Teorema lui Weierstrass: monotonie, mărginire, convergență

Un lift care urcă mereu și nu poate depăși etajul zece trebuie să se oprească undeva la sau sub etajul zece. Nu știi la ce etaj — poate la șapte, poate la nouă și jumătate —, dar știi sigur că urcarea lui nu poate continua la nesfârșit: are o direcție și are un plafon, iar cele două împreună îl obligă să se stabilizeze. Nicio informație despre viteza liftului nu e necesară pentru această concluzie.

Aceasta este, cuvânt cu cuvânt, teorema pe care o înveți astăzi. Până acum, ca să demonstrezi că un șir converge, trebuia să-i arăți limita: fie o calculai prin operații, fie o încadrai cu criteriul cleștelui. Teorema lui Weierstrass schimbă regula jocului: îți garantează că limita există, fără să ți-o spună. Este primul rezultat de existență pură din analiză și, tocmai de aceea, unealta care deschide ușa spre șirurile definite prin recurență, pentru care nu ai nicio formulă a termenului general.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți teorema lui Weierstrass: orice șir monoton și mărginit de numere reale este convergent.
• Vei ști să verifici, separat și riguros, cele două ipoteze: monotonia (prin diferența sau raportul a doi termeni consecutivi) și mărginirea (printr-o majorare sau minorare).
• Vei ști că limita unui șir crescător și mărginit superior este $\sup$ al mulțimii termenilor, iar a unuia descrescător și mărginit inferior este $\inf$.
• Vei ști completarea teoremei: orice șir monoton are limită în $\overline{\mathbb{R}}$, deci un șir monoton este convergent dacă și numai dacă este mărginit.
• Vei ști să arăți, prin contraexemple, că niciuna dintre cele două ipoteze nu poate fi eliminată și că reciproca teoremei este falsă.
• Vei ști să folosești teorema la șiruri pentru care limita nu se poate calcula cu uneltele clasei a XI-a.

Hai să descoperim împreună

1. Cele două proprietăți, puse față în față

Reiei aici două noțiuni deja studiate, dar le folosești pentru prima dată împreună.

Monotonia (lecția despre monotonia șirurilor): șirul $(a_n)$ este crescător dacă $a_n\le a_{n+1}$ pentru orice $n$, strict crescător dacă inegalitatea este strictă; analog pentru descrescător. Se verifică studiind semnul diferenței $a_{n+1}-a_n$ sau, când toți termenii sunt strict pozitivi, comparând raportul $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ cu $1$.

Mărginirea (lecția despre mărginirea unui șir): $(a_n)$ este mărginit superior dacă există $M\in \mathbb{R}$ cu $a_n\le M$ pentru orice $n$; mărginit inferior dacă există $m$ cu $a_n\ge m$; mărginit dacă are ambele proprietăți, adică dacă există $M>0$ cu $|a_n|\le M$.

Ideea lecției: fiecare proprietate luată separat nu spune nimic despre convergență; împreună, o garantează.

2. Cele patru situații posibile

Combinând cele două proprietăți obținem un tablou complet, pe care merită să-l ai în minte la orice exercițiu:

Exemplele-etalon pentru fiecare căsuță:

• monoton și mărginit: $a_n=\frac{3n+1}{n+2}$ — crescător, cu toți termenii sub $3$; converge;
• monoton și nemărginit: $a_n=n$ — crescător, fără plafon; are limita $+\infty$, deci nu este convergent;
• nemonoton și mărginit: $a_n=(-1{)}^n$ nu are limită, în timp ce $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$ converge la $0$ — deci în această căsuță nu se poate decide nimic în general;
• nemonoton și nemărginit: $a_n=(-1{)}^{n}n$ nu are limită.

3. Teorema lui Weierstrass

Teoremă (Weierstrass). Orice șir de numere reale monoton și mărginit este convergent.

Mai precis:

• dacă $(a_n)$ este crescător și mărginit superior, atunci este convergent și $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\sup \{a_n\mid n\ge 1\}$;
• dacă $(a_n)$ este descrescător și mărginit inferior, atunci este convergent și $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\inf \{a_n\mid n\ge 1\}$.

