Trecerea la limită în inegalități

Doi elevi pun bani deoparte în fiecare lună. Andrei are, în luna $n$ , suma $a_{n}$ , iar Bianca are suma $b_{n}$ , și se știe că Andrei a rămas mereu în urmă: $a_{n} \leq b_{n}$ pentru orice lună. Dacă ambele economii se apropie, în timp, de câte o valoare-limită — pentru că fiecare contribuie cu tot mai puțin — ce putem spune despre cele două valori finale? Intuiția zice: cea a Biancăi rămâne cel puțin la fel de mare. Intuiția are dreptate, iar demonstrația e la doar câteva rânduri distanță.

Dar tot intuiția ne întinde și o capcană: dacă Andrei a fost strict în urmă în fiecare lună, rămâne strict în urmă și la limită? Aici răspunsul este nu, iar contraexemplul e supărător de simplu. Lecția aceasta stabilește exact ce trece dincolo de limită și ce se pierde pe drum. E o lecție scurtă ca enunțuri și lungă ca urmări: pe ea se sprijină toate încadrările de limite, tot studiul șirurilor definite prin recurență și cele două criterii de existență din lecțiile următoare.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema de trecere la limită în inegalități: din $a_{n} \leq b_{n}$ rezultă $lim a_{n} \leq lim b_{n}$ , cu ipotezele complete.
Vei ști de ce inegalitatea strictă nu se păstrează și vei putea da instantaneu un contraexemplu.
Vei ști să încadrezi limita unui șir despre care cunoști doar niște margini, fără să o calculezi.
Vei ști să folosești conservarea semnului: dacă limita este strict pozitivă, termenii sunt pozitivi de la un rang încolo.
Vei ști să respingi valori imposibile pentru limita unui șir, argumentând prin trecerea la limită.
Vei ști să deosebești această teoremă de criteriile de existență a limitei, care fac altceva.

Hai să descoperim împreună

1. Ce ne întrebăm, mai exact

Avem două șiruri, $(a_{n})$ și $(b_{n})$ , despre care știm două lucruri:

termenii se compară, rang cu rang: $a_{n} \leq b_{n}$ pentru orice $n$ (sau măcar de la un rang încolo);
fiecare are limită: $n \to \infty lim a_{n} = α$ și $n \to \infty lim b_{n} = β$ , cu $α, β \in \overline{R}$ .

Întrebarea este dacă relația dintre termeni se transmite limitelor. Reține de la început că avem nevoie de ambele ipoteze. Fără prima nu comparăm nimic; fără a doua, întrebarea nici nu are sens — nu poți compara două numere dintre care unul nu există. Pare o precizare formală, dar este exact locul în care se pierd punctele: la Bacalaureat M1 se cere să scrii, înainte de concluzie, că șirurile au limită.

2. Teorema și demonstrația ei

Teoremă (trecerea la limită în inegalități). Fie $(a_{n})$ și $(b_{n})$ două șiruri de numere reale care au limită în $\overline{R}$ și pentru care există un rang $n_{0}$ astfel încât $a_{n} \leq b_{n}$ pentru orice $n \geq n_{0}$ . Atunci $n \to \infty lim a_{n} \leq n \to \infty lim b_{n} .$

Demonstrație (cazul limitelor finite). Notăm $α = lim a_{n}$ și $β = lim b_{n}$ și presupunem, prin reducere la absurd, că $α > β$ . Alegem $ε = \frac{α - β}{2} > 0$ și numărul $m = \frac{α + β}{2}$ , care se află strict între $β$ și $α$ . Din definiția limitei aplicată lui $(a_{n})$ , există un rang $n_{1}$ de la care toți termenii se află în intervalul $(α - ε, α + ε)$ ; în particular $a_{n} > α - ε = m pentru orice n \geq n_{1} .$ La fel, pentru $(b_{n})$ există un rang $n_{2}$ de la care $b_{n} < β + ε = m$ . Luăm acum $n$ mai mare decât toate cele trei ranguri, $n \geq max (n_{0}, n_{1}, n_{2})$ . Pentru un astfel de $n$ avem simultan $b_{n} < m < a_{n} ș i a_{n} \leq b_{n},$ adică $b_{n} < b_{n}$ — imposibil. Presupunerea a fost falsă, deci $α \leq β$ . $■$

Ideea demonstrației merită reținută separat, pentru că se repetă în toată analiza: dacă două limite ar fi diferite, termenii s-ar despărți definitiv, fiecare strângându-se în jurul limitei sale, iar între cele două „insule" rămâne mereu loc. Ipoteza $a_{n} \leq b_{n}$ interzice exact această despărțire în ordinea greșită.

