Teorema lui Rouché

Teorema Kronecker-Capelli răspunde complet la întrebarea „are sistemul soluții?", dar răspunsul se plătește scump: trebuie calculat rangul matricei extinse, adică, la limită, toți minorii ei de un ordin dat — zeci de determinanți pentru un sistem cu $4$ ecuații, o muncă pe care nimeni nu o face de bunăvoie într-un examen.

Teorema lui Rouché este aceeași teoremă, rescrisă ca procedură. Ea spune că, după ce ai găsit un minor nenul de ordin maxim în matricea sistemului, mai ai de calculat exact $m-r$ determinanți — câte unul pentru fiecare ecuație rămasă pe dinafară. Dacă toți ies nuli, sistemul are soluții; dacă măcar unul e nenul, nu are. În plus, procedura nu doar decide, ci și construiește soluțiile: ecuațiile păstrate formează un sistem de tip Cramer, gata de rezolvat.

Ce vei învăța

• Vei ști ce sunt minorul principal, necunoscutele principale și secundare, ecuațiile principale și secundare.
• Vei ști să construiești un determinant caracteristic, bordând minorul principal cu o ecuație secundară și cu coloana termenilor liberi.
• Vei ști să enunți și să aplici teorema lui Rouché și să spui de ce ea decurge din teorema Kronecker-Capelli.
• Vei ști să numeri dinainte câți determinanți caracteristici are un sistem și să recunoști cazul $r=m$, în care nu există niciunul.
• Vei ști să rezolvi complet un sistem compatibil, folosind sistemul principal și regula lui Cramer.

Hai să descoperim împreună

1. Ce mai rămâne de calculat

Fie un sistem cu $m$ ecuații și $n$ necunoscute și $r=\mathrm{rang}A$. Din lecția precedentă știm că $\mathrm{rang}\overline{A}$ e fie $r$ (sistem compatibil), fie $r+1$ (incompatibil). Nu ne interesează, deci, valoarea exactă a rangului matricei extinse, ci un singur lucru: există sau nu în $\overline{A}$ un minor nenul de ordin $r+1$?

Un asemenea minor trebuie să conțină coloana termenilor liberi — altfel ar fi minor al lui $A$ și ar fi nul. Rouché merge mai departe: nici măcar toți acești minori nu trebuie cercetați, ci doar cei obținuți bordând un minor principal fixat.

2. Minorul principal și ce se organizează în jurul lui

Minorul principal e un minor nenul de ordin $r=\mathrm{rang}A$, ales în $A$. El există prin chiar definiția rangului, dar nu e unic: dacă sunt mai mulți minori nenuli de ordin $r$, oricare poate fi luat drept principal, iar concluzia nu depinde de alegere.

Odată fixat, minorul principal împarte totul în două:

• necunoscutele principale — cele ale căror coeficienți intră în minorul principal; necunoscutele secundare — celelalte, în număr de $n-r$;
• ecuațiile principale — cele ale căror linii intră în minorul principal; ecuațiile secundare — celelalte, în număr de $m-r$.

Ideea, în cuvinte: ecuațiile principale sunt „scheletul" sistemului, iar cele secundare sunt candidate să fie simple consecințe ale lor. Teorema lui Rouché verifică tocmai dacă sunt sau nu.

3. Determinantul caracteristic

Fiecărei ecuații secundare i se atașează un determinant caracteristic: se ia minorul principal și se bordează cu coeficienții ecuației secundare (pe linia nouă) și cu termenii liberi ai liniilor folosite (pe coloana nouă), obținând un determinant de ordin $r+1$. Pe scurt: intră liniile ecuațiilor principale plus linia ecuației secundare, iar coloanele sunt cele ale necunoscutelor principale plus coloana termenilor liberi. Cum ecuațiile secundare sunt $m-r$, tot atâția sunt și determinanții caracteristici. De pildă, pentru sistemul

$$\{\begin{array}{l}x+y-z=2\\ 2x+y+z=7\\ 3x+2y=9\\ x+2y-4z=-1\end{array}$$

matricea $A$ are rangul $2$ (a treia linie e suma primelor două, a patra e $2L_1-L_2$), iar minorul din liniile $1$, $2$ și coloanele lui $x$, $y$ este $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$. Îl luăm ca minor principal: necunoscute principale $x$ și $y$, necunoscută secundară $z$, ecuații principale primele două, ecuații secundare a treia și a patra. Cei doi determinanți caracteristici sunt

$${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 7\\ 3& 2& 9\end{array}\right|=1(9-14)-1(18-21)+2(4-3)=-5+3+2=0$$

și, la fel, ${\Delta }_{car}^{(4)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 7\\ 1& 2& -1\end{array}\right|=-15+9+6=0$. Amândoi sunt nuli — semn bun, după cum se vede imediat.

