Teorema lui Rolle

Pleci de acasă la o plimbare pe deal și te întorci, după două ore, exact în punctul de plecare. Altitudinea la sosire este aceeași cu cea de la plecare. Oricât de întortocheat ți-ar fi fost traseul, un lucru s-a întâmplat cu siguranță: a existat cel puțin un moment în care ai încetat să urci și ai început să cobori — sau invers. În acel moment, panta drumului tău a fost, pentru o clipă, zero.

Afirmația pare o banalitate. Ea este, de fapt, una dintre cele mai folosite teoreme din toată analiza matematică, și poartă numele matematicianului francez Michel Rolle, care a publicat-o în 1691. Puterea ei stă în tipul de concluzie: din informații despre funcție la capete (două valori egale) se obține o informație despre derivată înăuntru (se anulează undeva). E prima teoremă din programa clasei a XI-a care garantează existența unui punct fără să spună care este acela — exact tiparul de care ai nevoie la Bacalaureat M1 pentru a demonstra că o ecuație are soluții.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți teorema lui Rolle cu toate cele trei ipoteze, în ordinea corectă, așa cum se cere în barem.
• Vei ști să dai interpretarea geometrică a teoremei și să o desenezi: o tangentă orizontală, undeva între capete.
• Vei ști să arăți, pe câte un contraexemplu, că niciuna dintre cele trei ipoteze nu poate fi scoasă.
• Vei ști să determini efectiv punctul $c$ pentru o funcție dată pe un interval dat, rezolvând ecuația $f^{\prime }(c)=0$ și alegând rădăcinile din interior.
• Vei ști să folosești consecința: între două rădăcini ale funcției se află cel puțin o rădăcină a derivatei — și pe cea inversă, care va deveni cheia lecției următoare.
• Vei ști să construiești o funcție auxiliară care îți permite să demonstrezi că o ecuație are cel puțin o soluție într-un interval dat.

Hai să descoperim împreună

1. Mai întâi desenul

Desenează un grafic oarecare, neted, care pleacă din punctul $A(a,f(a))$ și ajunge în $B(b,f(b))$, la aceeași înălțime: $f(a)=f(b)$. Nu ai cum să eviți un vârf sau o vale. Dacă graficul urcă la început, trebuie să coboare la un moment dat, ca să revină la înălțimea de plecare; iar acolo unde se face trecerea, tangenta se așază orizontal.

Interpretarea geometrică a teoremei lui Rolle: dacă graficul unei funcții netede pleacă și ajunge la aceeași înălțime, atunci există cel puțin un punct interior în care tangenta la grafic este orizontală.

Legătura cu lecția anterioară e directă: în vârful acela, funcția are un maxim local interior, iar prin Puncte de extrem. Teorema lui Fermat derivata se anulează. Aceasta este intuiția din spatele teoremei; ea nu este însă o demonstrație completă, pentru că ar trebui să arătăm mai întâi că maximul chiar se atinge undeva pe interval, ceea ce cere un rezultat despre funcțiile continue care nu face parte din programa clasei a XI-a.

2. Enunțul

Teorema lui Rolle (se admite fără demonstrație). Fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ o funcție care îndeplinește condițiile:

1. *$f$ este continuă pe $[a,b]$;*
2. *$f$ este derivabilă pe $(a,b)$;*
3. $f(a)=f(b)$.

Atunci există $c\in (a,b)$ astfel încât $f^{\prime }(c)=0$.

Ordinea ipotezelor nu e întâmplătoare și se scrie mereu la fel. Observă asimetria dintre primele două: continuitatea se cere pe intervalul închis (deci și în capete), derivabilitatea doar pe cel deschis. Motivul e practic: multe funcții utile — de pildă $f(x)=\sqrt{x(1-x)}$ pe $[0,1]$ — sunt continue până în capete, dar au acolo tangente verticale. Teorema nu are nevoie de derivabilitate în $a$ și în $b$, deci nu o cere.

A treia ipoteză este cea care „închide bucla": fără egalitatea valorilor la capete, funcția poate urca liniștită de la un capăt la altul, fără să se oprească niciodată.

3. Cele trei ipoteze, trei contraexemple

Fiecare ipoteză se plătește. Iată, pentru fiecare, o funcție care o încalcă pe ea și numai pe ea, iar concluzia cade.

