Volume de rotație în probleme

Formula volumului unui corp de rotație are, la clasa a 12-a, o singură dificultate reală: nu calculul integralei, ci alegerea funcției și a intervalului. Un enunț de examen nu îți spune „integrează $\pi f^2$ de la $a$ la $b$"; îți dă un rezervor sferic umplut până la un metru, un butoi cu doagele bombate, un pahar cu profil parabolic sau o pereche de grafice și te lasă să traduci. Lecția aceasta este despre traducere. Corpul obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a regiunii dintre graficele a două funcții continue cu $f(x)\ge g(x)\ge 0$ are volumul $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b\left(f^2(x)-g^2(x)\right)dx$, adică diferența volumelor celor două corpuri de rotație.

Vei vedea cinci familii de probleme, toate reduse la aceeași formulă. Corpurile „cu gaură", obținute prin rotirea regiunii dintre două grafice — de aici vine singura formulă nouă a lecției, și ea se demonstrează ca diferență a două volume cunoscute. Apoi elipsoidul de rotație, care leagă unitatea despre conice de unitatea despre integrale. Paraboloidul, cu proprietatea lui elegantă. Obiectele reale cu profil dat, unde tot lucrul este modelarea. Și, în final, tiparul de Bacalaureat M1, cu redactarea care ia toate punctele.

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi și să folosești formula $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b\left(f^2-g^2\right)dx$ pentru corpurile mărginite de două grafice.
• Vei ști să verifici, înainte de a integra, condiția $f\ge g\ge 0$ și să spui ce se strică dacă lipsește.
• Vei ști să calculezi volumul elipsoidului de rotație și pe cel al paraboloidului, pornind de la ecuațiile canonice ale conicelor.
• Vei ști să transformi un obiect real — butoi, pahar, rezervor — într-o funcție, un interval și o integrală.
• Vei ști să redactezi complet o problemă de volum în formatul Subiectului al III-lea.

Hai să descoperim împreună

1. Cum se calculează volumul unui corp cu gaură?

Corpul de rotație dintre două grafice este corpul obținut prin rotirea completă, în jurul axei $Ox$, a regiunii plane cuprinse între graficele a două funcții continue $f$ și $g$ care satisfac $f(x)\ge g(x)\ge 0$ pe $[a,b]$; el arată ca un corp plin din care s-a scos, de-a lungul axei, un al doilea corp de rotație.

Deducerea este scurtă și folosește doar formula de la lecția despre volumul corpului de rotație. Notăm cu $C_f$ și $C_g$ corpurile de rotație determinate de $f$, respectiv de $g$, pe același interval $[a,b]$. Din $0\le g\le f$ rezultă că, în dreptul fiecărui $x$, discul de rază $g(x)$ este inclus în discul de rază $f(x)$; prin urmare $C_g\subseteq C_f$, iar corpul nostru este exact diferența $C_f\setminus C_g$, adică ce rămâne din $C_f$ după ce i se scoate $C_g$.

Presupunem, ca la lecția precedentă, că aceste corpuri au volum și că volumul unei reuniuni de corpuri fără puncte interioare comune este suma volumelor. Atunci $\mathcal{V}(C_f)=\mathcal{V}(C_g)+\mathcal{V}(C_f\setminus C_g)$, de unde $$\mathcal{V}(C_f\setminus C_g)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx-\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx=\pi {\int }_a^b\left(f^2(x)-g^2(x)\right)dx,$$ ultima egalitate fiind chiar liniaritatea integralei definite. Reține că aceasta nu este o formulă nouă din programă, ci o consecință: programa dă volumul corpului obținut prin rotația subgraficului unei funcții continue și pozitive, iar noi am scăzut două astfel de volume.

Interpretarea pe secțiuni este cea care se reține cel mai ușor. Secțiunea corpului cu un plan perpendicular pe axă nu mai este un disc, ci o coroană circulară de rază exterioară $f(x)$ și rază interioară $g(x)$, a cărei arie este $\pi f^2(x)-\pi g^2(x)$. Integrandul rămâne, ca întotdeauna, aria secțiunii.

2. Când se poate folosi formula diferenței?

Condiția are două părți, iar a doua se uită cel mai des: $$f(x)\ge g(x)\text{și}g(x)\ge 0\text{pentru orice }x\in [a,b].$$

Prima parte spune care funcție este „afară" și care „înăuntru". Dacă graficele se intersectează în interiorul intervalului, ele își schimbă rolurile, deci se taie intervalul în punctul de intersecție și se scrie câte o integrală pe fiecare bucată — la fel ca la ariile de la lecția despre aria suprafeței cuprinse între graficele a două funcții.

