O variantă de Bacalaureat M1 rezolvată și comentată (II)

Varianta din lecția anterioară a fost construită pe programa nouă a clasei a 12-a, aceea în care Subiectul al II-lea se încheie cu o lege de compoziție. Varianta de aici e cealaltă jumătate a pregătirii: programa veche, cea pe care se dau sesiunile de Bacalaureat M1 din $2027$ până în $2029$, în care problema a doua de la Subiectul al II-lea este despre inele, corpuri și polinoame. Dacă dai examenul în anii aceștia, varianta de mai jos e cea care seamănă cel mai bine cu ce vei primi în plic.

Restul structurii rămâne identic: șase cerințe la Subiectul I, două probleme cu câte trei subpuncte la fiecare dintre celelalte două subiecte, $90$ de puncte plus $10$ din oficiu, trei ore. Se schimbă doar conținutul matematic, iar aici accentul cade pe analiză: la Subiectul al III-lea vei studia o funcție cu exponențială și vei calcula un volum de rotație, apoi vei încadra o integrală fără să o calculezi. Prima variantă, cea de pe programa nouă, este la varianta de Bacalaureat M1 rezolvată (I).

În toată lecția, semnul prim înseamnă derivata unei funcții; simetricul unui element față de o lege se scrie $x^{-1}$, ca în unitatea aceasta.

Ce vei învăța

• Vei ști să duci până la capăt discuția unui sistem cu parametru, inclusiv cazul în care sistemul iese incompatibil.
• Vei ști să rezolvi o problemă de polinoame cu parametru, cu descompunere peste $\mathbb{R}$ și peste ${\mathbb{Z}}_5$.
• Vei ști să arăți că o mulțime de matrice este inel comutativ și chiar corp.
• Vei ști să studiezi o funcție de forma „polinom înmulțit cu exponențială" și să-i găsești asimptota.
• Vei ști să calculezi un volum de rotație și să încadrezi o integrală fără să o calculezi.

Hai să descoperim împreună

1. Prin ce se deosebește varianta de programa veche?

Programa veche de Bacalaureat M1 este programa după care se examinează promoțiile până în $2029$ inclusiv și care conține, în plus față de programa nouă, unitatea despre inele, corpuri și polinoame peste un corp. Consecința e una singură, dar importantă: la Subiectul al II-lea, problema a doua poate fi despre legi de compoziție și grupuri sau despre inele, corpuri și polinoame. Restul — Subiectul I, problema de matrice și sisteme, ambele probleme de analiză — este identic în cele două programe.

2. Ce se cere, concret, la o problemă de polinoame?

Aproape întotdeauna aceleași trei mișcări, în ordinea aceasta: se determină parametrul dintr-o condiție (o rădăcină dată, un rest al împărțirii, o relație între rădăcini), se descompune peste $\mathbb{R}$ și se trece într-un ${\mathbb{Z}}_p$, unde se caută rădăcinile verificând toate cele $p$ clase. Unealta care leagă primele două mișcări e teorema lui Bézout, iar unealta a treia e observația că un polinom de grad $2$ sau $3$ este reductibil peste un corp exact atunci când are o rădăcină în acel corp. Detaliile sunt la polinoame ireductibile și descompunerea în factori.

3. Cum se recunoaște un sistem incompatibil?

Când $\Delta =0$, sistemul nu mai e de tip Cramer, iar răspunsul poate fi „o infinitate de soluții" sau „nicio soluție". Cele două se despart cu una dintre teoremele de compatibilitate, exact ca la sistemele liniare cu parametru din clasa a XI-a: teorema lui Rouché (toți determinanții caracteristici nuli $⟺$ compatibil) sau teorema Kronecker–Capelli ($\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$ $⟺$ compatibil). Un determinant caracteristic nenul înseamnă sistem incompatibil, iar concluzia se scrie în cuvinte, nu doar prin valoarea determinantului.

4. Ce înseamnă „încadrați integrala fără să o calculați"?

Înseamnă că se folosește monotonia integralei: dacă $m\le f(x)\le M$ pe $[a,b]$, atunci $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$. Marginile $m$ și $M$ se obțin din monotonia lui $f$ (valorile la capete) sau dintr-o inegalitate elementară. Rețeta completă, cu cele trei etape ale ei, este la inegalitățile cu integrale. Tipul acesta de cerință apare des la Subiectul al III-lea tocmai pentru că integrala respectivă e greu sau imposibil de calculat cu metodele din programă.

