu garantează extrem. Pentru $f(x)=x^3$ avem $f^{\prime }(x)=3x^2$, deci $f^{\prime }(0)=0$: originea este punct critic. Dar funcția putere de exponent impar este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci ia valori mai mici decât $f(0)=0$ la stânga și mai mari la dreapta, oricât de aproape. Punctul $0$ nu este de extrem.

Formularea corectă a legăturii: „punct de extrem interior $\Rightarrow$ punct critic", niciodată invers. Punctele critice sunt suspecți, nu vinovați.

(b) Ipoteza „din interior" nu se poate scoate. Fie $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+7$. Din forma canonică $f(x)=(x-2{)}^2+3$ se citește că $f(x)\ge 3=f(2)$, deci $x_0=2$ e punct de minim global, interior, și într-adevăr $f^{\prime }(2)=0$. Dar maximul funcției pe $[0,3]$ se atinge în capătul $x=0$, unde $f(0)=7$, iar acolo $f^{\prime }(0)=-4\ne 0$. Într-un capăt, funcția are o singură parte, deci raționamentul din demonstrație nu mai are ce să compare.

(c) Ipoteza „derivabilă" nu se poate scoate. Funcția modul, $f(x)=|x|$, are în $0$ un minim global evident ($|x|\ge 0$ pentru orice $x$), interior domeniului $\mathbb{R}$. Și totuși derivata nu se anulează nicăieri: $f_s^{\prime }(0)=-1$, $f_d^{\prime }(0)=1$, iar în rest $f^{\prime }(x)=\pm 1$. Explicația: $f$ nu e derivabilă în $0$, deci teorema nici nu i se aplică.

7. Cum decizi natura unui punct critic, deocamdată

Fermat îți dă lista candidaților, dar nu spune care e maxim, care e minim și care nu e nimic. Metoda sistematică — semnul derivatei întâi — vine la lecția Punctele de extrem local și determinarea extremelor; până acolo, natura unui punct critic se stabilește algebric, comparând direct $f(x)$ cu $f(x_0)$. Procedeul e simplu: studiezi semnul diferenței $f(x)-f(x_0)$, de obicei după o factorizare.

Exemplu. Pentru $f(x)=x^3-3x$ avem $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, deci punctele critice sunt $-1$ și $1$, cu $f(-1)=2$ și $f(1)=-2$. Factorizăm diferențele: $$f(x)-f(-1)=x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2),f(x)-f(1)=x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2).$$ Prima este $\le 0$ pentru orice $x\le 2$: deci $f(x)\le f(-1)$ pe $(-\infty ,2]$, adică $-1$ este punct de maxim local. A doua este $\ge 0$ pentru orice $x\ge -2$: deci $1$ este punct de minim local. (Verificat numeric prin comparație cu vecinătatea: pe $100$ de puncte din $(-1\pm 10^{-3})$ și din $(1\pm 10^{-3})$ inegalitățile se păstrează.)

8. Aplicația de examen: determinarea parametrilor

Cea mai frecventă cerință construită pe teorema lui Fermat sună așa: „determinați $a$ astfel încât funcția $f$ să aibă un punct de extrem în $x_0$". Rezolvarea are un singur pas cheie: dacă $x_0$ e interior și $f$ e derivabilă, atunci obligatoriu $f^{\prime }(x_0)=0$, ceea ce dă o ecuație în parametru.

Exemplu. Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{a}{x}$, cu $a>0$, care are un punct de extrem în $x_0=2$. Din regulile de derivare studiate la Operații cu funcții derivabile: sumă, produs, cât obținem $f^{\prime }(x)=1-\frac{a}{x^2}$, iar condiția $f^{\prime }(2)=0$ dă $1-\frac{a}{4}=0$, adică $a=4$.