Teorema se admite fără demonstrație — așa cere programa de matematică-informatică. Merită totuși să înțelegi de ce este credibilă: un șir crescător nu se poate întoarce niciodată înapoi, iar plafonul nu-l lasă să plece la infinit, deci termenii lui se înghesuie tot mai mult sub cea mai mică barieră care îi ține pe toți — adică sub $\sup$ al mulțimii termenilor, noțiune introdusă în lecția Marginile unei mulțimi. Faptul că această margine superioară există ca număr real nu este o evidență, ci proprietatea de completitudine a mulțimii $\mathbb{R}$; pe ea se sprijină întreaga teoremă, și tot din ea vine motivul pentru care enunțul ar fi fals dacă am lucra doar cu numere raționale.

Reține și acest amănunt, care se cere la examen: teorema garantează existența limitei, nu îți dă valoarea ei. Ea răspunde la întrebarea „există?", nu la întrebarea „cât face?". În practică, asta înseamnă că poți primi un exercițiu care cere doar convergența — și în care căutarea limitei ar fi timp pierdut, pentru că valoarea nici nu se poate exprima cu uneltele clasei a XI-a.

4. Completarea: orice șir monoton are limită

Coloana din dreapta a tabelului de la §2 se enunță separat, ca extindere firească a teoremei:

Propoziție. Orice șir monoton de numere reale are limită în $\overline{\mathbb{R}}$. Un șir crescător și nemărginit superior are limita $+\infty$; un șir descrescător și nemărginit inferior are limita $-\infty$.

Partea a doua nu are nevoie de teorema lui Weierstrass: ea se justifică direct din definiția limitei infinite, iar tu o vei face la exercițiul 16. Punând cele două rezultate cap la cap obținem echivalența pe care o vei folosi cel mai des:

Un șir monoton este convergent dacă și numai dacă este mărginit.

Formularea corectă a cazului nemărginit, conform convenției din lecția Șiruri cu limită infinită: șirul $(n)$ are limită, anume $+\infty$, dar nu este convergent, pentru că limita lui nu este finită. „Nu are limită" se spune numai despre șiruri precum $\left((-1{)}^n\right)$.

5. Ce NU spune teorema — trei capcane

(a) Reciproca este falsă. Un șir convergent nu este neapărat monoton: $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$ converge la $0$, dar termenii lui sar de o parte și de alta a lui zero. Ce este adevărat, în schimb, este că orice șir convergent este mărginit — proprietate demonstrată în lecția Șiruri convergente și divergente.

(b) Monotonia singură nu ajunge. Șirul $a_n=n$ este strict crescător și nu converge. Fără plafon, creșterea poate continua la nesfârșit.

(c) Mărginirea singură nu ajunge. Șirul $a_n=(-1{)}^n$ este mărginit ($|a_n|=1$) și nu are limită. Fără o direcție, termenii pot oscila la infinit în interiorul unei benzi.

Prin urmare, la orice aplicare a teoremei trebuie scrise și justificate amândouă ipotezele. Baremul de la Bacalaureat M1 acordă puncte separate pentru fiecare, iar o rezolvare care demonstrează doar monotonia nu primește punctul de concluzie.

6. Rețeta de lucru

La un șir dat explicit, procedezi în trei pași.

1. Monotonia. Calculezi $a_{n+1}-a_n$ și îi stabilești semnul. Dacă toți termenii sunt strict pozitivi și expresia conține factoriale sau puteri, e mai comod raportul $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, comparat cu $1$.
2. Mărginirea. Ai nevoie de o barieră în sensul creșterii: pentru un șir crescător cauți un majorant $M$; pentru unul descrescător, un minorant $m$. Cealaltă barieră este gratuită — un șir crescător este automat mărginit inferior de primul termen.
3. Concluzia. Invoci teorema lui Weierstrass și scrii că șirul este convergent. Dacă exercițiul cere și limita, ea se află separat, prin altă metodă.