(a) Fără continuitate pe $[a,b]$. Fie $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, definită prin $f(x)=x$ pentru $x\in [0,1)$ și $f(1)=0$. Avem $f(0)=f(1)=0$, iar pe $(0,1)$ funcția e derivabilă, cu $f^{\prime }(x)=1$. Derivata nu se anulează nicăieri. Vinovată: discontinuitatea din capătul $x=1$.

(b) Fără derivabilitate pe $(a,b)$. Fie $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-1|$. Funcția e continuă pe $[0,2]$ și $f(0)=f(2)=1$, dar în $x=1$ are un punct unghiular, deci nu e derivabilă acolo. În rest, $f^{\prime }(x)=-1$ sau $f^{\prime }(x)=1$: nicăieri zero. Graficul are un colț, nu un vârf rotunjit — și tocmai colțul „scapă" fără tangentă orizontală. (Verificat numeric: pe $[0,2]$, în afara unei vecinătăți a lui $1$, modulul derivatei este constant egal cu $1$.)

(c) Fără $f(a)=f(b)$. Fie $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$. Funcția e continuă și derivabilă, dar $f(0)=0\ne 1=f(1)$; derivata e constant $1$ și nu se anulează. Aceeași situație apare la $f(x)=x^2{e}^x$ pe $[-2,0]$, unde $f(-2)=\frac{4}{e^2}\ne 0=f(0)$.

4. Ce NU spune teorema

Trei precizări care despart răspunsul corect de cel aproximativ.

• Nu spune că $c$ e unic. Pot fi două, trei, o infinitate. La $f(x)=x^3-x$ pe $[-1,1]$ există exact două valori, $c=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$; la o funcție constantă, orice punct interior e bun.
• Nu spune cât e $c$. Concluzia e de existență. Găsirea efectivă a lui $c$ e o cerință în plus, care se rezolvă separat, rezolvând ecuația $f^{\prime }(x)=0$.
• Nu se aplică pe reuniuni de intervale. Domeniul trebuie să fie un interval închis și mărginit. Pentru $f(x)=\frac{1}{x}$ pe „$[-1,1]$" ipotezele nici nu au sens, fiindcă funcția nu e definită în $0$.

5. Rețeta unui exercițiu de examen

Cerința tipică sună: „Verificați că funcția $f$ îndeplinește ipotezele teoremei lui Rolle pe intervalul $[a,b]$ și determinați valorile lui $c$." Se rezolvă în cinci pași, care se și punctează separat:

1. domeniul — verifici că tot intervalul $[a,b]$ este inclus în domeniul de definiție al lui $f$. Pasul pare formal, dar el te oprește să lucrezi cu $\frac{1}{x}$ pe „$[-1,1]$" sau cu $\ln x$ pe „$[-1,2]$", unde ipotezele nici nu au sens;
2. continuitatea pe $[a,b]$ — o propoziție de justificare (funcție polinomială, sau sumă/produs/compunere de funcții continue);
3. derivabilitatea pe $(a,b)$ — la fel;
4. verificarea numerică a egalității $f(a)=f(b)$;
5. rezolvarea ecuației $f^{\prime }(x)=0$ și selectarea rădăcinilor care aparțin lui $(a,b)$ — pasul unde se pierd cele mai multe puncte, pentru că rădăcinile din afara intervalului nu se raportează.

Exemplu. Fie $f:[1,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+3$. E polinomială, deci continuă pe $[1,3]$ și derivabilă pe $(1,3)$; $f(1)=0=f(3)$. Din $f^{\prime }(x)=2x-4=0$ rezultă $x=2\in (1,3)$, deci $c=2$. (Verificat numeric: continuitatea, prin eșantionare pe $20000$ de puncte; egalitatea capetelor, exact; punctul $c$, prin bisecție pe $f^{\prime }$.)

6. Prima consecință: rădăcinile derivatei se strecoară între cele ale funcției

Consecința 1. Fie $f$ derivabilă pe un interval $I$ și fie $x_1<x_2$ două rădăcini ale ei ($f(x_1)=f(x_2)=0$). Atunci există cel puțin o rădăcină a lui $f^{\prime }$ în intervalul $(x_1,x_2)$.

