Transferul de structură prin izomorfism; ecuații matriceale rezolvate cu numere complexe

Cere-i cuiva să rezolve ecuația $X^3=\left(\begin{array}{cc}0& 8\\ -8& 0\end{array}\right)$ în mulțimea matricelor de ordinul al doilea și, cel mai probabil, va scrie $X=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$, va ridica la puterea a treia și se va îneca într-un sistem cu patru necunoscute și grad trei. Există însă un drum de câteva rânduri: se observă că matricea din dreapta trăiește într-un grup izomorf cu grupul numerelor complexe nenule, se mută ecuația acolo, unde ea devine $z^3=8i$ și se rezolvă cu rădăcinile de ordinul $3$, iar soluțiile se aduc înapoi. Acesta este transferul de structură prin izomorfism, tema lecției de față din programa de clasa a 12-a, matematică-informatică. Transferul de structură este metoda prin care un calcul greu dintr-un grup se face în alt grup, izomorf cu el, unde este ușor: izomorfismul duce enunțul dincolo, iar inversa lui aduce soluțiile înapoi.

Ideea e simplă și adâncă deopotrivă. Un izomorfism nu doar arată că două grupuri „seamănă": el mută fiecare enunț de calcul dintr-un grup în celălalt, cu tot cu răspunsul lui. Ai construit izomorfisme concrete la izomorfisme remarcabile: translații și rotații; acum le punem la muncă. Programa cere exact această aplicație, la competența XII.CS.6.2, iar tipul de problemă apare la Bacalaureat M1 în Subiectul al II-lea.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să demonstrezi ce anume transferă un izomorfism: neutrul, inversul, puterile, ordinul, comutativitatea.
• Vei ști să demonstrezi propoziția de transfer al soluțiilor: ecuațiile $x^m=a$ și $y^m=f(a)$ au tot atâtea soluții.
• Vei ști să arăți că mulțimea matricelor de forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$, cu $a^2+b^2\ne 0$, este grup multiplicativ.
• Vei ști să construiești izomorfismul dintre acest grup și $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ și să-i verifici cele două condiții.
• Vei ști să rezolvi ecuații matriceale de tipul $X^n=B$ trecând prin rădăcinile de ordinul $n$ ale unui număr complex.
• Vei ști să folosești transferul și în sens invers: puteri de matrice calculate cu formula lui Moivre și ecuații pe intervale.

Hai să descoperim împreună

1. Ce transferă un izomorfism?

Transferul de structură este procedeul prin care o problemă formulată într-un grup $G$ se traduce, printr-un izomorfism $f:G\to G^{\prime }$, într-o problemă echivalentă din grupul $G^{\prime }$, se rezolvă acolo unde calculul este mai simplu, iar soluțiile obținute se aduc înapoi în $G$ cu ajutorul funcției inverse $f^{-1}$, care este la rândul ei izomorfism.

Ca să avem dreptul să facem asta, trebuie să știm exact ce se păstrează. Fie deci $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ un izomorfism de grupuri, cu elementele neutre $e$ și $e^{\prime }$.

Propoziția 1. Pentru orice $x\in G$ și orice $m\in \mathbb{Z}$ au loc:

$$f(e)=e^{\prime },f\left(x^{-1}\right)=f(x{)}^{-1},f\left(x^m\right)=f(x{)}^m.$$

Primele două au fost demonstrate la morfisme de grupuri și sunt valabile pentru orice morfism; a treia se obține prin inducție pentru $m\ge 1$, este chiar definiția pentru $m=0$ și rezultă din a doua pentru $m$ negativ.

Propoziția 2. Un izomorfism păstrează ordinul fiecărui element: $\mathrm{ord}(f(x))=\mathrm{ord}(x)$. Într-adevăr, $x^m=e$ dacă și numai dacă $f(x{)}^m=f(x^m)=f(e)=e^{\prime }$, ultima echivalență fiind adevărată pentru că $f$ e injectivă. Deci cele două elemente au exact aceiași exponenți care le anulează, prin urmare și același cel mai mic exponent nenul.

Merită spus și ce nu se transferă, pentru că aici se nasc erorile. Un izomorfism mută tot ce se poate exprima prin operație: relații de tipul $x^m=a$, ordine, comutativitate, structura subgrupurilor, numărul de soluții ale unei ecuații. Nu mută, în schimb, nimic din natura concretă a obiectelor: că elementele sunt matrice, că au determinantul $5$, că sunt numere pozitive. Un enunț de tipul „arătați că toate soluțiile au determinantul egal cu $2$" nu se rezolvă prin simplu transfer, ci cere să traduci mai întâi determinantul într-o mărime exprimabilă în grupul-țintă — cum vom face imediat, când vom vedea că determinantul devine pătratul modulului.

Propoziția 3. Dacă $G$ este comutativ, atunci și $G^{\prime }$ este comutativ; dacă $G$ este ciclic, atunci și $G^{\prime }$ este ciclic. Pentru comutativitate: orice $u,v\in G^{\prime }$ se scriu $u=f(x)$, $v=f(y)$ (surjectivitate), iar $u\ast v=f(xy)=f(yx)=v\ast u$. Pentru ciclicitate: dacă $G=⟨x⟩$, atunci $G^{\prime }=⟨f(x)⟩$, din a treia egalitate a Propoziției 1.