Două limite diferite se separă prin vecinătăți disjuncte

3. Ce se întâmplă când o limită este infinită

Enunțul de mai sus a fost scris în $\overline{R}$ , deci acoperă și limitele infinite. Le tratăm pe scurt, pentru că vor apărea des:

dacă $α = + \infty$ , atunci obligatoriu $β = + \infty$ . Într-adevăr, dacă $β$ ar fi finit sau $- \infty$ , ar exista un prag $M$ sub care stau toți termenii $b_{n}$ de la un rang încolo; dar $a_{n}$ depășește orice prag, deci de la un rang am avea $a_{n} > M > b_{n}$ , în contradicție cu ipoteza;
dacă $β = - \infty$ , atunci obligatoriu $α = - \infty$ , prin același raționament, „în oglindă";
inegalitatea $α \leq β$ rămâne, formal, valabilă și în aceste cazuri, pentru că ordinea din $\overline{R}$ pune $- \infty$ înaintea tuturor numerelor reale, iar $+ \infty$ după ele, exact cum s-a stabilit la lecția Marginile unei mulțimi. Dreapta reală încheiată și vecinătăți.

Atenție la ce NU spune teorema. Ea presupune că ambele limite există și doar le compară. Nu îți spune că $(b_{n})$ are limită dacă $(a_{n})$ are; existența trebuie știută dinainte. Rezultatul care deduce existența dintr-o comparație este cu totul altul și vine la lecția Criteriul majorării și consecințele lui. Confuzia dintre cele două este cea mai frecventă greșeală de logică din tot capitolul.

4. Inegalitatea strictă nu se păstrează

Aici e miezul lecției. Compară cele două afirmații:

din $a_{n} \leq b_{n}$ rezultă $α \leq β$ — adevărat, tocmai am demonstrat-o;
din $a_{n} < b_{n}$ rezultă $α < β$ — fals.

Contraexemplul cel mai simplu: $a_{n} = 0$ și $b_{n} = \frac{1}{n}$ . Avem $a_{n} < b_{n}$ pentru orice $n \geq 1$ , fiindcă $\frac{1}{n} > 0$ ; dar, din lecția Limitele șirurilor cu termenul general de tip putere și de tip progresie geometrică, $lim \frac{1}{n} = 0$ , deci ambele limite sunt egale cu $0$ . Inegalitatea strictă s-a „topit" în egalitate.

Un al doilea contraexemplu, la fel de util: $a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ și $b_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ , unde $a_{n} < b_{n}$ pentru orice $n$ , iar ambele limite sunt $1$ .

Explicația intuitivă e simplă: distanța dintre termeni, $b_{n} - a_{n}$ , poate ea însăși să se micșoreze spre zero. Inegalitatea strictă spune doar că distanța este pozitivă la fiecare rang, nu că rămâne mai mare decât o valoare fixă. Concluzia practică, de scris cu litere mari pe caiet: la trecerea la limită, orice inegalitate devine nestrictă. Chiar dacă pornești de la „ $<$ ", ai voie să scrii doar „ $\leq$ ".

Există totuși o situație în care inegalitatea strictă supraviețuiește, și e bine să o cunoști, pentru că apare des în probleme: atunci când între cele două șiruri se poate strecura o pereche de constante distincte. Dacă găsești două numere $c_{1} < c_{2}$ astfel încât $a_{n} \leq c_{1}$ și $c_{2} \leq b_{n}$ pentru orice $n$ (de la un rang încolo), atunci, aplicând teorema de două ori cu șiruri constante, obții $α \leq c_{1}$ și $c_{2} \leq β$ , deci $α \leq c_{1} < c_{2} \leq β ⟹ α < β .$ De pildă, pentru $a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ și $b_{n} = 2 + \frac{1}{n}$ avem $a_{n} \leq 1 < 2 \leq b_{n}$ , deci limitele sunt cu siguranță diferite. Ce a lipsit în contraexemplele de mai sus a fost tocmai acest „spațiu liber" fix între cele două șiruri: acolo, distanța dintre ele se închidea încet-încet.

5. Consecințele care se folosesc la fiecare exercițiu

Din teoremă rezultă, luând unul dintre șiruri constant, câteva forme de lucru:

Consecința 1 (păstrarea unei margini). Dacă $a_{n} \leq c$ pentru orice $n$ (de la un rang) și $(a_{n})$ are limita $α$ , atunci $α \leq c$ . Analog, din $a_{n} \geq c$ rezultă $α \geq c$ .