5. Care sunt controalele finale ale acestei variante?

• la polinoame: produsul factorilor găsiți se desface înapoi și trebuie să dea polinomul inițial;
• la matrice: elementul neutru propus se înmulțește efectiv cu o matrice oarecare din mulțime;
• la volume: rezultatul conține obligatoriu factorul $\pi$ și este pozitiv;
• la încadrări: valoarea din mijloc trebuie să fie strict între margini, altfel inegalitatea e scrisă invers.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Strategia: harta variantei și împărțirea celor trei ore

Comentariu. Bugetul de timp este cel recomandat la structura examenului de Bacalaureat M1 — $40$, $60$, $70$ și $10$ minute de verificare —, repartizat aici pe blocuri. Varianta aceasta e mai ușoară la început și mai grea la final decât prima: subpunctele a) și b) sunt, aproape toate, calcule directe, iar dificultatea se strânge în cele patru subpuncte c). Consecința pentru gestionarea timpului: primele două ore trebuie să acopere zece subpuncte, nu opt. Cine intră devreme în discuția sistemului la $\Delta =0$ pierde exact minutele care i-ar fi adus punctele ușoare de la III.

Exemplul 2 — Subiectul I ($6$ cerințe, $30$ de puncte)

Enunțul. 1. Arătați că numărul $a=\frac{1}{\sqrt{5}-2}-\sqrt{5}$ este întreg. 2. Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+mx+9$, este tangent axei $Ox$. 3. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația ${\log }_3(x-1)+{\log }_3(x+1)=1$. 4. Determinați numărul natural $n\ge 2$ pentru care $C_n^2=45$. 5. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,0)$, $B(4,1)$ și $C(2,5)$. Calculați aria triunghiului $ABC$. 6. Calculați $\sin \frac{2\pi }{3}-\cos \frac{5\pi }{6}$.

1. Se raționalizează: $\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2$ (3 p). Atunci $a=\sqrt{5}+2-\sqrt{5}=2\in \mathbb{Z}$ (2 p).

2. Graficul e tangent axei $Ox$ exact când ecuația $f(x)=0$ are rădăcină dublă, adică $\Delta =0$ (2 p). Cum $\Delta =m^2-36$, obținem $m^2=36$, deci $m\in \{-6,6\}$ (3 p).

3. Condițiile de existență: $x-1>0$ și $x+1>0$, deci $x>1$ (1 p). Ecuația devine ${\log }_3((x-1)(x+1))=1$, adică $x^2-1=3$ (2 p), deci $x^2=4$ și $x\in \{-2,2\}$; condiția $x>1$ păstrează doar $x=2$ (2 p).

4. $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}=45$ (2 p), deci $n^2-n-90=0$, cu rădăcinile $10$ și $-9$; cum $n\in \mathbb{N}$, $n=10$ (3 p).

5. Cu formula ariei prin determinant (2 p): $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 4& 1& 1\\ 2& 5& 1\end{array}\right|=1\cdot (4\cdot 5-1\cdot 2)=18,{\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|\Delta |=9\text{(3 p)}.$$

6. $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (3 p), deci diferența este $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ (2 p).

Comentariu. La cerința $3$, punctul care se pierde cel mai des este condiția de existență: fără ea, $x=-2$ apare ca soluție și răspunsul e greșit. La cerința $2$, „tangent axei $Ox$" trebuie tradus explicit în „$\Delta =0$" — traducerea e primul pas punctat. La cerința $5$, verificarea rapidă e că $\Delta \ne 0$, adică punctele nu sunt coliniare și triunghiul chiar există.

