Volumele cilindrului, conului, trunchiului de con și sferei, deduse cu integrala

În clasa a VIII-a ai primit patru formule de volum și le-ai învățat pe de rost: $\pi r^{2}h$ pentru cilindru, $\frac{\pi r^{2}h}{3}$ pentru con, $\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$ pentru trunchiul de con și $\frac{4\pi r^3}{3}$ pentru sferă. Erau formule fără explicație: manualul de gimnaziu nu avea uneltele necesare pentru a le justifica, iar profesorul îți spunea, pe bună dreptate, că demonstrațiile vin mai târziu. „Mai târziu" înseamnă acum: la clasa a 12-a, cu integrala definită, toate patru se deduc în câteva rânduri. Volumele corpurilor rotunde se obțin din formula $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$: cilindrul se naște rotind o constantă, conul o dreaptă prin origine, trunchiul de con o dreaptă oarecare, iar sfera un semicerc.

Merită să vezi dinainte cât de puțin lucru este de făcut. Ai deja formula generală a volumului unui corp de rotație. Tot ce mai rămâne este să scrii, pentru fiecare corp, funcția a cărei rotație îl generează — o constantă pentru cilindru, o dreaptă prin origine pentru con, o dreaptă oarecare pentru trunchi, un arc de cerc pentru sferă — și să calculezi o integrală simplă. Patru formule celebre, patru integrale de câteva rânduri fiecare.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii, pentru fiecare corp rotund, funcția și intervalul care îl generează prin rotație în jurul axei $Ox$.
• Vei ști să deduci formulele volumului pentru cilindru, con, trunchi de con și sferă, nu doar să le reproduci.
• Vei ști să obții volumul calotei sferice și pe cel al unei zone sferice, ca extinderi ale aceluiași calcul.
• Vei ști să verifici o formulă de volum prin cazuri particulare și prin controlul dimensional.
• Vei ști să calculezi volumul unui corp compus, tăindu-l cu proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul.

Hai să descoperim împreună

1. De unde vin formulele de volum din gimnaziu?

Corpurile rotunde sunt cilindrul, conul, trunchiul de con și sfera; toate patru se obțin prin rotația completă, în jurul unei axe, a unei figuri plane mărginite de un segment sau de un arc de cerc — și tocmai de aceea intră toate sub formula generală a volumului unui corp de rotație.

Instrumentul este cel demonstrat la lecția despre volumul corpului de rotație: dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este continuă și pozitivă, corpul $C_f$ obținut prin rotația subgraficului ei în jurul axei $Ox$ are volumul $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx.$$

O precizare de logică, înainte de primul calcul, ca să nu pară că ne învârtim în cerc. Demonstrația formulei de mai sus a pornit de la volumul cilindrului, admis ca fapt din clasa a VIII-a, de la lecția despre cilindrul circular drept: aria laterală, aria totală și volumul. Când, peste câteva rânduri, cilindrul va reapărea ca rezultat, aceasta nu va fi o demonstrație a formulei lui, ci o verificare de coerență: formula generală trebuie să reproducă exact ipoteza din care s-a născut. În schimb, pentru con, pentru trunchiul de con și pentru sferă rezultatele sunt demonstrații adevărate — formulele lor din gimnaziu (din lecțiile despre conul circular drept: aria laterală, aria totală și volumul, trunchiul de con circular drept: descriere, arie și volum și sfera: aria și volumul) nu au fost folosite nicăieri în raționament.

Rețeta este de fiecare dată aceeași, în patru pași, ca la lecția precedentă: alegi reperul astfel încât axa corpului să cadă pe $Ox$, scrii funcția $f$ și intervalul $[a,b]$, ridici la pătrat, integrezi cu formula Leibniz–Newton.

2. Cilindrul: rotația unei constante

Așezăm cilindrul cu axa pe $Ox$ și cu una dintre baze în planul $x=0$. Un punct al suprafeței laterale se află la distanța $r$ de axă, oricare ar fi $x$, deci funcția generatoare este constanta $$f:[0,h]\to \mathbb{R},f(x)=r.$$ Subgraficul ei este dreptunghiul de dimensiuni $h$ și $r$, iar prin rotație acesta descrie exact cilindrul circular drept de rază $r$ și înălțime $h$.

Pasul 1. $f$ este continuă (funcție constantă) și $f(x)=r>0$ pe $[0,h]$. Pasul 2. $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^h{f}^2(x)dx$. Pasul 3. $f^2(x)=r^2$, constantă. Pasul 4. $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^h{r}^{2}dx=\pi r^{2}x{|}_0^h$, deci $${\mathcal{V}}_{\text{cilindru}}=\pi r^{2}h.$$

Formula generală reproduce, așadar, formula de la care a pornit. Cei patru pași de mai sus sunt tiparul: în paragrafele următoare se schimbă doar funcția și intervalul.

