Volumele corpurilor rotunde, cu integrala: pe scurt

Toate corpurile rotunde din gimnaziu se obțin rotind în jurul axei $Ox$ subgraficul unei funcții simple, deci volumele lor se deduc din $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$, în loc să fie memorate. Cilindrul vine din constanta $f(x)=r$ pe $[0,h]$ — el este ipoteza de pornire a formulei, deci calculul are aici doar rolul unei verificări de coerență. Conul vine din dreapta $f(x)=\frac{r}{h}x$, unde panta se face cu înălțimea, nu cu generatoarea, pentru că axa corpului este axa $Ox$; integrala lui $x^2$ produce treimea, iar conul are exact o treime din volumul cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime. Trunchiul de con vine din $f(x)=r+\frac{R-r}{h}x$, prin dezvoltarea pătratului, iar formula $\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$ se verifică pe cazurile-limită: $R=r$ dă cilindrul, $r=0$ dă conul. Sfera vine din semicercul $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ pe $[-r,r]$ — pe $[0,r]$ s-ar obține doar semisfera —, iar aici nu se face nicio substituție: după ridicarea la pătrat integrandul este polinomul $r^2-x^2$. Calota și zona sferică folosesc aceeași funcție generatoare, pe alt interval; volumul calotei de înălțime $h$ este $\frac{\pi h^2(3r-h)}{3}$, cu $r$ raza sferei.

Exerciții din această mini-lecție

1. Volumul conului obținut prin rotirea subgraficului funcției $f:[0,9]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4}{9}x$, în jurul axei $Ox$ este:

   • a) $36\pi$
   • b) $144\pi$
   • c) $16\pi$
   • d) $48\pi$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $48\pi$

   Conul are raza $f(9)=4$ și înălțimea $9$, deci $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^9\frac{16}{81}{x}^{2}dx=\frac{16\pi }{81}\cdot \frac{729}{3}=48\pi$. Formula dedusă dă același lucru: $\frac{\pi r^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 16\cdot 9}{3}=48\pi$. Varianta $144\pi$ este volumul cilindrului circumscris, adică de trei ori mai mare.

2. Un elev calculează $\pi {\int }_0^r\left(r^2-x^2\right)dx$ și anunță că a obținut volumul sferei de rază $r$. Ce a obținut, de fapt?

   • a) volumul sferei
   • b) volumul calotei de înălțime $r$
   • c) volumul semisferei
   • d) volumul conului
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) volumul semisferei

   Sfera se obține rotind semicercul $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ pe intervalul $[-r,r]$; pe $[0,r]$ se rotește doar sfertul de disc din dreapta, deci rezultatul $\frac{2\pi r^3}{3}$ este volumul semisferei, jumătate din $\frac{4\pi r^3}{3}$. Uitarea capătului negativ este greșeala clasică a lecției.

3. Pentru trunchiul de con cu raza bazei mari $R$ în planul $x=0$, raza bazei mici $r$ în planul $x=h$, funcția generatoare este:

   • a) $f(x)=R+\frac{r-R}{h}x$
   • b) $f(x)=R+\frac{R-r}{h}x$
   • c) $f(x)=r+\frac{R-r}{h}x$
   • d) $f(x)=\frac{R}{h}x$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $f(x)=R+\frac{r-R}{h}x$

   Verificarea se face pe capete: trebuie ca $f(0)=R$ și $f(h)=r$. Varianta a) dă $f(0)=R$ și $f(h)=R+r-R=r$ — corect. Varianta c) așază razele invers (bază mică la stânga), b) amestecă raza de la un capăt cu diferența de la celălalt și dă $f(h)=2R-r$, iar d) descrie un con. Verifică întotdeauna $f(0)$ și $f(h)$ înainte de a integra.