Teorema lui Lagrange

Pe unele autostrăzi există radare care nu măsoară viteza într-un punct, ci pe un tronson întreg: o cameră notează ora la intrare, alta ora la ieșire, iar sistemul calculează viteza medie pe distanța dintre ele. Dacă tronsonul are $20$ de kilometri și l-ai parcurs în $9$ minute, viteza ta medie a fost de $133$ de kilometri pe oră. Amenda vine chiar dacă, în clipa în care ai trecut prin dreptul fiecărei camere, vitezometrul arăta $110$. Întrebarea firească a oricărui șofer amendat este: pe ce se bazează, matematic, sancțiunea?

Pe un rezultat cât se poate de precis: dacă mișcarea a fost continuă și fără sărituri, atunci a existat cel puțin o clipă în care viteza indicată de vitezometru a fost exact $133$ de kilometri pe oră. Nu „probabil", nu „aproximativ" — a existat sigur, chiar dacă nimeni nu poate spune în ce secundă anume. Acesta este conținutul teoremei lui Lagrange, cea mai folosită teoremă din tot capitolul de funcții derivabile. Ea leagă o informație globală (cât s-a schimbat funcția între două capete) de o informație locală (cât de repede se schimbă funcția într-un punct), iar din această legătură se nasc aproape toate rezultatele care urmează: monotonia dedusă din semnul derivatei, inegalitățile fine, aproximările numerice.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți teorema lui Lagrange cu toate ipotezele, în ordinea corectă, așa cum o cer baremele.
• Vei ști să-i explici interpretarea geometrică: există o tangentă paralelă cu coarda care unește capetele graficului.
• Vei ști să demonstrezi teorema, construind funcția ajutătoare și aplicând teorema lui Rolle.
• Vei ști să verifici ipotezele înainte de a aplica teorema și să recunoști situațiile în care concluzia chiar cade.
• Vei ști să determini efectiv punctul $c$ pentru funcțiile uzuale, rezolvând ecuația $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
• Vei ști să folosești teorema pentru a demonstra inegalități și pentru a încadra numere precum $\ln 1,1$ sau $\sqrt{101}$ între două valori apropiate.

Hai să descoperim împreună

1. Interpretarea geometrică: coarda înclinată

Începem cu desenul, nu cu formula — este exact ordinea recomandată de programă pentru această teoremă.

Fie o funcție al cărei grafic urcă lin de la punctul $A(a,f(a))$ la punctul $B(b,f(b))$. Unește cele două capete printr-un segment: este coarda graficului. Panta ei se calculează cu formula pantei unei drepte determinate de două puncte, $$m_{AB}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Acum imaginează-ți o riglă subțire care alunecă de-a lungul curbei, rămânând mereu tangentă la grafic. La început, lângă $A$, curba poate urca mai abrupt decât coarda; mai încolo se aplatizează și urcă mai lin. Între „mai abrupt" și „mai lin" există un moment în care înclinarea tangentei coincide exact cu înclinarea coardei. Altfel spus: există un punct interior în care tangenta este paralelă cu coarda.

Compară cu situația din lecția Teorema lui Rolle: acolo capetele graficului erau la aceeași înălțime, $f(a)=f(b)$, coarda era orizontală, iar concluzia spunea că undeva înăuntru există o tangentă orizontală, adică $f^{\prime }(c)=0$. Teorema lui Lagrange este exact același enunț, cu desenul înclinat: coarda nu mai e orizontală, deci nici tangenta nu mai e orizontală, ci are panta coardei.

Această înrudire nu e o metaforă, ci va deveni chiar demonstrația: vom „îndrepta" desenul lui Lagrange scăzând coarda din funcție, iar ce rămâne se supune lui Rolle.

2. Enunțul teoremei

Teorema lui Lagrange (teorema creșterilor finite): fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$. Atunci există $c\in (a,b)$ astfel încât $$f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a),\text{echivalent}{f}^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Trei observații care fac diferența la corectare.

(i) Ipotezele sunt două și sunt diferite. Continuitatea se cere pe intervalul închis $[a,b]$, adică inclusiv în capete; derivabilitatea se cere doar pe intervalul deschis $(a,b)$, adică fără capete. Asimetria nu e o scăpare de redactare: ea permite teoremei să se aplice și funcțiilor care au tangentă verticală într-un capăt, cum e $f(x)=\sqrt{x}$ pe $[0,4]$.

(ii) Concluzia afirmă existența, nu unicitatea. Punctul $c$ există, dar poate fi unul singur sau pot fi mai multe. Nu scrie niciodată „punctul $c$" ca și cum ar fi unic, decât după ce ai rezolvat efectiv ecuația și ai constatat că soluția e una singură.