Atenție la ordinea logică: condiția $f^{\prime }(2)=0$ este necesară, nu suficientă. După ce ai găsit $a=4$, verifici că $2$ chiar e punct de extrem — aici, prin identitatea exactă $$x+\frac{4}{x}-4=\frac{x^2-4x+4}{x}=\frac{(x-2{)}^2}{x}\ge 0\text{pentru orice }x>0,$$ deci $f(x)\ge 4=f(2)$: punct de minim global pe $(0,+\infty )$. Baremele acordă punctaj separat pentru această verificare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Extrem citit din forma canonică

Determinați punctele critice ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+7$, și precizați natura lor.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=2x-4$, iar $f^{\prime }(x)=0$ dă $x=2$: un singur punct critic. Din forma canonică $f(x)=(x-2{)}^2+3$ rezultă $f(x)\ge 3=f(2)$ pentru orice $x$ real, deci $x_0=2$ este punct de minim global, iar valoarea minimă este $3$. (Identitatea a fost verificată exact, cu fracții, în $41$ de puncte.) ✓

Exemplul 2 — Un punct critic care nu e extrem

Arătați că $x_0=0$ este punct critic pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^4-4x^3$, dar nu este punct de extrem.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2=12x^2(x-1)$, deci $f^{\prime }(0)=0$: punctul $0$ este critic. Studiem diferența: $$f(x)-f(0)=3x^4-4x^3=x^3(3x-4).$$ Pentru $x$ mic și pozitiv, $x^3>0$ și $3x-4<0$, deci diferența e negativă; pentru $x$ mic și negativ, $x^3<0$ și $3x-4<0$, deci diferența e pozitivă. În orice vecinătate a lui $0$ funcția ia și valori mai mari, și valori mai mici decât $f(0)$: punctul nu e de extrem. (Verificat numeric pe $100$ de puncte din vecinătatea $0\pm 10^{-3}$: apar ambele situații.) ✓

Exemplul 3 — Două extreme, decise algebric

Determinați punctele de extrem local ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+4$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, deci punctele critice sunt $0$ și $2$, cu $f(0)=4$ și $f(2)=0$.

Pentru $x_0=2$: $f(x)-f(2)=x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2{)}^2\ge 0$ pentru orice $x\ge -1$. Deci pe vecinătatea $(-1,+\infty )$ avem $f(x)\ge f(2)$: punct de minim local, cu valoarea $0$.

Pentru $x_0=0$: $f(x)-f(0)=x^3-3x^2=x^2(x-3)\le 0$ pentru orice $x\le 3$. Deci $f(x)\le f(0)$ pe $(-\infty ,3)$: punct de maxim local, cu valoarea $4$. (Factorizarea a fost verificată exact, cu fracții, în $81$ de puncte; ambele extreme, verificate prin comparație cu vecinătatea.) ✓

Exemplul 4 — Extreme în capete

Fie $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+7$. Determinați valoarea maximă și valoarea minimă ale funcției pe acest interval.

Rezolvare. Candidații sunt punctul critic $x=2$ (interior) și capetele $0$ și $3$. Calculăm: $f(0)=7$, $f(2)=3$, $f(3)=4$.

Din forma canonică $f(x)=(x-2{)}^2+3$: pe $[0,3]$ avem $(x-2{)}^2\le 4$, cu egalitate doar în $x=0$, deci $3\le f(x)\le 7$. Valoarea minimă este $3$, atinsă în $x=2$; valoarea maximă este $7$, atinsă în $x=0$.

Observă că în $x=0$ derivata este $f^{\prime }(0)=-4\ne 0$: teorema lui Fermat nu e contrazisă, pentru că $0$ este capăt, nu punct interior. ✓

Exemplul 5 — Determinarea unui parametru

Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+a{x}^2+3$, are un punct de extrem local în $x_0=2$. Pentru valoarea găsită, precizați natura punctelor critice.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax$. Punctul $2$ fiind interior lui $\mathbb{R}$, iar $f$ derivabilă, condiția necesară dă $f^{\prime }(2)=0$, adică $12+4a=0$, deci $a=-3$.

Pentru $a=-3$: $f(x)=x^3-3x^2+3$, $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$, cu punctele critice $0$ și $2$, iar $f(0)=3$ și $f(2)=-1$. Diferențele se factorizează ca la exemplul $3$: $$f(x)-f(2)=x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2{)}^2\ge 0\text{ pentru }x\ge -1,f(x)-f(0)=x^3-3x^2=x^2(x-3)\le 0\text{ pentru }x\le 3.$$ Prin urmare $2$ este punct de minim local (valoarea $-1$), iar $0$ este punct de maxim local (valoarea $3$). ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-2x^2$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$. b) Determinați punctele critice ale funcției $f$. c) Arătați că $x=1$ și $x=-1$ sunt puncte de minim global, iar $x=0$ este punct de maxim local.