A doua parte spune că gaura trebuie să existe cu adevărat. Dacă $g$ ia valori negative, corpul $C_g$ nu mai este definit ca rotație a unui subgrafic, iar diferența $f^2-g^2$ nu mai are semnificația de arie a unei coroane. Un exemplu de vorbit corect: dacă $g(a)=0$, ca la $g(x)=x^2$ pe un interval care începe în $0$, atunci gaura se închide în acel capăt și corpul nu mai are un canal care îl străbate — este plin la un capăt. Formula rămâne valabilă, dar cuvântul „gaură" nu mai descrie fidel figura. O gaură adevărată, care străbate corpul dintr-un capăt în celălalt, cere $g>0$ pe tot intervalul: cea mai simplă este țeava, cu $f$ și $g$ constante.

Și o egalitate falsă, de reținut ca atare: $\pi {\int }_a^b\left(f^2-g^2\right)dx\ne \pi {\int }_a^b{\left(f-g\right)}^{2}dx$. Pe $f=2$, $g=1$ și $[0,1]$, prima dă $3\pi$, a doua $\pi$. Scăderea se face între pătrate, nu între funcții.

3. Cum se calculează volumul unui elipsoid de rotație?

Rotim în jurul axei $Ox$ jumătatea de sus a elipsei de ecuație canonică $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, cu $a,b>0$. Din ecuație scoatem $y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)=\frac{b^2}{a^2}\left(a^2-x^2\right)$, deci semielipsa superioară este graficul funcției $$f:[-a,a]\to \mathbb{R},f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}.$$ Este aceeași semielipsă folosită la lecția despre aria discului și aria interiorului unei elipse — acolo, pentru arie, radicalul cerea o substituție trigonometrică. Aici nu cere nimic: pătratul funcției este chiar expresia de mai sus, un polinom. $$\mathcal{V}=\pi {\int }_{-a}^a\frac{b^2}{a^2}\left(a^2-x^2\right)dx=\frac{\pi b^2}{a^2}\left(a^{2}x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-a}^a=\frac{\pi b^2}{a^2}\cdot \frac{4a^3}{3},$$ adică $${\mathcal{V}}_{\text{elipsoid}}=\frac{4\pi a{b}^2}{3}.$$

Corpul obținut se numește elipsoid de rotație; semiaxa $a$ este cea de pe axa de rotație, iar $b$ este raza celei mai late secțiuni. Controlul de coerență: pentru $a=b=r$ elipsa devine cerc și formula dă $\frac{4\pi r^3}{3}$, adică volumul sferei — exact ce trebuia. Elementele elipsei, dacă ai nevoie să le recitești, sunt la lecția despre elementele elipsei și graficul ei.

4. Cât este volumul unui paraboloid de rotație?

Rotim în jurul axei $Ox$ porțiunea de parabolă de ecuație $y^2=2px$ cuprinsă între $x=0$ și $x=h$, cu $p>0$. Ramura superioară este graficul funcției $f(x)=\sqrt{2px}$ pe $[0,h]$, continuă și pozitivă, iar pătratul ei este $f^2(x)=2px$: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{h}2pxdx=2\pi p\cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^h=\pi p{h}^2.$$

Corpul se numește paraboloid de rotație și are o proprietate care merită reținută. Raza secțiunii celei mai largi, cea din planul $x=h$, este $R=f(h)=\sqrt{2ph}$, deci $R^2=2ph$. Cilindrul circumscris, de rază $R$ și înălțime $h$, are volumul $\pi R^{2}h=2\pi p{h}^2$. Prin urmare $$\frac{{\mathcal{V}}_{\text{paraboloid}}}{{\mathcal{V}}_{\text{cilindru circumscris}}}=\frac{\pi p{h}^2}{2\pi p{h}^2}=\frac{1}{2}.$$ Paraboloidul umple exact jumătate din cilindrul în care se înscrie — un rezultat la fel de curat ca „o treime" de la con și „două treimi" de la sferă. Forma aceasta o vezi la orice antenă de satelit și la orice far de mașină; elementele parabolei sunt la lecția despre elementele parabolei și graficul ei.

5. Cum se modelează profilul unui obiect real?

Aici stă adevărata dificultate a problemelor cu poveste, iar procedura are trei etape. Le numim Etapa 1, Etapa 2 și Etapa 3, ca să nu se confunde cu cei patru pași ai volumului de rotație.

Etapa 1. Așezi obiectul în reper. Axa de simetrie a obiectului trebuie să cadă pe $Ox$. Aproape întotdeauna obiectul este „culcat": un pahar, un butoi sau un rezervor stau în realitate cu axa verticală, dar pe hârtie îi desenăm orizontal. Această propoziție se scrie în rezolvare, altfel enunțul și desenul par să se contrazică.