Consecința 2 (încadrarea limitei). Dacă $u \leq a_{n} \leq v$ pentru orice $n$ și $(a_{n})$ are limita $α$ , atunci $u \leq α \leq v$ . Cu alte cuvinte, limita nu poate părăsi intervalul în care stau termenii — un rezultat care se leagă direct de noțiunile din lecția Mărginirea unui șir.

Consecința 3 (semnul limitei). Dacă $a_{n} \geq 0$ pentru orice $n$ și $(a_{n})$ are limită, atunci $lim a_{n} \geq 0$ . Observă că nu putem scrie „ $> 0$ ", chiar dacă toți termenii sunt strict pozitivi: șirul $(\frac{1}{n})$ are toți termenii pozitivi și limita $0$ .

Aceste trei consecințe sunt unelte de respingere: nu îți dau valoarea limitei, dar îți arată instantaneu că anumite valori sunt imposibile. Sunt de neînlocuit la șirurile definite prin recurență, unde limita se caută rezolvând o ecuație care poate avea mai multe soluții, iar încadrarea elimină soluțiile care nu convin — vei folosi exact acest mecanism la lecția Șiruri definite prin recurență: studiul convergenței.

6. Drumul invers: de la limită la termeni

Până acum am mers dinspre termeni spre limită. Merită să facem și drumul invers, pentru că este la fel de util:

Propoziție (conservarea unei inegalități stricte). Dacă $n \to \infty lim a_{n} = α$ (finită) și $c < α$ , atunci există un rang de la care $a_{n} > c$ .

Demonstrație. Alegem $ε = α - c > 0$ . Din definiția limitei, există un rang $N$ astfel încât, pentru $n \geq N$ , toți termenii se află în intervalul $(α - ε, α + ε)$ ; în particular $a_{n} > α - ε = c$ . $■$

Varianta simetrică, la fel de folosită, se demonstrează identic: dacă $n \to \infty lim a_{n} = α$ și $α < c$ , atunci există un rang de la care $a_{n} < c$ — se ia $ε = c - α$ și se citește capătul din dreapta al intervalului. Cele două variante împreună se rețin într-o singură propoziție: o inegalitate strictă satisfăcută de limită este satisfăcută și de termeni, de la un rang încolo.

Cazul particular cel mai folosit este $c = 0$ : dacă limita unui șir este strict pozitivă, atunci termenii lui sunt strict pozitivi de la un rang încolo. Observă asimetria față de paragraful anterior, care e chiar sarea acestei lecții: la trecerea spre limită inegalitatea strictă se pierde, dar la coborârea dinspre limită spre termeni ea se păstrează — cu prețul că nu mai avem concluzia pentru toți termenii, ci doar de la un rang încolo.

Exemplu numeric. Fie $a_{n} = 3 - \frac{10}{n}$ , cu limita $3 > 0$ . Primii termeni sunt negativi: $a_{1} = - 7$ , $a_{2} = - 2$ , $a_{3} = - \frac{1}{3}$ . Abia de la $n = 4$ devin pozitivi: $a_{4} = \frac{1}{2}$ . Propoziția garantează existența unui asemenea rang, nu faptul că el ar fi $1$ .

7. Ce nu rezolvă lecția aceasta

Ca să nu folosești teorema acolo unde nu se aplică, reține cele două limite ale ei.

Nu produce existența. Din $a_{n} \leq b_{n}$ și „ $(a_{n})$ are limită" nu rezultă că $(b_{n})$ are limită. Exemplu: $a_{n} = - 1$ și $b_{n} = (- 1)^{n}$ ; avem $a_{n} \leq b_{n}$ pentru orice $n$ , primul șir are limita $- 1$ , iar al doilea nu are limită deloc.

Nu produce valori. Din $a_{n} \leq 4$ nu rezultă că limita este $4$ , ci doar că nu poate depăși $4$ . Ca să obții valoarea exactă ai nevoie fie de calcul direct, fie de regulile din lecția Operații cu șiruri convergente, fie de un criteriu de comparație precum cel din lecția Criteriul cleștelui. Aria discului ca aplicație.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O margine se transmite limitei

Se știe că $a_{n} \leq 5$ pentru orice $n \geq 1$ și că șirul $(a_{n})$ este convergent. Ce se poate spune despre $n \to \infty lim a_{n}$ ? Poate limita să fie exact $5$ ?