Merită subliniat pasul 2: mulți elevi caută cea mai bună barieră. Nu e nevoie. Pentru un șir crescător, orice majorant, oricât de generos, este suficient — la fel ca la majorantul din criteriul majorării. Diferența este că aici bariera nu trebuie să tindă la nimic: este un număr fix, iar rolul ei se termină în clipa în care ai scris-o.

O întrebare care apare firesc: de unde iei bariera? Cele două surse practice sunt rescrierea termenului general și inducția. Rescrierea funcționează la fracții — la Exemplul 1, forma $3-\frac{5}{n+2}$ arată dintr-o privire că $3$ este un majorant. Inducția funcționează la șirurile recurente, unde nu ai o formulă: presupui că bariera ține pentru $a_n$ și arăți că se transmite lui $a_{n+1}$, exact ca în Exemplul 5. La sume cu număr crescător de termeni, a treia sursă este majorarea fiecărui termen cu cel mai mare dintre ei, ca la Exemplul 3.

7. Ce deschide teorema

Adevărata putere a acestui rezultat se vede la două categorii de șiruri, pe care nu le poți ataca altfel:

• șirurile-sumă, cu un număr de termeni care crește, unde suma este vizibil crescătoare și se poate încadra sub o barieră fixă (Exemplele 2 și 3 de mai jos);
• șirurile definite prin recurență, pentru care nu ai formula termenului general; procedeul complet, cu toate capcanele lui, este subiectul lecției Șiruri definite prin recurență.

Aplicația cea mai celebră a teoremei — șirul cu termenul general ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$, din care se naște numărul $e$ — face obiectul lecției următoare, Numărul $e$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un șir explicit, verificat pe ambele ipoteze

Arătați că șirul $a_n=\frac{3n+1}{n+2}$, $n\ge 1$, este convergent.

Rezolvare. Monotonia: $$a_{n+1}-a_n=\frac{3n+4}{n+3}-\frac{3n+1}{n+2}=\frac{(3n+4)(n+2)-(3n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}=\frac{3n^2+10n+8-\left(3n^2+10n+3\right)}{(n+2)(n+3)}=\frac{5}{(n+2)(n+3)}>0,$$ deci șirul este strict crescător.

Mărginirea: $a_n=\frac{3n+1}{n+2}=\frac{3(n+2)-5}{n+2}=3-\frac{5}{n+2}<3$ pentru orice $n$, deci șirul este mărginit superior de $3$ (și inferior de $a_1=\frac{4}{3}$, fiind crescător).

Concluzia: fiind monoton și mărginit, șirul este convergent, prin teorema lui Weierstrass. (Aici limita se vede și direct: $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=3$, pentru că $\frac{5}{n+2}\to 0$.)

Exemplul 2 — Convergență fără valoare cunoscută

Arătați că șirul $a_n=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}$ este convergent.

Rezolvare. Monotonia: $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1{)}^2}>0$, deci șirul este strict crescător.

Mărginirea: pentru $k\ge 2$ avem $k^2>k(k-1)$, deci $$\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}.$$ Adunând aceste inegalități pentru $k=2,3,\dots ,n$, suma din dreapta se telescopează: $$a_n<1+\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=1+1-\frac{1}{n}<2.$$ Lanțul de mai sus este scris pentru $n\ge 2$; pentru $n=1$ nu există niciun termen de adunat și avem direct $a_1=1<2$. În ambele cazuri, $a_n<2$.

Concluzia: șirul este strict crescător și mărginit superior de $2$, deci convergent.

Observă ce am obținut și ce nu: știm sigur că limita există, dar nu am aflat-o. (Valoarea ei este $\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1,644934$, un rezultat celebru al lui Euler, care se obține cu unelte mult peste programa clasei a XI-a. Pentru $n=1000$, șirul a ajuns la $1,643935$.)

Exemplul 3 — O sumă cu număr crescător de termeni

Arătați că șirul $a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}$ este convergent.

Rezolvare. Monotonia: trecerea de la $a_n$ la $a_{n+1}$ înseamnă că apar termenii $\frac{1}{2n+1}$ și $\frac{1}{2n+2}$ și dispare $\frac{1}{n+1}$: $$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{2}{2n+2}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}>0,$$ unde am folosit $\frac{1}{n+1}=\frac{2}{2n+2}$. Diferența este pozitivă pentru că $2n+1<2n+2$, deci șirul este strict crescător.