Demonstrația e o simplă aplicare: pe $[x_1,x_2]$ funcția e continuă (fiind derivabilă) și derivabilă pe interior, iar $f(x_1)=f(x_2)=0$. Prin teorema lui Rolle există $c\in (x_1,x_2)$ cu $f^{\prime }(c)=0$.

Exemplu. Polinomul $f(x)=x^3-6x^2+11x-6$ are rădăcinile $1$, $2$ și $3$. Consecința garantează câte o rădăcină a lui $f^{\prime }$ în $(1,2)$ și în $(2,3)$ — și, într-adevăr, $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+11$ are rădăcinile $2\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$, adică aproximativ $1,4226497$ și $2,5773503$. (Verificat prin bisecție pe $f^{\prime }$, pe fiecare dintre cele două intervale.)

De aici se obține și o observație folositoare: o funcție derivabilă cu $n$ rădăcini distincte are cel puțin $n-1$ rădăcini ale derivatei. Ea se folosește, printre altele, pentru a arăta că un polinom nu poate avea prea multe rădăcini reale.

7. A doua consecință: cea care deschide lecția următoare

Consecința 1 se poate întoarce pe dos, și forma întoarsă este cea mai valoroasă dintre toate.

Consecința 2. Fie $f$ derivabilă pe un interval și fie $x_1<x_2$ două rădăcini consecutive ale derivatei $f^{\prime }$ (adică $f^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_2)=0$ și $f^{\prime }$ nu se mai anulează între ele). Atunci $f$ are cel mult o rădăcină în intervalul deschis $(x_1,x_2)$.

Demonstrație (prin reducere la absurd). Presupunem contrariul: există $u<v$, ambele în $(x_1,x_2)$, cu $f(u)=f(v)=0$. Pe intervalul $[u,v]$ funcția $f$ e continuă și derivabilă, iar valorile la capete sunt egale, deci teorema lui Rolle dă un punct $d\in (u,v)$ cu $f^{\prime }(d)=0$. Dar $(u,v)\subset (x_1,x_2)$, deci $d$ este o rădăcină a lui $f^{\prime }$ strict între $x_1$ și $x_2$ — în contradicție cu faptul că acestea erau consecutive. Presupunerea e falsă, deci $f$ are cel mult o rădăcină în $(x_1,x_2)$. $■$

Același raționament acoperă și capetele: dacă $x_1$ este cea mai mică rădăcină a lui $f^{\prime }$, atunci $f$ are cel mult o rădăcină în $(-\infty ,x_1)$, pentru că două rădăcini acolo ar produce, prin Rolle, o rădăcină a derivatei mai mică decât $x_1$. Analog la dreapta ultimei rădăcini.

Reține concluzia sub forma aceasta, pentru că e cheia lecției Șirul lui Rolle: rădăcinile derivatei împart axa în felii, iar în fiecare felie încape cel mult o rădăcină a funcției. Cu ea, „cel puțin o soluție" din Existența soluțiilor unei ecuații în mulțimea numerelor reale devine „exact o soluție".

8. Funcțiile auxiliare: cum arăți că o ecuație are soluție

Multe cerințe de examen nu îți dau direct funcția potrivită, ci ecuația. Ideea: dacă vrei să arăți că ecuația $g(x)=0$ are o soluție în $(a,b)$, cauți o funcție $F$ cu $F^{\prime }=g$ și cu $F(a)=F(b)$; teorema lui Rolle aplicată lui $F$ îți dă exact punctul căutat.

Exemplu. Arătăm că ecuația $3x^2-4x+1=0$ are o soluție în $(0,1)$. Alegem $F:[0,1]\to \mathbb{R}$, $F(x)=x^3-2x^2+x$, funcție polinomială, deci continuă pe $[0,1]$ și derivabilă pe $(0,1)$, cu $F^{\prime }(x)=3x^2-4x+1$. Cum $F(0)=0$ și $F(1)=1-2+1=0$, ipotezele sunt îndeplinite; există deci $c\in (0,1)$ cu $F^{\prime }(c)=0$, adică o soluție a ecuației date. (Verificat: $c=\frac{1}{3}$, găsit prin bisecție.)