Exemplul 3 — Subiectul al II-lea, problema 1: un sistem care poate fi incompatibil

Enunțul. Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y-z=1\\ 2x-y+3z=7\\ x+7y+mz=2\end{array}$, unde $m\in \mathbb{R}$. a) Arătați că determinantul matricei sistemului este $\Delta =-5(m+6)$. b) Rezolvați sistemul pentru $m=-5$. c) Arătați că pentru $m=-6$ sistemul este incompatibil.

a) Dezvoltând determinantul după prima linie (2 p): $$\Delta =1\cdot (-m-21)-2\cdot (2m-3)+(-1)\cdot (14+1)=-m-21-4m+6-15=-5m-30=-5(m+6)\text{(3 p)}.$$

b) Pentru $m=-5$ avem $\Delta =-5\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer (1 p). Cu coloana termenilor liberi ${}^t(172)$: $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 7& -1& 3\\ 2& 7& -5\end{array}\right|=15,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& 7& 3\\ 1& 2& -5\end{array}\right|=-25,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& -1& 7\\ 1& 7& 2\end{array}\right|=-30\text{(3 p)}.$$ Deci $x=\frac{15}{-5}=-3$, $y=\frac{-25}{-5}=5$, $z=\frac{-30}{-5}=6$, adică $S=\{(-3,5,6)\}$ (1 p). Verificare în toate ecuațiile: $-3+10-6=1$; $-6-5+18=7$; $-3+35-30=2$.

c) Pentru $m=-6$ avem $\Delta =0$ (1 p). Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right|=-5\ne 0$ arată că $\mathrm{rang}A=2$; îl luăm ca minor principal, cu ecuațiile principale primele două și ecuația secundară a treia (1 p). Determinantul caracteristic este $$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& -1& 7\\ 1& 7& 2\end{array}\right|=-51+6+15=-30\ne 0,$$ deci, prin teorema lui Rouché, sistemul este incompatibil (3 p). (Același lucru cu teorema Kronecker–Capelli: acest determinant este un minor de ordin $3$ al matricei extinse, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3\ne 2=\mathrm{rang}A$.)

Comentariu. Se vede și direct de ce sistemul „se rupe": pentru $m=-6$, linia a treia a matricei sistemului este $3L_1-L_2$, dar termenii liberi dau $3\cdot 1-7=-4$, nu $2$. Ecuațiile se contrazic. Baremul nu cere observația aceasta, dar ea e un control excelent, în două rânduri, că nu ai greșit determinantul caracteristic. Greșeala clasică la punctul c) este să se scrie „sistemul e nedeterminat" doar pentru că $\Delta =0$ — $\Delta =0$ nu spune nimic despre existența soluțiilor, ci doar că formulele lui Cramer nu se aplică.

Exemplul 4 — Subiectul al II-lea, problema 2: polinom cu parametru

Enunțul. Se consideră polinomul $f=X^3+m{X}^2+2X+2$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Determinați $m$ pentru care $-1$ este rădăcină a lui $f$. b) Pentru $m=1$, descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$. c) Pentru $m=1$, determinați rădăcinile din ${\mathbb{Z}}_5$ ale polinomului $g=X^3+X^2+\hat{2}X+\hat{2}\in {\mathbb{Z}}_5[X]$ și descompuneți-l în factori ireductibili peste ${\mathbb{Z}}_5$.

a) Prin teorema lui Bézout, $-1$ este rădăcină a lui $f$ dacă și numai dacă $f(-1)=0$ (1 p). Calculăm $f(-1)=-1+m-2+2=m-1$ (3 p), deci $m=1$ (1 p).

b) Pentru $m=1$, $f=X^3+X^2+2X+2$. Grupăm: $f=X^2(X+1)+2(X+1)=(X+1)(X^2+2)$ (3 p). Factorul $X^2+2$ are discriminantul $\Delta =0^2-4\cdot 1\cdot 2=-8<0$, deci este ireductibil peste $\mathbb{R}$ (1 p). Prin urmare descompunerea în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ este $f=(X+1)(X^2+2)$, iar $f$ are o singură rădăcină reală, $-1$ (1 p).

c) Verificăm toate cele cinci clase din ${\mathbb{Z}}_5$ (2 p):

Singura rădăcină este $\hat{4}$ (1 p). Cum $\hat{4}=-\hat{1}$, teorema lui Bézout dă $(X+\hat{1})\mid g$, iar împărțirea (sau gruparea de la punctul b), valabilă și aici) dă $$g=(X+\hat{1})(X^2+\hat{2})\text{(1 p)}.$$ Factorul $X^2+\hat{2}$ are gradul $2$ și nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_5$ (valorile lui sunt $\hat{2},\hat{3},\hat{1},\hat{1},\hat{3}$), deci este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_5$ (1 p).

