Tipuri de matrice: pătratică, nulă, unitate, diagonală, triunghiulară

În Tablouri de date și noțiunea de matrice ai văzut că un tablou devine obiect matematic în clipa în care poziția fiecărui element are un sens precis. Următorul pas e la fel de firesc ca în orice știință care lucrează cu multe obiecte: le clasificăm. Nu de dragul unei liste de nume, ci pentru că forma unei matrice prezice ce se poate face cu ea și cât de repede.

Un tablou plin de numere cere, la fiecare operație, tot atâtea calcule câte elemente are; unul cu multe zerouri, așezate ordonat, scurtează calculul de câteva ori. Lecția de față îți dă vocabularul complet — pătratică, nulă, unitate, diagonală, triunghiulară — plus o operație nouă, transpunerea, care schimbă liniile cu coloanele și care revine în tot capitolul, de la proprietățile determinanților până la sisteme.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este o matrice pătratică, ce înseamnă ordinul ei și unde se află diagonala principală și diagonala secundară.
• Vei ști să recunoști și să scrii matricea nulă $O_{m,n}$ și matricea unitate $I_n$, cu notațiile lor corecte.
• Vei ști ce este o matrice diagonală, o matrice scalară și o matrice triunghiulară (superioară sau inferioară).
• Vei ști să calculezi transpusa ${}^{t}A$ a unei matrice și să folosești proprietatea ${}^t({}^{t}A)=A$.
• Vei ști să recunoști o matrice simetrică din condiția ${}^{t}A=A$.
• Vei ști să determini valorile unui parametru pentru care o matrice dată devine de un tip cerut.

Hai să descoperim împreună

1. De ce clasificăm tablourile

Uită-te la cele două matrice de mai jos, ambele din ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 5& 3& 4\\ -2& 7& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right).$$

Ambele au nouă elemente, dar a doua conține doar trei numere nenule, așezate pe o linie oblică precisă. Toate operațiile pe care le vei învăța devin, pentru $D$, mult mai scurte decât pentru $A$. Numele tipurilor de matrice sunt, practic, numele acestor scurtături.

2. Matricea pătratică. Cele două diagonale

Definiție. O matrice se numește pătratică dacă are tot atâtea linii câte coloane. Numărul comun $n$ se numește ordinul matricei, iar mulțimea acestora se notează ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$.

Într-o matrice pătratică de ordin $n$ se disting două șiruri speciale de elemente:

• diagonala principală — elementele $a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}$, adică cele cu cei doi indici egali, $i=j$; ea coboară din colțul din stânga sus către colțul din dreapta jos;
• diagonala secundară — elementele $a_{1n},a_{2,n-1},\dots ,a_{n1}$, adică cele cu $i+j=n+1$; ea urcă din colțul din stânga jos către colțul din dreapta sus.

Pentru matricea $A$ de mai sus, diagonala principală este $2,3,1$, iar cea secundară este $0,3,-2$. Sumele lor sunt $2+3+1=6$ și $0+3-2=1$.

Atenție la o capcană de vocabular. Diagonalele se definesc numai pentru matrice pătratice. Într-o matrice de tip $2\times 5$ nu există „diagonală principală", chiar dacă elementele $a_{11}$ și $a_{22}$ există; expresia nu are sens în afara cazului $m=n$.

3. Matricea nulă

Definiție. Matricea în care toate elementele sunt egale cu $0$ se numește matrice nulă și se notează $O_{m,n}$; când este pătratică de ordin $n$, se scrie simplu $O_n$.

$$O_{2,3}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),O_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

Notația se scrie cu litera O mare, nu cu cifra zero, ca să nu confunzi un tablou cu un număr. Există câte o matrice nulă pentru fiecare format: $O_{2,3}$ și $O_3$ sunt obiecte diferite. Rolul ei se vede în Egalitatea matricelor. Adunarea și scăderea matricelor: la adunare, matricea nulă se comportă exact ca numărul $0$.

