Volume de rotație în probleme: pe scurt

Când se rotește regiunea dintre graficele a două funcții continue cu $f\ge g\ge 0$, volumul este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b\left(f^2(x)-g^2(x)\right)dx$, formulă dedusă ca diferență a două volume de rotație. Integrandul este aria coroanei circulare de raze $f(x)$ și $g(x)$, deci scăderea se face între pătrate, niciodată între funcții: pentru $f=2$, $g=1$ pe $[0,1]$ ies $3\pi$ față de $\pi$. Condiția $g\ge 0$ nu este decorativă — fără ea $C_g$ nu mai este corpul de rotație al unui subgrafic, iar „gaura adevărată” cere $g>0$ pe tot intervalul. Din formulă se deduc corpurile care apar în probleme: elipsoidul de rotație obținut din $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ prin rotație în jurul axei $Ox$ are volumul $\frac{4\pi a{b}^2}{3}$, unde $a$ este semiaxa de pe axa de rotație, iar $b$ raza secțiunii maxime, care apare la pătrat pentru că din ea se face discul; pentru $a=b$ se regăsește sfera. Paraboloidul obținut din $y^2=2px$ pe $[0,h]$ are volumul $\pi p{h}^2$, adică jumătate din cilindrul circumscris; aici $p$ se citește din $2p$, nu direct din ecuație. La problemele cu poveste modelarea are trei etape: așezarea obiectului cu axa pe $Ox$, determinarea funcției-profil din valorile de la capete și verificarea modelului înainte de integrare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a regiunii cuprinse între graficele funcțiilor $f(x)=5$ și $g(x)=3$, pe intervalul $[0,2]$, este:

   • a) $8\pi$
   • b) $32\pi$
   • c) $4\pi$
   • d) $50\pi$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $32\pi$

   Corpul este o țeavă: $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^2\left(25-9\right)dx=32\pi$. Varianta $8\pi$ vine din $\pi {\int }_0^2(f-g{)}^2$, adică din scăderea funcțiilor înainte de ridicarea la pătrat — greșeala numărul unu a lecției. Control: diferența cilindrilor, $\pi \cdot 25\cdot 2-\pi \cdot 9\cdot 2=32\pi$.

2. Formula $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b\left(f^2-g^2\right)dx$ se aplică:

   • a) numai dacă $f\ge g\ge 0$ pe $[a,b]$
   • b) pentru orice $f\ge g$
   • c) numai dacă $g$ este constantă
   • d) numai dacă $f$ și $g$ nu se intersectează
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) numai dacă $f\ge g\ge 0$ pe $[a,b]$

   Se cer ambele condiții: $f\ge g$, ca diferența pătratelor să fie pozitivă, și $g\ge 0$, ca $C_g$ să fie el însuși corpul de rotație al unui subgrafic. Dacă $g$ ia valori negative, expresia $\pi \left(f^2-g^2\right)$ nu mai este aria unei coroane, iar rezultatul nu mai are sens geometric. Intersecțiile și forma lui $g$ nu intervin în ipoteze.

3. Elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$ se rotește în jurul axei $Ox$. Volumul elipsoidului obținut este:

   • a) $\frac{200\pi }{3}$
   • b) $\frac{500\pi }{3}$
   • c) $\frac{80\pi }{3}$
   • d) $\frac{40\pi }{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{80\pi }{3}$

   Semiaxa de pe axa de rotație este $a=5$, iar raza secțiunii maxime este $b=2$, deci $\mathcal{V}=\frac{4\pi a{b}^2}{3}=\frac{4\pi \cdot 5\cdot 4}{3}=\frac{80\pi }{3}$. Varianta $\frac{200\pi }{3}$ este $\frac{4\pi a^{2}b}{3}$, adică semiaxele inversate — exact greșeala de evitat; $\frac{500\pi }{3}$ este volumul sferei de rază $5$, iar $\frac{40\pi }{3}$ înjumătățește rezultatul.