Teorema lui Weierstrass: pe scurt

Teorema lui Weierstrass (se admite fără demonstrație): orice șir monoton și mărginit de numere reale este convergent. Mai precis, limita unui șir crescător și mărginit superior este $\sup$ al mulțimii termenilor, iar a unuia descrescător și mărginit inferior este $\inf$.

Este primul rezultat de existență pură: garantează că limita există, fără să o dea. De aceea rezolvă cazuri în care nicio metodă de calcul nu funcționează — sume cu număr crescător de termeni și șiruri definite prin recurență.

Completarea: orice șir monoton are limită în $\overline{\mathbb{R}}$; un șir crescător și nemărginit superior are limita $+\infty$. Pe scurt: un șir monoton este convergent dacă și numai dacă este mărginit. Șirul $(n)$ are limită, dar nu este convergent.

Niciuna dintre ipoteze nu poate lipsi: $a_n=n$ este monoton și nemărginit (limita $+\infty$), iar $a_n=(-1{)}^n$ este mărginit și nemonoton (fără limită). Reciproca este falsă: $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$ converge la $0$ fără să fie monoton.

Rețeta: monotonia din semnul lui $a_{n+1}-a_n$ (sau din raport, la termeni pozitivi), mărginirea în sensul creșterii (majorant pentru un șir crescător — cealaltă barieră vine gratuit din primul termen), apoi concluzia. Bariera nu trebuie să fie cea mai bună, ci doar un număr fix.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

   • a) orice șir mărginit este convergent
   • b) orice șir monoton este convergent
   • c) orice șir convergent este monoton
   • d) orice șir monoton și mărginit este convergent
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) orice șir monoton și mărginit este convergent

   Este chiar teorema lui Weierstrass. Celelalte trei cad pe contraexemple: $a_n=(-1{)}^n$ este mărginit fără limită; $a_n=n$ este monoton, cu limita $+\infty$, deci neconvergent; $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$ converge la $0$ fără să fie monoton.

2. Șirul $a_n=\frac{4n+3}{n+1}$ este strict crescător. Care majorant încheie demonstrația convergenței prin teorema lui Weierstrass?

   • a) $M=3$
   • b) $M=\frac{7}{2}$
   • c) $M=4$
   • d) nu există majorant
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $M=4$

   Rescriem $a_n=\frac{4(n+1)-1}{n+1}=4-\frac{1}{n+1}<4$ pentru orice $n$, deci $4$ este majorant, iar șirul, fiind crescător, este minorat de $a_1=\frac{7}{2}$: este mărginit și monoton, deci convergent. Numerele $3$ și $\frac{7}{2}$ nu majorează șirul — deja $a_2=\frac{11}{3}>\frac{7}{2}$.

3. Șirul $a_n=n$ arată că:

   • a) monotonia singură nu asigură convergența
   • b) mărginirea singură nu asigură convergența
   • c) reciproca teoremei lui Weierstrass este falsă
   • d) un șir crescător nu are limită
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) monotonia singură nu asigură convergența

   Șirul este strict crescător, dar nemărginit superior, deci are limita $+\infty$ și nu este convergent: lipsa plafonului strică totul. Pentru b) contraexemplul este $a_n=(-1{)}^n$ (mărginit, nemonoton), iar pentru c), $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$. Varianta d) e falsă chiar aici: șirul are limită, anume $+\infty$.