Comentariu. Punctul c) folosește un criteriu valabil numai pentru gradele $2$ și $3$: un polinom de grad $2$ sau $3$ peste un corp este reductibil dacă și numai dacă are o rădăcină în acel corp. La gradul $4$ criteriul cade — $X^4+\hat{1}$ nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_5$, dar se descompune în două polinoame de gradul al doilea. Al doilea lucru de reținut: ireductibilitatea depinde de corp. Aici $X^2+2$ e ireductibil și peste $\mathbb{R}$, și peste ${\mathbb{Z}}_5$; dar $X^2+1$, ireductibil peste $\mathbb{R}$, se descompune peste ${\mathbb{Z}}_5$ în $(X+\hat{2})(X+\hat{3})$. Verificarea finală, obligatorie: se desface produsul și trebuie să iasă exact $g$.

Exemplul 5 — Subiectul al III-lea, problema 1: o funcție cu exponențială

Enunțul. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2-3)e^x$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=(x+3)(x-1)e^x$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$. b) Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției $f$. c) Determinați asimptotele la graficul funcției $f$.

a) Cu regula produsului (2 p): $$f^{\prime }(x)=2x\cdot e^x+(x^2-3)e^x=(x^2+2x-3)e^x=(x+3)(x-1)e^x\text{(3 p)}.$$

b) Cum $e^x>0$ pentru orice $x$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul trinomului $(x+3)(x-1)$ (1 p).

(2 p) pentru tabel. Deci $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-3]$, strict descrescătoare pe $[-3,1]$ și strict crescătoare pe $[1,+\infty )$ (1 p); $x=-3$ este punct de maxim local, cu $f(-3)=6e^{-3}$, iar $x=1$ este punct de minim local, cu $f(1)=-2e$ (1 p).

c) Spre $-\infty$ avem un caz de nedeterminare $\infty \cdot 0$, pe care îl aducem la $\frac{\infty }{\infty }$ (1 p): $$\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-3)e^x=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-3}{e^{-x}}\stackrel{\text{L’H}}{=}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x}{-e^{-x}}\stackrel{\text{L’H}}{=}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{e^{-x}}=0\text{(2 p)},$$ deci dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ (1 p). Spre $+\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, iar $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=+\infty$, deci nu există nici asimptotă orizontală, nici oblică spre $+\infty$ (1 p). Funcția fiind continuă pe $\mathbb{R}$, nu există asimptote verticale.

Comentariu. La punctul c) baremul cere verificarea cazului înainte de a scrie „L'Hôpital": fără fraza „suntem în cazul $\frac{\infty }{\infty }$", regula e aplicată în gol. Enunțul complet, cu toate ipotezele, este la regulile lui L'Hôpital. A doua capcană: după prima aplicare rămânem tot în cazul $\frac{\infty }{\infty }$, deci regula se aplică a doua oară — se scrie explicit, nu se sare. A treia: concluzia nu e „limita e $0$", ci „dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$" — asimptota e o dreaptă, cu ecuație. Iar afirmația „nu există asimptotă spre $+\infty$" cere ambele calcule, nu doar limita funcției.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1: Subiectul al III-lea, problema 2

Enunțul. Se consideră funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+8}$. a) Calculați ${\int }_0^{1}xf(x)dx$. b) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f$. c) Arătați că $2\sqrt{2}\le {\int }_0^{1}f(x)dx\le 3$.