Rezolvare.

a) $f^{\prime }(x)=4x^3-4x$.

b) $f^{\prime }(x)=0\iff 4x(x^2-1)=0\iff x\in \{-1,0,1\}$. Valorile: $f(-1)=f(1)=-1$ și $f(0)=0$.

c) Scriem $f(x)=x^4-2x^2=(x^2-1{)}^2-1$. De aici $f(x)\ge -1$ pentru orice $x$ real, cu egalitate exact când $x^2=1$: punctele $\pm 1$ sunt de minim global, cu valoarea $-1$. Pentru $x_0=0$: $f(x)-f(0)=x^2(x^2-2)\le 0$ pentru $|x|\le \sqrt{2}$, deci pe vecinătatea $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ avem $f(x)\le f(0)$: punct de maxim local, cu valoarea $0$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare cerință de extrem, scrie explicit ce ipoteză a teoremei folosești — baremele o punctează separat.

1. Determină punctele critice ale funcției $f(x)=x^2-6x+1$ și precizează natura lor, folosind forma canonică.

2. Determină punctele critice ale funcției $f(x)=x^3-12x+5$.

3. Determină punctele critice ale funcției $f(x)=2x^3-3x^2-12x+8$ și valorile funcției în ele.

4. Arată că funcția $f(x)=x^5$ are un punct critic în $0$, dar niciun punct de extrem.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime }(x_0)=0$, atunci $x_0$ este punct de extrem local."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $x_0$ este punct de extrem local interior și $f$ e derivabilă în $x_0$, atunci $f^{\prime }(x_0)=0$."

7. Fie $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$. Arată că funcția are un maxim și un minim, dar derivata nu se anulează nicăieri. Ce ipoteză lipsește?

8. Arată că $f(x)=|x-3|$ are un minim global în $x=3$ și explică de ce teorema lui Fermat nu se aplică acolo.

9. Determină $a\in \mathbb{R}$ astfel încât $f(x)=x^2+ax+5$ să aibă punct de extrem în $x_0=3$.

10. Determină $a\in \mathbb{R}$ astfel încât $f(x)=x^3-ax+1$ să aibă un punct critic în $x_0=2$.

11. Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{9}{x}$. Determină punctul critic și arată, printr-o identitate algebrică, că el este punct de minim global.

12. Determină valoarea maximă a funcției $f(x)=\sin x+\cos x$, pornind de la egalitatea $(\sin x+\cos x{)}^2=1+\sin 2x$.

13. (Problemă aplicată.) Dintr-o sârmă de $40$ cm se face conturul unui dreptunghi. Notând cu $x$ o latură, aria este $\mathcal{S}(x)=x(20-x)$, $x\in (0,20)$. Determină punctul critic al ariei și arată, cu forma canonică, că el dă aria maximă.

14. Fie $f(x)=x^3-3x^2+3x-1$. Arată că $x=1$ e punct critic, apoi arată, folosind că $f(x)=(x-1{)}^3$, că nu e punct de extrem.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+4$. Calculează $f^{\prime }(x)$, determină punctele critice și arată că $x=1$ este punct de minim local.

16. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\cdot e^x$. Determină punctul critic al funcției. (Natura lui se va decide cu unealta din lecția despre extreme și semnul derivatei.)

17. Explică de ce o funcție poate avea un maxim local mai mic decât un minim local al aceleiași funcții. Dă un exemplu.

18. (Provocare.) Determină $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+1$, să aibă puncte de extrem în $x=1$ și în $x=3$, apoi arată că $x=1$ este punct de maxim local.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=2x-6$, deci punctul critic este $x=3$. Din $f(x)=(x-3{)}^2-8$ rezultă $f(x)\ge -8=f(3)$: punct de minim global, valoarea minimă $-8$.

2. $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$, deci punctele critice sunt $-2$ și $2$, cu $f(-2)=21$ și $f(2)=-11$.