4. Enunțul teoremei

Teorema lui Rouché. Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli.

Enunțul presupune, firește, că s-a fixat un minor principal; iar dacă nu există nicio ecuație secundară (adică $r=m$), condiția e îndeplinită automat — un asemenea sistem e compatibil oricare ar fi termenii liberi.

De ce este adevărată. Implicația „compatibil $\Rightarrow$ toți determinanții caracteristici sunt nuli" e imediată din teorema Kronecker-Capelli: un determinant caracteristic este un minor de ordin $r+1$ al matricei extinse, iar dacă sistemul e compatibil, $\mathrm{rang}\overline{A}=r$, deci toți minorii de ordin $r+1$ ai lui $\overline{A}$ sunt nuli — printre ei și determinanții caracteristici.

Implicația inversă o admitem la acest nivel. Ea se sprijină pe metoda bordării, cea folosită la calculul rangului unei matrice: ca să decizi dacă rangul crește, e de ajuns să cercetezi minorii obținuți bordând un minor nenul de ordin maxim, nu toți minorii de ordinul următor. Dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli, de aici rezultă $\mathrm{rang}\overline{A}=r=\mathrm{rang}A$, iar Kronecker-Capelli încheie.

5. Câți determinanți caracteristici sunt

Numărul lor e $m-r$, deci se știe înainte de orice calcul:

Ultimul rând explică de ce, la sistemele pătratice cu $\det A=0$ și rang $n-1$, se calculează un singur determinant caracteristic; al treilea arată de ce un sistem de tip Cramer nu are niciunul: acolo $r=n=m$.

6. Procedura, în șase pași

1. Scrie $A$ și $\overline{A}$ și calculează $r=\mathrm{rang}A$.
2. Fixează un minor principal de ordin $r$ (alege-l, dacă poți, cu numere mici, ca să calculezi ușor).
3. Identifică necunoscutele principale și secundare, ecuațiile principale și secundare.
4. Scrie cei $m-r$ determinanți caracteristici și calculează-i.
5. Dacă vreunul e nenul, oprește-te: sistemul e incompatibil. Dacă toți sunt nuli, sistemul e compatibil.
6. Rezolvă sistemul principal: păstrezi ecuațiile principale, treci necunoscutele secundare în membrul drept (notate cu $\alpha$, $\beta$) și rezolvi cu regula lui Cramer sistemul rămas, care are determinantul chiar minorul principal, deci e de tip Cramer.

Pasul 6 face din Rouché mai mult decât un criteriu: el dă rețeta de rezolvare. Ecuațiile secundare nu se mai folosesc — tocmai s-a dovedit că nu aduc nimic nou — dar rămân cel mai bun mijloc de verificare.

7. Exemplul din secțiunea 3, dus până la capăt

Ambii determinanți caracteristici fiind nuli, sistemul e compatibil; cum $r=2<3=n$, el e simplu nedeterminat. Sistemul principal, cu $z=\alpha$ trecut în dreapta, este

$$\{\begin{array}{l}x+y=2+\alpha \\ 2x+y=7-\alpha \end{array}$$

Scăzând prima ecuație din a doua: $x=5-2\alpha$, apoi $y=2+\alpha -x=3\alpha -3$. Deci

$$S=\{(5-2\alpha ,3\alpha -3,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare în ecuațiile secundare: $3(5-2\alpha )+2(3\alpha -3)=9$ ✓ și $(5-2\alpha )+2(3\alpha -3)-4\alpha =-1$ ✓, pentru orice $\alpha$. Dacă ultima ecuație ar fi fost $x+2y-4z=2$, am fi avut ${\Delta }_{car}^{(4)}=-3\ne 0$ și sistemul ar fi ieșit incompatibil — un singur determinant nenul strică tot.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un sistem pătratic cu determinant nul

Studiați compatibilitatea sistemului $x+2y+z=4$, $2x+3y-z=3$, $3x+5y=7$ și rezolvați-l.