a) Folosim schimbarea de variabilă $t=x^2+8$, cu $dt=2xdx$; când $x=0$ avem $t=8$, iar când $x=1$ avem $t=9$ (2 p): $${\int }_0^{1}x\sqrt{x^2+8}dx=\frac{1}{2}{\int }_8^9\sqrt{t}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}t\sqrt{t}{|}_8^9=\frac{1}{3}(27-16\sqrt{2})\text{(3 p)}.$$

b) Funcția $f$ este continuă și pozitivă pe $[0,1]$, deci volumul corpului de rotație este $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1{f}^2(x)dx$ (2 p). Cum $f^2(x)=x^2+8$, $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1(x^2+8)dx=\pi \left(\frac{x^3}{3}+8x\right){|}_0^1=\pi \left(\frac{1}{3}+8\right)=\frac{25\pi }{3}\text{(3 p)}.$$

c) Funcția $f$ este strict crescătoare pe $[0,1]$, pentru că $x\mapsto x^2+8$ este strict crescătoare pe $[0,1]$ și radicalul păstrează monotonia (1 p). Deci, pentru orice $x\in [0,1]$, $$f(0)\le f(x)\le f(1),\text{adica˘}2\sqrt{2}\le \sqrt{x^2+8}\le 3\text{(2 p)}.$$ Funcția fiind continuă, este integrabilă pe $[0,1]$; prin monotonia integralei, integrând inegalitatea pe $[0,1]$ (interval de lungime $1$) (1 p): $$2\sqrt{2}\cdot (1-0)\le {\int }_0^{1}f(x)dx\le 3\cdot (1-0),\text{deci}2\sqrt{2}\le {\int }_0^{1}f(x)dx\le 3\text{(1 p)}.$$

Comentariu. Punctul c) e cerința care separă notele mari. Ea nu se rezolvă calculând integrala — primitiva lui $\sqrt{x^2+8}$ există (rândul $13$ din tabelul primitivelor plus o integrare prin părți), dar calculul ei ar consuma un sfert de oră și nu e cerut. Pentru control acasă: valoarea exactă este $\frac{3}{2}+2\ln 2\approx 2,886$, într-adevăr între $2\sqrt{2}\approx 2,83$ și $3$ — o încadrare strânsă, ceea ce e semnul că marginile au fost bine alese. Se rezolvă din monotonia integralei, iar baremul urmărește trei elemente: încadrarea lui $f$ pe interval, justificarea integrabilității (continuitatea e suficientă) și lungimea intervalului la înmulțire. La punctul a), atenție la schimbarea limitelor: la integrala definită nu se revine la variabila $x$, se schimbă capetele. La punctul b), factorul $\pi$ nu e decorativ — un volum scris fără el e greșit, nu incomplet; deducerea formulei, din sume Riemann, este la volumul corpului de rotație.

Să exersăm

Cerințele de mai jos formează varianta-oglindă a celei rezolvate: aceeași structură și aceleași metode, alte date. La Subiectul al II-lea, problema 1 este de matrice, iar problema 2 este despre un inel de matrice — cele două fețe pe care le poate lua un subiect de programa veche.

Subiectul I.

1. Arătați că numărul $b=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ este egal cu $\sqrt{5}$.

2. Determinați valoarea minimă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+7$.

3. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația ${\log }_2(x+3)+{\log }_2(x-1)=5$.

4. Calculați $C_7^2-C_7^5$.

5. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(1,1)$, $N(5,2)$ și $P(3,7)$. Calculați aria triunghiului $MNP$.

6. Calculați $\cos \frac{3\pi }{4}+\sin \frac{7\pi }{6}$.

Subiectul al II-lea, problema 1. Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -2& 0\end{array}\right)$.

7. Calculați $\det A$ și arătați că $A^2=3A-2I_2$.

8. Determinați $A^{-1}$.

9. Calculați $A^3$, folosind relația de la exercițiul $7$.

Subiectul al II-lea, problema 2. Se consideră mulțimea $M=\left\{A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& 5b\\ b& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{Q}\right\}$.

10. Arătați că $A(a,b)\cdot A(c,d)=A(ac+5bd,ad+bc)$, pentru orice $a,b,c,d\in \mathbb{Q}$.

11. Arătați că $(M,+,\cdot )$ este inel comutativ, precizând elementul nul și elementul unitate.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Arătați că orice element nenul al lui $M$ este inversabil în $M$, deci $(M,+,\cdot )$ este corp.

Subiectul al III-lea, problema 1. Se consideră $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=x{e}^{-x}$.