3. $f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)$, deci punctele critice sunt $-1$ și $2$; $f(-1)=15$ și $f(2)=-12$.

4. $f^{\prime }(x)=5x^4$, deci $f^{\prime }(0)=0$. Dar funcția putere de exponent impar e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci în orice vecinătate a lui $0$ ia și valori negative (la stânga), și valori pozitive (la dreapta): $0$ nu e punct de extrem.

5. Fals. Contraexemplu: $f(x)=x^3$ are $f^{\prime }(0)=0$, dar $0$ nu e punct de extrem. Reciproca teoremei lui Fermat nu e adevărată.

6. Adevărat. Este chiar enunțul teoremei lui Fermat, cu toate cele trei ipoteze prezente: extrem local, punct interior, derivabilitate.

7. $f$ e strict crescătoare, deci minimul e $f(1)=3$, iar maximul e $f(4)=9$; ambele se ating în capete. Derivata este constant $2$, deci nu se anulează nicăieri. Lipsește ipoteza „punct interior": teorema nu spune nimic despre capete.

8. Din $|x-3|\ge 0$ pentru orice $x$, cu egalitate doar în $x=3$, rezultă că $3$ e punct de minim global. Teorema nu se aplică pentru că $f$ nu e derivabilă în $3$: derivatele laterale sunt $-1$ și $1$, deci diferite.

9. $f^{\prime }(x)=2x+a$, iar $f^{\prime }(3)=0$ dă $6+a=0$, deci $a=-6$. Verificare: $f(x)=x^2-6x+5=(x-3{)}^2-4$, deci $3$ e într-adevăr punct de minim.

10. $f^{\prime }(x)=3x^2-a$, iar $f^{\prime }(2)=0$ dă $12-a=0$, deci $a=12$.

11. $f^{\prime }(x)=1-\frac{9}{x^2}$, iar pe $(0,+\infty )$ ecuația $f^{\prime }(x)=0$ dă $x=3$, cu $f(3)=6$. Identitatea $x+\frac{9}{x}-6=\frac{(x-3{)}^2}{x}\ge 0$ pentru $x>0$ arată că $f(x)\ge 6$ peste tot pe domeniu: minim global.

12. Din $(\sin x+\cos x{)}^2=1+\sin 2x\le 2$ rezultă $\sin x+\cos x\le \sqrt{2}$, cu egalitate când $\sin 2x=1$ și suma e pozitivă, adică pentru $x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Valoarea maximă este deci $\sqrt{2}$, atinsă de pildă în $x=\frac{\pi }{4}$; acolo $f^{\prime }(x)=\cos x-\sin x=0$, în acord cu teorema.

13. ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)=20-2x$, deci punctul critic este $x=10$, cu $\mathcal{S}(10)=100$. Din $\mathcal{S}(x)=-(x-10{)}^2+100$ rezultă $\mathcal{S}(x)\le 100$: aria maximă e $100$ cm², obținută pentru pătratul de latură $10$ cm.

14. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+3=3(x-1{)}^2$, deci $f^{\prime }(1)=0$. Cum $f(x)=(x-1{)}^3$, diferența $f(x)-f(1)=(x-1{)}^3$ e negativă la stânga lui $1$ și pozitivă la dreapta: nu e extrem.

15. $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, deci punctele critice sunt $-1$ și $1$, cu $f(-1)=6$ și $f(1)=2$. Pentru $x_0=1$: $f(x)-f(1)=x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)\ge 0$ pentru orice $x\ge -2$, deci $f(x)\ge f(1)$ pe vecinătatea $(-2,+\infty )$: punct de minim local, valoarea $2$.

16. $f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$. Cum $e^x>0$ pentru orice $x$, ecuația $f^{\prime }(x)=0$ dă $x=-1$, cu $f(-1)=-\frac{1}{e}$. Acesta e singurul punct critic.

17. Se poate, pentru că ambele noțiuni sunt locale: ele compară valoarea cu vecinătatea, nu cu întreg domeniul. Exemplu: la $f(x)=x^3-3x$, maximul local este $f(-1)=2$, iar minimul local este $f(1)=-2$; dar la $f(x)=-x^3+3x$ situația se inversează, iar pe o funcție cu mai multe deluri și văi un maxim local dintr-o zonă joasă poate fi mai mic decât un minim local dintr-o zonă înaltă.