Etapa 2. Citești din enunț valorile funcției la capete și în punctele-cheie. Un butoi de lungime $4$ cu raza $3$ la mijloc și $2$ la capete îți dă trei condiții. Alegi cea mai simplă familie de funcții care le poate îndeplini — o dreaptă pentru un profil drept, o parabolă pentru un profil bombat, un radical pentru un profil tot mai turtit — și determini parametrii.

Etapa 3. Verifici modelul înainte de a integra. Înlocuiești capetele și punctele-cheie în funcția găsită și confirmi că ies valorile din enunț. O verificare de zece secunde care prinde aproape toate greșelile de modelare.

Iată etapele la lucru pentru butoi. Alegem originea la mijlocul butoiului, deci intervalul $[-2,2]$. Profilul bombat cere o parabolă cu vârful pe axa $Oy$: $f(x)=c-k{x}^2$. Din $f(0)=3$ obținem $c=3$; din $f(\pm 2)=2$ obținem $3-4k=2$, deci $k=\frac{1}{4}$. Modelul este $f(x)=3-\frac{x^2}{4}$, iar verificarea confirmă: $f(0)=3$ și $f(2)=3-1=2$.

Pentru un pahar cu profil care se evazează, un radical este alegerea potrivită: $f(x)=\sqrt{1+x}$ pe $[0,8]$ descrie un vas care pornește cu raza $1$ și ajunge la raza $3$, cu peretele curbat spre exterior. Pătratul funcției este $1+x$, deci integrala este imediată.

6. Probleme cu poveste: rezervorul și globul

Două tipuri revin în manuale și în subiectele de examen.

Rezervorul sferic parțial plin. Un rezervor sferic de rază $r$ conține lichid până la înălțimea $h$ măsurată de la fund. Suprafața lichidului este un plan perpendicular pe axa verticală a sferei, deci lichidul umple exact o calotă sferică de înălțime $h$. Așezând sfera cu centrul în origine și axa pe $Ox$, calota corespunde intervalului $[r-h,r]$ pentru funcția $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$, iar volumul este $\frac{\pi h^2(3r-h)}{3}$, dedus la lecția despre volumele cilindrului, conului, trunchiului de con și sferei. Pentru $r=2\text{m}$ și $h=1\text{m}$ se obține $\frac{\pi \cdot 1\cdot 5}{3}=\frac{5\pi }{3}\approx 5,24{\text{m}}^3$, adică aproximativ $5240$ de litri.

Globul și obiectele ovale. Un ou, o minge de rugbi sau o bijuterie ovală se modelează cu un elipsoid de rotație, deci cu formula $\frac{4\pi a{b}^2}{3}$, unde $2a$ este lungimea pe axa de simetrie și $2b$ este lățimea maximă. Aici este esențial ca $a$ să fie semiaxa de pe axa de rotație; inversarea lui $a$ cu $b$ dă un rezultat diferit, pentru că $b$ apare la pătrat, iar $a$ la puterea întâi.

La toate problemele cu poveste, rezultatul se scrie cu unitatea de măsură cubică și, când enunțul vorbește de lichide, se convertește în litri: $1{\text{dm}}^3=1\text{l}$ și $1{\text{cm}}^3=1\text{ml}$.

7. Cum se redactează o problemă de volum la Bacalaureat M1?

Enunțul-tip este scurt: „calculați volumul corpului obținut prin rotirea, în jurul axei $Ox$, a subgraficului funcției $f$". Redactarea completă are cinci rânduri, în această ordine:

1. Ipotezele: „$f$ este continuă pe $[a,b]$, fiind …, și $f(x)\ge 0$ pe $[a,b]$, pentru că …".
2. Formula, cu limitele scrise: $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$.
3. Pătratul simplificat: rândul în care $f^2$ devine o expresie din tabelul primitivelor.
4. Calculul: primitiva, apoi formula Leibniz–Newton, cu $\pi$ dat factor.
5. Rezultatul: un număr pozitiv, cu unitatea cubică dacă enunțul dă unități.

La problemele cu două grafice se adaugă, între rândurile 1 și 2, verificarea inegalității $f\ge g\ge 0$ pe intervalul de lucru — de obicei prin rezolvarea ecuației $f(x)=g(x)$ și studiul semnului diferenței. Baremele acordă puncte separate pentru această verificare.

O ultimă precizare, ca să nu fii luat prin surprindere de un enunț citit în grabă: în programa clasei a 12-a se cere numai rotația în jurul axei $Ox$; o rotație în jurul axei $Oy$ s-ar reduce la aceasta prin inversarea rolurilor celor două variabile, dar acest caz nu se studiază și nu apare în subiectele de Bacalaureat M1.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Modelul minimal: țeava

Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a regiunii dintre graficele funcțiilor $f,g:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2$ și $g(x)=1$.