(iii) $c$ este strict între $a$ și $b$. Capetele sunt excluse. De aceea, când rezolvi ecuația $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ și obții mai multe soluții, le păstrezi doar pe cele din intervalul deschis.

Numele „teorema creșterilor finite" spune ce face formula: exprimă creșterea funcției pe un interval finit, $f(b)-f(a)$, ca produs dintre lungimea intervalului și o valoare a derivatei. Într-o singură egalitate, ea traduce global în local.

3. Demonstrația

Ideea a fost anunțată: îndreptăm coarda. Vrem o funcție ajutătoare care să aibă valori egale la capete, ca să putem folosi teorema lui Rolle.

Construcția. Fie $m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ panta coardei și fie $$h:[a,b]\to \mathbb{R},h(x)=f(x)-f(a)-m(x-a).$$ Geometric, $h(x)$ este diferența pe verticală dintre grafic și coardă: din valoarea funcției scădem valoarea corespunzătoare de pe segmentul $AB$.

Verificăm ipotezele lui Rolle pentru $h$.

• $h$ este continuă pe $[a,b]$, fiind diferența dintre $f$ (continuă pe $[a,b]$ prin ipoteză) și o funcție de gradul întâi, continuă pe $\mathbb{R}$.
• $h$ este derivabilă pe $(a,b)$, din același motiv, iar $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-m$.
• $h(a)=f(a)-f(a)-m(a-a)=0$ și $h(b)=f(b)-f(a)-m(b-a)=f(b)-f(a)-(f(b)-f(a))=0$, deci $h(a)=h(b)$.

Aplicăm teorema lui Rolle. Ipotezele fiind îndeplinite, există $c\in (a,b)$ cu $h^{\prime }(c)=0$, adică $f^{\prime }(c)-m=0$, adică $$f^{\prime }(c)=m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.■$$

Observă că teorema lui Rolle este cazul particular $f(a)=f(b)$ al teoremei lui Lagrange: atunci $m=0$ și concluzia devine $f^{\prime }(c)=0$. Cele două teoreme sunt, așadar, echivalente ca putere; obișnuința de a le enunța separat vine din faptul că Rolle e mai ușor de desenat, iar Lagrange e mai ușor de aplicat.

4. Ipotezele nu sunt decor

Programa insistă asupra unui punct: teoremele lui Rolle și Lagrange nu sunt formule de memorat, ci proceduri de verificare. Prima jumătate a oricărei rezolvări corecte este verificarea ipotezelor, iar la Bacalaureat M1 ea are punctaj separat.

Ce se întâmplă dacă lipsește derivabilitatea. Fie $f(x)=|x|$ pe $[-1,1]$. Funcția e continuă pe $[-1,1]$, dar nu e derivabilă în $0$, punct interior intervalului. Raportul din enunț este $\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{1-1}{2}=0$, deci ar trebui să existe $c$ cu $f^{\prime }(c)=0$. Numai că derivata există doar pe $(-1,0)\cup (0,1)$ și acolo ia valorile $-1$ și $+1$ — niciodată $0$. Concluzia teoremei este falsă, pentru că ipoteza a căzut.

Ce se întâmplă dacă lipsește continuitatea. Fie $f(x)=\frac{1}{x}$ pe $[-1,1]$. Aici greșeala e și mai grosolană: funcția nici măcar nu e definită în $0$, deci nu poate fi continuă pe $[-1,1]$, iar teorema nu se aplică. Cine o aplică mecanic obține $f^{\prime }(c)=\frac{1-(-1)}{2}=1$, adică $-\frac{1}{c^2}=1$, ecuație fără soluții reale. Un rezultat imposibil semnalează, întotdeauna, o ipoteză neverificată.

Merită reținut modul în care se citește un asemenea contraexemplu. El nu arată că teorema ar fi greșită, ci că ea nu are nimic de spus atunci când ipotezele nu sunt îndeplinite. O teoremă este o promisiune condiționată: dacă se întâmplă cutare lucru, atunci urmează cutare concluzie. Când condiția lipsește, promisiunea pur și simplu nu se activează, iar concluzia poate fi adevărată sau falsă, după caz.

Ce NU trebuie verificat. Nu trebuie ca $f$ să fie derivabilă în $a$ și în $b$. Pentru $f(x)=\sqrt{x}$ pe $[0,4]$, funcția e continuă pe $[0,4]$ și derivabilă pe $(0,4)$, deși în $0$ derivata nu există (semitangenta e verticală, situație descrisă în Puncte unghiulare și puncte de întoarcere). Teorema se aplică fără nicio rezervă.