Metoda merge și invers: dacă știi cine e $F$, ecuația $F^{\prime }(x)=0$ capătă gratis o soluție. Este tiparul folosit la subiectele care cer, de pildă, să arăți că ecuația $a{x}^2+bx+c=0$ are o rădăcină în $(0,1)$ atunci când $\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c=0$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea ipotezelor și aflarea lui $c$

Verificați ipotezele teoremei lui Rolle pentru $f:[-2,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+2$, și determinați $c$.

Rezolvare. Funcția e polinomială, deci continuă pe $[-2,1]$ și derivabilă pe $(-2,1)$. Valorile la capete: $f(-2)=-8+6+2=0$ și $f(1)=1-3+2=0$, deci $f(-2)=f(1)$. Toate ipotezele sunt îndeplinite.

Rezolvăm $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0$, adică $x^2=1$, cu rădăcinile $-1$ și $1$. Dintre acestea, doar $-1$ aparține intervalului deschis $(-2,1)$; valoarea $1$ este capăt și se respinge. Deci $c=-1$. ✓

Exemplul 2 — Când sunt două valori pentru $c$

Determinați toate valorile lui $c$ date de teorema lui Rolle pentru $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-x$.

Rezolvare. Funcția e polinomială, deci continuă pe $[-1,1]$ și derivabilă pe $(-1,1)$; $f(-1)=-1+1=0$ și $f(1)=1-1=0$, deci valorile la capete coincid.

Din $f^{\prime }(x)=3x^2-1=0$ obținem $x^2=\frac{1}{3}$, adică $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Ambele valori aparțin lui $(-1,1)$, deci $c_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx -0,5773503$ și $c_2=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,5773503$. Teorema garantează cel puțin un astfel de punct; aici sunt două. ✓

Exemplul 3 — O ipoteză care cade

Arătați că funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-1|$, nu contrazice teorema lui Rolle, deși derivata ei nu se anulează nicăieri.

Rezolvare. Funcția e continuă pe $[0,2]$, ca modul al unei funcții continue, și $f(0)=f(2)=1$: primele două condiții par îndeplinite. Însă în $x=1$ derivatele laterale sunt $f_s^{\prime }(1)=-1$ și $f_d^{\prime }(1)=1$, diferite, deci $f$ nu este derivabilă pe tot $(0,2)$.

A doua ipoteză cade, deci teorema pur și simplu nu se aplică; nu există nicio contradicție. Pentru $x\ne 1$ avem $f^{\prime }(x)=\pm 1$, deci într-adevăr derivata nu se anulează nicăieri. ✓

Exemplul 4 — Cu logaritm

Verificați ipotezele teoremei lui Rolle pentru $f:[1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \left(x^2-3x+3\right)$, și determinați $c$.

Rezolvare. Mai întâi domeniul: $x^2-3x+3$ are discriminantul $9-12=-3<0$, deci expresia e strict pozitivă pentru orice $x$ real, iar logaritmul are sens pe tot $[1,2]$. Funcția e continuă pe $[1,2]$ și derivabilă pe $(1,2)$, ca compunere de funcții derivabile — vezi Derivarea funcțiilor compuse.

Valorile la capete: $f(1)=\ln (1-3+3)=\ln 1=0$ și $f(2)=\ln (4-6+3)=\ln 1=0$, deci egale.

Derivata: $f^{\prime }(x)=\frac{2x-3}{x^2-3x+3}$. Cum numitorul nu se anulează, $f^{\prime }(x)=0\iff 2x-3=0\iff x=\frac{3}{2}\in (1,2)$. Deci $c=\frac{3}{2}$. ✓

Exemplul 5 — Consecința 2 la lucru: cel mult o soluție

Arătați că ecuația $x^3-3x-1=0$ are cel mult o soluție în intervalul $(-1,1)$ și apoi că are exact una.

Rezolvare. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x-1$, funcție polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$. Derivata este $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, cu rădăcinile $-1$ și $1$; între ele derivata nu se mai anulează, deci sunt rădăcini consecutive ale lui $f^{\prime }$.

Cel mult una: prin consecința $2$, funcția $f$ are cel mult o rădăcină în intervalul $(-1,1)$.

Cel puțin una: $f(-1)=-1+3-1=1>0$ și $f(1)=1-3-1=-3<0$, iar $f$ e continuă; prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare, ecuația are o soluție în $(-1,1)$.