Mărginirea: suma are exact $n$ termeni, fiecare cel mult egal cu cel mai mare dintre ei, $\frac{1}{n+1}$, deci $$a_n\le \frac{n}{n+1}<1.$$ Concluzia: șirul este convergent. (Limita lui este $\ln 2\approx 0,693147$; pentru $n=1000$, șirul valorează deja $0,693$ — dar acest calcul depășește uneltele de acum.)

Exemplul 4 — Un șir descrescător, cu limita aflată la final

Arătați că șirul $a_n=\frac{2^n}{n!}$ este convergent și determinați-i limita.

Rezolvare. Monotonia: toți termenii sunt strict pozitivi, deci folosim raportul: $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{2^n}=\frac{2}{n+1}.$$ Pentru $n\ge 2$ avem $\frac{2}{n+1}<1$, deci șirul este strict descrescător începând cu rangul $2$. (Primii doi termeni sunt egali: $a_1=a_2=2$.)

Mărginirea: evident $a_n>0$ pentru orice $n$, deci șirul este mărginit inferior de $0$.

Concluzia: fiind monoton de la un rang încolo și mărginit, șirul este convergent. Faptul că monotonia începe abia de la rangul $2$ nu deranjează: limita nu se schimbă dacă adaugi sau elimini un număr finit de termeni — proprietate stabilită în lecția Șiruri convergente și divergente —, deci aplicăm teorema șirului $(a_n{)}_{n\ge 2}$ și concluzia se transferă. Notăm $\ell =\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$, cu $\ell \ge 0$.

Aflarea limitei: din $a_{n+1}=\frac{2}{n+1}{a}_n$, trecem la limită. Șirul $\left(\frac{2}{n+1}\right)$ tinde la $0$, iar $(a_n)$ este convergent, deci membrul drept tinde la $0\cdot \ell =0$; membrul stâng tinde la $\ell$. Prin unicitatea limitei, $\ell =0$.

Verificare: $a_5=\frac{32}{120}\approx 0,267$, iar $a_{30}$ este mai mic decât $10^{-8}$. ✓

Exemplul 5 — Un șir definit prin recurență

Se consideră șirul definit prin $a_1=1$ și $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ pentru $n\ge 1$. Arătați că este convergent și calculați-i limita.

Rezolvare. Mărginirea superioară: arătăm prin inducție matematică că $a_n<2$ pentru orice $n$. Pentru $n=1$: $a_1=1<2$. Presupunem $a_n<2$; atunci $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+2}=2$. Deci inegalitatea se transmite.

Monotonia: toți termenii sunt pozitivi, iar $$a_{n+1}^2-a_n^2=2+a_n-a_n^2=-(a_n-2)(a_n+1)>0,$$ pentru că $a_n<2$ și $a_n>0$. Cum ambii termeni sunt pozitivi, din $a_{n+1}^2>a_n^2$ rezultă $a_{n+1}>a_n$: șirul este strict crescător.

Concluzia: crescător și mărginit superior de $2$, deci convergent, prin teorema lui Weierstrass. Fie $\ell$ limita lui; din $a_1=1$ și din monotonie avem $1\le \ell \le 2$.

Aflarea limitei: ridicăm întâi relația de recurență la pătrat, ca să scăpăm de radical: $a_{n+1}^2=2+a_n$. Șirul $(a_{n+1})$ are aceeași limită ca $(a_n)$, pentru că se obține din el eliminând un singur termen, iar limita produsului este produsul limitelor, deci ${\ell }^2=2+\ell$, adică ${\ell }^2-\ell -2=0$, cu soluțiile $\ell =2$ și $\ell =-1$. Cum $\ell \ge 1$, rămâne $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=2.$$ Verificare: $a_2=\sqrt{3}\approx 1,732051$, $a_3\approx 1,931852$, iar $a_{40}$ diferă de $2$ cu mai puțin de $10^{-9}$. ✓

Acesta este tiparul complet al șirurilor recurente; îl vei relua sistematic, cu toate cazurile și capcanele lui, în lecția Șiruri definite prin recurență.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ definit prin $a_n=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}$. a) Calculați $a_1$, $a_2$ și $a_3$. b) Arătați că șirul este strict descrescător. c) Arătați că șirul este convergent.