5. Cum se găsește efectiv punctul $c$

Cea mai frecventă cerință de examen sună așa: „determinați $c\in (a,b)$ dat de teorema lui Lagrange pentru funcția…". Procedura are patru pași și se scrie de fiecare dată la fel.

1. Verifici ipotezele, cu justificare: pe ce interval e continuă $f$, pe ce interval e derivabilă și de ce.
2. Calculezi raportul $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, adică panta coardei.
3. Calculezi $f^{\prime }$ și rezolvi ecuația $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
4. Reții doar soluțiile din $(a,b)$ și le enumeri. Dacă nu rămâne niciuna, ai greșit undeva — teorema garantează cel puțin o soluție.

Exemplu. Fie $f(x)=x^2$ pe $[1,3]$. Fiind polinomială, e continuă pe $[1,3]$ și derivabilă pe $(1,3)$. Raportul: $\frac{9-1}{3-1}=4$. Ecuația: $2c=4$, deci $c=2\in (1,3)$. Un fapt curios, care se verifică imediat: pentru orice funcție de gradul al doilea, $c$ este mijlocul intervalului.

Exemplu. Fie $f(x)=\ln x$ pe $[1,e]$. Funcția logaritmică e continuă și derivabilă pe $(0,+\infty )$, deci cu atât mai mult pe $[1,e]$, respectiv pe $(1,e)$. Raportul: $\frac{\ln e-\ln 1}{e-1}=\frac{1}{e-1}\approx 0,5819767$. Ecuația: $\frac{1}{c}=\frac{1}{e-1}$, deci $c=e-1\approx 1,7182818$, iar $1<e-1<e$. (Verificat numeric prin bisecție pe $f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, cu $50$ de zecimale.)

Exemplu. Fie $f(x)=\sqrt{x}$ pe $[0,4]$. Continuă pe $[0,4]$, derivabilă pe $(0,4)$. Raportul: $\frac{2-0}{4-0}=\frac{1}{2}$. Ecuația: $\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{2}$, deci $\sqrt{c}=1$ și $c=1\in (0,4)$.

6. Lagrange ca unealtă de estimare

Cea de-a doua mare familie de aplicații pornește de la forma $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$ citită invers: nu știm cine e $c$, dar știm între ce limite se mișcă $f^{\prime }$. Dacă $m\le f^{\prime }(x)\le M$ pentru orice $x\in (a,b)$, atunci $$m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a).$$ Din informația despre derivată obținem, așadar, o încadrare a creșterii funcției — fără să calculăm nimic exact.

Aplicația 1 — încadrarea unui logaritm. Fie $f(x)=\ln x$ pe $[10,11]$. Există $c\in (10,11)$ cu $\ln 11-\ln 10=\frac{1}{c}$. Cum $10<c<11$, avem $\frac{1}{11}<\frac{1}{c}<\frac{1}{10}$, deci $$\frac{1}{11}<\ln 1,1<\frac{1}{10},\text{adica˘}0,0909<\ln 1,1<0,1.$$ Valoarea reală este $\ln 1,1\approx 0,0953102$ — încadrarea e corectă și strânsă. (Verificat cu precizie de $50$ de zecimale.)

Aplicația 2 — încadrarea unui radical. Fie $f(x)=\sqrt{x}$ pe $[100,101]$. Există $c\in (100,101)$ cu $\sqrt{101}-10=\frac{1}{2\sqrt{c}}$. Din $100<c<101$ rezultă $\frac{1}{2\sqrt{101}}<\sqrt{101}-10<\frac{1}{20}=0,05$, deci $\sqrt{101}<10,05$. Reintroducând această margine în stânga, obținem $\sqrt{101}-10>\frac{1}{2\cdot 10,05}\approx 0,0497512$. Prin urmare $10,0497<\sqrt{101}<10,05$, iar valoarea reală este $\sqrt{101}\approx 10,0498756$.

Aplicația 3 — o inegalitate cu sinus. Pentru orice $a,b\in \mathbb{R}$ avem $$|\sin b-\sin a|\le |b-a|.$$ Demonstrație: dacă $a=b$, egalitate. Dacă $a\ne b$, funcția sinus e continuă și derivabilă pe $\mathbb{R}$, deci pe intervalul determinat de $a$ și $b$ există $c$ cu $\sin b-\sin a=\cos c(b-a)$. Cum $|\cos c|\le 1$, trecem la module și obținem inegalitatea. Nicio altă metodă elementară nu dă acest rezultat atât de scurt.