Rezolvare. Aplicăm Consecința 1 cu șirul constant $c = 5$ : din $a_{n} \leq 5$ rezultă $lim a_{n} \leq 5$ .

Da, limita poate fi exact $5$ : pentru $a_{n} = 5 - \frac{1}{n}$ avem $a_{n} < 5$ pentru orice $n$ — deci cu atât mai mult $a_{n} \leq 5$ — iar limita este $5$ . Exemplul arată că marginea $5$ este atinsă la limită, deși niciun termen nu o atinge.

Exemplul 2 — Respingerea unei valori imposibile

Arătați că nu există niciun șir convergent $(a_{n})$ cu $a_{n} < 3$ pentru orice $n$ și $n \to \infty lim a_{n} = 4$ .

Rezolvare. Presupunem că un astfel de șir ar exista. Din $a_{n} < 3$ rezultă $a_{n} \leq 3$ , iar prin trecere la limită obținem $lim a_{n} \leq 3$ . Dar am presupus că limita este $4$ , deci am ajunge la $4 \leq 3$ — fals.

Așadar un asemenea șir nu există. Observă structura raționamentului, tipică pentru bareme: din inegalitatea pe termeni se obține o inegalitate pe limită, iar aceasta se compară cu valoarea propusă.

Exemplul 3 — Încadrarea limitei fără a o calcula

Se știe că $2 \leq a_{n} \leq 3$ pentru orice $n \geq 1$ și că șirul $(a_{n})$ are limită. Poate limita să fie $4$ ? Dar $2$ ?

Rezolvare. Prin Consecința 2, $2 \leq lim a_{n} \leq 3$ . Valoarea $4$ este deci imposibilă.

Valoarea $2$ , în schimb, este perfect posibilă: șirul constant $a_{n} = 2$ verifică ipotezele și are limita $2$ . La fel, orice valoare din $[2, 3]$ poate fi limită. Concluzia corectă este că încadrarea restrânge mulțimea valorilor posibile, dar nu determină limita.

Exemplul 4 — Comparare de șiruri și de limite

Arătați că $(\frac{1}{2})^{n} < \frac{1}{n}$ pentru orice $n \geq 1$ , apoi comparați limitele celor două șiruri.

Rezolvare. Din inegalitatea lui Bernoulli, demonstrată în clasa a IX-a la Inducția matematică: sume, inegalități și divizibilitate, avem $2^{n} = (1 + 1)^{n} \geq 1 + n > n$ , deci $(\frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{2 ^{n}} < \frac{1}{n} .$ Control pe valori: pentru $n = 3$ , $\frac{1}{8} = 0, 125 < 0, 333 \dots$ ✓; pentru $n = 10$ , $0, 0009765 \dots < 0, 1$ ✓.

Trecând la limită, teorema ne dă $lim (\frac{1}{2})^{n} \leq lim \frac{1}{n}$ , adică $0 \leq 0$ — adevărat, dar fără informație nouă. Este exemplul-tip pentru ideea că inegalitatea strictă dintre termeni nu se transmite limitelor: aici distanța dintre cele două șiruri se micșorează ea însăși spre zero.

Exemplul 5 — Conservarea semnului

Fie $a_{n} = 5 - \frac{12}{n}$ , șir despre care se știe că are limita $5$ . Arătați că există un rang de la care toți termenii sunt strict pozitivi și determinați cel mai mic astfel de rang.

Rezolvare. Cum limita $5$ este strict pozitivă, Propoziția din paragraful 6, aplicată cu $c = 0$ , garantează existența rangului căutat.

Îl determinăm efectiv: $5 - \frac{12}{n} > 0 ⟺ 5 n > 12 ⟺ n > \frac{12}{5} = 2, 4$ , deci cel mai mic rang natural este $n = 3$ .

Verificare: $a_{2} = 5 - 6 = - 1 < 0$ , iar $a_{3} = 5 - 4 = 1 > 0$ . ✓ Reține contrastul: limita este pozitivă, dar primii doi termeni sunt negativi — de aceea concluzia se formulează întotdeauna „de la un rang încolo".

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ , $a_{n} = 2 - (\frac{1}{3})^{n}$ . a) Calculați $a_{1}$ și $a_{2}$ . b) Arătați că $\frac{5}{3} \leq a_{n} < 2$ pentru orice $n \geq 1$ . c) Știind că șirul are limită, încadrați această limită. d) Explicați de ce din $a_{n} < 2$ nu rezultă că limita este strict mai mică decât $2$ .