Concluzia: ecuația are exact o soluție în $(-1,1)$. (Numeric, prin bisecție: $\approx -0,3472964$.) Combinația aceasta — „cel mult una" din Rolle, „cel puțin una" din semne — este chiar mecanismul lecției următoare, aplicat de data aceasta pe toată axa. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x(x-1)e^x$. a) Arătați că $f$ îndeplinește ipotezele teoremei lui Rolle pe intervalul $[0,1]$. b) Calculați $f^{\prime }(x)$. c) Determinați valoarea $c$ dată de teorema lui Rolle.

Rezolvare.

a) Funcția e produs de funcții continue și derivabile pe $\mathbb{R}$, deci e continuă pe $[0,1]$ și derivabilă pe $(0,1)$. Valorile la capete: $f(0)=0\cdot (-1)\cdot 1=0$ și $f(1)=1\cdot 0\cdot e=0$, deci $f(0)=f(1)$.

b) Scriem $f(x)=\left(x^2-x\right)e^x$ și aplicăm regula produsului: $$f^{\prime }(x)=(2x-1)e^x+\left(x^2-x\right)e^x=e^x\left(x^2+x-1\right).$$

c) Cum $e^x>0$, ecuația $f^{\prime }(x)=0$ se reduce la $x^2+x-1=0$, cu rădăcinile $x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$. Rădăcina $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx -1,6180340$ nu aparține intervalului $(0,1)$ și se respinge; rămâne $$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,6180340\in (0,1).$$ (Verificat numeric: derivata, în trei puncte; egalitatea capetelor, exact; punctul $c$, prin bisecție pe $f^{\prime }$.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu de verificare a ipotezelor, scrie toate trei condițiile, chiar dacă una pare evidentă — baremul le punctează separat.

1. Verifică ipotezele teoremei lui Rolle pentru $f:[2,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+8$, și determină $c$.

2. Verifică ipotezele și determină $c$ pentru $f:[0,\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x$.

3. Verifică ipotezele și determină $c$ pentru $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\cos x$.

4. Determină toate valorile lui $c$ pentru $f:[-2,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-2x^2$.

5. Verifică ipotezele și determină $c$ pentru $f:[1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+11x-6$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ e derivabilă pe $[a,b]$ și $f(a)=f(b)$, atunci există exact un punct $c\in (a,b)$ cu $f^{\prime }(c)=0$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Teorema lui Rolle cere derivabilitatea funcției și în capetele intervalului."

8. Arată că funcția $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$, nu contrazice teorema lui Rolle, precizând ce ipoteză nu e îndeplinită.

9. Explică de ce teorema lui Rolle nu se poate aplica funcției $f(x)=\frac{1}{x^2}$ pe intervalul $[-1,1]$.

10. Fie $f(x)=x^3-7x^2+14x-8$, cu rădăcinile $1$, $2$ și $4$. Arată, fără a rezolva $f^{\prime }(x)=0$, că derivata are cel puțin două rădăcini reale, și precizează intervalele.

11. Determină $m\in \mathbb{R}$ astfel încât funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-mx+1$, să îndeplinească ipotezele teoremei lui Rolle, apoi află $c$.

12. Fie $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2(x-1)$. Verifică ipotezele și determină $c$.

13. (Problemă aplicată.) Un ascensor pleacă de la etajul al treilea și, după două minute, se află tot la etajul al treilea. Notând cu $h(t)$ înălțimea lui la momentul $t$, funcție derivabilă, explică de ce a existat un moment în care viteza ascensorului a fost zero.

14. Arată că ecuația $4x^3-3x=0$ are cel puțin o soluție în $(-1,1)$, folosind funcția auxiliară $F(x)=x^4-\frac{3x^2}{2}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+2$. Verifică dacă $f$ îndeplinește ipotezele teoremei lui Rolle pe $[0,3]$ și, în caz afirmativ, determină $c$.

16. Un polinom de gradul al treilea are trei rădăcini reale distincte. Câte rădăcini reale are, cel puțin, derivata lui? Dar derivata a doua?

17. Fie $f$ derivabilă pe $\mathbb{R}$, cu $f^{\prime }(x)\ne 0$ pentru orice $x$. Arată că $f$ nu poate avea două rădăcini distincte.

18. (Provocare.) Fie $a,b,c\in \mathbb{R}$ cu $\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c=0$. Arată că ecuația $a{x}^2+bx+c=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(0,1)$.