7. Ce deschide teorema mai departe

Reține forma $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$ și privește semnele. Dacă derivata este pozitivă peste tot pe interval, atunci pentru orice $a<b$ produsul $f^{\prime }(c)(b-a)$ e pozitiv, deci $f(b)>f(a)$: funcția crește. Dacă derivata este nulă peste tot, atunci $f(b)=f(a)$ pentru orice pereche de puncte, deci funcția e constantă.

Aceste două observații nu sunt exerciții, ci teoreme în toată puterea cuvântului, și se numesc consecințele teoremei lui Lagrange. Le enunțăm și le demonstrăm riguros în lecția următoare, Consecințele teoremei lui Lagrange — de acolo încolo, semnul derivatei devine principalul instrument de studiu al unei funcții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Determinarea lui $c$ pentru o funcție polinomială

Determinați valoarea $c$ dată de teorema lui Lagrange pentru $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+2$.

Rezolvare. Ipotezele: $f$ e funcție polinomială, deci continuă pe $[1,4]$ și derivabilă pe $(1,4)$. Teorema se aplică.

Raportul: $f(1)=1-3+2=0$, $f(4)=16-12+2=6$, deci $\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{6}{3}=2$.

Ecuația: $f^{\prime }(x)=2x-3$, deci $2c-3=2$, de unde $c=\frac{5}{2}=2,5$.

Selecția: $2,5\in (1,4)$, deci $c=2,5$ este valoarea căutată — și, fiind singura soluție a unei ecuații de gradul întâi, este unică. ✓

Exemplul 2 — Când soluțiile ecuației sunt două, dar una singură se acceptă

Determinați valorile $c$ date de teorema lui Lagrange pentru $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+2x$.

Rezolvare. Ipotezele: funcție polinomială, deci continuă pe $[0,3]$ și derivabilă pe $(0,3)$.

Raportul: $f(0)=0$ și $f(3)=27-27+6=6$, deci raportul este $\frac{6-0}{3-0}=2$.

Ecuația: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+2$, deci $3c^2-6c+2=2$, adică $3c^2-6c=0$, adică $3c(c-2)=0$, cu soluțiile $c_1=0$ și $c_2=2$.

Selecția: $c_1=0$ nu se acceptă, pentru că teorema cere $c\in (0,3)$, interval deschis, iar $0$ este capătul din stânga. Rămâne $c=2$. (Verificat numeric: bisecția pe $f^{\prime }(x)-2$ în $(0,3)$ dă exact $c=2$.) ✓

Exemplul 3 — O funcție cu radical

Arătați că teorema lui Lagrange se aplică funcției $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, și determinați $c$.

Rezolvare. Funcția radical este continuă pe $[0,+\infty )$, deci pe $[0,4]$, și derivabilă pe $(0,+\infty )$, deci pe $(0,4)$. Faptul că în $0$ nu e derivabilă nu deranjează: ipoteza de derivabilitate se cere doar pe intervalul deschis.

Raportul: $\frac{\sqrt{4}-\sqrt{0}}{4-0}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Ecuația: $\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{2}$, deci $\sqrt{c}=1$ și $c=1\in (0,4)$. ✓

Exemplul 4 — Ipoteze neîndeplinite

Arătați că pentru $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$, nu există niciun $c\in (-1,1)$ cu $f^{\prime }(c)=\frac{f(1)-f(-1)}{2}$, și explicați de ce acest lucru nu contrazice teorema lui Lagrange.

Rezolvare. Raportul este $\frac{1-1}{2}=0$. Pe $(-1,0)$ avem $f(x)=-x$, deci $f^{\prime }(x)=-1$; pe $(0,1)$ avem $f(x)=x$, deci $f^{\prime }(x)=1$; în $0$ derivata nu există, pentru că derivatele laterale sunt $f_s^{\prime }(0)=-1$ și $f_d^{\prime }(0)=1$, diferite. Așadar $f^{\prime }$ ia doar valorile $-1$ și $1$, niciodată $0$: nu există $c$ cerut.

Nu există nicio contradicție, pentru că ipoteza de derivabilitate pe $(-1,1)$ nu este îndeplinită — punctul $0$ este interior intervalului și acolo funcția are un punct unghiular. O teoremă cu ipoteze false nu spune nimic despre concluzie. ✓

Exemplul 5 — O inegalitate demonstrată cu Lagrange

Arătați că pentru orice $0<a<b$ are loc dubla inegalitate $\frac{b-a}{b}<\ln \frac{b}{a}<\frac{b-a}{a}$.

Rezolvare. Funcția $f(x)=\ln x$ e continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$, fiind continuă și derivabilă pe tot $(0,+\infty )$, iar $0<a<b$. Prin teorema lui Lagrange există $c\in (a,b)$ cu $$\ln b-\ln a=\frac{1}{c}(b-a),\text{adica˘}\ln \frac{b}{a}=\frac{b-a}{c}.$$ Din $a<c<b$ și $b-a>0$ rezultă $\frac{b-a}{b}<\frac{b-a}{c}<\frac{b-a}{a}$, ceea ce încheie demonstrația.

