Teorema lui Rolle: pe scurt

Dacă graficul unei funcții netede pleacă și ajunge la aceeași înălțime, undeva înăuntru tangenta este orizontală. Aceasta este interpretarea geometrică a teoremei.

Teorema lui Rolle (se admite fără demonstrație). Fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ cu: $f$ continuă pe $[a,b]$; $f$ derivabilă pe $(a,b)$; $f(a)=f(b)$. Atunci există $c\in (a,b)$ cu $f^{\prime }(c)=0$.

Asimetria ipotezelor nu se inversează: continuitatea pe intervalul închis, derivabilitatea doar pe cel deschis. Fiecare ipoteză se plătește — fără continuitate, fără derivabilitate ($|x-1|$ pe $[0,2]$) sau fără $f(a)=f(b)$ ($f(x)=x$ pe $[0,1]$), concluzia cade.

Teorema dă existența, nu unicitatea, și nu spune cât este $c$. Rețeta unui exercițiu are cinci pași: domeniul, continuitatea, derivabilitatea, egalitatea $f(a)=f(b)$, apoi rezolvarea ecuației $f^{\prime }(x)=0$ și selectarea rădăcinilor din intervalul deschis $(a,b)$ — capetele se resping.

Consecința 1: între două rădăcini ale funcției se află cel puțin o rădăcină a derivatei. Consecința 2: între două rădăcini consecutive ale derivatei se află cel mult o rădăcină a funcției. A doua este temelia șirului lui Rolle.

Exerciții din această mini-lecție

1. Teorema lui Rolle cere ca funcția $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ să fie:

   • a) continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$ și cu $f(a)=f(b)$
   • b) derivabilă pe $[a,b]$ și cu $f(a)=f(b)$
   • c) continuă pe $(a,b)$ și derivabilă pe $[a,b]$
   • d) continuă pe $[a,b]$ și cu $f(a)=f(b)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$ și cu $f(a)=f(b)$

   Cele trei ipoteze se scriu întotdeauna în această ordine, cu asimetria închis/deschis. A cere derivabilitatea și în capete este o ipoteză mai tare decât cea din teoremă și exclude, fără motiv, funcții cu tangentă verticală în $a$ sau în $b$; a renunța la derivabilitate lasă concluzia falsă.

2. Pentru $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x$, valoarea $c$ dată de teorema lui Rolle este:

   • a) $c=0$
   • b) $c=2$
   • c) $c=4$
   • d) $c=-2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $c=2$

   Funcția este polinomială, deci continuă pe $[0,4]$ și derivabilă pe $(0,4)$, iar $f(0)=f(4)=0$. Din $f^{\prime }(x)=2x-4=0$ rezultă $x=2\in (0,4)$. Valorile $0$ și $4$ sunt capete, nu puncte interioare, deci nu pot fi raportate ca răspuns.

3. Funcția $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$, are $f(-1)=f(1)$, dar derivata ei nu se anulează nicăieri. Motivul este că:

   • a) funcția nu este continuă pe $[-1,1]$
   • b) teorema lui Rolle nu se aplică funcțiilor pare
   • c) $f(-1)\ne f(1)$
   • d) $f$ nu este derivabilă în $0$, deci a doua ipoteză cade
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $f$ nu este derivabilă în $0$, deci a doua ipoteză cade

   Funcția este continuă pe $[-1,1]$ și $f(-1)=f(1)=1$, dar în $0$ derivatele laterale sunt $-1$ și $1$, deci diferite. A doua ipoteză nefiind îndeplinită, teorema pur și simplu nu se aplică — nu există nicio contradicție. În rest, $f^{\prime }(x)=\pm 1$.