13. Arătați că $h^{\prime }(x)=(1-x)e^{-x}$.

14. Determinați intervalele de monotonie și punctul de maxim al funcției $h$.

15. Determinați asimptota la graficul funcției $h$ spre $+\infty$ și arătați că $h(x)\le \frac{1}{e}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

Subiectul al III-lea, problema 2. Se consideră $g:[0,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{x+2}$.

16. Calculați ${\int }_0^2{g}^2(x)dx$.

17. Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $g$.

18. (Provocare.) Arătați că $2\sqrt{2}\le {\int }_0^{2}g(x)dx\le 4$, apoi calculați valoarea exactă a integralei și verificați încadrarea.

Răspunsuri și explicații

1. Aducând la același numitor, $b=\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})-(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{7-5}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$.

2. $f(x)=(x-2{)}^2+3\ge 3$, cu egalitate pentru $x=2$, deci valoarea minimă este $3$.

3. Condiții: $x>1$. Ecuația devine $(x+3)(x-1)=2^5=32$, adică $x^2+2x-35=0$, cu rădăcinile $5$ și $-7$; rămâne $x=5$.

4. $C_7^5=C_7^2$ (combinări complementare), deci diferența este $0$. Numeric: $21-21=0$.

5. $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 5& 2& 1\\ 3& 7& 1\end{array}\right|=-4-2+24=22$, deci ${\mathcal{S}}_{MNP}=\frac{22}{2}=11$.

6. $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin \frac{7\pi }{6}=-\frac{1}{2}$, deci suma este $-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$.

7. $\det A=3\cdot 0-1\cdot (-2)=2$ și $\mathrm{tr}(A)=3$. Prin calcul direct, $A^2=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ -6& -2\end{array}\right)$, iar $3A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ -6& -2\end{array}\right)$; egalitatea este ecuația Hamilton–Cayley.

8. Din $A^2-3A=-2I_2$ rezultă $A(3I_2-A)=2I_2$, deci $A^{-1}=\frac{1}{2}(3I_2-A)=\left(\begin{array}{cc}0& -\frac{1}{2}\\ 1& \frac{3}{2}\end{array}\right)$. Verificare: $A\cdot A^{-1}=I_2$.

9. $A^3=A\cdot A^2=A(3A-2I_2)=3A^2-2A=3(3A-2I_2)-2A=7A-6I_2=\left(\begin{array}{cc}15& 7\\ -14& -6\end{array}\right)$.

10. $\left(\begin{array}{cc}a& 5b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& 5d\\ d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac+5bd& 5(ad+bc)\\ bc+ad& ac+5bd\end{array}\right)=A(ac+5bd,ad+bc)$.

11. $M$ e parte stabilă față de adunare ($A(a,b)+A(c,d)=A(a+c,b+d)$) și, prin exercițiul $10$, față de înmulțire. Axiomele se moștenesc din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{Q})$; elementul nul este $A(0,0)=O_2$, opusul lui $A(a,b)$ este $A(-a,-b)$, elementul unitate este $A(1,0)=I_2$. Comutativitatea înmulțirii se citește pe formula de la $10$, simetrică în perechile $(a,b)$ și $(c,d)$.

12. $\det A(a,b)=a^2-5b^2$. Dacă $a^2=5b^2$ cu $b\ne 0$, atunci $\sqrt{5}=\left|\frac{a}{b}\right|\in \mathbb{Q}$, fals; deci $\det A(a,b)=0$ doar pentru $a=b=0$. Pentru $A(a,b)\ne O_2$, notând $D=a^2-5b^2\ne 0$, avem $A(a,b)\cdot A\left(\frac{a}{D},-\frac{b}{D}\right)=A(1,0)=I_2$, iar inversa aparține lui $M$. Deci $(M,+,\cdot )$ este corp.

13. $h^{\prime }(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot (-e^{-x})=(1-x)e^{-x}$.

14. Cum $e^{-x}>0$, semnul lui $h^{\prime }$ este semnul lui $1-x$: $h$ e strict crescătoare pe $(-\infty ,1]$ și strict descrescătoare pe $[1,+\infty )$, deci $x=1$ este punct de maxim, cu $h(1)=\frac{1}{e}$.