Ambele funcții sunt continue, iar $f(x)=2\ge 1=g(x)\ge 0$ pe tot intervalul, deci formula diferenței se aplică: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^3\left(4-1\right)dx=3\pi \cdot x{|}_0^3=9\pi .$$

Corpul este o țeavă: cilindrul de rază $2$ și înălțime $3$, din care s-a scos cilindrul de rază $1$ și aceeași înălțime. Controlul direct confirmă: $\pi \cdot 4\cdot 3-\pi \cdot 1\cdot 3=12\pi -3\pi =9\pi$. Aceasta este singura figură din lecție cu o gaură care o străbate dintr-un capăt în celălalt, pentru că doar aici $g$ este strict pozitivă pe tot intervalul.

Exemplul 2. Regiunea dintre o parabolă și un radical

Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a regiunii cuprinse între graficele funcțiilor $f,g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$ și $g(x)=x^2$.

Verificarea condiției. Pe $[0,1]$ avem $x^2\le x\le \sqrt{x}$, deci $f(x)\ge g(x)\ge 0$; graficele se ating doar în capete, unde $f(0)=g(0)=0$ și $f(1)=g(1)=1$.

Calculul. $f^2(x)=x$ și $g^2(x)=x^4$, deci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1\left(x-x^4\right)dx=\pi \left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^5}{5}\right){|}_0^1=\pi \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=\frac{3\pi }{10}.$$

Observă forma corpului: la ambele capete cele două grafice se ating, deci corpul se închide acolo. Nu este o țeavă, ci un obiect asemănător unei mărgele cu un canal care nu o străbate — exact situația descrisă la subsecțiunea 2.

Exemplul 3. Elipsoidul de rotație

Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a regiunii mărginite de elipsa $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ și de axa $Ox$, pentru $y\ge 0$.

Din ecuația canonică citim $a=3$ și $b=2$. Semielipsa superioară este graficul funcției $f(x)=\frac{2}{3}\sqrt{9-x^2}$ pe $[-3,3]$, continuă și pozitivă. Atunci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_{-3}^3\frac{4}{9}\left(9-x^2\right)dx=\frac{4\pi }{9}\left(9x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-3}^3=\frac{4\pi }{9}\left(18+18\right)=16\pi .$$ Formula generală confirmă: $\frac{4\pi \cdot 3\cdot 4}{3}=16\pi$. Corpul este un elipsoid alungit pe direcția axei $Ox$, de lungime $6$ și lățime maximă $4$.

Exemplul 4. Paraboloidul

Se rotește în jurul axei $Ox$ porțiunea din parabola $y^2=4x$ cuprinsă între $x=0$ și $x=3$. Calculează volumul corpului obținut și compară-l cu volumul cilindrului circumscris.

Din $y^2=4x$ citim $2p=4$, deci $p=2$; funcția este $f(x)=2\sqrt{x}$ pe $[0,3]$, iar $f^2(x)=4x$. Rezultă $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{3}4xdx=4\pi \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^3=18\pi .$$ Raza secțiunii maxime este $f(3)=2\sqrt{3}$, deci $R^2=12$, iar cilindrul circumscris are volumul $\pi \cdot 12\cdot 3=36\pi$. Într-adevăr, $18\pi$ este exact jumătate din $36\pi$, așa cum arată proprietatea demonstrată la subsecțiunea 4.

Exemplul 5. Butoiul

Un butoi are lungimea $4\text{dm}$, raza $3\text{dm}$ la mijloc și raza $2\text{dm}$ la capete, iar profilul lui este arc de parabolă. Câți litri încape?

Etapa 1. Așezăm butoiul culcat, cu axa pe $Ox$ și cu originea la mijloc, deci pe intervalul $[-2,2]$.

Etapa 2. Profilul este de forma $f(x)=c-k{x}^2$. Din $f(0)=3$ rezultă $c=3$; din $f(2)=2$ rezultă $3-4k=2$, deci $k=\frac{1}{4}$. Modelul este $f(x)=3-\frac{x^2}{4}$.

Etapa 3. Verificare: $f(0)=3$ și $f(\pm 2)=3-1=2$, exact valorile din enunț.

Calculul. $f^2(x)=9-\frac{3x^2}{2}+\frac{x^4}{16}$, deci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_{-2}^2\left(9-\frac{3x^2}{2}+\frac{x^4}{16}\right)dx=\pi \left(9x-\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{80}\right){|}_{-2}^2.$$ În $x=2$ paranteza valorează $18-4+\frac{32}{80}=14+\frac{2}{5}=\frac{72}{5}$, iar în $x=-2$ valorează $-\frac{72}{5}$. Diferența este $\frac{144}{5}$, deci $$\mathcal{V}=\frac{144\pi }{5}\approx 90,5{\text{dm}}^3.$$ Butoiul încape aproximativ $90$ de litri. Control rapid: cilindrul de rază $3$ și lungime $4$ ar avea $36\pi \approx 113$ litri, iar cel de rază $2$ doar $16\pi \approx 50$; valoarea găsită se află între ele, mai aproape de cea mare — potrivit pentru un profil bombat.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$ și $g(x)=x^2$. (Este aceeași pereche de funcții pe care ai întâlnit-o la lecția despre aria suprafeței cuprinse între graficele a două funcții, unde ai calculat aria regiunii dintre grafice; acum rotim aceeași regiune și îi aflăm volumul.)