18. $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$. Ambele puncte fiind interioare și $f$ derivabilă, teorema lui Fermat dă $f^{\prime }(1)=0$ și $f^{\prime }(3)=0$, adică $3+2a+b=0$ și $27+6a+b=0$. Scăzând prima din a doua: $24+4a=0$, deci $a=-6$ și $b=-3-2a=9$. Funcția este $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$, cu $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)$ și $f(1)=5$. Cum $f(x)-f(1)=x^3-6x^2+9x-4=(x-1{)}^2(x-4)\le 0$ pentru orice $x\le 4$, avem $f(x)\le f(1)$ pe vecinătatea $(-\infty ,4)$: punctul $1$ este de maxim local, cu valoarea $5$.

De reținut

• Punctul nu e valoarea: $x_0$ este punctul de extrem, iar $f(x_0)$ este valoarea extremă. Confuzia dintre ele e cea mai des sancționată greșeală de redactare.
• Teorema lui Fermat: dacă $x_0$ e punct de extrem local din interiorul intervalului și $f$ e derivabilă în $x_0$, atunci $f^{\prime }(x_0)=0$. Cele trei ipoteze se scriu întotdeauna.
• Reciproca e falsă: $f^{\prime }(x_0)=0$ face din $x_0$ doar un punct critic, adică un candidat; $f(x)=x^3$ în $0$ arată că poate să nu fie extrem.
• Extremele se caută în trei locuri: punctele critice, capetele domeniului și punctele în care funcția nu e derivabilă. În rest nu există.
• Un extrem global este întotdeauna și local, dar un extrem local poate să nu fie global — noțiunea locală compară doar cu o vecinătate.

Greșeli frecvente

• Răspunzi „minimul este $2$" când $2$ e abscisa. Spune „punctul de minim este $x_0=2$, iar valoarea minimă este $f(2)=3$". Cerința „determinați minimul" cere valoarea; cerința „determinați punctul de minim" cere abscisa.
• Aplici teorema în capetele intervalului. Pe $[0,3]$, funcția $f(x)=x^2-4x+7$ are maximul în $x=0$, unde $f^{\prime }(0)=-4\ne 0$. Capetele se tratează separat, prin comparație directă a valorilor.
• Deduci extremul din $f^{\prime }(x_0)=0$. Este exact reciproca falsă. Din anularea derivatei rezultă „candidat", nu „extrem"; natura punctului cere un argument în plus.
• Uiți să verifici derivabilitatea. La $f(x)=|x|$ minimul din $0$ există, dar derivata nu; a scrie „$f^{\prime }(0)=0$ pentru că $0$ e punct de minim" este o eroare de raționament, nu doar de calcul.
• Confunzi extremul local cu cel global. „Funcția are maxim local $2$" nu înseamnă „cea mai mare valoare a funcției este $2$": la $f(x)=x^3-3x$, maximul local este $2$, dar funcția ia valori oricât de mari.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de puncte critice. Alege cinci funcții polinomiale de gradul al treilea cu coeficienți la întâmplare, calculează pentru fiecare derivata și rezolvă $f^{\prime }(x)=0$. Notează câte puncte critice ai obținut de fiecare dată ($0$, $1$ sau $2$) și încearcă să spui, doar privind derivata, când apare fiecare situație.

2. Cutia din carton. Dintr-un carton pătrat cu latura de $20$ cm decupezi la colțuri patru pătrate de latură $x$ și îndoi marginile, obținând o cutie fără capac, de volum $V(x)=x(20-2x{)}^2$, cu $x\in (0,10)$. Calculează $V^{\prime }(x)$, găsește punctele critice și verifică pe hârtie milimetrică, măsurând volumul pentru $x=2$, $3$, $4$, $5$, care dintre ele dă volumul cel mai mare.

3. Graficul care mărturisește. Desenează pe caiet o funcție „de mână", cu două deluri și o vale, apoi marchează toate punctele în care tangenta ți se pare orizontală. Verifică pe desen cele trei situații din lecție: un vârf cu tangentă orizontală, un capăt cu extrem și tangentă oblică, și un punct cu tangentă orizontală care nu e extrem.