2. Cum se transferă soluțiile unei ecuații?

Aici este miezul lecției. Nu numai proprietățile se mută, ci și mulțimile de soluții.

Propoziția 4 (transferul soluțiilor). Fie $f:G\to G^{\prime }$ izomorfism, $a\in G$ și $m\in \mathbb{Z}$. Atunci funcția $x\mapsto f(x)$ stabilește o corespondență bijectivă între mulțimea soluțiilor ecuației $x^m=a$ în $G$ și mulțimea soluțiilor ecuației $y^m=f(a)$ în $G^{\prime }$. În particular, cele două ecuații au același număr de soluții.

Demonstrație. Dacă $x\in G$ verifică $x^m=a$, atunci $f(x{)}^m=f\left(x^m\right)=f(a)$, deci $f(x)$ e soluție a celei de-a doua ecuații. Reciproc, fie $y\in G^{\prime }$ cu $y^m=f(a)$ și fie $x=f^{-1}(y)$. Atunci $f\left(x^m\right)=f(x{)}^m=y^m=f(a)$, iar din injectivitatea lui $f$ rezultă $x^m=a$. În sfârșit, corespondența e injectivă pentru că $f$ este injectivă. $■$

Prin urmare, dacă știi să rezolvi ecuația în grupul comod, ai rezolvat-o și în cel incomod, și știi în plus că nu ți-a scăpat nicio soluție. Acest ultim amănunt e cel care face metoda riguroasă, nu doar ingenioasă.

3. Care grup de matrice copiază numerele complexe nenule?

Trecem la obiectul concret cerut de programă. Considerăm mulțimea

$$G=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{R},a^2+b^2\ne 0\right\}\subset {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}).$$

Observație de notație. Cum $b$ parcurge toată mulțimea $\mathbb{R}$, aceeași mulțime se descrie, scriind $-b$ în locul lui $b$, și prin matricele de forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ — adică prin matricele $\rho R(\theta )$ pe care le-ai întâlnit la matricea de rotație și puterile ei. Cele două scrieri dau aceeași mulțime; o folosim pe cea din enunțul programei și notăm de aici încolo

$$A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right),G=\left\{A(a,b)|a,b\in \mathbb{R},a^2+b^2\ne 0\right\}.$$

Regula de înmulțire se calculează o singură dată, cu înmulțirea a două matrice:

$$A(a,b)\cdot A(c,d)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& d\\ -d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac-bd& ad+bc\\ -(ad+bc)& ac-bd\end{array}\right)=A(ac-bd,ad+bc).$$

Reține și determinantul: $\det A(a,b)=a^2+b^2>0$ pentru $(a,b)\ne (0,0)$.

De unde vine această mulțime? Din clasa a XI-a: acolo ai arătat că orice matrice nenulă de forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ se scrie $\rho R(\theta )$, unde $R(\theta )$ este matricea rotației $R_{\theta }$ — adică o rotație urmată de o omotetie de raport $\rho =\sqrt{a^2+b^2}$; iar mulțimea $G$, scrisă în cealaltă parametrizare, este exact aceeași. Aceste transformări se compun exact cum se înmulțesc numerele complexe scrise în formă trigonometrică — modulele se înmulțesc, argumentele se adună. Grupul $G$ este, deci, „grupul rotațiilor cu scară" al planului, iar izomorfismul pe care îl construim în paragraful următor nu e o coincidență algebrică, ci traducerea acestui fapt geometric.

Teoremă. $(G,\cdot )$ este grup comutativ.

Demonstrație. Parte stabilă: produsul $A(a,b)A(c,d)=A(ac-bd,ad+bc)$ are aceeași formă, iar el este nenul pentru că $\det (A(a,b)A(c,d))=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ne 0$; deci noile numere nu sunt simultan zero și produsul aparține lui $G$.

Asociativitatea este moștenită din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$: înmulțirea matricelor este asociativă, iar $G$ e o submulțime a ei.

Element neutru: $A(1,0)=I_2\in G$, iar $A(a,b)I_2=I_{2}A(a,b)=A(a,b)$.

Simetric: pentru $A(a,b)\in G$ notăm $N=a^2+b^2>0$ și verificăm

$$A(a,b)\cdot A\left(\frac{a}{N},\frac{-b}{N}\right)=A\left(\frac{a^2+b^2}{N},\frac{-ab+ab}{N}\right)=A(1,0)=I_2.$$

Comutativitate: $A(c,d)A(a,b)=A(ca-db,cb+da)=A(ac-bd,ad+bc)=A(a,b)A(c,d)$. $■$

⚠️ Atenție la ce nu am spus: $G$ nu conține matricea nulă, deci nu discutăm despre adunare aici. Obiectul nostru este strict grupul multiplicativ $(G,\cdot )$. Suma a două matrice din $G$ are, ce-i drept, tot forma aceasta, dar poate fi matricea nulă, care nu aparține mulțimii; despre structuri cu două operații va fi vorba abia în unitatea următoare.