Rezolvare. A treia ecuație e suma primelor două, deci $\det A=0$; minorul din primele două linii și coloane, egal cu $-1\ne 0$, dă $r=2$. Îl luăm ca minor principal: necunoscute principale $x$, $y$; necunoscută secundară $z$; ecuație secundară a treia. Avem un singur determinant caracteristic:

$${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 2& 3& 3\\ 3& 5& 7\end{array}\right|=1(21-15)-2(14-9)+4(10-9)=6-10+4=0,$$

deci sistemul e compatibil, simplu nedeterminat. Sistemul principal, cu $z=\alpha$, este $x+2y=4-\alpha$, $2x+3y=3+\alpha$ și dă $y=5-3\alpha$, $x=5\alpha -6$:

$$S=\{(5\alpha -6,5-3\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare în ecuația secundară: $3(5\alpha -6)+5(5-3\alpha )=15\alpha -18+25-15\alpha =7$ ✓.

Exemplul 2 — Același sistem, cu un singur număr schimbat

Studiați compatibilitatea sistemului $x+2y+z=4$, $2x+3y-z=3$, $3x+5y=8$.

Rezolvare. Matricea $A$ e neschimbată, deci $r=2$ și minorul principal e același. Se schimbă doar coloana termenilor liberi:

$${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 2& 3& 3\\ 3& 5& 8\end{array}\right|=1(24-15)-2(16-9)+4(10-9)=9-14+4=-1\ne 0.$$

Sistemul este incompatibil. Se vede și direct: primele două ecuații dau $3x+5y=7$, iar a treia cere $8$.

Exemplul 3 — Patru ecuații, trei necunoscute

Studiați compatibilitatea sistemului $x+y+z=4$, $x+2y+3z=9$, $2x+3y+4z=13$, $2x+y=3$ și rezolvați-l.

Rezolvare. Minorul din liniile $1$, $2$ și coloanele lui $x$, $y$ este $1\ne 0$, deci $r\ge 2$; iar a treia linie e suma primelor două și a patra e $3L_1-L_2$, deci orice minor de ordin $3$ al lui $A$ e nul și $r=2$. Necunoscută secundară: $z$; ecuații secundare: a treia și a patra, deci doi determinanți caracteristici:

$${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 1& 2& 9\\ 2& 3& 13\end{array}\right|=0,{\Delta }_{car}^{(4)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 1& 2& 9\\ 2& 1& 3\end{array}\right|=0.$$

Sistemul e compatibil, simplu nedeterminat. Cu $z=\alpha$: $x+y=4-\alpha$, $x+2y=9-3\alpha$, de unde $y=5-2\alpha$ și $x=\alpha -1$. Deci $S=\{(\alpha -1,5-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Verificare în ecuația a patra: $2(\alpha -1)+5-2\alpha =3$ ✓.

Exemplul 4 — Un singur determinant caracteristic, de ordin $4$

Studiați compatibilitatea sistemului $x+y+z=6$, $x+2y+3z=14$, $x+3y+6z=25$, $2x+3y+5z=23$.

Rezolvare. Minorul din primele trei linii și toate coloanele este $1(12-9)-1(6-3)+1(3-2)=1\ne 0$, deci $r=3$ (mai mult nu se poate). Luându-l ca minor principal, toate necunoscutele sunt principale, primele trei ecuații la fel, iar a patra e singura secundară: există un singur determinant caracteristic, de ordin $4$:

$${\Delta }_{car}^{(4)}=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 1& 2& 3& 14\\ 1& 3& 6& 25\\ 2& 3& 5& 23\end{array}\right|=0,$$

deci sistemul e compatibil. Cum $r=3=n$, el e compatibil determinat: sistemul principal, format din primele trei ecuații, e de tip Cramer și dă $x=1$, $y=2$, $z=3$. Verificare în ecuația secundară: $2+6+15=23$ ✓.

Exemplul 5 — Când nu există ecuații secundare

Studiați compatibilitatea sistemului $x+y+2z=5$, $x+2y+3z=8$.