4. Matricea unitate

Definiție. Se numește matrice unitate de ordin $n$ matricea pătratică $I_n$ care are $1$ pe toată diagonala principală și $0$ în rest:

$$I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),I_4=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Condiția, scrisă pe elemente: $a_{ii}=1$ pentru orice $i$, și $a_{ij}=0$ pentru $i\ne j$. Matricea unitate există numai în cazul pătratic — nu se scrie niciodată $I_{2,3}$. Ea va juca, la înmulțirea matricelor, exact rolul pe care îl joacă numărul $1$ la înmulțirea numerelor, iar din acest motiv apare în definiția puterii unei matrice (prin convenție $A^0=I_n$) și în criteriul de inversabilitate; vezi Puterea unei matrice pătratice și Matrice inversabilă: definiție și criteriul determinantului.

5. Matrice diagonală și matrice scalară

Definiție. O matrice pătratică se numește diagonală dacă toate elementele din afara diagonalei principale sunt nule, adică $a_{ij}=0$ pentru orice $i\ne j$. Pe diagonală poate sta orice, inclusiv zerouri.

Matricea $D$ din prima subsecțiune este diagonală. La fel sunt $I_n$ și $O_n$ — ambele sunt cazuri particulare, ceea ce arată că tipurile de matrice nu se exclud între ele: o matrice poate fi în același timp diagonală, triunghiulară superioară și triunghiulară inferioară.

Definiție. O matrice diagonală în care toate elementele diagonalei principale sunt egale între ele se numește matrice scalară:

$$S=\left(\begin{array}{ccc}7& 0& 0\\ 0& 7& 0\\ 0& 0& 7\end{array}\right).$$

Matricea unitate este matricea scalară cu valoarea comună $1$, iar matricea nulă pătratică este cea cu valoarea comună $0$.

6. Matrice triunghiulare

Definiție. O matrice pătratică se numește triunghiulară superioară dacă toate elementele de sub diagonala principală sunt nule, adică $a_{ij}=0$ pentru $i>j$; și triunghiulară inferioară dacă toate elementele de deasupra diagonalei principale sunt nule, adică $a_{ij}=0$ pentru $i<j$.

$$T=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& -3\\ 0& 2& 6\\ 0& 0& -5\end{array}\right)\text{(superioara˘)},U=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ -1& 3& 0\\ 4& 7& 6\end{array}\right)\text{(inferioara˘)}.$$

Reține regula de memorare: numele vine de la locul unde se află numerele, nu zerourile. La cea superioară, „triunghiul plin" stă deasupra diagonalei; la cea inferioară, dedesubt. Confuzia dintre cele două este greșeala clasică a acestei subsecțiuni.

O matrice este în același timp triunghiulară superioară și inferioară exact atunci când este diagonală: dacă $a_{ij}=0$ și pentru $i>j$, și pentru $i<j$, atunci singurele elemente care pot fi nenule sunt cele cu $i=j$.

Formele triunghiulare nu sunt un capriciu de clasificare: metoda lui Gauss, pe care o vei învăța la sisteme, constă tocmai în a transforma un tablou oarecare într-unul triunghiular, pentru că de acolo soluțiile se citesc urcând de jos în sus.

7. Transpusa unei matrice

Până acum am descris matrice. Acum construim una nouă dintr-una dată.

Definiție. Fie $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$. Se numește transpusa lui $A$ matricea notată ${}^{t}A\in {\mathcal{M}}_{n,m}(\mathbb{C})$ obținută din $A$ schimbând liniile cu coloanele: linia $i$ a lui $A$ devine coloana $i$ a lui ${}^{t}A$. Pe elemente, dacă ${}^{t}A=(b_{ij})$, atunci

$$b_{ij}=a_{ji}\text{pentru orice }i,j.$$

Observă schimbarea de format: dacă $A$ este de tip $m\times n$, transpusa ei este de tip $n\times m$. Pentru

$$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})\text{avem}{}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R}).$$

Notația se scrie cu $t$ mic, în stânga sus: ${}^{t}A$. Aceasta este notația folosită în manualele românești și în subiectele de Bacalaureat M1; formele $A^T$ sau $A^{\prime }$, întâlnite în cărți străine, nu se folosesc aici.

Proprietate. Pentru orice matrice $A$ avem ${}^t({}^{t}A)=A$.

