O variantă de Bacalaureat M1 rezolvată (II): pe scurt

Programa veche, după care se examinează promoțiile până în $2029$ inclusiv, adaugă la Subiectul al II-lea, problema $2$, unitatea despre inele, corpuri și polinoame peste un corp; restul variantei — Subiectul I, problema de matrice și sisteme, ambele probleme de analiză — este identic în cele două programe. La o problemă de polinoame se fac aproape întotdeauna aceleași trei mișcări: se determină parametrul dintr-o condiție (o rădăcină dată, un rest, o relație între rădăcini), se descompune peste $\mathbb{R}$ și se trece într-un ${\mathbb{Z}}_p$, unde se evaluează în toate cele $p$ clase. Uneltele sunt teorema lui Bézout și criteriul „un polinom de grad $2$ sau $3$ este reductibil peste un corp exact când are o rădăcină acolo” — la gradul $4$ criteriul cade. La sisteme, din $\Delta =0$ nu rezultă „o infinitate de soluții”: un determinant caracteristic nenul înseamnă sistem incompatibil, iar concluzia se scrie în cuvinte. Cerința „încadrați integrala fără să o calculați” se rezolvă prin monotonia integralei: din $m\le f(x)\le M$ pe $[a,b]$ rezultă $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$, cu integrabilitatea justificată prin continuitate. Controalele finale: produsul factorilor se desface înapoi, volumul conține $\pi$, iar valoarea încadrată trebuie să cadă strict între margini.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un sistem liniar de $3$ ecuații cu $3$ necunoscute are $\Delta =0$, iar unul dintre determinanții caracteristici este nenul. Sistemul este:

   • a) incompatibil
   • b) compatibil dublu nedeterminat
   • c) compatibil determinat
   • d) compatibil simplu nedeterminat
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) incompatibil

   Teorema lui Rouché spune că sistemul este compatibil dacă și numai dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli; unul nenul închide discuția: sistemul nu are nicio soluție. Aceeași concluzie se obține din Kronecker–Capelli, unde $\mathrm{rang}\overline{A}>\mathrm{rang}A$. Anularea lui $\Delta$ singură nu decide nimic — ea spune doar că sistemul nu e de tip Cramer.

2. Afirmația „un polinom fără rădăcini într-un corp $K$ este ireductibil peste $K$” este adevărată:

   • a) pentru polinoame de orice grad
   • b) numai peste corpurile ${\mathbb{Z}}_p$
   • c) numai pentru polinoamele de gradul $4$
   • d) numai pentru polinoamele de gradul $2$ sau $3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) numai pentru polinoamele de gradul $2$ sau $3$

   La gradele $2$ și $3$, orice descompunere în factori neconstanți conține un factor de gradul întâi, deci o rădăcină în $K$ — de aici echivalența. De la gradul $4$ în sus, un polinom se poate descompune în doi factori de gradul al doilea fără nicio rădăcină: peste ${\mathbb{Z}}_2$, $X^4+\hat{1}$ nu are rădăcini, dar este ${\left(X+\hat{1}\right)}^4$. Aplicarea criteriului la gradul $4$ este una dintre capcanele constante ale examenului.

3. Polinomul $g=X^3+\hat{2}X+\hat{2}\in {\mathbb{Z}}_5[X]$ are în ${\mathbb{Z}}_5$:

   • a) o singură rădăcină
   • b) nicio rădăcină, deci este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_5$
   • c) exact două rădăcini distincte, $\hat{1}$ și $\hat{3}$
   • d) trei rădăcini distincte
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) exact două rădăcini distincte, $\hat{1}$ și $\hat{3}$

   Peste ${\mathbb{Z}}_p$ se evaluează în toate cele $p$ clase — metodă completă, nu încercare: $g\left(\hat{0}\right)=\hat{2}$, $g\left(\hat{1}\right)=\hat{0}$, $g\left(\hat{2}\right)=\hat{4}$, $g\left(\hat{3}\right)=\hat{0}$, $g\left(\hat{4}\right)=\hat{4}$. Sunt două rădăcini distincte, $\hat{1}$ și $\hat{3}$; cum gradul e $3$, una dintre ele este dublă. Verificarea obligatorie: ${\left(X+\hat{4}\right)}^2\left(X+\hat{2}\right)=X^3+\hat{2}X+\hat{2}$ ✓.