Rezolvare.

a) $a_{1} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$ ; $a_{2} = 2 - \frac{1}{9} = \frac{17}{9}$ .

b) Pentru orice $n \geq 1$ avem $0 < (\frac{1}{3})^{n} \leq \frac{1}{3}$ , prima inegalitate fiind evidentă, iar a doua rezultând din faptul că șirul $((\frac{1}{3})^{n})$ este strict descrescător, deci cel mai mare termen este primul. Scăzând totul din $2$ și schimbând sensul: $2 - \frac{1}{3} \leq 2 - (\frac{1}{3})^{n} < 2, adic \overset{a}{˘} \frac{5}{3} \leq a_{n} < 2.$

c) Prin trecere la limită în încadrarea de la punctul b), obținem $\frac{5}{3} \leq n \to \infty lim a_{n} \leq 2$ . Atenție la capătul din dreapta: deși pe termeni aveam „ $<$ ", la limită scriem „ $\leq$ ".

d) Pentru că inegalitatea strictă nu se păstrează la trecerea la limită: contraexemplul $0 < \frac{1}{n}$ , cu ambele limite egale cu $0$ , arată de ce. De altfel, în cazul de față limita chiar este $2$ — o vei calcula în lecția următoare, cu regulile de operații cu șiruri convergente — ceea ce confirmă că „ $<$ " nu se putea păstra.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare enunț, scrie mai întâi ce ipoteze ai (inegalitatea pe termeni și existența limitelor) și abia apoi concluzia.

1. Se știe că $a_{n} \leq 7$ pentru orice $n$ și că șirul $(a_{n})$ are limită. Ce se poate spune despre limită?

2. Se știe că $a_{n} \geq - 2$ pentru orice $n$ și că șirul $(a_{n})$ are limită. Ce se poate spune despre limită?

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a_{n} < b_{n}$ pentru orice $n$ și ambele șiruri au limită, atunci $lim a_{n} < lim b_{n}$ ."

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a_{n} \leq b_{n}$ pentru orice $n$ și ambele șiruri au limită, atunci $lim a_{n} \leq lim b_{n}$ ."

5. Dă un exemplu de două șiruri cu $a_{n} < b_{n}$ pentru orice $n$ și cu limitele egale.

6. Se știe că $1 \leq a_{n} \leq 4$ pentru orice $n$ și că șirul are limită. Poate limita să fie $5$ ? Dar $1$ ? Justifică.

7. Fie $a_{n} = 4 - \frac{1}{n ^{2}}$ . Arată că $a_{n} < 4$ pentru orice $n$ și verifică apoi concluzia teoremei, știind că limita șirului este $4$ .

8. Fie $a_{n} = 6 - \frac{20}{n}$ , cu limita $6$ . Determină cel mai mic rang de la care toți termenii sunt strict pozitivi.

9. (Problemă aplicată.) Două aplicații de economii arată, în luna $n$ , sumele $a_{n}$ și $b_{n}$ , cu $a_{n} \leq b_{n}$ în fiecare lună. Știind că ambele sume se stabilizează, explică ce se poate afirma despre valorile finale și de ce nu se poate afirma că prima rămâne strict mai mică.

10. Arată că $(\frac{1}{3})^{n} < \frac{1}{n}$ pentru orice $n \geq 1$ și spune ce obții prin trecere la limită.

11. Se știe că $a_{n} \geq n$ pentru orice $n$ și că șirul $(a_{n})$ are limită. Arată că limita este $+ \infty$ .

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a_{n} > 0$ pentru orice $n$ și șirul este convergent, atunci limita lui este strict pozitivă."

13. Arată că nu există niciun șir cu limita $2$ și cu $a_{n} \leq 1$ pentru orice $n$ .

14. Se știe că $n \to \infty lim a_{n} = - 3$ . Arată că există un rang de la care $a_{n} < - 2$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră șirul $a_{n} = 3 - (\frac{1}{2})^{n}$ . a) Arătați că $\frac{5}{2} \leq a_{n} < 3$ pentru orice $n \geq 1$ . b) Încadrați limita șirului. c) Explicați de ce limita nu poate fi $3, 5$ .

16. Se știe că $∣ a_{n} ∣ \leq 3$ pentru orice $n$ și că șirul are limită. Încadrează limita.

17. Explică, pe exemplul $a_{n} = - 1$ și $b_{n} = (- 1)^{n}$ , de ce teorema cere ca ambele șiruri să aibă limită.

18. (Provocare.) Refă demonstrația teoremei în cazul limitelor finite, cu $ε = \frac{α - β}{2}$ , și arată exact unde intervine ipoteza „inegalitatea are loc de la un rang încolo", nu neapărat pentru toți $n$ .

