Teorema lui Lagrange: pe scurt

Un radar de tronson măsoară viteza medie pe o distanță întreagă. Dacă mișcarea a fost neîntreruptă, a existat cu siguranță cel puțin o clipă în care vitezometrul a arătat exact acea valoare. Aceasta este teorema lui Lagrange: ea leagă o informație globală (cât s-a schimbat funcția între capete) de una locală (cât de repede se schimbă într-un punct).

Teorema lui Lagrange (a creșterilor finite): fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$. Atunci există $c\in (a,b)$ cu $$f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a),\text{echivalent}{f}^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ Geometric: există un punct interior în care tangenta este paralelă cu coarda care unește capetele graficului. Demonstrația scade coarda din funcție — $h(x)=f(x)-f(a)-m(x-a)$ are $h(a)=h(b)=0$ — și aplică teorema lui Rolle, al cărei caz particular este $f(a)=f(b)$.

Ca și la Rolle, continuitatea se cere pe intervalul închis, derivabilitatea doar pe cel deschis, iar concluzia afirmă existența, nu unicitatea; soluțiile din capete se resping.

A doua mare familie de aplicații pornește de la citirea inversă: dacă $m\le f^{\prime }(x)\le M$ pe $(a,b)$, atunci $m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)$. De aici se obțin încadrări (de pildă $\frac{1}{11}<\ln 1,1<\frac{1}{10}$) și inegalități precum $|\sin b-\sin a|\le |b-a|$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Teorema lui Lagrange afirmă că, pentru $f$ continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$, există $c\in (a,b)$ astfel încât:

   • a) $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$
   • b) $f^{\prime }(c)=0$
   • c) $f^{\prime }(c)=\frac{f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)}{b-a}$
   • d) $f(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$

   Este formula creșterilor finite. Varianta $f^{\prime }(c)=0$ este concluzia lui Rolle, adevărată doar în cazul particular $f(a)=f(b)$; a treia confundă raportul valorilor funcției cu un raport de derivate, iar a patra pune valoarea funcției acolo unde trebuie derivata.

2. Valoarea $c$ dată de teorema lui Lagrange pentru $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x$, este:

   • a) $c=2$
   • b) $c=\frac{5}{2}$
   • c) $c=3$
   • d) $c=\frac{7}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $c=\frac{5}{2}$

   Funcția e polinomială, deci continuă pe $[1,4]$ și derivabilă pe $(1,4)$. Raportul coardei: $\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{24-3}{3}=7$. Din $f^{\prime }(c)=2c+2=7$ rezultă $c=\frac{5}{2}\in (1,4)$ — chiar mijlocul intervalului, cum se întâmplă la orice funcție de gradul al doilea.

3. Pentru $f:[-2,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$, raportul $\frac{f(2)-f(-2)}{4}$ este $0$, dar nu există niciun $c\in (-2,2)$ cu $f^{\prime }(c)=0$. Motivul este că:

   • a) teorema lui Lagrange cere $f(a)=f(b)$
   • b) funcția nu este continuă pe $[-2,2]$
   • c) teorema garantează unicitatea, nu existența
   • d) $f$ nu este derivabilă în $0$, punct interior, deci ipoteza de derivabilitate pe $(-2,2)$ cade
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $f$ nu este derivabilă în $0$, punct interior, deci ipoteza de derivabilitate pe $(-2,2)$ cade

   Funcția este continuă pe $[-2,2]$, dar în $0$ are un punct unghiular, iar $0$ este interior intervalului. Ipoteza căzând, teorema nu se aplică — și, într-adevăr, $f^{\prime }(x)=\pm 1$ nu se anulează nicăieri. O teoremă cu ipoteze neîndeplinite nu spune nimic despre concluzie.