Transferul de structură: pe scurt

Transferul de structură înseamnă mutarea unei probleme dintr-un grup $G$ într-un grup izomorf $G^{\prime }$, rezolvarea ei acolo unde calculul e simplu și întoarcerea răspunsului cu $f^{-1}$, care este tot izomorfism. Temeiul lui este cuprins în patru propoziții. Propoziția 1: $f(e)=e^{\prime }$, $f\left(x^{-1}\right)=f(x{)}^{-1}$, $f\left(x^m\right)=f(x{)}^m$. Propoziția 2: $\mathrm{ord}(f(x))=\mathrm{ord}(x)$. Propoziția 3: comutativitatea și ciclicitatea se transferă. Propoziția 4 (transferul soluțiilor): ecuațiile $x^m=a$ în $G$ și $y^m=f(a)$ în $G^{\prime }$ au același număr de soluții, care se corespund prin $f$ — amănuntul care face metoda riguroasă, nu doar ingenioasă. Nu se transferă nimic din natura concretă a obiectelor.

Obiectul de lucru este $G=\left\{A(a,b)\mid a,b\in \mathbb{R},a^2+b^2\ne 0\right\}$, cu $A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$, grup comutativ față de înmulțire, cu $A(a,b)A(c,d)=A(ac-bd,ad+bc)$ și $\det A(a,b)=a^2+b^2$. Comparând cu $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$, se vede izomorfismul $\phi :{\mathbb{C}}^{\ast }\to G$, $\phi (a+bi)=A(a,b)$, prin care $\det \phi (z)=|z{|}^2$ și $\phi (\rho (\cos \theta +i\sin \theta ))=\rho R(-\theta )$. Ecuația $X^n=B$ are atunci exact $n$ soluții, găsite cu rădăcinile de ordinul $n$ ale unui număr complex; iar puterile mari de matrice se calculează cu formula lui Moivre.

Exerciții din această mini-lecție

1. Câte soluții are, în grupul $G$ al matricelor $A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ nenule, ecuația $X^5=\left(\begin{array}{cc}0& 32\\ -32& 0\end{array}\right)$?

   • a) una singură
   • b) două
   • c) cinci
   • d) treizeci și două
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) cinci

   Membrul drept este $A(0,32)=\phi (32i)$, deci ecuația se transferă în ${\mathbb{C}}^{\ast }$ sub forma $z^5=32i$. Orice număr complex nenul are exact cinci rădăcini de ordinul $5$, distincte două câte două, iar Propoziția 4 spune că numărul soluțiilor se păstrează prin izomorfism. Sunt deci exact $5$ soluții matriceale. Numărul lor face parte din răspuns și se punctează separat.

2. Prin izomorfismul $\phi (a+bi)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$, numărului complex $z=3-4i$ îi corespunde matricea:

   • a) $\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 4& 3\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -4& 3\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ -3& -4\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ -4& 3\end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 4& 3\end{array}\right)$

   Aici $a=3$ și $b=-4$, deci matricea este $A(3,-4)=\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 4& 3\end{array}\right)$: partea reală pe diagonala principală, partea imaginară sus-dreapta și opusul ei jos-stânga. Varianta a doua corespunde lui $3+4i$, a treia inversează rolurile lui $a$ și $b$, iar a patra este simetrică, deci nu are forma cerută.

3. Pentru orice $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$, determinantul matricei $\phi (z)$ este egal cu:

   • a) $|z|$
   • b) $|z{|}^2$
   • c) $2|z|$
   • d) $z^2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $|z{|}^2$

   Dacă $z=a+bi$, atunci $\phi (z)=A(a,b)$ și $\det A(a,b)=a\cdot a-b\cdot (-b)=a^2+b^2=|z{|}^2$. Este traducerea care permite exprimarea unei condiții despre determinant printr-una despre modul — pasul fără de care cerințele de tipul „arătați că toate soluțiile au determinantul $4$” nu s-ar putea transfera.