a) Determină abscisele punctelor de intersecție a graficelor celor două funcții și arată că $f(x)\ge g(x)\ge 0$ pentru orice $x\in [-1,2]$.

b) Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f$ pe intervalul $[-1,2]$.

c) Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a regiunii cuprinse între graficele funcțiilor $f$ și $g$ pe intervalul $[-1,2]$.

Rezolvare.

a) Rezolvăm $x+2=x^2$, adică $x^2-x-2=0$, cu $\Delta =1+8=9$ și soluțiile $x_1=-1$, $x_2=2$. Diferența se factorizează: $f(x)-g(x)=-(x^2-x-2)=-(x+1)(x-2)$, expresie care este pozitivă exact între rădăcini, deci $f(x)\ge g(x)$ pe $[-1,2]$. În plus, $g(x)=x^2\ge 0$ pentru orice $x$ real. Așadar $f(x)\ge g(x)\ge 0$ pe $[-1,2]$, iar ipotezele formulei sunt îndeplinite. (Din $f\ge g\ge 0$ rezultă și $f\ge 0$.)

b) Funcția $f$ este continuă, fiind funcție de gradul întâi, și pozitivă pe $[-1,2]$ conform punctului a). Prin urmare $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_{-1}^2(x+2{)}^{2}dx=\pi \cdot \frac{(x+2{)}^3}{3}{|}_{-1}^2=\pi \left(\frac{64}{3}-\frac{1}{3}\right)=21\pi .$$

c) Corpul cerut este $C_f\setminus C_g$, deci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_{-1}^2\left((x+2{)}^2-x^4\right)dx=21\pi -\pi {\int }_{-1}^2{x}^{4}dx.$$ Calculăm a doua integrală: $\pi \cdot \frac{x^5}{5}{|}_{-1}^2=\pi \left(\frac{32}{5}+\frac{1}{5}\right)=\frac{33\pi }{5}$. Prin urmare $$\mathcal{V}=21\pi -\frac{33\pi }{5}=\frac{105\pi -33\pi }{5}=\frac{72\pi }{5}.$$ Control: rezultatul este pozitiv și mai mic decât $21\pi$, adică decât volumul corpului plin — cum trebuie să fie, de vreme ce am scos ceva din el.

Să exersăm

1. Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a regiunii dintre graficele funcțiilor $f,g:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3$ și $g(x)=2$.

2. Aceeași cerință pentru $f,g:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$ și $g(x)=1$.

3. Aceeași cerință pentru $f,g:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2$ și $g(x)=x$.

4. Aceeași cerință pentru $f,g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$ și $g(x)=x$.

5. Aceeași cerință pentru $f,g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ și $g(x)=x^3$.

6. Aceeași cerință pentru $f,g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$ și $g(x)=1$.

7. Aceeași cerință pentru $f,g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2}{x}$ și $g(x)=1$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Volumul corpului dintre graficele lui $f$ și $g$ este $\pi {\int }_a^b{\left(f(x)-g(x)\right)}^{2}dx$.

9. Calculează volumul elipsoidului de rotație obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a semielipsei superioare a elipsei $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$.

10. Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a semielipsei superioare a elipsei $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25}=1$.

11. Calculează volumul paraboloidului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a porțiunii din parabola $y^2=6x$ cuprinse între $x=0$ și $x=4$.

12. Calculează volumul paraboloidului obținut din parabola $y^2=2x$, pentru $0\le x\le 5$, și verifică raportul cu cilindrul circumscris.

13. Un butoi de lungime $4$ are raza $2$ la mijloc și $1,5$ la capete, cu profil de arc de parabolă. Determină funcția-profil și calculează volumul.

14. (Problemă aplicată.) Un pahar are profilul dat de $f(x)=\sqrt{1+x}$ pe $[0,8]$, unitatea fiind centimetrul. Câți mililitri de lichid încape?

15. (Problemă aplicată.) Un rezervor sferic de rază $3\text{m}$ conține motorină până la înălțimea de $2\text{m}$. Câți metri cubi de motorină sunt în rezervor?

16. Un ou de ciocolată are forma unui elipsoid de rotație de lungime $10\text{cm}$ și lățime maximă $8\text{cm}$. Calculează-i volumul.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:[0,8]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{2x}$. a) Arată că $f$ este continuă și pozitivă. b) Calculează $\mathcal{V}(C_f)$. c) Determină $t\in (0,8)$ pentru care corpul obținut prin rotirea subgraficului lui $f$ pe $[0,t]$ are volumul $16\pi$.