4. Izomorfismul dintre numerele complexe nenule și grupul $G$

Compară acum două formule. Înmulțirea numerelor complexe:

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$$

Înmulțirea matricelor din $G$: $A(a,b)A(c,d)=A(ac-bd,ad+bc)$. Sunt aceleași două numere, în aceeași ordine. De aici, candidatul evident:

$$\phi :{\mathbb{C}}^{\ast }\to G,\phi (a+bi)=A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right).$$

Teoremă. $\phi$ este izomorfism de grupuri de la $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ la $(G,\cdot )$, deci $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )\simeq (G,\cdot )$.

Demonstrație. Funcția e bine definită: $z=a+bi\ne 0$ înseamnă $a^2+b^2\ne 0$, deci $A(a,b)\in G$. Morfism: pentru $z=a+bi$ și $w=c+di$,

$$\phi (zw)=\phi ((ac-bd)+(ad+bc)i)=A(ac-bd,ad+bc)=A(a,b)A(c,d)=\phi (z)\phi (w).$$

Injectivitate: din $A(a,b)=A(c,d)$ rezultă, comparând elementele de pe prima linie, $a=c$ și $b=d$, deci $z=w$. Surjectivitate: orice element al lui $G$ este de forma $A(a,b)=\phi (a+bi)$, cu $a+bi\ne 0$. $■$

Trei consecințe merită scoase în evidență, fiindcă le vom folosi imediat.

• $\det \phi (z)=a^2+b^2=|z{|}^2$: determinantul matricei este pătratul modulului numărului.
• Dacă $z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$, atunci $\phi (z)=\rho \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=\rho R(-\theta )$: forma trigonometrică se traduce printr-o matrice de rotație, cu unghiul luat cu semn schimbat, pentru că parametrizarea din enunț pune $b$ în colțul din dreapta sus. Mulțimea matricelor rămâne aceeași, iar forma trigonometrică: modul și argument devine astfel un instrument de lucru cu matrice.
• Prin $\phi$, mulțimea $U_n$ a rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității devine mulțimea matricelor $R\left(-\frac{2k\pi }{n}\right)$, $k=0,\dots ,n-1$ — care, ca mulțime, este exact mulțimea matricelor grupului rotațiilor poligonului regulat din lecția precedentă, fiindcă $-k$ parcurge aceleași clase de resturi ca $k$. Cele trei izomorfisme de acolo se prelungesc, deci, cu încă unul.

5. Cum se rezolvă o ecuație matriceală $X^3=B$?

Suntem gata pentru problema din programă. Rețeta are patru pași și se scrie de fiecare dată la fel.

Pasul 1 — recunoști grupul. Verifici că matricea din membrul drept este de forma $A(a,b)$ cu $a^2+b^2\ne 0$, deci aparține lui $G$.

Pasul 2 — treci în ${\mathbb{C}}^{\ast }$. Prin Propoziția 4, ecuația $X^3=B$ în $G$ are exact aceleași soluții, transportate, ca ecuația $z^3={\phi }^{-1}(B)$ în ${\mathbb{C}}^{\ast }$.

Pasul 3 — rezolvi în ${\mathbb{C}}^{\ast }$ cu rădăcinile de ordinul $3$ ale unui număr complex, așa cum ai învățat la rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex: scrii membrul drept în formă trigonometrică și aplici formula rădăcinilor.

Pasul 4 — te întorci în $G$ aplicând $\phi$ fiecărei rădăcini.

Rețeta funcționează la fel pentru orice exponent: ecuația $X^n=B$ are, în $G$, exact $n$ soluții, oricare ar fi $B\in G$ și oricare ar fi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Motivul e Propoziția 4 plus faptul, cunoscut din clasa a X-a, că orice număr complex nenul are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$, distincte două câte două. Numărul soluțiilor face parte din răspuns și se punctează separat în barem, deci se scrie explicit, nu se lasă subînțeles din faptul că ai enumerat trei matrice.

Exemplul de lucru. Rezolvăm în $G$ ecuația

$$X^3=\left(\begin{array}{cc}0& 8\\ -8& 0\end{array}\right).$$

Membrul drept este $A(0,8)=\phi (8i)$, deci ecuația devine $z^3=8i$ în ${\mathbb{C}}^{\ast }$. Scriem $8i=8\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$; rădăcinile de ordinul $3$ au modulul $\sqrt[3]{8}=2$ și argumentele $\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{3}$, $k\in \{0,1,2\}$:

$$z_0=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}+i,z_1=2\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}+i,z_2=2\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)=-2i.$$

Aplicând $\phi$, obținem cele trei soluții matriceale:

$$X_0=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 1\\ -1& \sqrt{3}\end{array}\right),X_1=\left(\begin{array}{cc}-\sqrt{3}& 1\\ -1& -\sqrt{3}\end{array}\right),X_2=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right).$$

Verificarea celei de-a treia se face din cap: $X_2^2=\left(\begin{array}{cc}-4& 0\\ 0& -4\end{array}\right)$, apoi $X_2^3=X_2^2{X}_2=\left(\begin{array}{cc}0& 8\\ -8& 0\end{array}\right)$. ✓

6. De ce nu există alte soluții, în afara lui $G$?

Am rezolvat ecuația în grupul $G$. Dar dacă enunțul cere soluțiile din toată mulțimea ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$? Răspunsul e că nu apar altele, iar argumentul încape în patru rânduri.