Răspunsuri și explicații

1. Prin trecere la limită în $a_{n} \leq 7$ obținem $lim a_{n} \leq 7$ . Nu se poate spune mai mult: limita poate fi orice număr din $[- \infty, 7]$ .

2. Analog, $lim a_{n} \geq - 2$ .

3. Fals. Contraexemplu: $a_{n} = 0$ și $b_{n} = \frac{1}{n}$ , cu $a_{n} < b_{n}$ pentru orice $n$ , dar cu ambele limite egale cu $0$ . La trecerea la limită, orice inegalitate devine nestrictă.

4. Adevărat. Este exact teorema demonstrată în paragraful 2, cu ipoteza esențială că ambele șiruri au limită.

5. De exemplu $a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ și $b_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ : inegalitatea $a_{n} < b_{n}$ e strictă la fiecare rang, iar ambele limite sunt $1$ . Alt exemplu, la fel de bun: $a_{n} = - \frac{1}{n}$ și $b_{n} = \frac{1}{n}$ , cu limitele egale cu $0$ .

6. Din încadrare rezultă $1 \leq lim a_{n} \leq 4$ , deci $5$ este imposibilă. Valoarea $1$ este posibilă: șirul constant $a_{n} = 1$ verifică ipotezele și are limita $1$ .

7. Cum $\frac{1}{n ^{2}} > 0$ , avem $a_{n} = 4 - \frac{1}{n ^{2}} < 4$ pentru orice $n$ . Teorema dă $lim a_{n} \leq 4$ , iar limita chiar este $4$ : concluzia nestrictă e verificată, iar cea strictă ar fi fost falsă.

8. $6 - \frac{20}{n} > 0 ⟺ 6 n > 20 ⟺ n > \frac{10}{3} \approx 3, 33$ , deci cel mai mic rang este $n = 4$ . Verificare: $a_{3} = 6 - \frac{20}{3} = - \frac{2}{3} < 0$ , iar $a_{4} = 6 - 5 = 1 > 0$ ✓.

9. Din $a_{n} \leq b_{n}$ și din existența ambelor limite rezultă că valoarea finală a primei aplicații este cel mult egală cu a celei de-a doua. Nu se poate afirma inegalitatea strictă, pentru că diferența $b_{n} - a_{n}$ se poate micșora ea însăși spre zero — cele două sume s-ar apropia atunci de aceeași valoare, deși la fiecare lună una ar fi rămas în urmă.

10. Din Bernoulli, $3^{n} = (1 + 2)^{n} \geq 1 + 2 n > n$ , deci $(\frac{1}{3})^{n} = \frac{1}{3 ^{n}} < \frac{1}{n}$ . Prin trecere la limită obținem $0 \leq 0$ : inegalitatea se păstrează, dar devine egalitate, deci nu aduce nicio informație nouă.

11. Șirul $(n)$ are limita $+ \infty$ . Din $n \leq a_{n}$ și din faptul că $(a_{n})$ are limită, trecerea la limită dă $+ \infty \leq lim a_{n}$ , iar singurul element din $\overline{R}$ mai mare sau egal decât $+ \infty$ este $+ \infty$ însuși. Deci $lim a_{n} = + \infty$ .

12. Fals. Șirul $a_{n} = \frac{1}{n}$ are toți termenii strict pozitivi și limita $0$ . Concluzia corectă este $lim a_{n} \geq 0$ .

13. Dacă un astfel de șir ar exista, din $a_{n} \leq 1$ am obține, prin trecere la limită, $lim a_{n} \leq 1$ , adică $2 \leq 1$ — fals. Deci nu există.

14. Aplicăm varianta simetrică a propoziției din paragraful 6, cu $α = - 3$ și $c = - 2$ : cum $- 3 < - 2$ , alegem $ε = c - α = 1$ și, din definiția limitei, există un rang de la care $a_{n} \in (- 4, - 2)$ , deci în particular $a_{n} < - 2$ .

15. a) Pentru orice $n \geq 1$ , $0 < (\frac{1}{2})^{n} \leq \frac{1}{2}$ , șirul fiind strict descrescător cu primul termen $\frac{1}{2}$ . Scăzând din $3$ : $\frac{5}{2} \leq a_{n} < 3$ . b) Prin trecere la limită, $\frac{5}{2} \leq lim a_{n} \leq 3$ . c) Pentru că $3, 5 > 3$ , iar limita nu poate depăși $3$ ; formal, din $a_{n} < 3$ rezultă $lim a_{n} \leq 3 < 3, 5$ .