Demonstrație. Fie ${}^{t}A=(b_{ij})$, cu $b_{ij}=a_{ji}$, și fie ${}^t({}^{t}A)=(c_{ij})$. Din definiție, $c_{ij}=b_{ji}$, iar $b_{ji}=a_{ij}$. Deci $c_{ij}=a_{ij}$ pentru orice $i$ și $j$, adică cele două matrice au același format și aceleași elemente pe fiecare poziție. $■$

Transpunerea schimbă între ele și cele două tipuri triunghiulare: dacă $a_{ij}=0$ pentru $i>j$, atunci elementul lui ${}^{t}A$ de pe poziția $(i,j)$ este $a_{ji}$, care este nul pentru $j>i$, adică pentru $i<j$. Prin urmare transpusa unei matrice triunghiulare superioare este triunghiulară inferioară (și invers), iar transpusa unei matrice diagonale este ea însăși.

Ultima observație merită un nume: o matrice pătratică pentru care ${}^{t}A=A$, adică $a_{ij}=a_{ji}$ pentru orice $i$ și $j$, se numește matrice simetrică — tabloul se oglindește în diagonala principală, ca matricea distanțelor dintre orașe.

Celelalte proprietăți ale transpusei, cele care o leagă de adunare și de înmulțire, apar odată cu operațiile respective; forma cerută la determinanți se găsește în Proprietățile determinanților (I): transpusa, linii nule, factor comun.

8. Sinteza tipurilor

Citirea tabelului: singurul tip care are sens pentru orice format este matricea nulă; toate celelalte cer $m=n$. Iar tipurile se pot suprapune — $I_n$ este simultan diagonală, scalară, triunghiulară superioară, triunghiulară inferioară și simetrică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoașterea tipului

Precizați tipul fiecăreia dintre matricele $$P=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),Q=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 2& -3& 0\\ 1& 4& 7\end{array}\right),R=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 6\end{array}\right),S=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right).$$

Rezolvare. $P=O_2$ este matricea nulă de ordin $2$; fiind pătratică cu toate elementele nule, este totodată diagonală, scalară și ambele feluri de triunghiulară.

$Q$ este pătratică de ordin $3$ și are $q_{12}=q_{13}=q_{23}=0$, adică toate elementele de deasupra diagonalei sunt nule: este triunghiulară inferioară.

$R$ este diagonală, cu ambele elemente de pe diagonală egale cu $6$, deci este scalară (dar nu este matricea unitate, pentru că valoarea comună nu este $1$).

$S$ este de tip $2\times 3$, deci nu este pătratică; pentru ea nu are sens niciunul dintre celelalte nume.

Exemplul 2 — Diagonalele unei matrice de ordin 4

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cccc}3& -1& 0& 2\\ 5& 4& 7& -6\\ 1& 0& -2& 8\\ 9& 3& 4& 5\end{array}\right)$. Scrieți elementele celor două diagonale și calculați suma fiecăreia.

Rezolvare. Diagonala principală este formată din elementele cu $i=j$: $a_{11}=3$, $a_{22}=4$, $a_{33}=-2$, $a_{44}=5$, cu suma $3+4-2+5=10$.

Diagonala secundară este formată din elementele cu $i+j=5$: $a_{14}=2$, $a_{23}=7$, $a_{32}=0$, $a_{41}=9$, cu suma $2+7+0+9=18$.

Control: fiecare diagonală conține exact $n=4$ elemente, câte unul de pe fiecare linie și de pe fiecare coloană.

Exemplul 3 — Scrierea matricelor speciale

Scrieți $I_3$, $O_{2,3}$ și matricea diagonală de ordin $3$ cu elementele diagonale $-1$, $0$ și $4$.

Rezolvare.

$$I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),O_{2,3}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right).$$

Observă că $D$ rămâne matrice diagonală chiar dacă unul dintre elementele diagonalei este $0$: definiția cere ca elementele din afara diagonalei să fie nule, nu ca cele de pe diagonală să fie nenule.

Exemplul 4 — Transpuse

Calculați ${}^{t}C$ pentru $C=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 0& 5\\ 1& 4\end{array}\right)$ și verificați că ${}^t({}^{t}C)=C$.