Fie $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $X^3=B$, unde $B=\left(\begin{array}{cc}0& 8\\ -8& 0\end{array}\right)$. Atunci

$$XB=X\cdot X^3=X^4=X^3\cdot X=BX,$$

deci $X$ comută cu $B$. Scriind $X=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ și efectuând cele două produse,

$$XB=\left(\begin{array}{cc}-8q& 8p\\ -8s& 8r\end{array}\right),BX=\left(\begin{array}{cc}8r& 8s\\ -8p& -8q\end{array}\right).$$

Egalitatea lor dă $q=-r$ și $p=s$, adică $X=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ -q& p\end{array}\right)$ — exact forma din enunțul programei. Cum $X^3=B\ne O_2$, avem $X\ne O_2$, deci $p^2+q^2\ne 0$ și $X\in G$. Prin urmare cele trei matrice găsite sunt toate soluțiile reale ale ecuației.

7. Drumul invers: puterile unei matrice calculate cu numere complexe

Transferul funcționează în ambele sensuri. Dacă ai de calculat o putere mare a unei matrice din $G$, muți calculul în ${\mathbb{C}}^{\ast }$, unde ai formula lui Moivre.

Fie $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)=A(1,1)=\phi (1+i)$. Atunci

$$B^{12}=\phi ((1+i{)}^{12}).$$

Calculăm în $\mathbb{C}$: $(1+i{)}^2=2i$, deci $(1+i{)}^4=(2i{)}^2=-4$ și $(1+i{)}^{12}=((1+i{)}^4{)}^3=(-4{)}^3=-64$. Prin urmare

$$B^{12}=\phi (-64)=A(-64,0)=\left(\begin{array}{cc}-64& 0\\ 0& -64\end{array}\right)=-64I_2.$$

Douăsprezece înmulțiri de matrice au devenit trei ridicări la pătrat pe numere complexe.

Compară cu celelalte două metode pe care le ai la dispoziție pentru puterile unei matrice de ordinul al doilea: inducția, care cere să ghicești formula, și ecuația Hamilton–Cayley, care dă o recurență liniară. Ambele funcționează, dar amândouă cer calcule; transferul în ${\mathbb{C}}^{\ast }$ nu cere niciunul, cu condiția ca matricea să aibă forma $A(a,b)$. Regula practică e simplă: te uiți întâi dacă elementele de pe diagonala principală sunt egale și cele de pe cealaltă diagonală sunt opuse — dacă da, treci la numere complexe și ai terminat.

8. Transferul pe grupuri de numere: exemplul-etalon

Nu doar matricele beneficiază de metodă. Fie legea $x\ast y=xy-2x-2y+6$ pe intervalul $(2,+\infty )$, scrisă în forma ei factorizată

$$x\ast y=(x-2)(y-2)+2,$$

și fie $f:(2,+\infty )\to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, $f(x)=x-2$. Funcția e bijectivă (inversa ei este $f^{-1}(u)=u+2$) și e morfism, pentru că

$$f(x\ast y)=(x-2)(y-2)=f(x)\cdot f(y).$$

Deci $((2,+\infty ),\ast )\simeq ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$, iar tot ce e adevărat în al doilea grup se mută în primul. Să rezolvăm, de pildă, ecuația $x\ast x\ast x=10$. Prin transfer ea devine $(f(x){)}^3=f(10)$, adică $(x-2{)}^3=8$, de unde $x-2=2$ și $x=4$. Verificare directă: $4\ast 4=16-8-8+6=6$, apoi $6\ast 4=24-12-8+6=10$. ✓

Observă că Propoziția 4 ne spune mai mult decât că $x=4$ merge: în ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ ecuația $u^3=8$ are o singură soluție, deci și ecuația inițială are exact o soluție. Aceeași idee de traducere dintr-o mulțime în alta stă și la baza lecției următoare, despre clasele de resturi în aritmetică, iar tipurile de probleme adunate aici revin, cu rezolvări-model, în sinteza unității de legi de compoziție și grupuri.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea completă a structurii de grup

Arătați că $H=\left\{A(a,b)\mid a,b\in \mathbb{Q},a^2+b^2\ne 0\right\}$ este subgrup al lui $(G,\cdot )$.

Rezolvare. $H$ este nevidă, pentru că $I_2=A(1,0)\in H$. Dacă $A(a,b),A(c,d)\in H$, atunci produsul lor este $A(ac-bd,ad+bc)$, ale cărui componente sunt raționale, iar determinantul $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ este nenul; deci produsul e în $H$. Inversul lui $A(a,b)$ este $A\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)$, cu componente raționale, deci și el în $H$. Cele două condiții din criteriul de subgrup sunt îndeplinite.

Prin izomorfismul $\phi$, lui $H$ îi corespunde mulțimea numerelor complexe nenule cu părțile reală și imaginară raționale — o verificare care se putea face și acolo, mai repede.

Exemplul 2 — Ecuația $X^2=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$

Rezolvați ecuația în grupul $G$.

Rezolvare. Membrul drept este $A(0,2)=\phi (2i)$, deci ecuația devine $z^2=2i$ în ${\mathbb{C}}^{\ast }$. Scriem $2i=2\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$; rădăcinile de ordinul $2$ au modulul $\sqrt{2}$ și argumentele $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{5\pi }{4}$:

$$z_0=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=1+i,z_1=-1-i.$$

Soluțiile matriceale sunt $X_0=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ și $X_1=-X_0=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$. Verificare: $X_0^2=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$. ✓

Exemplul 3 — O putere mare, calculată în două rânduri

Calculați $C^9$, unde $C=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 1\\ -1& \sqrt{3}\end{array}\right)$.