15. $\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{e^x}$, caz $\frac{\infty }{\infty }$, iar prin regula lui L'Hôpital limita este $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{e^x}=0$; deci $y=0$ e asimptotă orizontală spre $+\infty$. Din exercițiul $14$, maximul global al lui $h$ este $\frac{1}{e}$, deci $h(x)\le \frac{1}{e}$ pentru orice $x$ real.

16. ${\int }_0^2(x+2)dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right){|}_0^2=2+4=6$.

17. $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^2{g}^2(x)dx=6\pi$.

18. $g$ e strict crescătoare pe $[0,2]$, deci $\sqrt{2}=g(0)\le g(x)\le g(2)=2$; integrând pe un interval de lungime $2$, obținem $2\sqrt{2}\le {\int }_0^{2}g\le 4$. Valoarea exactă: ${\int }_0^2(x+2{)}^{1/2}dx=\frac{2}{3}(x+2)\sqrt{x+2}{|}_0^2=\frac{2}{3}(8-2\sqrt{2})=\frac{16-4\sqrt{2}}{3}\approx 3,45$, într-adevăr între $2\sqrt{2}\approx 2,83$ și $4$.

De reținut

• Programa veche de Bacalaureat M1, valabilă pentru sesiunile până în $2029$, adaugă la Subiectul al II-lea problemele de inele, corpuri și polinoame.
• $\Delta =0$ nu înseamnă „sistem nedeterminat": cazul se tranșează cu teorema lui Rouché sau cu teorema Kronecker–Capelli, iar un determinant caracteristic nenul dă sistem incompatibil.
• Un polinom de grad $2$ sau $3$ peste un corp este reductibil dacă și numai dacă are o rădăcină în acel corp; pentru gradul $4$ criteriul nu se aplică.
• Volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui $f\ge 0$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$, iar factorul $\pi$ face parte din rezultat.
• O integrală se poate încadra fără să fie calculată: din $m\le f\le M$ pe $[a,b]$ rezultă $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$, cu integrabilitatea justificată prin continuitate.

Greșeli frecvente

• Ecuație logaritmică rezolvată fără condiții de existență. La ${\log }_3(x-1)+{\log }_3(x+1)=1$, rădăcina $x=-2$ a ecuației pătratice nu e soluție; condiția $x>1$ se scrie înainte de calcul, nu după.
• $\Delta =0$ citit ca „o infinitate de soluții". Când determinantul se anulează, sistemul poate fi la fel de bine incompatibil; concluzia vine numai după calculul determinantului caracteristic sau al rangurilor.
• Criteriul rădăcinii aplicat la gradul $4$. „Nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_5$, deci e ireductibil" e adevărat pentru gradele $2$ și $3$, dar fals pentru gradul $4$: acolo trebuie încercate și produsele de două polinoame de gradul al doilea.
• L'Hôpital fără verificarea cazului. Regula se aplică numai după ce s-a scris că suntem în cazul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$; la $\lim (x^2-3)e^x$ trebuie întâi rescrierea ca raport.
• Volumul scris fără $\pi$ sau aria confundată cu volumul. ${\int }_a^{b}f$ este aria subgraficului, $\pi {\int }_a^b{f}^2$ este volumul corpului de rotație; cele două nu se amestecă.

Aplică acasă

1. Rezolvă varianta-oglindă în trei ore, cu ceasul pornit, fără să te uiți la răspunsuri. Notează separat subpunctele la care ai avut nevoie de mai mult de opt minute.
2. Ia sistemul de la Exemplul $3$ și reia discuția completă: pentru ce valori ale lui $m$ este compatibil determinat, ce se întâmplă la $m=-6$ și cum s-ar schimba răspunsul dacă termenul liber al ecuației a treia ar fi $-4$ în loc de $2$.
3. Alege polinomul $X^3+X^2+\hat{2}X+\hat{2}$ și reia punctul c) al Exemplului $4$ peste ${\mathbb{Z}}_3$ și peste ${\mathbb{Z}}_7$. Compară descompunerile: în care dintre cele trei corpuri polinomul se descompune în factori de gradul întâi?