Rezolvare. Aici $m=2$, iar minorul din coloanele lui $x$ și $y$ este $1\ne 0$, deci $r=2=m$: nu există ecuații secundare și nici determinanți caracteristici, condiția din teorema lui Rouché fiind îndeplinită automat. Cu $z=\alpha$, sistemul principal $x+y=5-2\alpha$, $x+2y=8-3\alpha$ dă $y=3-\alpha$ și $x=2-\alpha$, deci $S=\{(2-\alpha ,3-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Reține concluzia generală: un sistem în care rangul e egal cu numărul ecuațiilor e întotdeauna compatibil.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră sistemul $x+2y+z=1$, $2x+3y-z=4$, $3x+5y+mz=5$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Determinați $m$ pentru care sistemul este compatibil determinat. b) Pentru valoarea rămasă a lui $m$, studiați compatibilitatea cu teorema lui Rouché și rezolvați sistemul.

Rezolvare. a) Determinantul sistemului:

$$\det A=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& -1\\ 3& 5& m\end{array}\right|=1(3m+5)-2(2m+3)+1(10-9)=3m+5-4m-6+1=-m.$$

Pentru $m\ne 0$ avem $\det A\ne 0$, deci sistemul e de tip Cramer, adică compatibil determinat. (Pentru $m=1$, de pildă, soluția este $(5,-2,0)$.)

b) Pentru $m=0$, $\det A=0$, iar minorul din primele două linii și coloane, egal cu $-1\ne 0$, dă $r=2$: necunoscute principale $x$, $y$, secundară $z$, ecuație secundară a treia. Determinantul caracteristic este

$${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& 4\\ 3& 5& 5\end{array}\right|=1(15-20)-2(10-12)+1(10-9)=-5+4+1=0,$$

deci sistemul e compatibil simplu nedeterminat. Sistemul principal, cu $z=\alpha$: $x+2y=1-\alpha$, $2x+3y=4+\alpha$. Rezolvând, $y=-2-3\alpha$ și $x=5+5\alpha$, adică

$$S=\{(5+5\alpha ,-2-3\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare în ecuația secundară: $3(5+5\alpha )+5(-2-3\alpha )=15+15\alpha -10-15\alpha =5$ ✓.

Să exersăm

Înainte de orice calcul, numără determinanții caracteristici: sunt exact $m-r$. Dacă îți ies mai mulți sau mai puțini, ai greșit rangul.

1. Pentru sistemul $x+3y+2z=1$, $2x+5y+3z=2$, $3x+8y+5z=3$, calculează rangul, alege un minor principal și precizează necunoscutele principale și secundare, respectiv ecuațiile principale și secundare.

2. Câți determinanți caracteristici are un sistem cu $5$ ecuații și $\mathrm{rang}A=3$? Dar unul cu $4$ ecuații și $\mathrm{rang}A=4$? Ce ordin au ei?

3. Studiază cu teorema lui Rouché sistemul de la exercițiul 1 și, dacă e compatibil, scrie mulțimea soluțiilor.

4. Același sistem, cu ultimul termen liber $4$ în loc de $3$. Calculează determinantul caracteristic și trage concluzia.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă toți determinanții caracteristici ai unui sistem sunt nuli, sistemul este compatibil."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Minorul principal al unui sistem este unic."

7. Studiază compatibilitatea sistemului $x+y-z=3$, $2x-y+z=0$, $3x+z=3$ și rezolvă-l dacă se poate. (Indicație: a treia ecuație nu e suma primelor două — verifică.)

8. Studiază compatibilitatea sistemului $x+y+z=4$, $x+2y+3z=9$, $2x+3y+4z=13$, $2x+y=4$, folosind determinanții caracteristici.

9. Explică de ce un sistem cu $2$ ecuații și $4$ necunoscute, în care matricea sistemului are rangul $2$, este compatibil oricare ar fi termenii liberi.

10. (Problemă aplicată.) Un magazin amestecă trei sortimente de cafea, în cantitățile $x$, $y$, $z$ (în kilograme). Se știe că amestecul are $10$ kg, că valoarea lui este $250$ de lei la prețurile de $20$, $25$ și $30$ de lei kilogramul și că, la prețuri mai mari cu un leu la fiecare sortiment, valoarea ar fi $260$ de lei. Arată că datele nu determină rețeta și explică de ce.

11. Studiază compatibilitatea sistemului cu cinci ecuații $x+y-z=2$, $2x+y+z=7$, $3x+2y=9$, $x+2y-4z=-1$, $4x+3y-z=11$. Câți determinanți caracteristici trebuie calculați?