Răspunsuri și explicații

1. Funcție polinomială: continuă pe $[2,4]$, derivabilă pe $(2,4)$; $f(2)=0=f(4)$. Din $f^{\prime }(x)=2x-6=0$ rezultă $c=3\in (2,4)$.

2. $\sin$ e continuă și derivabilă pe $\mathbb{R}$; $\sin 0=\sin \pi =0$. Din $f^{\prime }(x)=\cos x=0$ pe $(0,\pi )$ rezultă $c=\frac{\pi }{2}$.

3. $\cos$ e continuă și derivabilă pe $\mathbb{R}$; $\cos 0=\cos 2\pi =1$. Din $f^{\prime }(x)=-\sin x=0$ pe $(0,2\pi )$ rezultă $c=\pi$.

4. Funcția e polinomială și $f(-2)=f(2)=8$. Din $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)=0$ obținem $c\in \{-1,0,1\}$, toate în $(-2,2)$: trei valori.

5. Funcție polinomială; $f(1)=1-6+11-6=0$ și $f(2)=8-24+22-6=0$. Din $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+11=0$ rezultă $x=2\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$; în $(1,2)$ intră doar $c=2-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 1,4226497$.

6. Fals. Teorema garantează existența, nu unicitatea. Contraexemplu: $f(x)=x^3-x$ pe $[-1,1]$ are două valori pentru $c$; o funcție constantă are o infinitate.

7. Fals. Continuitatea se cere pe intervalul închis $[a,b]$, dar derivabilitatea doar pe cel deschis $(a,b)$. Există funcții care se încadrează în teoremă deși au tangente verticale în capete.

8. $f$ e continuă pe $[-1,1]$ și $f(-1)=f(1)=1$, dar nu e derivabilă în $0$ (derivatele laterale sunt $-1$ și $1$). A doua ipoteză cade, deci teorema nu se aplică; într-adevăr, $f^{\prime }(x)=\pm 1$ nu se anulează.

9. Pentru că funcția nu e definită în $x=0$, deci nu există pe tot intervalul $[-1,1]$ și cu atât mai puțin e continuă acolo. Ipoteza întâi nu poate fi nici măcar formulată.

10. Aplicăm consecința $1$ pe fiecare pereche de rădăcini consecutive: pe $[1,2]$, teorema lui Rolle dă o rădăcină a lui $f^{\prime }$ în $(1,2)$; pe $[2,4]$, o alta în $(2,4)$. Deci $f^{\prime }$ are cel puțin două rădăcini reale, câte una în fiecare interval.

11. Ipoteza care depinde de $m$ este $f(0)=f(2)$, adică $1=4-2m+1$, deci $m=2$. Pentru $m=2$, $f(x)=x^2-2x+1$ e polinomială, deci continuă și derivabilă; din $f^{\prime }(x)=2x-2=0$ rezultă $c=1\in (0,2)$.

12. $f(x)=x^3-x^2$ e polinomială; $f(0)=0=f(1)$. Din $f^{\prime }(x)=3x^2-2x=x(3x-2)=0$ obținem $x\in \left\{0,\frac{2}{3}\right\}$; în intervalul deschis $(0,1)$ intră doar $c=\frac{2}{3}$.

13. Funcția $h$ e continuă pe $[0,2]$ și derivabilă pe $(0,2)$, iar $h(0)=h(2)$, fiind aceeași înălțime. Prin teorema lui Rolle există $t_0\in (0,2)$ cu $h^{\prime }(t_0)=0$; cum $h^{\prime }$ este viteza, ascensorul a avut viteza zero la momentul $t_0$ — momentul în care a schimbat sensul de mers.

14. $F$ e polinomială, deci continuă pe $[-1,1]$ și derivabilă pe $(-1,1)$, cu $F^{\prime }(x)=4x^3-3x$. Valorile la capete: $F(-1)=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$ și $F(1)=-\frac{1}{2}$, deci egale. Prin teorema lui Rolle există $c\in (-1,1)$ cu $F^{\prime }(c)=0$, adică o soluție a ecuației date. (Soluțiile exacte sunt $0$ și $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.)