16. Inegalitatea $∣ a_{n} ∣ \leq 3$ înseamnă $- 3 \leq a_{n} \leq 3$ . Prin trecere la limită în ambele inegalități: $- 3 \leq lim a_{n} \leq 3$ .

17. Avem $- 1 \leq (- 1)^{n}$ pentru orice $n$ , iar primul șir are limita $- 1$ . Al doilea însă nu are limită, deci concluzia teoremei nici nu se poate scrie — nu există un număr $lim b_{n}$ pe care să-l comparăm. Ipoteza existenței ambelor limite nu este o formalitate.

18. Se presupune $α > β$ , se alege $ε = \frac{α - β}{2}$ și se obțin rangurile $n_{1}$ și $n_{2}$ de la care $a_{n} > \frac{α + β}{2}$ , respectiv $b_{n} < \frac{α + β}{2}$ . Ipoteza „de la un rang" intervine în alegerea lui $n \geq max (n_{0}, n_{1}, n_{2})$ : avem nevoie de un singur rang în care să fie adevărate simultan toate cele trei afirmații. Dacă inegalitatea $a_{n} \leq b_{n}$ ar avea loc doar pentru un număr finit de valori ale lui $n$ , un asemenea rang comun ar putea să nu existe, iar demonstrația ar cădea.

De reținut

Teorema: dacă $a_{n} \leq b_{n}$ de la un rang încolo și ambele șiruri au limită în $\overline{R}$ , atunci $lim a_{n} \leq lim b_{n}$ .
Inegalitatea strictă NU se păstrează. Din $a_{n} < b_{n}$ se poate deduce doar $lim a_{n} \leq lim b_{n}$ ; contraexemplul de reținut este $0 < \frac{1}{n}$ , cu ambele limite egale cu $0$ .
Consecința practică: dacă $u \leq a_{n} \leq v$ , atunci limita, dacă există, se află tot în $[u, v]$ — o unealtă de încadrare și de respingere, nu de calcul.
Drumul invers se face cu inegalitate strictă: dacă limita este mai mare decât $c$ , atunci termenii depășesc $c$ de la un rang încolo (în particular, limită strict pozitivă înseamnă termeni pozitivi de la un rang).
Teorema compară limite, nu le creează. Existența ambelor limite este ipoteză, nu concluzie.

Greșeli frecvente

Păstrarea inegalității stricte. Din $a_{n} < 2$ se scrie $lim a_{n} < 2$ . Corect este $lim a_{n} \leq 2$ ; șirul $2 - \frac{1}{n}$ arată că egalitatea chiar se poate atinge.
Uitarea ipotezei de existență. Se compară „limitele" a două șiruri dintre care unul nu are limită, ca în cazul lui $((- 1)^{n})$ . Înainte de a scrie concluzia, se justifică faptul că ambele limite există.
Confundarea cu criteriile de existență. Se crede că din $a_{n} \leq b_{n}$ și „ $(a_{n})$ convergent" rezultă că $(b_{n})$ e convergent. Fals: comparația care produce existența este criteriul majorării, cu ipoteze diferite.
Aplicarea inversă a inegalității. Din $a_{n} \leq b_{n}$ se trage concluzia $lim b_{n} \leq lim a_{n}$ , dintr-o scriere grăbită. Ordinea se păstrează, nu se răstoarnă: sensul rămâne același.
Concluzia „pentru orice $n$ " la conservarea semnului. Din faptul că limita e pozitivă se afirmă că toți termenii sunt pozitivi. Corect: doar de la un rang încolo — vezi $3 - \frac{10}{n}$ , negativ la primele trei ranguri.

