Se știe că $$a_n<9$$ pentru orice $$n\ge1$$ și că șirul $$(a_n)$$ are limită. Atunci:

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le9$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n<9$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=9$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n\ge9$$

Se știe că $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=4$$. Atunci:

$$a_n>3$$ de la un rang încolo

$$a_n>0$$ pentru orice $$n\ge1$$

$$a_n>4$$ de la un rang încolo

$$a_n<4$$ pentru orice $$n\ge1$$

Trecerea la limită în inegalități: pe scurt

Teoremă. Dacă $a_{n} \leq b_{n}$ de la un rang încolo și ambele șiruri au limită în $\overline{R}$ , atunci $n \to \infty lim a_{n} \leq n \to \infty lim b_{n}$ . Demonstrația arată că, dacă limitele ar fi în ordinea greșită, termenii s-ar despărți definitiv de o parte și de alta a mijlocului lor, contrazicând ipoteza.

⚠️ Inegalitatea strictă NU se păstrează. Din $a_{n} < b_{n}$ rezultă doar $\leq$ între limite; contraexemplul de reținut este $0 < \frac{1}{n}$ , cu ambele limite egale cu $0$ . Motivul: diferența $b_{n} - a_{n}$ poate ea însăși să se micșoreze spre zero. Regula practică: la trecerea la limită, orice inegalitate devine nestrictă.

Consecințele de lucru: din $a_{n} \leq c$ rezultă $n \to \infty lim a_{n} \leq c$ ; din $u \leq a_{n} \leq v$ rezultă că limita rămâne în $[u, v]$ ; din $a_{n} \geq 0$ rezultă $n \to \infty lim a_{n} \geq 0$ . Sunt unelte de respingere: nu dau valoarea limitei, dar elimină valorile imposibile.

Drumul invers merge cu inegalitate strictă: dacă limita este finită și $c < n \to \infty lim a_{n}$ , atunci $a_{n} > c$ de la un rang încolo. În particular, o limită strict pozitivă înseamnă termeni strict pozitivi de la un rang încolo — nu de la primul. Teorema compară limite, nu le creează: existența lor este ipoteză.

Exerciții din această mini-lecție

Se știe că $a_{n} < 9$ pentru orice $n \geq 1$ și că șirul $(a_{n})$ are limită. Atunci:
- a) $n \to \infty lim a_{n} \leq 9$
- b) $n \to \infty lim a_{n} < 9$
- c) $n \to \infty lim a_{n} = 9$
- d) $n \to \infty lim a_{n} \geq 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $n \to \infty lim a_{n} \leq 9$

La trecerea la limită inegalitatea strictă se pierde: din $a_{n} < 9$ obținem doar $\leq$ . Că nu se poate mai mult se vede pe $a_{n} = 9 - \frac{1}{n}$ , unde toți termenii sunt strict sub $9$ , dar limita este exact $9$ . Valoarea limitei nu este determinată de o singură margine — ea poate fi orice element din $[- \infty, 9]$ .
Se știe că $n \to \infty lim a_{n} = 4$ . Atunci:
- a) $a_{n} > 0$ pentru orice $n \geq 1$
- b) $a_{n} > 4$ de la un rang încolo
- c) $a_{n} > 3$ de la un rang încolo
- d) $a_{n} < 4$ pentru orice $n \geq 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a_{n} > 3$ de la un rang încolo

O inegalitate strictă satisfăcută de limită se transmite termenilor, dar numai de la un rang încolo: luând $ε = 4 - 3 = 1$ , toți termenii cu $n \geq N$ sunt în $(3, 5)$ . Varianta a) cere concluzia pentru toți termenii — fals, cum arată $4 - \frac{10}{n}$ , negativ la primele ranguri — iar b) și d) compară cu limita însăși, ceea ce definiția nu garantează.
Se știe că $∣ a_{n} ∣ \leq 5$ pentru orice $n \geq 1$ și că șirul $(a_{n})$ are limită. Care valoare nu poate fi limita șirului?
- a) $- 5$
- b) $0$
- c) $5$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $6$

Inegalitatea $∣ a_{n} ∣ \leq 5$ înseamnă $- 5 \leq a_{n} \leq 5$ , iar prin trecere la limită se obține $- 5 \leq n \to \infty lim a_{n} \leq 5$ . Valoarea $6$ este deci exclusă. Celelalte trei sunt posibile: șirurile constante $- 5$ , $0$ și $5$ verifică ipoteza și au exact aceste limite.

Trecerea la limită în inegalități: pe scurt

Exerciții din această mini-lecție

Continuă cu