Control numeric pentru $a=2$, $b=5$: $\frac{3}{5}=0,6$, $\ln 2,5\approx 0,9162907$ și $\frac{3}{2}=1,5$ — inegalitățile se verifică. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$. a) Verificați că $f$ îndeplinește ipotezele teoremei lui Lagrange pe intervalul $[0,1]$. b) Determinați $c\in (0,1)$ dat de teorema lui Lagrange pe acest interval. c) Arătați că $e^x\ge x+1$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare.

a) Funcția exponențială este continuă și derivabilă pe $\mathbb{R}$, deci este continuă pe $[0,1]$ și derivabilă pe $(0,1)$. Ambele ipoteze sunt îndeplinite.

b) Raportul este $\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{e-1}{1}=e-1$. Cum $f^{\prime }(x)=e^x$, ecuația devine $e^c=e-1$, deci $c=\ln (e-1)\approx 0,5413248$. Verificăm apartenența: $e-1\approx 1,7182818$, iar $1<e-1<e$, deci $0<\ln (e-1)<1$. ✓

c) Fie $x>0$. Pe intervalul $[0,x]$, funcția exponențială îndeplinește ipotezele, deci există $c\in (0,x)$ cu $e^x-e^0=e^c(x-0)$, adică $e^x-1=x{e}^c$. Cum $c>0$, avem $e^c>1$, deci $e^x-1>x$, adică $e^x>x+1$. Fie acum $x<0$. Pe $[x,0]$ există $c\in (x,0)$ cu $1-e^x=e^c(0-x)=-x{e}^c$. Cum $c<0$, avem $0<e^c<1$, iar $-x>0$, deci $1-e^x<-x$, adică $e^x>x+1$. Pentru $x=0$ avem egalitate: $e^0=1=0+1$. Prin urmare $e^x\ge x+1$ pentru orice $x$ real, cu egalitate doar în $0$. (Verificat numeric în cinci puncte de probă.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare aplicare a teoremei, scrie întâi verificarea ipotezelor, apoi calculul — este ordinea cerută de barem.

1. Determină $c$ dat de teorema lui Lagrange pentru $f(x)=x^2$ pe $[1,3]$.

2. Determină $c$ dat de teorema lui Lagrange pentru $f(x)=x^2+x$ pe $[0,2]$.

3. Determină $c$ dat de teorema lui Lagrange pentru $f(x)=x^3$ pe $[0,3]$.

4. Determină $c$ dat de teorema lui Lagrange pentru $f(x)=\ln x$ pe $[1,e]$.

5. Verifică dacă teorema lui Lagrange se aplică funcției $f(x)=\frac{1}{x}$ pe intervalul $[1,2]$ și, în caz afirmativ, determină $c$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Teorema lui Lagrange cere ca $f$ să fie derivabilă pe intervalul închis $[a,b]$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă teorema lui Lagrange se aplică, punctul $c$ este unic."

8. Arată că teorema lui Rolle este cazul particular $f(a)=f(b)$ al teoremei lui Lagrange.

9. Explică de ce teorema lui Lagrange nu se aplică funcției $f(x)=|x-2|$ pe intervalul $[0,4]$.

10. Folosind teorema lui Lagrange pentru $f(x)=\ln x$ pe $[100,101]$, încadrează numărul $\ln 1,01$ între două fracții.

11. Arată că $|\cos b-\cos a|\le |b-a|$ pentru orice numere reale $a$ și $b$.

12. Arată că $\sqrt{b}-\sqrt{a}<\frac{b-a}{2\sqrt{a}}$ pentru orice $0<a<b$.

13. (Problemă aplicată.) Un automobil parcurge un tronson de $30$ de kilometri în $15$ minute. Arată, folosind teorema lui Lagrange, că a existat un moment în care viteza instantanee a fost exact $120$ de kilometri pe oră. Ce ipoteză despre mișcare ai folosit?

14. Fie $f$ derivabilă pe $\mathbb{R}$, cu $f(0)=2$ și $|f^{\prime }(x)|\le 3$ pentru orice $x$. Încadrează $f(4)$ între două valori.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:[1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-x$. Verifică ipotezele teoremei lui Lagrange și determină $c\in (1,2)$.

16. Determină numerele reale $a$ și $b$ astfel încât funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=a{x}^2+bx$, să aibă $c=1$ ca punct dat de teorema lui Lagrange, oricare ar fi $a\ne 0$ și $b$. Ce observi?