Aplică acasă

Cursa cu două cronometre. Notează timpul în care parcurgi aceeași distanță în zece zile la rând și cere-i unui prieten să facă la fel. Dacă timpul tău a fost în fiecare zi mai mic, iar amândoi ajungeți la un timp „de croazieră", ce poți afirma despre cele două timpuri finale? Scrie afirmația mai întâi în cuvinte, apoi cu simbolul potrivit — $\leq$ , nu $<$ .
Tabelul care topește inegalitatea. Într-un tabel cu coloanele $n$ , $1 - \frac{1}{n}$ și $1 + \frac{1}{n}$ , completează rândurile pentru $n = 1, 2, 5, 10, 100, 1000$ și marchează, la fiecare rând, diferența dintre cele două coloane. Urmărește cum diferența, deși mereu pozitivă, se apropie de zero: exact mecanismul care face să se piardă inegalitatea strictă.
Vânătoare de valori imposibile. Alege un șir mărginit dintr-o problemă de manual, scrie-i o încadrare $u \leq a_{n} \leq v$ și apoi listează trei valori pe care limita nu le poate lua. Verifică-ți lista cerându-i unui coleg să găsească un contraexemplu — dacă nu găsește, argumentul tău e solid.

Pentru părinți și profesori

Lecția are un singur enunț de teoremă, dar el este folosit în restul clasei a XI-a mai des decât aproape orice altă proprietate. Elevul trebuie să iasă din lecție cu două reflexe: să verifice existența limitelor înainte de a le compara și să scrie „ $\leq$ " ori de câte ori trece la limită, chiar dacă a pornit de la „ $<$ ".

Ce verifică lecția: (1) enunțul complet, cu ambele ipoteze; (2) capacitatea de a produce, la cerere, contraexemplul care arată pierderea inegalității stricte; (3) folosirea încadrării pentru respingerea unor valori; (4) distincția dintre această teoremă și criteriile de existență. Întrebări bune de control: „De ce nu putem scrie $<$ după trecerea la limită?", „Ce ipoteză lipsește dacă unul dintre șiruri este $(- 1)^{n}$ ?", „Din faptul că toți termenii sunt pozitivi, ce se poate spune despre limită?".

La BAC M1 rezultatul apare rareori singur; el intră, aproape întotdeauna, ca pas intermediar în problemele cu șiruri recurente, unde limita se caută rezolvând o ecuație și trebuie eliminată soluția care nu respectă încadrarea. Semne că elevul a înțeles: nu mai scrie inegalități stricte în concluzia trecerii la limită și justifică spontan de ce o valoare propusă este imposibilă.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă trecerea la limită într-o inegalitate? Înseamnă că, dacă doi termeni se compară la fiecare rang — $a_{n} \leq b_{n}$ — și ambele șiruri au limită, atunci și limitele se compară în același sens: $lim a_{n} \leq lim b_{n}$ . Este singura proprietate de „ordine" care supraviețuiește trecerii la limită.

De ce se pierde inegalitatea strictă la trecerea la limită? Pentru că inegalitatea strictă cere doar ca diferența $b_{n} - a_{n}$ să fie pozitivă la fiecare rang, nu ca ea să rămână mai mare decât o valoare fixă. Diferența se poate micșora chiar ea spre zero, iar atunci limitele coincid. Exemplul standard: $0 < \frac{1}{n}$ , cu ambele limite egale cu $0$ .

Dacă toți termenii unui șir sunt pozitivi, limita este pozitivă? Limita este mai mare sau egală cu zero, nu neapărat strict pozitivă. Șirul $(\frac{1}{n})$ are toți termenii strict pozitivi și limita $0$ . Concluzia corectă se scrie întotdeauna cu $\geq$ .

Cum încadrez limita unui șir fără să o calculez? Găsești două constante $u$ și $v$ cu $u \leq a_{n} \leq v$ pentru orice $n$ (de la un rang încolo) și treci la limită: limita se află tot în intervalul $[u, v]$ . Metoda nu îți dă valoarea exactă, dar elimină toate valorile din afara intervalului.

Ce se întâmplă dacă unul dintre șiruri nu are limită? Teorema nu se poate aplica: nu există un număr pe care să-l compari. Din $- 1 \leq (- 1)^{n}$ nu obții nicio concluzie, pentru că șirul $((- 1)^{n})$ nu are limită. Existența ambelor limite este ipoteză obligatorie.

Prin ce diferă trecerea la limită de criteriul majorării? Trecerea la limită compară două limite despre care se știe dinainte că există. Criteriul majorării, studiat mai târziu, face invers: din comparația termenilor deduce că o limită există și cât este. Sunt teoreme diferite, cu ipoteze diferite.

Dacă limita unui șir este pozitivă, sunt toți termenii pozitivi? Nu, dar sunt pozitivi de la un rang încolo. Șirul $3 - \frac{10}{n}$ are limita $3 > 0$ , iar primii trei termeni sunt negativi; abia de la $n = 4$ termenii devin pozitivi. Este drumul invers, dinspre limită spre termeni, iar aici inegalitatea strictă se păstrează.