18. (Provocare.) Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a regiunii dintre graficele funcțiilor $f,g:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$ și $g(x)=x$, apoi recunoaște cele două corpuri rotunde din care se obține prin scădere.

Răspunsuri și explicații

1. $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^4\left(9-4\right)dx=5\pi \cdot 4=20\pi$. Corpul este o țeavă de raze $3$ și $2$ și lungime $4$.

2. $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^2\left((x+1{)}^2-1\right)dx=\pi {\int }_0^2\left(x^2+2x\right)dx=\pi \left(\frac{8}{3}+4\right)=\frac{20\pi }{3}$.

3. $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^2\left(4-x^2\right)dx=\pi \left(8-\frac{8}{3}\right)=\frac{16\pi }{3}$. Corpul este cilindrul de rază $2$ și înălțime $2$ din care s-a scos un con — un pahar conic.

4. Pe $[0,1]$ avem $x\le \sqrt{x}$, deci ordinea este corectă. $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1\left(x-x^2\right)dx=\pi \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi }{6}$.

5. Pe $[0,1]$ avem $x^3\le x^2$. $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1\left(x^4-x^6\right)dx=\pi \left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)=\frac{2\pi }{35}$.

6. $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1\left(e^{2x}-1\right)dx=\pi \left(\frac{e^{2x}}{2}-x\right){|}_0^1=\pi \left(\frac{e^2}{2}-1-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi \left(e^2-3\right)}{2}\approx 6,89$.

7. Pe $[1,2]$ avem $\frac{2}{x}\ge 1$, deci ordinea este corectă. $\mathcal{V}=\pi {\int }_1^2\left(\frac{4}{x^2}-1\right)dx=\pi \left(-\frac{4}{x}-x\right){|}_1^2=\pi \left((-2-2)-(-4-1)\right)=\pi$.

8. Fals. Scăderea se face între pătratele funcțiilor, pentru că integrandul este aria coroanei circulare, $\pi f^2-\pi g^2$. Contraexemplu: pe $f=2$, $g=1$ și $[0,1]$, formula corectă dă $3\pi$, iar cea propusă dă $\pi$.

9. $a=6$, $b=4$, deci $\mathcal{V}=\frac{4\pi \cdot 6\cdot 16}{3}=128\pi$.

10. Atenție la roluri: semiaxa de pe axa de rotație $Ox$ este $a=2$, iar cea perpendiculară este $b=5$. Rezultă $\mathcal{V}=\frac{4\pi \cdot 2\cdot 25}{3}=\frac{200\pi }{3}$.

11. $2p=6$, deci $p=3$ și $\mathcal{V}=\pi p{h}^2=\pi \cdot 3\cdot 16=48\pi$.

12. $2p=2$, deci $p=1$ și $\mathcal{V}=\pi \cdot 1\cdot 25=25\pi$. Raza maximă este $\sqrt{2\cdot 1\cdot 5}=\sqrt{10}$, iar cilindrul circumscris are $\pi \cdot 10\cdot 5=50\pi$ — într-adevăr, dublul.

13. Pe $[-2,2]$, profilul $f(x)=c-k{x}^2$ cu $f(0)=2$ dă $c=2$, iar $f(2)=1,5$ dă $2-4k=\frac{3}{2}$, deci $k=\frac{1}{8}$ și $f(x)=2-\frac{x^2}{8}$. Atunci $f^2(x)=4-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{64}$ și $$\mathcal{V}=\pi \left(4x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{320}\right){|}_{-2}^2=\pi \left(16-\frac{8}{3}+\frac{1}{5}\right)=\frac{203\pi }{15}\approx 42,5.$$

14. $f^2(x)=1+x$, deci $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^8(1+x)dx=\pi \left(8+32\right)=40\pi \approx 125,7{\text{cm}}^3$. Paharul încape aproximativ $126$ de mililitri.

15. Motorina umple o calotă sferică de înălțime $h=2$ dintr-o sferă de rază $r=3$: $\mathcal{V}=\frac{\pi \cdot 4\cdot (9-2)}{3}=\frac{28\pi }{3}\approx 29,3{\text{m}}^3$.

16. Semiaxa de pe axa de simetrie este $a=5$, iar cea perpendiculară $b=4$, deci $\mathcal{V}=\frac{4\pi \cdot 5\cdot 16}{3}=\frac{320\pi }{3}\approx 335{\text{cm}}^3$.