Rezolvare. $C=A(\sqrt{3},1)=\phi (\sqrt{3}+i)$. Scriem $\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$, deci, prin formula lui Moivre,

$$(\sqrt{3}+i{)}^9=2^9\left(\cos \frac{9\pi }{6}+i\sin \frac{9\pi }{6}\right)=512\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)=-512i.$$

Prin urmare $C^9=\phi (-512i)=A(0,-512)=\left(\begin{array}{cc}0& -512\\ 512& 0\end{array}\right)$.

Exemplul 4 — Ordinul unui element din $G$

Determinați ordinul matricei $C=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$ în grupul $(G,\cdot )$.

Rezolvare. $C=A\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\phi \left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Numărul complex are modulul $1$ și argumentul $\frac{\pi }{3}$, deci este $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{6}+i\sin \frac{2\pi }{6}$, o rădăcină de ordinul $6$ a unității, de ordin $6$ în $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$.

Cum izomorfismele păstrează ordinul (Propoziția 2), $\mathrm{ord}(C)=6$. Geometric, $C=R\left(-\frac{\pi }{3}\right)$ este matricea rotației de $-60^{\circ }$: aplicată de șase ori, dă $R(-2\pi )=I_2$.

Exemplul 5 — O ecuație pe un interval

Pe $(2,+\infty )$ se consideră legea $x\ast y=xy-2x-2y+6$. Rezolvați ecuația $x\ast x=6$ și determinați simetricul lui $4$.

Rezolvare. Cu $f(x)=x-2$, ecuația devine $(x-2{)}^2=f(6)=4$, deci $x-2=2$ (soluția $x-2=-2$ se respinge, pentru că $f$ ia valori strict pozitive) și $x=4$. Verificare: $4\ast 4=16-8-8+6=6$. ✓

Elementul neutru este $e=3$, pentru că $f(e)=1$; simetricul lui $4$ este numărul $x^{\prime }$ cu $f(x^{\prime })=\frac{1}{f(4)}=\frac{1}{2}$, adică $x^{\prime }=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$. Verificare: $4\ast \frac{5}{2}=10-8-5+6=3=e$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră mulțimea $G=\left\{A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)\mid a,b\in \mathbb{R},a^2+b^2\ne 0\right\}$ și funcția $\varphi : \mathbb{C}^{} \to G$,$\varphi(a + bi) = A(a, b)$.*

a) Arătați că $A(a,b)\cdot A(c,d)=A(ac-bd,ad+bc)$ și că $(G,\cdot )$ este grup comutativ.

b) Arătați că $\phi$ este izomorfism de grupuri de la $(\mathbb{C}^{}, \cdot)$la$(G, \cdot)$.*

c) Rezolvați în $G$ ecuația $X^3=\left(\begin{array}{cc}0& 8\\ -8& 0\end{array}\right)$.

Rezolvare. a) Produsul se calculează direct:

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& d\\ -d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac-bd& ad+bc\\ -bc-ad& -bd+ac\end{array}\right)=A(ac-bd,ad+bc).$$

Rezultatul are aceeași formă, iar determinantul lui, $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$, este nenul, deci $G$ e parte stabilă. Asociativitatea e moștenită din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$; neutrul este $A(1,0)=I_2$; simetricul lui $A(a,b)$ este $A\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)$. Comutativitatea rezultă din simetria formulei produsului în perechile $(a,b)$ și $(c,d)$.

b) Morfismul: $\phi ((a+bi)(c+di))=\phi ((ac-bd)+(ad+bc)i)=A(ac-bd,ad+bc)=\phi (a+bi)\phi (c+di)$. Injectivitatea: $A(a,b)=A(c,d)$ dă $a=c$ și $b=d$. Surjectivitatea: orice $A(a,b)\in G$ este imaginea lui $a+bi\ne 0$.

c) Matricea din dreapta este $A(0,8)=\phi (8i)$. Prin izomorfism, ecuația devine $z^3=8i$ în ${\mathbb{C}}^{\ast }$. Cum $8i=8\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$, rădăcinile de ordinul $3$ sunt $z_k=2\left(\cos \frac{\pi +4k\pi }{6}+i\sin \frac{\pi +4k\pi }{6}\right)$, $k\in \{0,1,2\}$, adică $\sqrt{3}+i$, $-\sqrt{3}+i$ și $-2i$. Soluțiile ecuației matriceale sunt

$$X_0=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 1\\ -1& \sqrt{3}\end{array}\right),X_1=\left(\begin{array}{cc}-\sqrt{3}& 1\\ -1& -\sqrt{3}\end{array}\right),X_2=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right),$$

și sunt exact trei, conform propoziției de transfer al soluțiilor.

Să exersăm

La fiecare ecuație matriceală, scrie explicit numărul complex căruia îi corespunde membrul drept, înainte de orice calcul. La final, verifică o soluție prin înmulțire directă.