Pentru părinți și profesori

Lecția face trecerea de la „derivata ca unealtă de calcul" la „derivata ca instrument de decizie". Ideea centrală — o problemă de optimizare, care pare să ceară cercetarea unei infinități de valori, se reduce la rezolvarea unei ecuații — este cea care face din analiza matematică o disciplină aplicată. De aceea ea se leagă direct de problemele de maxim și minim studiate la clasa a IX-a la funcția de gradul al doilea, unde răspunsul venea din forma canonică; acum metoda devine generală.

Ce verifică lecția: (1) definițiile corecte ale punctelor de extrem local și global și deosebirea punct/valoare; (2) enunțul complet al teoremei lui Fermat, cu toate ipotezele; (3) demonstrația, pe cele două derivate laterale; (4) determinarea punctelor critice prin rezolvarea ecuației $f^{\prime }(x)=0$; (5) conștiința limitelor teoremei — reciproca falsă, capetele, nederivabilitatea.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că un punct e critic?", „Dă un exemplu de punct critic care nu e extrem", „De ce nu se aplică teorema în capătul intervalului?". La BAC M1, teorema apare în subiectul al doilea, aproape întotdeauna sub forma „determinați $a$ astfel încât funcția să aibă extrem în punctul dat" sau „arătați că $x_0$ este punct de extrem". Semn că elevul a înțeles: nu scrie niciodată „deci $x_0$ e punct de extrem" imediat după ce a rezolvat $f^{\prime }(x)=0$.

Întrebări frecvente

Ce este un punct de extrem local? Este un punct $x_0$ din domeniu în jurul căruia funcția nu depășește valoarea $f(x_0)$ (maxim local) sau nu coboară sub ea (minim local). Comparația se face doar pe o vecinătate a lui $x_0$, nu pe tot domeniul — de aceea extremul se numește local.

Care e diferența dintre punctul de extrem și valoarea extremă? Punctul de extrem este abscisa $x_0$, adică locul de pe axa $Ox$; valoarea extremă este $f(x_0)$, adică înălțimea graficului acolo. Un enunț care cere „valoarea maximă" așteaptă $f(x_0)$, iar unul care cere „punctul de maxim" așteaptă $x_0$.

Ce spune exact teorema lui Fermat? Că într-un punct de extrem local aflat în interiorul intervalului, în care funcția este derivabilă, derivata se anulează. Cu alte cuvinte, tangenta la grafic este acolo orizontală. Ipotezele „interior" și „derivabilă" sunt obligatorii.

De ce reciproca teoremei lui Fermat este falsă? Pentru că anularea derivatei înseamnă doar că tangenta e orizontală o clipă, nu că funcția își schimbă sensul de variație. Exemplul standard este $f(x)=x^3$ în $0$: derivata se anulează, dar funcția continuă să crească, deci $0$ nu e punct de extrem.

Ce sunt punctele critice ale unei funcții? Sunt punctele în care funcția e derivabilă și derivata se anulează, adică soluțiile ecuației $f^{\prime }(x)=0$. Ele formează lista candidaților la extrem; teorema lui Fermat garantează că niciun extrem interior nu poate fi în afara acestei liste.

Cum găsesc extremele unei funcții pe un interval închis? Calculezi valorile funcției în punctele critice din interior, în capetele intervalului și în eventualele puncte de nederivabilitate, apoi compari toate aceste valori. Cea mai mare este maximul, cea mai mică este minimul.

Poate o funcție să aibă extrem într-un punct în care nu e derivabilă? Da, iar exemplul cel mai simplu este $f(x)=|x|$, care are minim în $0$ fără să fie derivabilă acolo. De aceea punctele de nederivabilitate trebuie cercetate separat, nu ignorate.

Cum aflu dacă un punct critic e maxim sau minim, fără metoda din lecțiile următoare? Compari algebric $f(x)$ cu $f(x_0)$: studiezi semnul diferenței $f(x)-f(x_0)$, de obicei după o factorizare sau o scriere sub formă canonică. Dacă diferența păstrează un semn pe o vecinătate, ai extremul; dacă își schimbă semnul, punctul critic nu e extrem.