17. a) $2x\ge 0$ pe $[0,8]$, deci $f$ este bine definită, continuă ca o compunere de funcții continue și pozitivă. b) $f^2(x)=2x$, deci $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^{8}2xdx=\pi x^2{|}_0^8=64\pi$. c) Pe $[0,t]$ același calcul dă $\pi t^2$; condiția $\pi t^2=16\pi$ conduce la $t^2=16$, iar din $t\in (0,8)$ rezultă $t=4$.

18. Pe $[0,3]$ avem $x+2\ge x\ge 0$, deci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^3\left((x+2{)}^2-x^2\right)dx=\pi {\int }_0^3\left(4x+4\right)dx=\pi \left(2x^2+4x\right){|}_0^3=30\pi .$$ Corpul plin este trunchiul de con cu razele $2$ și $5$ și înălțimea $3$, de volum $\frac{\pi \cdot 3}{3}\left(25+10+4\right)=39\pi$, iar cel scos este conul de rază $3$ și înălțime $3$, de volum $9\pi$. Într-adevăr, $39\pi -9\pi =30\pi$.

De reținut

• Volumul corpului obținut prin rotirea regiunii dintre graficele a două funcții continue cu $f\ge g\ge 0$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b\left(f^2(x)-g^2(x)\right)dx$, formulă care se deduce ca diferență a două volume de rotație.
• Integrandul este aria coroanei circulare de raze $f(x)$ și $g(x)$, deci scăderea se face între pătrate, niciodată între funcții.
• Elipsoidul de rotație obținut din elipsa $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ prin rotație în jurul axei $Ox$ are volumul $\frac{4\pi a{b}^2}{3}$, care pentru $a=b$ redă volumul sferei.
• Paraboloidul obținut din $y^2=2px$ pe $[0,h]$ are volumul $\pi p{h}^2$, adică exact jumătate din volumul cilindrului circumscris.
• La problemele cu poveste, modelarea se face în trei etape: așezarea obiectului cu axa pe $Ox$, determinarea funcției-profil din valorile de la capete și verificarea modelului înainte de integrare.

Greșeli frecvente

• Scăderea funcțiilor în loc de scăderea pătratelor. Se scrie $\pi {\int }_a^b(f-g{)}^{2}dx$. Corect: $\pi {\int }_a^b\left(f^2-g^2\right)dx$, pentru că aria coroanei este diferența ariilor celor două discuri; contraexemplul $f=2$, $g=1$ pe $[0,1]$ dă $3\pi$ față de $\pi$.
• Uitarea condiției $g\ge 0$. Se aplică formula diferenței doar pe baza inegalității $f\ge g$. Corect: se cer ambele condiții, $f\ge g$ și $g\ge 0$; altfel $C_g$ nu este un corp de rotație al unui subgrafic, iar diferența pătratelor nu mai este aria unei coroane.
• Inversarea semiaxelor la elipsoid. Se scrie $\frac{4\pi a^{2}b}{3}$. Corect: $\frac{4\pi a{b}^2}{3}$, unde $a$ este semiaxa de pe axa de rotație, iar $b$ raza secțiunii maxime, care apare la pătrat pentru că din ea se face discul.
• Confuzia dintre $p$ și $2p$ la paraboloid. Din $y^2=6x$ se ia $p=6$. Corect: ecuația canonică este $y^2=2px$, deci din $2p=6$ rezultă $p=3$; formula volumului este $\pi p{h}^2$, cu acest $p$.
• Modelul-profil neverificat. Se scrie o funcție-profil și se integrează imediat. Corect: Etapa 3 cere înlocuirea capetelor și a punctelor-cheie în funcția găsită, ca să confirmi valorile din enunț; zece secunde de verificare prind aproape toate greșelile de modelare.

Aplică acasă

1. Alege o sticlă de plastic transparentă și măsoară-i diametrul din $2$ în $2$ centimetri, de la fund până la gât. Propune o funcție-profil pe porțiuni (constantă pe corpul cilindric, de gradul întâi pe umăr), calculează volumul cu integrala și compară-l cu volumul scris pe etichetă.
2. Ia un ou fiert și măsoară-i lungimea și lățimea maximă cu rigla. Calculează volumul cu formula elipsoidului de rotație, apoi verifică-l scufundând oul într-un pahar gradat cu apă și citind creșterea de nivel. Abaterea îți arată cât de bun este modelul de elipsoid pentru un ou real.
3. Umple pe jumătate o minge de plastic sau un balon sferic cu apă măsurată. Măsoară raza mingii din circumferință și înălțimea apei, apoi verifică formula calotei: volumul turnat ar trebui să fie $\frac{\pi h^2(3r-h)}{3}$.

Pentru părinți și profesori

Lecția aceasta nu aduce noțiuni noi, ci antrenează traducerea: de la un obiect sau o pereche de grafice la funcția, intervalul și integrala corespunzătoare. Este exact competența pe care programa o numește modelare (XII.CS.6.6) și, în practică, este locul unde elevii pierd cele mai multe puncte — nu pentru că nu știu să integreze, ci pentru că aleg greșit funcția sau intervalul.