17. Fie $f$ continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$, cu $f^{\prime }(x)=0$ pentru orice $x\in (a,b)$. Arată, folosind teorema lui Lagrange, că $f(a)=f(b)$.

18. (Provocare.) Fie $f$ derivabilă pe $\mathbb{R}$ cu $f^{\prime }$ mărginită: există $M>0$ cu $|f^{\prime }(x)|\le M$ pentru orice $x$. Arată că $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$ pentru orice $x,y$ și deduce că $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$.

Răspunsuri și explicații

1. Polinomială, deci continuă pe $[1,3]$ și derivabilă pe $(1,3)$. Raportul: $\frac{9-1}{2}=4$; ecuația $2c=4$ dă $c=2\in (1,3)$.

2. Continuă pe $[0,2]$, derivabilă pe $(0,2)$. Raportul: $\frac{6-0}{2}=3$; ecuația $2c+1=3$ dă $c=1\in (0,2)$.

3. Raportul: $\frac{27-0}{3}=9$; ecuația $3c^2=9$ dă $c^2=3$, deci $c=\sqrt{3}\approx 1,7320508$ (soluția $-\sqrt{3}$ se respinge, nefiind în $(0,3)$).

4. Raportul: $\frac{1-0}{e-1}=\frac{1}{e-1}$; ecuația $\frac{1}{c}=\frac{1}{e-1}$ dă $c=e-1\approx 1,7182818\in (1,e)$.

5. Se aplică: $f$ e continuă și derivabilă pe $(0,+\infty )$, iar $[1,2]\subset (0,+\infty )$. Raportul: $\frac{\frac{1}{2}-1}{1}=-\frac{1}{2}$; ecuația $-\frac{1}{c^2}=-\frac{1}{2}$ dă $c^2=2$, deci $c=\sqrt{2}\approx 1,4142136\in (1,2)$.

6. Fals. Derivabilitatea se cere doar pe intervalul deschis $(a,b)$. Contraexemplu de aplicare corectă: $f(x)=\sqrt{x}$ pe $[0,4]$, care nu e derivabilă în $0$, dar pentru care teorema funcționează.

7. Fals. Teorema garantează existența, nu unicitatea. Pentru $f(x)=\sin x$ pe $[0,2\pi ]$ raportul e $0$, iar ecuația $\cos c=0$ are două soluții în interval, $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$.

8. Dacă $f(a)=f(b)$, raportul $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ este $0$, iar concluzia lui Lagrange devine: există $c\in (a,b)$ cu $f^{\prime }(c)=0$ — exact concluzia teoremei lui Rolle, sub aceleași ipoteze de continuitate și derivabilitate.

9. Pentru că $f$ nu este derivabilă în $x=2$, punct interior intervalului $[0,4]$: derivatele laterale acolo sunt $-1$ și $1$. Ipoteza de derivabilitate pe $(0,4)$ cade.

10. Există $c\in (100,101)$ cu $\ln 101-\ln 100=\frac{1}{c}$, deci $\frac{1}{101}<\ln 1,01<\frac{1}{100}$, adică $0,0099<\ln 1,01<0,01$. (Valoarea reală: $\ln 1,01\approx 0,0099503$.)

11. Pentru $a\ne b$, cosinusul e continuu și derivabil pe intervalul determinat de $a$ și $b$, deci există $c$ cu $\cos b-\cos a=-\sin c(b-a)$. Cum $|-\sin c|\le 1$, trecerea la module dă inegalitatea. Pentru $a=b$ are loc egalitatea $0=0$.

12. Pe $[a,b]$, cu $0<a<b$, radicalul e continuu și derivabil pe $(a,b)$, deci există $c\in (a,b)$ cu $\sqrt{b}-\sqrt{a}=\frac{b-a}{2\sqrt{c}}$. Din $c>a$ rezultă $\sqrt{c}>\sqrt{a}$, deci $\frac{1}{2\sqrt{c}}<\frac{1}{2\sqrt{a}}$, ceea ce dă inegalitatea strictă.

13. Fie $s(t)$ distanța parcursă până la momentul $t$, măsurat în ore. Avem $s(0)=0$ și $s\left(\frac{1}{4}\right)=30$, deci raportul este $\frac{30-0}{\frac{1}{4}}=120$. Presupunând că $s$ e continuă pe $\left[0,\frac{1}{4}\right]$ și derivabilă pe $\left(0,\frac{1}{4}\right)$ — adică mișcarea e neîntreruptă și are viteză instantanee în fiecare moment —, teorema lui Lagrange dă un moment $c$ cu $s^{\prime }(c)=120$. Ipoteza folosită este exact derivabilitatea funcției de poziție.