1. Calculează $A(2,3)\cdot A(1,-1)$ folosind formula produsului și verifică rezultatul înmulțind matricele.

2. Determină simetricul matricei $A(3,4)$ în grupul $(G,\cdot )$.

3. Scrie matricea $\phi (z)$ pentru $z=-2+5i$ și calculează determinantul ei.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Grupul $(G,\cdot )$ este necomutativ, pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă."

5. Rezolvă în $G$ ecuația $X^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$.

6. Calculează ${\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)}^8$ folosind izomorfismul $\phi$.

7. Determină ordinul matricei $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ în grupul $(G,\cdot )$.

8. Arată că mulțimea $\left\{A(a,b)\mid a^2+b^2=1\right\}$ este subgrup al lui $(G,\cdot )$ și spune ce mulțime de numere complexe îi corespunde prin $\phi$.

9. Rezolvă în $G$ ecuația $X^4=I_2$ și spune câte soluții are.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f:G\to G^{\prime }$ este izomorfism și ecuația $x^2=a$ are trei soluții în $G$, atunci $y^2=f(a)$ poate avea patru soluții în $G^{\prime }$."

11. Pe $(2,+\infty )$ se consideră $x\ast y=xy-2x-2y+6$. Rezolvă ecuația $x\ast x\ast x\ast x=18$.

12. (Problemă aplicată.) Un braț robotic execută, la fiecare pas, aceeași transformare a planului, dată de matricea $\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)$. După câți pași revine brațul în poziția inițială? Justifică folosind izomorfismul cu numerele complexe.

13. Calculează $C^6$, unde $C=\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 1\end{array}\right)$.

14. Arată că funcția $\psi :G\to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, $\psi (A(a,b))=a^2+b^2$, este morfism de grupuri, dar nu este izomorfism.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$. a) Arată că $B\in G$ și determină numărul complex ${\phi }^{-1}(B)$. b) Calculează $B^{2026}$. c) Rezolvă în $G$ ecuația $X^2=B$.

16. Determină toate matricele $X\in G$ pentru care $X^3=I_2$.

17. Arată că grupurile $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$ și $((2,+\infty ),\ast )$, cu $x\ast y=xy-2x-2y+6$, au același număr de soluții pentru ecuațiile $u^5=32$, respectiv $x^{\ast 5}=34$, unde $x^{\ast 5}$ înseamnă $x\ast x\ast x\ast x\ast x$.

18. (Provocare.) Arată că, dintre cele trei soluții din $G$ ale ecuației $X^3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$, exact una are toate elementele numere raționale.

Răspunsuri și explicații

1. $A(2,3)A(1,-1)=A(2\cdot 1-3\cdot (-1),2\cdot (-1)+3\cdot 1)=A(5,1)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ -1& 5\end{array}\right)$. Înmulțirea directă a matricelor $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -3& 2\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ dă același rezultat.

2. $a^2+b^2=9+16=25$, deci simetricul este $A\left(\frac{3}{25},-\frac{4}{25}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{25}& -\frac{4}{25}\\ \frac{4}{25}& \frac{3}{25}\end{array}\right)$. Corespunde lui $\frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{25}$.

3. $\phi (-2+5i)=\left(\begin{array}{cc}-2& 5\\ -5& -2\end{array}\right)$, cu $\det =4+25=29=|-2+5i{|}^2$.

4. Fals. Afirmația confundă o proprietate a întregii mulțimi ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu o proprietate a submulțimii $G$; o lege poate deveni comutativă pe o parte stabilă, chiar dacă nu e comutativă pe mulțimea mare. Într-adevăr, înmulțirea matricelor nu e comutativă în general, dar pe submulțimea $G$ ea este: formula $A(a,b)A(c,d)=A(ac-bd,ad+bc)$ este simetrică în cele două perechi. Alt argument: $(G,\cdot )\simeq ({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$, care e comutativ.

5. Membrul drept este $-I_2=A(-1,0)=\phi (-1)$, deci $z^2=-1$, cu soluțiile $z=\pm i$. Rezultă $X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ și $X=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

6. Matricea este $\phi (1+i)$, iar $(1+i{)}^8=((1+i{)}^4{)}^2=(-4{)}^2=16$. Deci puterea este $\phi (16)=16I_2=\left(\begin{array}{cc}16& 0\\ 0& 16\end{array}\right)$.

7. Matricea este $\phi (i)=R\left(-\frac{\pi }{2}\right)$, adică matricea rotației de $-90^{\circ }$, iar $\mathrm{ord}(i)=4$ în $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$, pentru că $i^4=1$ și niciun exponent mai mic nu dă $1$. Izomorfismul păstrează ordinul, deci ordinul matricei este $4$.

8. Mulțimea e nevidă ($I_2$ îi aparține); dacă $a^2+b^2=1$ și $c^2+d^2=1$, produsul are determinantul $1\cdot 1=1$, deci rămâne în mulțime; inversul lui $A(a,b)$ este $A(a,-b)$, cu $a^2+b^2=1$. Prin $\phi$ îi corespunde mulțimea numerelor complexe de modul $1$. Aceste matrice sunt exact matricele de rotație $R(\theta )$.

9. $I_2=\phi (1)$, deci $z^4=1$, adică $z\in U_4=\{1,i,-1,-i\}$. Ecuația are patru soluții: $I_2$, $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$, $-I_2$ și $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

10. Fals. Propoziția 4 spune că cele două mulțimi de soluții se corespund bijectiv prin $f$, deci au același cardinal: dacă prima are trei elemente, a doua are exact trei.