Rezolvare.

a) $a_1=\frac{1}{2}$; $a_2=\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}=\frac{3}{8}$; $a_3=\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}=\frac{15}{48}=\frac{5}{16}$.

b) Toți termenii sunt strict pozitivi, deci comparăm raportul cu $1$. Trecând de la $a_n$ la $a_{n+1}$ se adaugă factorul $2n+1$ la numărător și $2n+2$ la numitor: $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n+1}{2n+2}<1,$$ pentru orice $n\ge 1$. Așadar $a_{n+1}<a_n$: șirul este strict descrescător.

c) Toți termenii sunt raportul a două produse de numere strict pozitive, deci $a_n>0$: șirul este mărginit inferior de $0$. Fiind descrescător și mărginit inferior, prin teorema lui Weierstrass el este convergent.

Observație de barem: enunțul cere doar convergența, nu și limita — exact pentru că teorema dă existența fără valoare. (Limita este $0$, dar demonstrarea acestui fapt cere o majorare suplimentară, în afara cerinței.)

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu scrie separat cele două ipoteze — monotonia și mărginirea — și abia apoi concluzia; baremul acordă puncte pentru fiecare pas.

1. Arată că șirul $a_n=\frac{2n-1}{n+1}$ este strict crescător și mărginit superior de $2$, deci convergent.

2. Arată că șirul $a_n=\frac{n+3}{2n+1}$ este strict descrescător și mărginit inferior de $\frac{1}{2}$, deci convergent.

3. Arată că șirul $a_n=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{n^3}$ este convergent, folosind $\frac{1}{k^3}\le \frac{1}{k^2}$ și încadrarea din Exemplul 2.

4. Arată că șirul $a_n=\frac{3^n}{n!}$ este convergent. De la ce rang începe să fie strict descrescător?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice șir mărginit este convergent."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice șir convergent este monoton."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice șir monoton are limită în $\overline{\mathbb{R}}$."

8. Se consideră șirul $b_1=1$, $b_{n+1}=\frac{b_n+3}{2}$. Arată prin inducție că $b_n<3$, apoi că șirul este crescător, și determină-i limita.

9. Dă un exemplu de șir mărginit care nu are limită și un exemplu de șir mărginit care are limită, dar nu este monoton.

10. Arată că șirul $a_n=\frac{n}{2^n}$ este descrescător, strict începând de la rangul $2$, și mărginit inferior de $0$. Ce concluzie tragi?

11. (Problemă aplicată.) Un rezervor conține $100$ de litri de apă. În fiecare zi se scurge o zecime din cantitatea rămasă. Scrie șirul cantităților la începutul zilei $n$, arată că este descrescător și mărginit inferior, apoi spune ce garantează teorema lui Weierstrass despre el.

12. Fie $(a_n)$ un șir crescător cu $a_n\le 7$ pentru orice $n$ și $a_1=2$. Ce poți afirma despre limita lui? Între ce valori se află sigur?

13. Arată că șirul $a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{3n}$ este mărginit superior de $2$. (Nu ți se cere monotonia.)

14. Explică, într-un paragraf, de ce teorema lui Weierstrass ar fi falsă dacă am lucra numai cu numere raționale. Indicație: gândește-te la un șir crescător de aproximări zecimale ale lui $\sqrt{2}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $a_n=\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}{3\cdot 5\cdot 7\cdots (2n+1)}$. Arată că șirul este strict descrescător și mărginit inferior, apoi deduce că este convergent.

16. Arată că un șir crescător și nemărginit superior are limita $+\infty$, folosind completarea de la §4, și dă un exemplu.

17. Fie $(a_n)$ descrescător cu $a_n>0$ pentru orice $n$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell$. Arată că $\ell \ge 0$ și dă un exemplu în care $\ell =0$ și unul în care $\ell >0$.