Pentru părinți și profesori

Lecția este a doua variantă completă din capitolul de pregătire și acoperă programa veche, adică exact ce primesc la BAC M1 promoțiile până în $2029$. Ea verifică patru capacități: discuția completă a unui sistem cu parametru (inclusiv cazul incompatibil), lucrul cu polinoame peste $\mathbb{R}$ și peste ${\mathbb{Z}}_5$, studiul unei funcții de tip „polinom înmulțit cu exponențială" și aplicațiile integralei definite — volum de rotație și încadrare.

Întrebări de control: Ce se întâmplă cu un sistem când determinantul se anulează? Când este reductibil un polinom de gradul al treilea? Ce ipoteză cere regula lui L'Hôpital? Care e formula volumului corpului de rotație?

Semne că a înțeles: scrie condițiile de existență înainte de a rezolva ecuația logaritmică; nu confundă $\Delta =0$ cu „nedeterminat"; verifică descompunerea polinomului desfăcând produsul; încadrează integrala fără să încerce să o calculeze.

Unde apare la BAC M1: varianta reproduce structura oficială. Problema de polinoame peste ${\mathbb{Z}}_p$ și problema de inel de matrice sunt tipuri care apar constant în sesiunile pe programa veche; problemele de analiză sunt comune celor două programe.

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre programa veche și programa nouă la Bacalaureat M1?

Programa veche conține, în plus, unitatea despre inele, corpuri și polinoame peste un corp. Ea se aplică promoțiilor care dau examenul până în $2029$ inclusiv. Practic, singura deosebire în subiect este problema a doua de la Subiectul al II-lea, care poate fi despre legi de compoziție și grupuri sau despre inele și polinoame.

Ce fac dacă determinantul sistemului se anulează?

Se trece la discuție. Se caută un minor principal nenul, care dă rangul matricei sistemului, apoi se calculează determinanții caracteristici. Dacă toți sunt nuli, sistemul e compatibil nedeterminat; dacă măcar unul e nenul, sistemul e incompatibil. Aceeași concluzie se obține comparând rangul matricei sistemului cu rangul matricei extinse.

Cum arăt că un polinom este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_5$?

Pentru gradul $2$ sau $3$ e suficient să arăți că nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_5$: se calculează valorile în toate cele cinci clase. Pentru gradul $4$ criteriul nu mai e suficient — trebuie încercate și descompunerile în două polinoame de gradul al doilea, pentru că un polinom fără rădăcini poate avea totuși astfel de factori.

Cum se calculează volumul unui corp de rotație?

Dacă funcția $f$ este continuă și pozitivă pe $[a,b]$, corpul obținut prin rotirea subgraficului ei în jurul axei $Ox$ are volumul $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Se ridică la pătrat funcția, se integrează pe intervalul dat și se înmulțește cu $\pi$. Rezultatul se scrie cu unitatea de măsură atunci când problema o cere.

Cum încadrez o integrală fără să o calculez?

Se găsesc două numere $m$ și $M$ cu $m\le f(x)\le M$ pe tot intervalul, de obicei din monotonia funcției. Se justifică integrabilitatea, cel mai simplu prin continuitate, apoi se folosește monotonia integralei: $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$. Metoda funcționează și când primitiva nu se poate scrie.

De ce trebuie verificat cazul înainte de a aplica regula lui L'Hôpital?

Pentru că în afara cazurilor $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$ regula dă rezultate false. Raportul derivatelor poate avea o limită complet diferită de limita raportului inițial. De aceea baremul acordă puncte separate pentru fraza care identifică nedeterminarea, înaintea calculului propriu-zis.

Se pot pierde puncte chiar dacă rezultatul final e corect?

Da, și se pierd des. Baremul punctează pași, nu doar răspunsul: ipoteza unei teoreme nescrisă, condiția de existență lipsă, concluzia formulată doar prin cifre. Invers, un rezultat final greșit poate păstra trei din cele cinci puncte dacă pașii intermediari sunt corecți și scriși.

Cum mă antrenez cel mai bine cu variantele rezolvate?

Rezolvi întâi varianta-oglindă cronometrat, fără să te uiți la rezolvarea comentată. Apoi îți pui singur punctajul, pas cu pas, după baremul din lecție. La final citești comentariile și reții doar locurile în care punctajul tău a diferit de barem — acelea sunt greșelile tale de redactare, nu de matematică.