11. Ecuația devine $(x-2{)}^4=18-2=16$, deci $x-2=2$ (rădăcina pozitivă, fiindcă $x>2$) și $x=4$. Verificare: $4\ast 4=6$, $6\ast 4=10$, $10\ast 4=40-20-8+6=18$. ✓

12. Matricea este $\phi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, adică $\phi \left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)=R\left(-\frac{\pi }{4}\right)$. Numărul complex este o rădăcină de ordinul $8$ a unității, de ordin $8$, deci brațul revine în poziția inițială după opt pași, adică după o rotație completă de $2\pi$.

13. $C=A(1,\sqrt{3})=\phi (1+i\sqrt{3})=\phi \left(2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)\right)$. Atunci $(1+i\sqrt{3}{)}^6=2^6(\cos 2\pi +i\sin 2\pi )=64$, deci $C^6=64I_2$.

14. Este morfism: $\psi (A(a,b)A(c,d))=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=\psi (A(a,b))\psi (A(c,d))$, egalitate care se verifică desfăcând ambii membri. Nu este injectiv: $\psi (A(1,0))=\psi (A(0,1))=1$, deși $I_2\ne A(0,1)$. Este, de fapt, traducerea matriceală a funcției $z\mapsto |z{|}^2$.

15. a) $B=A(0,1)$, cu $0^2+1^2=1\ne 0$, deci $B\in G$ și ${\phi }^{-1}(B)=i$. b) $B^{2026}=\phi \left(i^{2026}\right)$; cum $2026=4\cdot 506+2$, avem $i^{2026}=i^2=-1$, deci $B^{2026}=-I_2$. c) $z^2=i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$ are rădăcinile de argumente $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{5\pi }{4}$, adică $\pm \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Soluțiile sunt $X=\pm \left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)$.

16. $I_2=\phi (1)$, deci $z^3=1$ și $z\in U_3$. Soluțiile sunt $I_2$, $\phi \left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$ și $\phi \left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$.

17. Prin izomorfismul $f(x)=x-2$, ecuația $x^{\ast 5}=34$ devine $(f(x){)}^5=f(34)=32$, adică exact $u^5=32$. Propoziția 4 garantează același număr de soluții; în ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ ecuația $u^5=32$ are o singură soluție, $u=2$, deci și cealaltă are o singură soluție, $x=4$.

18. Membrul drept este $\phi (i)$, deci ecuația devine $z^3=i$. Cum $i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$, rădăcinile au modulul $1$ și argumentele $\frac{\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{6}$ și $\frac{3\pi }{2}$, adică $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$, $-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$ și $-i$. Primele două dau matrice ale căror elemente de pe diagonala principală sunt $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$, numere iraționale; a treia dă $\phi (-i)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$, cu toate elementele întregi. Deci exact o soluție are elemente raționale.

De reținut

• Un izomorfism de grupuri păstrează elementul neutru, inversele, toate puterile, ordinul fiecărui element, comutativitatea și ciclicitatea, deci mută integral orice enunț de calcul dintr-un grup în celălalt.
• Propoziția de transfer al soluțiilor spune că ecuațiile $x^m=a$ în $G$ și $y^m=f(a)$ în $G^{\prime }$ au exact același număr de soluții, care se corespund prin $f$.
• Mulțimea matricelor de forma $A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ cu $a^2+b^2\ne 0$ formează grup comutativ față de înmulțire, cu neutrul $I_2$ și cu determinantul egal cu $a^2+b^2$.
• Funcția $\phi (a+bi)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ este izomorfism de la $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ la acest grup, iar prin ea forma trigonometrică a unui număr complex devine matricea $\rho R(-\theta )$, deci calculul cu matrice se face cu formula lui Moivre.
• O ecuație matriceală $X^n=B$ cu $A$ în acest grup se rezolvă transferând-o în ${\mathbb{C}}^{\ast }$, unde devine $z^n={\phi }^{-1}(B)$ și se rezolvă cu rădăcinile de ordinul $n$ ale unui număr complex.

Greșeli frecvente

• Se sare peste verificarea faptului că matricea din enunț aparține grupului. Metoda funcționează numai pentru matrice de forma $A(a,b)$; pentru $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ nu există niciun număr complex care să-i corespundă, deci transferul nu se poate face.
• Se pierd rădăcini. Ecuația $z^n=w$ are, în ${\mathbb{C}}^{\ast }$, exact $n$ rădăcini distincte; cine scrie doar rădăcina „principală" pierde $n-1$ soluții matriceale și pierde punctajul pe subpunctul respectiv la Bacalaureat M1.
• Se confundă $\phi$ cu o corespondență între adunări. Izomorfismul este între înmulțirea complexă și înmulțirea matriceală; el nu are nimic de-a face cu adunarea, iar mulțimea $G$ nici nu conține matricea nulă.
• Se afirmă că soluțiile din $G$ sunt toate soluțiile reale, fără demonstrație. Argumentul corect pornește de la $XA=X\cdot X^3=X^3\cdot X=AX$ și deduce forma lui $X$ din egalitatea celor două produse; fără el, concluzia rămâne o presupunere.
• Se scrie greșit simetricul unei matrice din $G$. Formula corectă este $A(a,b{)}^{-1}=A\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)$, adică traducerea lui $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$; simpla schimbare de semn a lui $b$ nu dă inversul decât când $a^2+b^2=1$.