18. (Provocare.) Arată că șirul $a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$ este crescător, dar nu este mărginit superior, grupând termenii în blocuri de forma $\frac{1}{2^k+1}+\cdots +\frac{1}{2^{k+1}}$ și arătând că fiecare bloc are suma cel puțin $\frac{1}{2}$. Ce limită are șirul?

Răspunsuri și explicații

1. $a_{n+1}-a_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{3}{(n+1)(n+2)}>0$, deci strict crescător; iar $a_n=2-\frac{3}{n+1}<2$. Prin teorema lui Weierstrass, șirul este convergent (limita este $2$).

2. $a_n=\frac{n+3}{2n+1}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2(2n+1)}>\frac{1}{2}$, deci mărginit inferior de $\frac{1}{2}$; iar $\frac{5}{2(2n+1)}$ scade odată cu $n$, deci șirul este strict descrescător. Este convergent (limita este $\frac{1}{2}$).

3. Șirul este strict crescător, fiindcă $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1{)}^3}>0$. Cum $\frac{1}{k^3}\le \frac{1}{k^2}$ pentru $k\ge 1$, avem $a_n\le \frac{1}{1^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}<2$. Fiind monoton și mărginit, este convergent.

4. $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{n+1}$, care este subunitar pentru $n\ge 3$; deci șirul este strict descrescător de la rangul $3$ (primii termeni sunt $3$, $\frac{9}{2}$, $\frac{9}{2}$, $\frac{27}{8}$, …, cu $a_2=a_3$). Fiind și pozitiv, este mărginit inferior de $0$, deci convergent.

5. Fals. Contraexemplu: $a_n=(-1{)}^n$ este mărginit, dar nu are limită. Mărginirea singură nu asigură convergența; e nevoie și de monotonie.

6. Fals. Contraexemplu: $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$ converge la $0$, dar nu este nici crescător, nici descrescător. Reciproca teoremei lui Weierstrass nu este adevărată.

7. Adevărat. Este completarea de la §4: dacă e mărginit, limita e finită (Weierstrass); dacă nu, limita este $+\infty$ sau $-\infty$, după sensul monotoniei.

8. Inducție: $b_1=1<3$; dacă $b_n<3$, atunci $b_{n+1}=\frac{b_n+3}{2}<\frac{3+3}{2}=3$. Monotonia: $b_{n+1}-b_n=\frac{3-b_n}{2}>0$. Prin teorema lui Weierstrass șirul este convergent; trecând la limită în recurență, $\ell =\frac{\ell +3}{2}$, deci $\ell =3$.

9. Mărginit fără limită: $a_n=(-1{)}^n$. Mărginit, cu limită, dar nemonoton: $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$, care converge la $0$ oscilând.

10. $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{2n}\le 1$ pentru $n\ge 1$, cu egalitate doar la $n=1$; deci șirul este descrescător, iar de la rangul $2$ strict descrescător (primii doi termeni sunt egali: $a_1=a_2=\frac{1}{2}$, iar $a_3=\frac{3}{8}$). Fiind pozitiv, este mărginit inferior de $0$, deci convergent prin teorema lui Weierstrass.

11. Cantitatea la începutul zilei $n$ este $c_n=100\cdot {\left(0,9\right)}^{n-1}$. Șirul este strict descrescător (raportul consecutiv este $0,9<1$) și mărginit inferior de $0$, deci teorema lui Weierstrass garantează că este convergent: rezervorul se apropie de o cantitate-limită. (Aici limita se poate calcula și direct, cu limita lui $q^n$ pentru $|q|<1$: este $0$.)

12. Fiind crescător și mărginit superior, este convergent, iar limita lui este $\sup$ al mulțimii termenilor. Cum toți termenii sunt cel puțin $a_1=2$ și cel mult $7$, limita se află sigur în intervalul $[2,7]$.

13. Suma are $2n$ termeni, fiecare cel mult $\frac{1}{n+1}$, deci $a_n\le \frac{2n}{n+1}<2$.

14. Șirul aproximărilor zecimale prin lipsă ale lui $\sqrt{2}$ — $1,4$; $1,41$; $1,414$; … — este crescător și mărginit superior de $2$, iar toți termenii lui sunt numere raționale. Dacă ar exista o limită rațională, ar trebui să fie chiar $\sqrt{2}$, care nu este rațională. Deci în $\mathbb{Q}$ enunțul teoremei ar fi fals: lipsește exact proprietatea de completitudine a lui $\mathbb{R}$.