15. $f(0)=2$ și $f(3)=27-27+2=2$, deci $f(0)=f(3)$; funcția e polinomială, deci continuă pe $[0,3]$ și derivabilă pe $(0,3)$. Din $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ obținem $x\in \{0,2\}$; capătul $0$ se respinge, deci $c=2$.

16. Derivata are cel puțin două rădăcini reale (câte una între rădăcinile consecutive ale funcției), iar derivata a doua cel puțin una, aplicând din nou consecința $1$, de data aceasta funcției $f^{\prime }$.

17. Prin reducere la absurd: dacă $f$ ar avea două rădăcini distincte $x_1<x_2$, atunci pe $[x_1,x_2]$ ipotezele teoremei lui Rolle ar fi îndeplinite ($f$ derivabilă, deci continuă, și $f(x_1)=f(x_2)=0$), deci ar exista $c$ cu $f^{\prime }(c)=0$ — în contradicție cu ipoteza. Deci $f$ are cel mult o rădăcină.

18. Considerăm $F:[0,1]\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{a{x}^3}{3}+\frac{b{x}^2}{2}+cx$, funcție polinomială, deci continuă pe $[0,1]$ și derivabilă pe $(0,1)$, cu $F^{\prime }(x)=a{x}^2+bx+c$. Avem $F(0)=0$ și $F(1)=\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c=0$ din ipoteză, deci $F(0)=F(1)$. Prin teorema lui Rolle există $x_0\in (0,1)$ cu $F^{\prime }(x_0)=0$, adică $a{x}_0^2+b{x}_0+c=0$: ecuația are o soluție în $(0,1)$.

De reținut

• Enunțul complet: $f$ continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$, $f(a)=f(b)$ $\Rightarrow$ există $c\in (a,b)$ cu $f^{\prime }(c)=0$. Teorema se admite fără demonstrație.
• Asimetria ipotezelor: continuitatea pe intervalul închis, derivabilitatea doar pe cel deschis. Nu inversa lor.
• Interpretarea geometrică: dacă graficul pleacă și ajunge la aceeași înălțime, undeva înăuntru tangenta este orizontală.
• Consecința 1: între două rădăcini ale funcției se află cel puțin o rădăcină a derivatei.
• Consecința 2: între două rădăcini consecutive ale derivatei se află cel mult o rădăcină a funcției. Aceasta e temelia șirului lui Rolle.

Greșeli frecvente

• Raportezi rădăcini din afara intervalului. La $f(x)=x^3-3x+2$ pe $[-2,1]$, ecuația $f^{\prime }(x)=0$ dă $\pm 1$, dar $1$ e capăt, nu punct interior: se respinge. Concluzia teoremei privește intervalul deschis $(a,b)$.
• Ceri derivabilitatea în capete. E o ipoteză mai tare decât cea din teoremă și te face să respingi funcții perfect valabile, cum sunt cele cu tangentă verticală în $a$ sau în $b$.
• Spui „există un singur $c$". Teorema dă existență, nu unicitate; la $f(x)=x^4-2x^2$ pe $[-2,2]$ sunt trei valori. Formularea corectă este „există cel puțin un $c$".
• Sari peste verificarea $f(a)=f(b)$. E ipoteza cel mai des uitată, tocmai pentru că se verifică printr-un calcul banal — și fără ea concluzia e falsă, cum arată $f(x)=x$ pe $[0,1]$.
• Aplici teorema pe un domeniu care nu e interval. Pentru $f(x)=\frac{1}{x}$ nu ai voie să lucrezi pe „$[-1,1]$": funcția nu e definită în $0$, deci nici continuă pe interval.

Aplică acasă

1. Traseul cu întoarcere. Notează, din ceas sau din telefon, altitudinea la plecarea și la întoarcerea dintr-o plimbare care se încheie în același loc. Desenează pe caiet un grafic plauzibil al altitudinii în funcție de timp și marchează toate momentele în care ai schimbat sensul urcării. Numără câte puncte $c$ ai obținut — teorema garantează cel puțin unul, dar de obicei sunt mai multe.

2. Fabrica de exerciții. Alege trei numere $p<q<r$ și scrie polinomul $f(x)=(x-p)(x-q)(x-r)$. Aplică teorema lui Rolle pe $[p,q]$ și pe $[q,r]$, calculează efectiv rădăcinile lui $f^{\prime }$ și verifică faptul că fiecare cade în intervalul prezis. Repetă cu alte trei numere.

