Tipuri de matrice. Transpusa: pe scurt

O matrice este pătratică dacă are tot atâtea linii câte coloane; numărul comun $n$ se numește ordinul ei. Diagonala principală este formată din elementele cu $i=j$, iar diagonala secundară din cele cu $i+j=n+1$. Atenție: diagonalele, ca aproape toate numele din această lecție, au sens numai în cazul pătratic — prima verificare este întotdeauna $m=n$.

Numele se citesc ca condiții pe indici: matricea nulă $O_{m,n}$ are toate elementele nule și există pentru orice format; matricea unitate $I_n$ are $1$ pe diagonala principală și $0$ în rest; o matrice diagonală verifică $a_{ij}=0$ pentru $i\ne j$; una scalară este diagonală, cu toate elementele diagonale egale între ele; una triunghiulară superioară are $a_{ij}=0$ pentru $i>j$, iar cea inferioară, $a_{ij}=0$ pentru $i<j$. Numele „superioară” vine de la locul numerelor, nu al zerourilor. Tipurile nu se exclud: $I_n$ este simultan diagonală, scalară, triunghiulară în ambele sensuri și simetrică.

Transpusa ${}^{t}A$ se obține scriind liniile drept coloane: dacă ${}^{t}A=(b_{ij})$, atunci $b_{ij}=a_{ji}$, iar formatul $m\times n$ devine $n\times m$. Întotdeauna ${}^t({}^{t}A)=A$. O matrice pătratică se numește simetrică dacă ${}^{t}A=A$, adică $a_{ij}=a_{ji}$: tabloul se oglindește în diagonala principală, ca o matrice de distanțe.

Exerciții din această mini-lecție

1. Matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right)$ este:

   • a) matricea unitate $I_3$
   • b) matrice scalară, dar nu matricea unitate
   • c) triunghiulară superioară, dar nu diagonală
   • d) matricea nulă $O_3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) matrice scalară, dar nu matricea unitate

   Toate elementele din afara diagonalei principale sunt nule, deci $A$ este diagonală, iar cele trei elemente diagonale sunt egale între ele, deci $A$ este scalară. Nu este $I_3$, pentru că matricea unitate cere valoarea comună $1$, nu $6$. Este și triunghiulară superioară, dar afirmația de la varianta c) o neagă pe cea corectă („dar nu diagonală”).

2. Dacă $A\in {\mathcal{M}}_{3,5}(\mathbb{C})$, atunci transpusa ${}^{t}A$ aparține mulțimii:

   • a) ${\mathcal{M}}_{3,5}(\mathbb{C})$
   • b) ${\mathcal{M}}_{15}(\mathbb{C})$
   • c) ${\mathcal{M}}_{5,3}(\mathbb{C})$
   • d) ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) ${\mathcal{M}}_{5,3}(\mathbb{C})$

   La transpunere liniile devin coloane, deci cele două dimensiuni se schimbă între ele: din $3\times 5$ se obține $5\times 3$. Formatul se păstrează doar la matricele pătratice, iar produsul $3\cdot 5=15$ numără elementele, nu dă un ordin.

3. Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}2& x-3& 5\\ 4& 1& y+2\\ 5& -3& 0\end{array}\right)$, cu $x,y\in \mathbb{R}$. Matricea este simetrică pentru:

   • a) $x=1$, $y=-1$
   • b) $x=4$, $y=-3$
   • c) $x=7$, $y=-1$
   • d) $x=7$, $y=-5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $x=7$, $y=-5$

   Simetria cere $a_{ij}=a_{ji}$ pe pozițiile simetrice: din $x-3=4$ rezultă $x=7$, din $y+2=-3$ rezultă $y=-5$, iar $a_{13}=a_{31}$ se verifică deja ($5=5$). Varianta $y=-1$ apare când se adună în loc să se scadă, iar $x=4$ când se uită termenul $-3$.