15. Raportul este $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n+2}{2n+3}<1$, deci șirul este strict descrescător. Toți termenii fiind pozitivi, este mărginit inferior de $0$. Prin teorema lui Weierstrass, este convergent.

16. Dacă $(a_n)$ este crescător și nemărginit superior, atunci pentru orice număr $\alpha$ există un termen $a_{n_1}>\alpha$; fiind crescător, toți termenii următori depășesc și ei pe $\alpha$, deci $a_n\to +\infty$. Exemplu: $a_n=\sqrt{n}$.

17. Din $a_n>0$ pentru orice $n$ și din trecerea la limită în inegalități rezultă $\ell \ge 0$ (inegalitatea strictă nu se păstrează la limită). Exemplu cu $\ell =0$: $a_n=\frac{1}{n}$. Exemplu cu $\ell >0$: $a_n=1+\frac{1}{n}$, cu $\ell =1$.

18. Șirul este crescător, fiindcă $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}>0$. Blocul $\frac{1}{2^k+1}+\cdots +\frac{1}{2^{k+1}}$ are $2^k$ termeni, fiecare cel puțin $\frac{1}{2^{k+1}}$, deci suma lui este cel puțin $\frac{2^k}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}$. Prin urmare $a_{2^m}\ge 1+\frac{m}{2}$, care crește nemărginit: șirul nu este mărginit superior. Fiind crescător și nemărginit, are limita $+\infty$ (completarea de la §4). Este exemplul care arată că mărginirea nu se poate presupune, ci trebuie demonstrată.

De reținut

• Teorema lui Weierstrass: orice șir monoton și mărginit este convergent. Se admite fără demonstrație.
• Limita unui șir crescător și mărginit superior este $\sup$ al mulțimii termenilor; a unuia descrescător și mărginit inferior, $\inf$.
• Completarea: orice șir monoton are limită în $\overline{\mathbb{R}}$; un șir monoton este convergent dacă și numai dacă este mărginit.
• Teorema dă existența, nu valoarea limitei. De aceea rezolvă cazuri în care nicio metodă de calcul nu funcționează.
• Ambele ipoteze sunt indispensabile ($a_n=n$ e monoton nemărginit; $a_n=(-1{)}^n$ e mărginit nemonoton), iar reciproca este falsă (un șir convergent poate fi nemonoton).

Greșeli frecvente

• Verifici o singură ipoteză. „Șirul e crescător, deci converge" este fals: $a_n=n$ e crescător și are limita $+\infty$. Ambele ipoteze se scriu și se justifică separat.
• Cauți plafonul greșit. Pentru un șir crescător ai nevoie de un majorant; a arăta că e mărginit inferior nu ajută cu nimic, pentru că asta se știe gratuit din monotonie.
• Crezi că teorema îți dă limita. Ea garantează doar existența. Dacă exercițiul cere valoarea, se calculează separat — de pildă trecând la limită în relația de recurență.
• Confunzi „are limită" cu „este convergent". Șirul $(n)$ are limită ($+\infty$), dar nu este convergent. Convergent înseamnă, prin definiție, cu limită finită.
• Păstrezi inegalitatea strictă la limită. Din $a_n>0$ pentru orice $n$ rezultă doar $\ell \ge 0$, nu $\ell >0$: șirul $\frac{1}{n}$ are toți termenii strict pozitivi și limita $0$.

Aplică acasă

1. Liftul din enunț, pe hârtie. Alege o mulțime de zece numere crescătoare între $0$ și $10$, care se apropie tot mai mult unele de altele (de exemplu $9$; $9,5$; $9,75$; …). Marchează-le pe o axă și încearcă să găsești, din desen, cea mai mică barieră care le ține pe toate. Ai construit chiar $\sup$ al mulțimii, adică limita din teoremă.