Aplică acasă

1. Dicționarul complex–matrice. Fă un tabel cu două coloane: în stânga zece numere complexe la alegere, în dreapta matricele lor prin $\phi$. Verifică pe trei perechi că produsul din stânga corespunde produsului din dreapta, calculând ambele.

2. Ceasul matriceal. Ia matricea $A\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)$ și calculează-i puterile până obții $I_2$, folosind numărul complex corespunzător. Desenează pe o foaie punctul $(1,0)$ și imaginile lui succesive: vei obține un dodecagon regulat.

3. Ecuația inversă. Alege un număr complex simplu, ridică-l la puterea a treia, scrie matricea rezultatului și dă-i unui coleg ecuația $X^3=B$. Verificați împreună că soluțiile găsite de el sunt trei și că una dintre ele este chiar matricea de la care ai pornit.

Pentru părinți și profesori

Lecția răspunde punctului din programă (XII.CS.6.2) care cere „utilizarea izomorfismului pentru transferul unor proprietăți între două grupuri, dintre care unul este remarcabil", cu exemplul explicit al ecuației matriceale rezolvate prin grupul multiplicativ al numerelor complexe nenule. Este, în același timp, lecția în care izomorfismul încetează să fie un exercițiu de verificare și devine o metodă de rezolvare.

De verificat în caiet: (1) structura de grup a mulțimii de matrice este demonstrată complet, cu toate cele patru cerințe, nu doar afirmată; (2) izomorfismul are ambele condiții verificate, morfismul și bijectivitatea; (3) la ecuația matriceală sunt scrise toate rădăcinile de ordinul $n$, nu doar una; (4) cel puțin o soluție e verificată prin înmulțire directă. Întrebări de control: „De ce înmulțirea din $G$ este comutativă, deși cea din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ nu este?"; „Ce număr complex corespunde matricei $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$?"; „Câte soluții are $X^5=I_2$ în $G$ și de ce?".

La BAC M1 tipul acesta de problemă ocupă un subiect întreg din partea a doua, cu subpunctele obișnuite: verificarea unei formule de produs, demonstrarea structurii de grup și, la punctul c), ecuația. Semn că elevul a înțeles: în fața unei matrice de forma $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ scrie imediat numărul complex $a+bi$, fără să mai calculeze nimic.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă transferul de structură prin izomorfism la clasa a 12-a? Înseamnă mutarea unei probleme dintr-un grup în alt grup izomorf cu el, rezolvarea ei acolo unde calculul e simplu și aducerea răspunsului înapoi cu funcția inversă. Fiindcă izomorfismul păstrează operația, neutrul, inversele și puterile, enunțul mutat este perfect echivalent cu cel inițial, iar soluțiile se corespund una la una.

Cum se rezolvă o ecuație matriceală de tipul $X^3=B$? Se verifică întâi că $A$ este de forma $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$, se scrie numărul complex $a+bi$ care îi corespunde, se rezolvă ecuația $z^3=a+bi$ cu formula rădăcinilor de ordinul $3$ ale unui număr complex și se traduce fiecare rădăcină înapoi în matrice. Se obțin exact trei soluții.

De ce mulțimea matricelor $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ formează grup față de înmulțire? Pentru că produsul a două astfel de matrice are aceeași formă, cu determinantul $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ nenul; asociativitatea se moștenește din mulțimea tuturor matricelor de ordinul al doilea; elementul neutru este matricea unitate; iar fiecare matrice are simetric, dat de formula corespunzătoare inversului unui număr complex.

Care este izomorfismul dintre numerele complexe nenule și acest grup de matrice? Este funcția $\phi (a+bi)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$. Ea e morfism pentru că formula produsului matricelor reproduce exact formula produsului complex, e injectivă pentru că matricea determină perechea $(a,b)$ și e surjectivă pentru că orice matrice din grup provine dintr-un număr complex nenul.

Câte soluții are ecuația $X^n=B$ în acest grup de matrice? Are exact $n$ soluții, oricare ar fi $A$ din grup. Motivul este propoziția de transfer al soluțiilor: ecuația corespunde lui $z^n={\phi }^{-1}(B)$ în mulțimea numerelor complexe nenule, iar acolo orice număr nenul are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$, distincte două câte două.

Cum se calculează repede o putere mare a unei matrice de această formă? Se trece la numărul complex corespunzător, se scrie în formă trigonometrică și se aplică formula lui Moivre, apoi se traduce rezultatul înapoi în matrice. De exemplu, pentru $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ se lucrează cu $1+i$, se obține $(1+i{)}^{12}=-64$ și, deci, puterea este $-64I_2$.

De ce nu apar soluții în afara grupului, în mulțimea tuturor matricelor reale? Pentru că orice soluție comută cu membrul drept: din $X^3=B$ rezultă $XA=X^4=AX$. Scriind $X$ cu patru elemente necunoscute și impunând această egalitate, se obține că $X$ trebuie să aibă chiar forma matricelor din grup, deci soluțiile găsite prin transfer sunt toate soluțiile reale ale ecuației.