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $x+y+z=1$, $2x+3y+z=4$, $3x+4y+az=5$, cu $a\in \mathbb{R}$. a) Calculați $\det A$. b) Pentru $a=2$, studiați compatibilitatea cu teorema lui Rouché.

13. Pentru sistemul de la exercițiul 1, alege drept minor principal cel format din coloanele lui $y$ și $z$ și rescrie soluția cu $x$ ca necunoscută secundară. Compară cele două mulțimi de soluții.

14. Studiază compatibilitatea sistemului $x+y+z=6$, $x+2y+3z=14$, $x+3y+6z=25$, $2x+3y+5z=24$.

15. Explică, în două-trei fraze, de ce un sistem de tip Cramer nu are niciun determinant caracteristic.

16. Un sistem are $\mathrm{rang}A=2$, $m=4$ și primul determinant caracteristic calculat iese $5$. Ce concluzie tragi și ce mai ai de calculat?

17. Scrie sistemul principal pentru sistemul $x+2y+z+t=3$, $2x+3y-z+t=4$, $3x+5y+2t=7$, luând ca minor principal minorul din primele două linii și primele două coloane. Câte necunoscute secundare are?

18. (Provocare.) Arată că numărul determinanților caracteristici este $m-r$ și explică, folosind acest fapt, de ce un sistem cu $\mathrm{rang}A=m$ este compatibil indiferent de termenii liberi.

Răspunsuri și explicații

1. A treia ecuație e suma primelor două, deci $\det A=0$; minorul din primele două linii și coloane, egal cu $-1\ne 0$, dă $r=2$. Luându-l ca minor principal: necunoscute principale $x$ și $y$, secundară $z$; ecuații principale primele două, secundară a treia.

2. Numărul lor este $m-r$: în primul caz $5-3=2$ determinanți, fiecare de ordin $r+1=4$; în al doilea caz $4-4=0$, deci niciunul — sistemul e compatibil fără niciun calcul.

3. Determinantul caracteristic este $\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 2& 5& 2\\ 3& 8& 3\end{array}\right|=0$ (prima și ultima coloană sunt egale), deci sistemul e compatibil. Cu $z=\alpha$: $x+3y=1-2\alpha$, $2x+5y=2-3\alpha$, de unde $y=-\alpha$ și $x=1+\alpha$. Deci $S=\{(1+\alpha ,-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$; verificare în ecuația a treia: $3(1+\alpha )+8(-\alpha )+5\alpha =3$ ✓.

4. Determinantul caracteristic devine $1(20-16)-3(8-6)+1(16-15)=-1\ne 0$, deci sistemul e incompatibil.

5. Adevărat — e chiar implicația inversă din teorema lui Rouché. Atenție: ea spune doar că sistemul are soluții; câte are se decide comparând $r$ cu $n$.

6. Fals. Pot exista mai mulți minori nenuli de ordin $r$, iar oricare se poate lua ca minor principal: se schimbă necunoscutele secundare și forma soluției, nu și concluzia sau mulțimea soluțiilor.

7. $\det A=1(-1-0)-1(2-3)+(-1)(0+3)=-1+1-3=-3\ne 0$, deci $r=3=m$: nu există ecuații secundare, sistemul e compatibil determinat și se rezolvă cu Cramer. Soluția este $x=1$, $y=2$, $z=0$ (verificare: $1+2-0=3$ ✓, $2-2+0=0$ ✓, $3+0=3$ ✓).

8. Ca la exemplul 3, $r=2$ cu același minor principal. Primul determinant caracteristic e nul, dar al doilea iese $1\ne 0$, deci sistemul e incompatibil.

9. Dacă $r=2=m$, nu există ecuații secundare, deci nici determinanți caracteristici; condiția din teorema lui Rouché e îndeplinită automat. Sistemul e compatibil, cu $4-2=2$ necunoscute secundare.

10. Sistemul e $x+y+z=10$, $20x+25y+30z=250$, $21x+26y+31z=260$. A treia ecuație e suma primelor două, deci $r=2$, determinantul caracteristic e nul și sistemul e compatibil simplu nedeterminat. A treia informație nu aduce nimic nou (prețurile crescute cu un leu adaugă exact numărul de kilograme), deci datele nu determină rețeta.