Rezolvare. Matricea $C$ este de tip $3\times 2$, deci transpusa ei este de tip $2\times 3$. Prima linie a lui ${}^{t}C$ este prima coloană a lui $C$, adică $2,0,1$; a doua linie este a doua coloană a lui $C$, adică $-3,5,4$:

$${}^{t}C=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ -3& 5& 4\end{array}\right).$$

Transpunând încă o dată, prima linie a rezultatului este prima coloană a lui ${}^{t}C$, adică $2,-3$; a doua este $0,5$; a treia este $1,4$. Obținem exact matricea $C$, ceea ce confirmă proprietatea ${}^t({}^{t}C)=C$.

Exemplul 5 — Matrice cu parametru

Determinați $x\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ x^2-9& 4& 0\\ 0& x+3& 2\end{array}\right)$ este diagonală.

Rezolvare. Matricea este, pentru orice $x$, triunghiulară inferioară. Ea devine diagonală exact când toate elementele din afara diagonalei principale sunt nule. Cele care nu sunt deja nule prin scriere sunt $a_{21}=x^2-9$ și $a_{32}=x+3$, deci condițiile sunt

$$x^2-9=0\text{și}x+3=0.$$

Prima are soluțiile $x=3$ și $x=-3$; a doua are unica soluție $x=-3$. Cum ambele condiții trebuie îndeplinite simultan, rămâne $x=-3$.

Verificare: pentru $x=-3$ obținem $a_{21}=9-9=0$ și $a_{32}=0$, deci $A(-3)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$, care este într-adevăr diagonală. Pentru $x=3$ am avea $a_{32}=6\ne 0$, deci valoarea nu convine.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& a+1& 3\\ 4& 2& b-1\\ 3& 5& 0\end{array}\right)$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. a) Scrieți transpusa matricei $A$. b) Determinați $a$ și $b$ pentru care ${}^{t}A=A$.

Rezolvare. a) Liniile lui $A$ devin coloanele transpusei:

$${}^{t}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 3\\ a+1& 2& 5\\ 3& b-1& 0\end{array}\right).$$

b) Condiția ${}^{t}A=A$ înseamnă egalitatea elementelor de pe fiecare poziție, adică $a_{ij}=a_{ji}$. Perechile de poziții simetrice dau: $a+1=4$, apoi $3=3$ (verificată), apoi $b-1=5$. Rezultă

$$a=3,b=6.$$

Verificare: pentru aceste valori, $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 3\\ 4& 2& 5\\ 3& 5& 0\end{array}\right)$, tablou care se oglindește în diagonala principală, deci este simetric.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, verifică întâi dacă matricea este pătratică — jumătate dintre denumirile din lecție nu au sens altfel.

1. Scrie matricea nulă $O_{3,2}$ și matricea nulă $O_4$. Câte elemente are fiecare?

2. Scrie matricea unitate $I_5$ și precizează câte elemente nenule are.

3. Pentru $A=\left(\begin{array}{cccc}7& 0& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0\\ 2& 5& 4& 0\\ 8& 0& 6& 9\end{array}\right)$, precizează tipul matricei și calculează suma elementelor de pe diagonala principală.

4. Calculează ${}^{t}C$ pentru $C=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 0& 5\\ 1& 4\end{array}\right)$ și precizează formatul rezultatului.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice matrice diagonală este și triunghiulară superioară."

6. Scrie o matrice de ordin $3$ care să fie triunghiulară superioară, dar nu diagonală, și una care să fie diagonală, dar nu scalară.

7. Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 5\\ 0& 3& -4\\ 6& 7& 2\end{array}\right)$, scrie elementele diagonalei secundare și calculează suma lor.

8. (Problemă aplicată.) Într-o rețea de patru calculatoare, $a_{ij}=1$ dacă există cablu direct între calculatorul $i$ și calculatorul $j$, iar $a_{ii}=0$. Explică de ce matricea obținută este întotdeauna simetrică și scrie un exemplu în care fiecare calculator este legat de exact două altele.

9. Determină $x\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{cc}2& x-5\\ 0& 3\end{array}\right)$ este diagonală.