Ce verifică lecția: deducerea și aplicarea formulei diferenței de pătrate; verificarea condiției $f\ge g\ge 0$ înainte de calcul; calculul volumelor elipsoidului și paraboloidului pornind de la ecuațiile canonice; modelarea unui obiect real în trei etape; redactarea completă în formatul examenului.

Întrebări de control: „De ce se scad pătratele și nu funcțiile?" (pentru că integrandul este aria coroanei circulare); „Ce se întâmplă dacă $g$ ia valori negative?" (formula diferenței nu se mai aplică, pentru că $C_g$ nu mai este rotația unui subgrafic); „Care semiaxă a elipsei apare la pătrat în formula elipsoidului?" (cea perpendiculară pe axa de rotație); „Ce fracțiune din cilindrul circumscris ocupă paraboloidul?" (jumătate).

Semne că a înțeles: scrie condiția $f\ge g\ge 0$ și o justifică, fără să i se ceară; desenează întâi profilul și abia apoi scrie integrala; verifică modelul înlocuind capetele; controlează rezultatul comparându-l cu un cilindru înscris sau circumscris.

Unde apare la BAC: în problema 2 a Subiectului al III-lea, ca subpunct final al unei probleme care începe cu studiul unei funcții. Enunțurile clasice sunt „calculați volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului funcției $f$ în jurul axei $Ox$" și, mai rar, varianta cu două grafice. Baremul acordă puncte pentru scrierea formulei, pentru verificarea ipotezelor și pentru calculul integralei.

Întrebări frecvente

Care este formula volumului corpului dintre două grafice?

Formula este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b\left(f^2(x)-g^2(x)\right)dx$, valabilă când $f$ și $g$ sunt continue pe $[a,b]$ și $f(x)\ge g(x)\ge 0$ acolo. Ea se obține scăzând volumul corpului $C_g$ din volumul corpului $C_f$, deci nu este o formulă nouă, ci o consecință a formulei volumului unui corp de rotație.

De ce se scad pătratele funcțiilor și nu funcțiile?

Pentru că integrandul este aria secțiunii. Secțiunea corpului cu un plan perpendicular pe axa $Ox$ este o coroană circulară de rază exterioară $f(x)$ și rază interioară $g(x)$, iar aria ei este $\pi f^2(x)-\pi g^2(x)$. Expresia $\pi {\left(f-g\right)}^2$ ar fi aria unui disc de rază $f-g$, care nu are nicio legătură cu figura.

Când nu se poate aplica formula diferenței?

Când una dintre cele două condiții cade. Dacă graficele se intersectează în interiorul intervalului, funcțiile își schimbă rolurile, deci intervalul trebuie tăiat în punctul de intersecție. Dacă $g$ ia valori negative, corpul $C_g$ nu mai este rotația unui subgrafic, iar diferența pătratelor nu mai reprezintă aria unei coroane circulare.

Cum se calculează volumul unui elipsoid de rotație?

Se scoate $y$ din ecuația canonică a elipsei, obținând $f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$ pe $[-a,a]$, apoi se aplică formula volumului. Pătratul funcției este un polinom, deci integrala este imediată, iar rezultatul este $\frac{4\pi a{b}^2}{3}$. Aici $a$ este semiaxa de pe axa de rotație, iar $b$ raza secțiunii maxime.

Ce fracțiune din cilindru ocupă un paraboloid de rotație?

Exact jumătate. Paraboloidul obținut prin rotirea porțiunii din $y^2=2px$ cu $0\le x\le h$ are volumul $\pi p{h}^2$, iar cilindrul circumscris, de rază $\sqrt{2ph}$ și înălțime $h$, are volumul $2\pi p{h}^2$. Rezultatul este independent de $p$ și de $h$, la fel cum conul are întotdeauna o treime din cilindrul lui.

Cum modelez un obiect real ca un corp de rotație?

În trei etape. Etapa 1: așezi obiectul cu axa de simetrie pe $Ox$, chiar dacă în realitate stă vertical. Etapa 2: citești din enunț valorile razei la capete și în punctele-cheie și alegi cea mai simplă funcție care le satisface — dreaptă, parabolă sau radical. Etapa 3: verifici modelul înlocuind acele puncte, apoi integrezi.

Se cere la Bacalaureat M1 rotația în jurul axei $Oy$?

Nu. Programa clasei a 12-a cere numai volumul corpului obținut prin rotația subgraficului unei funcții continue și pozitive în jurul axei $Ox$, iar subiectele urmează programa. O rotație în jurul axei $Oy$ s-ar reduce la aceasta prin inversarea rolurilor variabilelor, dar cazul nu se studiază și nu apare în subiecte.