11. Rangul rămâne $2$ ($L_3=L_1+L_2$, $L_4=2L_1-L_2$, $L_5=L_1+L_3$), deci sunt $5-2=3$ determinanți caracteristici de ordin $3$. Toți ies nuli, deci sistemul e compatibil, cu aceeași mulțime de soluții ca în lecție: $S=\{(5-2\alpha ,3\alpha -3,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

12. a) $\det A=1(3a-4)-1(2a-3)+1(8-9)=a-2$. b) Pentru $a=2$, $\det A=0$, iar minorul din primele două linii și coloane, egal cu $1\ne 0$, dă $r=2$. Determinantul caracteristic este $1(15-16)-1(10-12)+1(8-9)=0$, deci sistemul e compatibil simplu nedeterminat. Cu $z=\alpha$, sistemul principal $x+y=1-\alpha$, $2x+3y=4-\alpha$ dă $y=2+\alpha$ și $x=-1-2\alpha$, deci $S=\{(-1-2\alpha ,2+\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

13. Minorul din coloanele lui $y$ și $z$ (liniile $1$ și $2$) este $-1\ne 0$. Cu $x=\alpha$ secundară: $3y+2z=1-\alpha$, $5y+3z=2-2\alpha$, de unde $y=1-\alpha$, $z=\alpha -1$, adică $S=\{(\alpha ,1-\alpha ,\alpha -1)\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$ — aceeași mulțime ca la exercițiul 3, scrisă cu parametrul $1+\alpha$.

14. $r=3$, ca la exemplul 4, iar singurul determinant caracteristic, de ordin $4$, iese acum $1\ne 0$ (se schimbă doar ultimul termen liber). Sistemul e incompatibil: primele trei ecuații dau $(1,2,3)$, iar a patra cere $24$, nu $23$.

15. Într-un sistem de tip Cramer, $m=n$ și $\det A\ne 0$, deci $r=m$: toate ecuațiile sunt principale și nu rămâne niciuna secundară. Cum determinanții caracteristici se construiesc câte unul pentru fiecare ecuație secundară, nu există niciunul — și nici nu e nevoie, compatibilitatea fiind asigurată.

16. Sistemul e incompatibil și nu mai ai nimic de calculat: un singur determinant caracteristic nenul înseamnă $\mathrm{rang}\overline{A}=r+1$, deci lipsa soluțiilor. Al doilea determinant caracteristic nu mai schimbă concluzia.

17. Minorul indicat este $-1\ne 0$, deci necunoscutele principale sunt $x$ și $y$, iar secundare $z$ și $t$: $n-r=2$ necunoscute secundare. Cu $z=\alpha$, $t=\beta$, sistemul principal e $x+2y=3-\alpha -\beta$, $2x+3y=4+\alpha -\beta$.

18. Determinanții caracteristici se construiesc câte unul pentru fiecare ecuație secundară, iar ecuațiile principale sunt exact cele $r$ ale căror linii intră în minorul principal; rămân deci $m-r$ ecuații secundare și tot atâția determinanți. Dacă $\mathrm{rang}A=m$, atunci $m-r=0$: nu există nicio condiție de verificat, deci sistemul e compatibil oricare ar fi termenii liberi.

De reținut

• Enunțul: un sistem liniar e compatibil dacă și numai dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli.
• Determinantul caracteristic se obține bordând minorul principal cu coeficienții unei ecuații secundare și cu coloana termenilor liberi; are ordinul $r+1$.
• Numărul lor este $m-r$, adică numărul ecuațiilor secundare — se știe dinainte de orice calcul.
• Dacă $r=m$, nu există determinanți caracteristici și sistemul e compatibil oricare ar fi termenii liberi; sistemele de tip Cramer sunt un caz particular.
• Sistemul principal (ecuațiile principale, cu necunoscutele secundare trecute în dreapta) este de tip Cramer, având ca determinant chiar minorul principal — de aceea Rouché nu doar decide, ci și rezolvă.