10. Determină $x,y\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{ccc}2& x-1& 5\\ 3& 7& y+2\\ 5& -1& 0\end{array}\right)$ este simetrică.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $A$ este de tip $2\times 5$, atunci ${}^{t}A$ este tot de tip $2\times 5$."

12. Câte elemente ale unei matrice pătratice de ordin $5$ se află în afara diagonalei principale?

13. Scrie matricea scalară de ordin $3$ cu valoarea comună $-2$ și explică de ce ea nu este matricea unitate.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}4& m+2\\ 1& -3\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Scrieți ${}^{t}A$. b) Determinați $m$ pentru care $A$ este simetrică. c) Determinați $m$ pentru care $A$ este triunghiulară superioară.

15. Arată că, dacă $A$ este triunghiulară superioară, atunci ${}^{t}A$ este triunghiulară inferioară, folosind condiția pe elemente.

16. Fie $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, cu $a_{ij}=i-j$. Scrie matricea $A$, apoi scrie ${}^{t}A$ și compară cele două tablouri.

17. O matrice pătratică de ordin $3$ este în același timp triunghiulară superioară și triunghiulară inferioară. Ce se poate spune despre ea? Justifică.

18. (Provocare.) Câte matrice diagonale de ordin $3$ au toate elementele în mulțimea $\{0,1\}$? Dar câte matrice triunghiulare superioare de ordin $3$ cu elemente din aceeași mulțime?

Răspunsuri și explicații

1. $O_{3,2}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ are $6$ elemente, iar $O_4$ este tabloul $4\times 4$ plin cu zerouri, cu $16$ elemente. Deși ambele „conțin doar zerouri", sunt matrice diferite, pentru că au formate diferite.

2. $I_5$ are $1$ pe fiecare poziție cu $i=j$ și $0$ în rest, deci exact $5$ elemente nenule dintr-un total de $25$.

3. Toate elementele de deasupra diagonalei principale sunt nule, deci matricea este triunghiulară inferioară. Suma cerută este $7+(-1)+4+9=19$.

4. ${}^{t}C=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ -3& 5& 4\end{array}\right)$, de tip $2\times 3$ — transpunerea schimbă între ele numărul de linii și cel de coloane.

5. Adevărat. Într-o matrice diagonală avem $a_{ij}=0$ pentru orice $i\ne j$, deci în particular pentru $i>j$, adică pentru toate elementele de sub diagonala principală. Din același motiv, ea este și triunghiulară inferioară.

6. De exemplu $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$ (triunghiulară superioară, dar are elemente nenule deasupra diagonalei) și $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$ (diagonală, dar valorile de pe diagonală nu sunt egale, deci nu e scalară).

7. Elementele cu $i+j=4$: $a_{13}=5$, $a_{22}=3$, $a_{31}=6$. Suma lor este $5+3+6=14$.

8. Dacă între calculatoarele $i$ și $j$ există cablu, atunci același cablu leagă și $j$ de $i$, deci $a_{ij}=a_{ji}=1$; în lipsa cablului ambele sunt $0$. Condiția $a_{ij}=a_{ji}$ este exact definiția simetriei. Un exemplu cu fiecare calculator legat de exact două altele (cablurile $1$–$2$, $2$–$3$, $3$–$4$, $4$–$1$): $\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right)$.

9. Singurul element din afara diagonalei care nu este deja nul este $a_{12}=x-5$. Condiția $x-5=0$ dă $x=5$.

10. Simetria cere $a_{12}=a_{21}$ și $a_{23}=a_{32}$ (poziția $(1,3)$ este deja în regulă, $5=5$). Din $x-1=3$ rezultă $x=4$, iar din $y+2=-1$ rezultă $y=-3$.

11. Fals. Transpusa unei matrice de tip $2\times 5$ este de tip $5\times 2$: liniile devin coloane, deci cele două dimensiuni se schimbă între ele. Formatul se păstrează doar la matricele pătratice.

12. Matricea are $5\cdot 5=25$ de elemente, dintre care $5$ pe diagonala principală. Rămân $25-5=20$ de elemente în afara ei. (În general, $n^2-n$.)

13. Matricea este $\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$. Ea nu este matricea unitate pentru că $I_3$ cere valoarea $1$ pe diagonală; $I_n$ este singura matrice scalară cu această valoare comună.