2. Rădăcina pătrată cu recurență. Pe un calculator de buzunar, pornește de la $1$ și apasă repetat tastele care calculează $\sqrt{2+x}$ pentru numărul afișat. Notează primele opt rezultate. Vei vedea cum șirul din Exemplul 5 urcă strict și se oprește la $2$ — teorema, verificată cu degetul.

3. Dobânda și plafonul. Caută pe un site bancar o ofertă de depozit cu capitalizare și scrie șirul sumelor de la sfârșitul fiecărei luni. Este crescător — dar este mărginit? Discută răspunsul cu un adult: distincția dintre „crește mereu" și „crește mărginit" este exact miezul lecției și, totodată, miezul oricărei decizii financiare.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce primul rezultat de existență din analiza matematică. Pentru elev, saltul conceptual este considerabil: până acum „a demonstra că un șir are limită" însemna „a găsi limita". De aici încolo, cele două lucruri se despart, iar teorema lui Weierstrass este instrumentul care le separă. Programa cere explicit ca teorema să fie dată fără demonstrație, iar lecția respectă această cerință, oferind în schimb intuiția și legătura cu proprietatea de completitudine a mulțimii numerelor reale.

Ce verifică lecția: (1) verificarea separată a monotoniei și a mărginirii, cu justificare pentru fiecare; (2) alegerea barierei potrivite sensului de monotonie; (3) distincția dintre „are limită" și „este convergent"; (4) capacitatea de a folosi teorema fără a cunoaște limita. Întrebări bune de control: „De ce nu ajunge monotonia?", „Ce barieră cauți pentru un șir descrescător?", „Ce îți dă teorema și ce nu îți dă?", „De ce enunțul ar fi fals în mulțimea numerelor raționale?".

La BAC M1, tiparul din Exemplul 6 apare frecvent, adesea cu produse de numere impare peste numere pare: se cere descreșterea prin raport, apoi mărginirea prin pozitivitate, apoi concluzia. Semne că elevul a înțeles: nu se blochează când nu poate calcula limita și scrie explicit „prin teorema lui Weierstrass, șirul este convergent". Continuarea imediată este lecția Numărul $e$, unde teorema devine chiar definiția unei constante fundamentale.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema lui Weierstrass pentru șiruri? Spune că orice șir de numere reale care este simultan monoton și mărginit este convergent, adică are limită finită. Ea se admite fără demonstrație, așa cum cere programa de clasa a XI-a.

De ce nu ajunge doar monotonia? Pentru că un șir crescător fără plafon poate urca la nesfârșit: $a_n=n$ este strict crescător și are limita $+\infty$, deci nu este convergent. Mărginirea este exact ceea ce oprește fuga spre infinit.

De ce nu ajunge doar mărginirea? Pentru că un șir mărginit poate oscila veșnic în interiorul benzii: $a_n=(-1{)}^n$ rămâne mereu între $-1$ și $1$ și nu are limită. Monotonia este cea care îi dă o direcție.

Teorema îmi spune și cât face limita? Nu. Ea garantează doar că limita există. Pentru un șir crescător și mărginit superior, limita este $\sup$ al mulțimii termenilor, dar acest lucru rareori te ajută la calcul. Valoarea se află separat — de exemplu trecând la limită în relația de recurență.

Cum arăt că un șir este mărginit? Cauți o barieră în sensul creșterii: un majorant pentru un șir crescător, un minorant pentru unul descrescător. Cealaltă barieră este gratuită: un șir crescător este mărginit inferior de primul său termen. Nu ai nevoie de cea mai bună barieră, ci de una pe care o poți justifica.

Un șir convergent este neapărat monoton? Nu. Reciproca teoremei este falsă: $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$ converge la $0$ oscilând de o parte și de alta a lui zero. Ce este însă adevărat este că orice șir convergent este mărginit.

Ce se întâmplă cu un șir monoton care nu este mărginit? Are tot limită, dar infinită: $+\infty$ dacă este crescător, $-\infty$ dacă este descrescător. Atenție la formulare — limita există în dreapta reală încheiată, dar șirul nu este convergent, pentru că nu are limită finită.