Greșeli frecvente

• Bordarea greșită. În determinantul caracteristic intră coeficienții necunoscutelor principale și coloana termenilor liberi, nu coeficienții necunoscutelor secundare. O coloană greșită schimbă valoarea și, cu ea, concluzia.
• Uitarea termenilor liberi ai ecuațiilor principale. Ultima coloană conține termenii liberi ai tuturor liniilor folosite, nu doar al ecuației secundare.
• Calcularea unui singur determinant caracteristic când sunt mai mulți. Cu $m-r=2$, ambii trebuie să fie nuli; e de ajuns unul nenul ca sistemul să fie incompatibil.
• „Toți determinanții caracteristici sunt nuli, deci soluția e unică." Nu: ei decid doar existența soluțiilor. Unicitatea se decide comparând $r$ cu $n$.
• Folosirea ecuațiilor secundare la rezolvare. După ce s-a dovedit că sunt consecințe, ele nu se mai folosesc — dar sunt cel mai bun mijloc de verificare a soluției găsite.

Aplică acasă

1. Numără înainte să calculezi. Ia trei sisteme din culegere, calculează doar rangul matricei sistemului și scrie câți determinanți caracteristici are fiecare și ce ordin au. Abia apoi verifică rezolvând.

2. Schimbă un singur termen liber. Ia un sistem compatibil nedeterminat și modifică un singur termen liber dintr-o ecuație secundară. Recalculează determinantul caracteristic și observă că sistemul devine incompatibil — coloana termenilor liberi e singura care intră în joc.

3. Alege alt minor principal. La un sistem cu mai mulți minori nenuli de ordin $r$, rezolvă-l de două ori, cu alegeri diferite: vei obține scrieri diferite ale soluției, dar aceeași mulțime — verifică pe câteva valori ale parametrului.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă criteriul teoretic din lecția precedentă într-o procedură de lucru. Elevul trebuie să iasă cu un algoritm ferm: rang, minor principal, împărțire în principal/secundar, $m-r$ determinanți caracteristici, concluzie, apoi rezolvarea sistemului principal cu Cramer.

De verificat în caiet: (1) minorul principal e precizat explicit (ce linii, ce coloane) — fără el, determinanții caracteristici nu au sens; (2) numărul determinanților calculați este exact $m-r$; (3) în bordare intră coloana termenilor liberi, nu coeficienții necunoscutelor secundare; (4) soluția se verifică în ecuațiile secundare. Întrebări de control: „Câți determinanți caracteristici are sistemul acesta și de ce ordin?"; „Ce se întâmplă dacă rangul e egal cu numărul ecuațiilor?"; „Un determinant caracteristic nenul ce înseamnă?".

La BAC M1, teorema lui Rouché apare mai ales la sistemele cu parametru, în cazul în care determinantul se anulează: acolo, un singur determinant caracteristic decide între „o infinitate de soluții" și „nicio soluție". Semn că elevul a înțeles: după ce află că $\det A=0$, nu se blochează, ci fixează un minor principal și scrie imediat determinantul caracteristic.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema lui Rouché? Că un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli. Ea este forma de lucru a teoremei Kronecker-Capelli.

Cum se construiește un determinant caracteristic? Se bordează minorul principal cu o linie și o coloană: linia coeficienților unei ecuații secundare (la necunoscutele principale) și coloana termenilor liberi ai liniilor folosite. Ordinul obținut e $r+1$.

Câți determinanți caracteristici are un sistem? Exact $m-r$, adică numărul ecuațiilor secundare, unde $m$ e numărul ecuațiilor și $r$ rangul matricei sistemului. Numărul se poate spune înainte de orice calcul.

Ce sunt necunoscutele principale și cele secundare? Principale sunt necunoscutele ale căror coeficienți intră în minorul principal; secundare sunt celelalte, în număr de $n-r$. Necunoscutele secundare primesc valori arbitrare, notate cu $\alpha$, $\beta$.

Minorul principal este unic? Nu: dacă matricea are mai mulți minori nenuli de ordin $r$, oricare poate fi ales. Se schimbă necunoscutele secundare și forma soluției, nu și concluzia sau mulțimea soluțiilor.

Ce fac dacă un determinant caracteristic este nenul? Te oprești: sistemul este incompatibil. Restul determinanților nu mai schimbă nimic, pentru că un singur minor nenul de ordin $r+1$ în matricea extinsă ridică rangul acesteia.

Cum apare teorema lui Rouché la Bacalaureat M1? Cel mai des la sistemele cu parametru: se calculează determinantul sistemului, se tratează separat valoarea care îl anulează și, acolo, determinantul caracteristic decide dacă sistemul are o infinitate de soluții sau niciuna.