Teorema lui Rouché: pe scurt

Teorema lui Rouché este teorema Kronecker-Capelli rescrisă ca procedură: în loc să calculezi rangul matricei extinse, mai ai de făcut exact $m-r$ determinanți.

Se fixează un minor principal — un minor nenul de ordin $r=\mathrm{rang}A$, ales în $A$; el nu este unic, iar concluzia nu depinde de alegere. În jurul lui se împart: necunoscutele principale (cele ale căror coeficienți intră în minor) și secundare (celelalte, în număr de $n-r$); ecuațiile principale (cele ale căror linii intră în minor) și secundare (celelalte, $m-r$ la număr).

Fiecărei ecuații secundare $k$ i se atașează un determinant caracteristic ${\Delta }_{car}^{(k)}$, de ordin $r+1$: se bordează minorul principal cu linia coeficienților ecuației secundare la necunoscutele principale și cu coloana termenilor liberi ai liniilor folosite.

Teorema lui Rouché. Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli. Dacă $r=m$, nu există nicio ecuație secundară, deci condiția e îndeplinită automat.

Procedura nu doar decide, ci și rezolvă: sistemul principal — ecuațiile principale, cu necunoscutele secundare trecute în membrul drept ca $\alpha$, $\beta$ — are drept determinant chiar minorul principal, deci este de tip Cramer.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un sistem cu $5$ ecuații și $4$ necunoscute are $\mathrm{rang}A=3$. Câți determinanți caracteristici trebuie calculați și ce ordin au?

   • a) $3$ determinanți, de ordinul al patrulea
   • b) $4$ determinanți, de ordinul al treilea
   • c) un singur determinant, de ordinul al patrulea
   • d) $2$ determinanți, de ordinul al patrulea
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $2$ determinanți, de ordinul al patrulea

   Numărul lor este $m-r=5-3=2$, câte unul pentru fiecare ecuație secundară, iar ordinul este $r+1=4$, pentru că minorul principal de ordin $3$ se bordează cu o linie și o coloană. Numărătoarea se face înainte de orice calcul: dacă îți ies mai mulți sau mai puțini, ai greșit rangul.

2. Determinantul caracteristic atașat unei ecuații secundare se obține bordând minorul principal cu:

   • a) coloana coeficienților unei necunoscute secundare și linia ecuației secundare
   • b) linia coeficienților ecuației secundare la necunoscutele principale și coloana termenilor liberi
   • c) coloana termenilor liberi și linia termenilor liberi
   • d) încă o linie și încă o coloană dintre cele principale
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) linia coeficienților ecuației secundare la necunoscutele principale și coloana termenilor liberi

   În determinantul caracteristic intră liniile ecuațiilor principale plus linia ecuației secundare, iar coloanele sunt cele ale necunoscutelor principale plus coloana termenilor liberi. Cea mai frecventă greșeală este bordarea cu coeficienții unei necunoscute secundare; a doua, uitarea termenilor liberi ai ecuațiilor principale — ultima coloană conține termenii liberi ai tuturor liniilor folosite.

3. Pentru sistemul $x+2y+z=3$, $2x+5y-z=4$, $3x+7y=8$ se ia ca minor principal cel din primele două linii și primele două coloane. Determinantul caracteristic este:

   • a) $0$
   • b) $12$
   • c) $1$
   • d) $-1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $1$

   Minorul principal este $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right|=1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$ (a treia linie este suma primelor două). Bordând cu linia a treia și cu coloana termenilor liberi obținem ${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 4\\ 3& 7& 8\end{array}\right|=12-8-3=1\ne 0$, deci sistemul este incompatibil — într-adevăr, $3+4=7\ne 8$.