14. Pe $[0,4]$ există $c$ cu $f(4)-f(0)=f^{\prime }(c)\cdot 4$, deci $|f(4)-2|=4|f^{\prime }(c)|\le 12$. Prin urmare $-10\le f(4)\le 14$.

15. Polinomială, deci continuă pe $[1,2]$ și derivabilă pe $(1,2)$. Raportul: $\frac{f(2)-f(1)}{1}=\frac{6-0}{1}=6$. Ecuația: $3c^2-1=6$, deci $c^2=\frac{7}{3}$ și $c=\sqrt{\frac{7}{3}}\approx 1,5275252\in (1,2)$ (soluția negativă se respinge).

16. Raportul: $\frac{f(2)-f(0)}{2}=\frac{4a+2b}{2}=2a+b$. Ecuația: $2ac+b=2a+b$, deci $c=1$ pentru orice $a\ne 0$ și orice $b$. Observația: la funcțiile de gradul al doilea, punctul dat de teorema lui Lagrange este întotdeauna mijlocul intervalului, indiferent de coeficienți.

17. Ipotezele teoremei sunt îndeplinite, deci există $c\in (a,b)$ cu $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$. Cum $f^{\prime }(c)=0$, obținem $f(b)-f(a)=0$, adică $f(a)=f(b)$. (Acesta este primul pas al Consecinței 1, demonstrată complet în lecția următoare.)

18. Dacă $x=y$, egalitate. Dacă $x\ne y$, aplicăm teorema pe intervalul determinat de $x$ și $y$: există $c$ între ele cu $f(x)-f(y)=f^{\prime }(c)(x-y)$. Trecând la module, $|f(x)-f(y)|=|f^{\prime }(c)|\cdot |x-y|\le M|x-y|$. Continuitatea în orice punct $y$ rezultă imediat: dacă $x\to y$, atunci $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|\to 0$, deci $f(x)\to f(y)$.

De reținut

• Enunțul complet: dacă $f$ e continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$, atunci există $c\in (a,b)$ cu $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$. Continuitatea pe închis, derivabilitatea pe deschis — asimetria e esențială.
• Interpretarea geometrică: există un punct interior în care tangenta la grafic este paralelă cu coarda care unește capetele.
• Demonstrația se face scăzând coarda din funcție: $h(x)=f(x)-f(a)-m(x-a)$ are $h(a)=h(b)=0$, iar teorema lui Rolle îi dă un zero al derivatei.
• Procedura de determinare a lui $c$: verifici ipotezele, calculezi raportul $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, rezolvi $f^{\prime }(c)=$ raport, păstrezi doar soluțiile din intervalul deschis.
• Ca unealtă de estimare: dacă $m\le f^{\prime }(x)\le M$ pe $(a,b)$, atunci $m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)$ — de aici toate încadrările și inegalitățile.

Greșeli frecvente

• Ceri derivabilitatea pe intervalul închis. Enunțul cere derivabilitate doar pe $(a,b)$. Cine adaugă capetele pierde aplicații legitime, precum $f(x)=\sqrt{x}$ pe $[0,4]$, unde derivata nu există în $0$, dar teorema funcționează.
• Aplici teorema fără să verifici ipotezele. Pe $f(x)=|x|$ și $[-1,1]$ calculul formal nu dă nicio soluție, iar pe $f(x)=\frac{1}{x}$ și $[-1,1]$ dă o ecuație imposibilă. Ambele „anomalii" dispar dacă verifici întâi continuitatea și derivabilitatea.
• Accepți soluții din capete. Concluzia cere $c\in (a,b)$, interval deschis. La $f(x)=x^3-3x^2+2x$ pe $[0,3]$, ecuația dă $c\in \{0,2\}$, dar $0$ se respinge.
• Spui „punctul $c$" ca și cum ar fi unic. Teorema afirmă doar existența. Pot exista mai multe valori, ca la $\sin x$ pe $[0,2\pi ]$; scrii „valorile $c$" până ai rezolvat efectiv ecuația.
• Confunzi $f^{\prime }(c)$ cu $\frac{f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)}{b-a}$. În formulă apare derivata într-un punct, egalată cu raportul valorilor funcției, nu cu un raport de derivate.

Aplică acasă

1. Radarul de tronson. Caută pe hartă două localități aflate la circa $60$ de kilometri una de alta, pe o autostradă. Calculează timpul minim în care un șofer le poate parcurge fără să depășească $130$ de kilometri pe oră, apoi explică-i unui coleg, cu teorema lui Lagrange, de ce un timp mai scurt dovedește matematic o depășire de viteză.