3. Contraexemplul propriu. Construiește tu o funcție definită pe $[0,2]$ care să îndeplinească exact două dintre cele trei ipoteze și pentru care derivata să nu se anuleze nicăieri. Scrie clar care ipoteză lipsește și de ce concluzia cade.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima teoremă de existență din capitolul derivatelor. Elevul trece de la calcul la raționament: nu se mai cere „calculează", ci „demonstrează că există". Programa cere explicit ca teorema să fie admisă fără demonstrație și introdusă prin interpretarea geometrică, ceea ce se și face aici: desenul vine înaintea enunțului. Motivul didactic este solid — demonstrația riguroasă are nevoie de un rezultat despre funcțiile continue pe intervale închise care nu figurează în programa clasei a XI-a.

Ce verifică lecția: (1) enunțul complet, cu asimetria închis/deschis; (2) verificarea sistematică a celor trei ipoteze, în ordine; (3) rezolvarea ecuației $f^{\prime }(x)=0$ și selectarea corectă a rădăcinilor din intervalul deschis; (4) cele trei contraexemple, câte unul pentru fiecare ipoteză; (5) cele două consecințe despre rădăcini, care se folosesc imediat în lecția următoare.

Întrebări bune de control: „De ce se cere continuitatea pe interval închis și derivabilitatea pe interval deschis?", „Dă o funcție pentru care concluzia cade și spune ce ipoteză lipsește", „Câte rădăcini are derivata unui polinom cu patru rădăcini reale distincte?". La BAC M1, teorema apare în subiectul al doilea sub forma „verificați ipotezele și determinați $c$", cu funcții care combină polinoame cu $e^x$ sau cu logaritm. Semn că elevul a înțeles: verifică toate cele trei ipoteze înainte de a atinge derivata și respinge rădăcinile din capete.

Întrebări frecvente

Care sunt ipotezele teoremei lui Rolle? Trei: funcția să fie continuă pe intervalul închis $[a,b]$, derivabilă pe intervalul deschis $(a,b)$ și să ia valori egale în capete, adică $f(a)=f(b)$. Toate trei se verifică explicit, în această ordine.

Ce spune concluzia teoremei lui Rolle? Că există cel puțin un punct $c$ strict între $a$ și $b$ în care derivata se anulează: $f^{\prime }(c)=0$. Geometric, graficul are în acel punct o tangentă orizontală.

De ce se cere continuitatea pe interval închis, dar derivabilitatea doar pe interval deschis? Pentru că demonstrația are nevoie de comportarea funcției până în capete, dar nu are nevoie de derivată acolo. Cerința mai slabă permite includerea funcțiilor cu tangentă verticală în $a$ sau în $b$, care altfel ar fi excluse fără motiv.

Punctul $c$ este unic? Nu neapărat. Teorema garantează doar existența. Pentru $f(x)=x^3-x$ pe $[-1,1]$ există două astfel de puncte, iar pentru o funcție constantă orice punct interior este bun.

Cum determin efectiv valoarea lui $c$? Rezolvi ecuația $f^{\prime }(x)=0$ și păstrezi numai rădăcinile care aparțin intervalului deschis $(a,b)$. Rădăcinile egale cu $a$ sau cu $b$ nu se acceptă, pentru că teorema vorbește despre un punct interior.

Ce se întâmplă dacă funcția nu e derivabilă într-un punct interior? Teorema nu se mai aplică, iar concluzia poate fi falsă. Exemplul clasic este $f(x)=|x-1|$ pe $[0,2]$: are valori egale la capete, e continuă, dar are un colț în $1$ și derivata nu se anulează nicăieri.

La ce folosește teorema lui Rolle în probleme? La demonstrarea existenței unor soluții: fie direct, pentru ecuații de forma $f^{\prime }(x)=0$, fie prin construirea unei funcții auxiliare cu valori egale la capete. De asemenea, dă informații despre numărul rădăcinilor unei funcții și ale derivatei ei.

De ce nu se demonstrează teorema la clasă? Pentru că demonstrația completă folosește un rezultat despre funcțiile continue pe intervale închise și mărginite care nu se studiază în clasa a XI-a. Programa cere explicit ca teorema să fie admisă fără demonstrație, dar introdusă prin interpretarea ei geometrică.