14. a) ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ m+2& -3\end{array}\right)$. b) Simetria cere $m+2=1$, deci $m=-1$. c) Triunghiulară superioară înseamnă că elementul de sub diagonală este nul; aici acel element este $1$, care nu depinde de $m$ și nu este zero. Prin urmare nu există niciun $m$ pentru care $A$ să fie triunghiulară superioară.

15. Fie $A$ triunghiulară superioară, deci $a_{ij}=0$ ori de câte ori $i>j$. Elementul de pe poziția $(i,j)$ al lui ${}^{t}A$ este $a_{ji}$, care este nul ori de câte ori $j>i$, adică ori de câte ori $i<j$. Aceasta este exact condiția de matrice triunghiulară inferioară.

16. Pentru $i=1$: $0,-1,-2$; pentru $i=2$: $1,0,-1$; pentru $i=3$: $2,1,0$. Deci $A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -2\\ 1& 0& -1\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$ și ${}^{t}A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ -1& 0& 1\\ -2& -1& 0\end{array}\right)$. Cele două tablouri au aceleași numere, dar cu semnele schimbate pe pozițiile simetrice: aici $a_{ji}=-a_{ij}$, deci $A$ nu este simetrică.

17. Ea este diagonală. Din prima condiție, $a_{ij}=0$ pentru $i>j$; din a doua, $a_{ij}=0$ pentru $i<j$. Rămân posibil nenule doar elementele cu $i=j$, adică exact cele de pe diagonala principală.

18. O matrice diagonală de ordin $3$ este determinată de cele $3$ elemente de pe diagonală, fiecare cu $2$ alegeri: $2^3=8$ matrice. O matrice triunghiulară superioară de ordin $3$ are $6$ poziții libere (cele cu $i\le j$), deci $2^6=64$ de matrice.

De reținut

• O matrice este pătratică dacă $m=n$; ordinul ei este $n$, iar diagonala principală este dată de elementele cu $i=j$, cea secundară de cele cu $i+j=n+1$.
• $O_{m,n}$ are toate elementele nule și există pentru orice format; $I_n$ are $1$ pe diagonala principală și $0$ în rest și există doar în cazul pătratic.
• Diagonală înseamnă $a_{ij}=0$ pentru $i\ne j$; triunghiulară superioară înseamnă $a_{ij}=0$ pentru $i>j$; inferioară înseamnă $a_{ij}=0$ pentru $i<j$.
• Transpusa ${}^{t}A$ schimbă liniile cu coloanele: $b_{ij}=a_{ji}$, iar formatul $m\times n$ devine $n\times m$; întotdeauna ${}^t({}^{t}A)=A$.
• O matrice pătratică este simetrică dacă ${}^{t}A=A$, adică $a_{ij}=a_{ji}$ pentru orice $i$ și $j$.

Greșeli frecvente

• Inversarea celor două tipuri triunghiulare. „Superioară" se referă la locul unde stau numerele, deasupra diagonalei, nu zerourile. Verifică pe un exemplu de ordin $2$ înainte de a răspunde.
• Confuzia dintre diagonală și scalară. Orice matrice scalară este diagonală, dar reciproca este falsă: la scalară, elementele de pe diagonală trebuie să fie egale între ele.
• Folosirea numelor pentru matrice nepătratice. Într-o matrice $2\times 5$ nu există diagonală principală, matrice unitate sau formă triunghiulară. Prima verificare este întotdeauna $m=n$.
• Notarea greșită a transpusei. Se scrie ${}^{t}A$, cu $t$ mic în stânga sus, nu $A^T$ și nu $A^{\prime }$. La transpunere se schimbă și formatul: $m\times n$ devine $n\times m$.
• Confuzia $O_n$ cu numărul $0$ și $I_n$ cu numărul $1$. Ele sunt matrice, nu numere: nu se pot aduna cu un scalar și nu au sens fără precizarea ordinului.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de zerouri. Ia trei tablouri de date din viața ta (orar, tabel de scoruri, tabel de prezență) și scrie-le ca matrice. Verifică pentru fiecare dacă este pătratică și dacă intră în vreunul dintre tipurile din lecție.