2. Tangenta paralelă cu coarda, pe hârtie milimetrică. Desenează graficul funcției $f(x)=x^2$ pentru $x\in [1,3]$, trasează coarda dintre punctele $(1,1)$ și $(3,9)$, apoi caută cu rigla poziția în care o dreaptă paralelă cu coarda atinge curba într-un singur punct. Măsoară abscisa punctului de tangență și compară cu valoarea calculată, $c=2$.

3. Trei încadrări în cinci minute. Folosind procedeul din Aplicația 1, încadrează între două fracții numerele $\ln 1,2$, $\sqrt{26}$ și $\sqrt[3]{9}$, alegând de fiecare dată intervalul care are un capăt „rotund". Verifică apoi cu un calculator cât de strânse sunt încadrările obținute.

Pentru părinți și profesori

Teorema lui Lagrange este piesa centrală a analizei de clasa a XI-a: din ea se obțin monotonia din semnul derivatei, extremele, inegalitățile și, mai târziu, tot studiul variației. Sugestiile metodologice ale programei cer explicit ca teorema să fie introdusă prin interpretarea geometrică și tratată nu ca formulă de memorat, ci ca procedură de verificare — de aceea lecția începe cu desenul coardei și insistă pe ordinea „întâi ipotezele, apoi calculul".

Ce verifică lecția: (1) enunțarea completă, cu continuitatea pe interval închis și derivabilitatea pe interval deschis; (2) demonstrația prin funcția ajutătoare și teorema lui Rolle; (3) determinarea efectivă a lui $c$, cu respingerea soluțiilor din capete; (4) recunoașterea situațiilor în care ipotezele cad; (5) folosirea formulei pentru încadrări și inegalități.

Întrebări bune de control: „Pe ce interval se cere continuitatea și pe ce interval derivabilitatea?", „De ce se scade coarda în demonstrație?", „Poate exista mai mult de un punct $c$?". La BAC M1, subiectul apare în două forme: fie se cere direct valoarea $c$ pentru o funcție simplă, fie se cere o inegalitate demonstrată cu formula creșterilor finite. Semn că elevul a înțeles: verifică ipotezele fără să i se ceară și respinge singur soluțiile din afara intervalului deschis.

Întrebări frecvente

Ce spune, pe scurt, teorema lui Lagrange? Spune că pe un interval pe care funcția e continuă la capete și derivabilă înăuntru, viteza medie de variație se atinge efectiv, cel puțin o dată, ca viteză instantanee: există $c$ interior cu $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Care este diferența dintre teorema lui Rolle și teorema lui Lagrange? Ipotezele sunt aceleași, plus una în cazul lui Rolle: acolo se cere în plus $f(a)=f(b)$, iar concluzia devine $f^{\prime }(c)=0$. Lagrange este varianta cu coardă înclinată, iar Rolle cazul particular cu coardă orizontală.

Pe ce interval trebuie funcția să fie derivabilă? Doar pe intervalul deschis $(a,b)$. Continuitatea, în schimb, se cere pe intervalul închis $[a,b]$, adică inclusiv în capete. Confuzia dintre cele două este cea mai des sancționată la corectare.

Cum găsesc valoarea lui $c$? Calculezi raportul $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, apoi rezolvi ecuația $f^{\prime }(c)$ egal cu acel raport și păstrezi doar soluțiile aflate strict între $a$ și $b$. Dacă nu rămâne nicio soluție, ai o greșeală de calcul sau o ipoteză neverificată.

Punctul $c$ este unic? Nu neapărat. Teorema garantează doar existența. Pentru funcțiile de gradul al doilea el este unic și coincide cu mijlocul intervalului, dar pentru funcții oscilante, precum sinusul pe un interval lung, pot exista mai multe valori.

De ce nu se aplică teorema funcției modul pe un interval care conține zero? Pentru că în $0$ funcția modul nu este derivabilă: derivatele laterale sunt $-1$ și $1$. Ipoteza de derivabilitate pe intervalul deschis cade, iar concluzia chiar devine falsă — nu există niciun punct în care derivata să fie nulă.

La ce folosește teorema în afara determinării lui $c$? La demonstrarea inegalităților și la încadrarea unor numere care nu se calculează exact, cum sunt logaritmii sau radicalii. Ideea este că, deși nu știi cine e $c$, știi între ce limite se mișcă derivata pe intervalul respectiv.

Ce urmează după această teoremă? Consecințele ei: dacă derivata este nulă pe un interval, funcția este constantă acolo, iar dacă derivata are semn constant, funcția este strict monotonă. Din aceste două rezultate pornește tot studiul variației funcțiilor.