2. Transpune un tabel. Ia un tabel cu $4$ linii și $2$ coloane și rescrie-l transpus. Explică în cuvinte ce înseamnă noua formă: ce erau liniile și ce au devenit.

3. Matricea drumurilor. Construiește matricea legăturilor directe dintre cinci stații de autobuz din orașul tău, cu $1$ pentru „există legătură directă" și $0$ altfel. Verifică dacă tabloul este simetric și explică ce ar însemna, în realitate, un tablou nesimetric.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează vocabularul care se folosește apoi în tot capitolul de algebră. Miza reală nu este memorarea celor șapte nume, ci deprinderea de a citi o condiție pe indici: „$a_{ij}=0$ pentru $i>j$" trebuie tradus instantaneu în „zerourile stau sub diagonală". Elevii care nu fac această traducere automat pierd timp la fiecare exercițiu cu parametru.

De verificat în caiet: (1) înainte de a numi tipul, elevul verifică dacă matricea este pătratică; (2) transpusa este scrisă ${}^{t}A$ și cu formatul schimbat; (3) la exercițiile cu parametru se scriu toate condițiile și se ia intersecția soluțiilor, nu reuniunea; (4) elevul poate da exemple care arată că tipurile se suprapun ($I_n$ este și diagonală, și triunghiulară în ambele sensuri).

Întrebări de control: „Unde e diagonala secundară?"; „Ce format are transpusa unei matrice $3\times 5$?"; „Ce înseamnă că o matrice e simetrică?"; „Poate o matrice $2\times 3$ să fie diagonală?". Semn că a înțeles: elevul justifică fiecare încadrare prin condiția pe indici, nu prin aspectul tabloului.

La BAC M1, aceste noțiuni apar mai ales ca ipoteze sau ca cerințe intermediare: „determinați $m$ pentru care matricea este simetrică", „scrieți transpusa matricei", „arătați că matricea este diagonală". Ele nu formează, de regulă, o problemă întreagă, dar apar în interiorul aproape oricărei probleme de algebră a clasei.

Întrebări frecvente

Ce este o matrice pătratică? O matrice cu tot atâtea linii câte coloane. Numărul comun se numește ordinul matricei, iar mulțimea lor se notează ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Numai matricele pătratice au diagonale, formă triunghiulară sau simetrie.

Unde se află diagonala principală și unde cea secundară? Diagonala principală conține elementele cu indici egali, $a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}$, și coboară din stânga sus spre dreapta jos. Diagonala secundară conține elementele cu $i+j=n+1$ și urcă din stânga jos spre dreapta sus.

Care este diferența dintre matricea nulă și matricea unitate? $O_{m,n}$ are toate elementele egale cu $0$ și există pentru orice format. $I_n$ are $1$ pe diagonala principală și $0$ în rest și există numai pentru matrice pătratice.

Ce este o matrice diagonală? O matrice pătratică în care toate elementele din afara diagonalei principale sunt nule. Pe diagonală pot sta orice numere, inclusiv zerouri — condiția se referă doar la restul tabloului.

Cum recunosc o matrice triunghiulară superioară? Toate elementele de sub diagonala principală sunt nule, adică $a_{ij}=0$ pentru $i>j$. Numele vine de la triunghiul de numere care rămâne deasupra diagonalei.

Cum se calculează transpusa unei matrice? Se scriu liniile matricei drept coloane, în aceeași ordine: elementul de pe poziția $(i,j)$ al transpusei este $a_{ji}$. O matrice de tip $m\times n$ are transpusa de tip $n\times m$, iar ${}^t({}^{t}A)=A$.

Când este o matrice simetrică? Când este pătratică și ${}^{t}A=A$, adică $a_{ij}=a_{ji}$ pentru orice pereche de indici. Tabloul se oglindește în diagonala principală — cum se întâmplă, de exemplu, la o matrice de distanțe.

Cum apar aceste tipuri la Bacalaureat M1? Cel mai des ca cerință intermediară: scrierea transpusei, determinarea unui parametru pentru care matricea devine simetrică sau diagonală, recunoașterea lui $I_n$ într-o ecuație matriceală. Rareori formează o problemă întreagă, dar apar în aproape toate.