3. Cum se deduce volumul conului cu integrala?

Așezăm conul cu vârful în origine și cu axa pe $Ox$, baza aflându-se în planul $x=h$. Suprafața laterală este descrisă de o generatoare, adică de segmentul care unește vârful $O(0,0)$ cu punctul $(h,r)$ de pe marginea bazei. Dreapta care conține acest segment trece prin origine și are panta $\frac{r}{h}$, deci funcția generatoare este $$f:[0,h]\to \mathbb{R},f(x)=\frac{r}{h}x.$$ Ea este continuă și pozitivă pe $[0,h]$ (se anulează doar în vârf, ceea ce este permis: corpul se termină acolo într-un punct). Pătratul ei este $f^2(x)=\frac{r^2}{h^2}{x}^2$, deci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^h\frac{r^2}{h^2}{x}^{2}dx=\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^h=\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{h^3}{3},$$ adică $${\mathcal{V}}_{\text{con}}=\frac{\pi r^{2}h}{3}.$$

Iată de unde vine faimoasa „treime": din integrarea lui $x^2$, care aduce exponentul $3$ la numitor. Conul are exact o treime din volumul cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime — un fapt pe care în gimnaziu îl verificai turnând nisip dintr-un con într-un cilindru, și pe care acum îl demonstrezi în trei rânduri.

4. Trunchiul de con: rotația unei drepte oarecare

Așezăm trunchiul cu axa pe $Ox$, cu baza mică (de rază $r$) în planul $x=0$ și cu baza mare (de rază $R$) în planul $x=h$. Generatoarea unește punctul $(0,r)$ cu punctul $(h,R)$, deci este segmentul de pe dreapta de pantă $\frac{R-r}{h}$ care trece prin $(0,r)$: $$f:[0,h]\to \mathbb{R},f(x)=r+\frac{R-r}{h}x.$$ Notăm, pentru scriere mai scurtă, $k=\frac{R-r}{h}$, deci $f(x)=r+kx$. Dezvoltăm pătratul și integrăm termen cu termen: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^h\left(r^2+2rkx+k^2{x}^2\right)dx=\pi \left(r^{2}x+rk{x}^2+\frac{k^2{x}^3}{3}\right){|}_0^h=\pi \left(r^{2}h+rk{h}^2+\frac{k^2{h}^3}{3}\right).$$ Înlocuim acum $kh=R-r$ și dăm $h$ factor comun: $$\mathcal{V}=\pi h\left(r^2+r(R-r)+\frac{(R-r{)}^2}{3}\right)=\frac{\pi h}{3}\left(3r^2+3rR-3r^2+R^2-2Rr+r^2\right),$$ iar după reducerea termenilor asemenea rămâne $${\mathcal{V}}_{\text{trunchi}}=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right).$$

Am dezvoltat pătratul în loc să facem o schimbare de variabilă tocmai pentru că dezvoltarea rămâne valabilă și când $R=r$, adică atunci când $k=0$ — iar acesta este cazul pe care vrem să-l putem verifica. Iată cele două verificări:

• $R=r$: formula dă $\frac{\pi h}{3}\left(r^2+r^2+r^2\right)=\pi r^{2}h$, adică volumul cilindrului. Corect: un trunchi cu bazele egale este un cilindru.
• $r=0$: formula dă $\frac{\pi h}{3}{R}^2$, adică volumul conului. Corect: un trunchi căruia i se strânge baza mică într-un punct este un con.

O formulă care trece ambele cazuri-limită este, aproape sigur, scrisă corect.

5. Cum se deduce volumul sferei cu integrala?

Așezăm sfera cu centrul în origine. Semicercul superior al cercului $x^2+y^2=r^2$ este graficul funcției $$f:[-r,r]\to \mathbb{R},f(x)=\sqrt{r^2-x^2},$$ iar prin rotația subgraficului lui $f$ în jurul axei $Ox$ se obține exact bila de rază $r$. Funcția este continuă pe $[-r,r]$ și ia valori pozitive, anulându-se doar în capete — unde corpul se termină, ca la con, în câte un punct. Aceeași semielipsă și același semicerc apar și la lecția despre aria discului și aria interiorului unei elipse; acolo, pentru arie, radicalul cerea o substituție trigonometrică. Aici nu cere nimic: ridicarea la pătrat îl desființează, iar integrandul rămâne un polinom. $$\mathcal{V}=\pi {\int }_{-r}^r{\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)dx=\pi \left(r^{2}x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-r}^r.$$ Evaluăm: în $x=r$ obținem $r^3-\frac{r^3}{3}=\frac{2r^3}{3}$, iar în $x=-r$ obținem $-\frac{2r^3}{3}$. Diferența este $\frac{4r^3}{3}$, deci $${\mathcal{V}}_{\text{sfera˘}}=\frac{4\pi r^3}{3}.$$

Acesta este momentul în care „patru pe trei pi er la a treia" încetează să fie o formulă memorată. Merită și consecința pe care Arhimede o considera cea mai frumoasă descoperire a sa: cilindrul circumscris sferei are raza $r$ și înălțimea $2r$, deci volumul $\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3$; raportul dintre volumul sferei și cel al cilindrului circumscris este $$\frac{4\pi r^3/3}{2\pi r^3}=\frac{2}{3}.$$ Sfera ocupă exact două treimi din cilindrul în care încape fix. Arhimede a cerut ca pe mormântul lui să fie gravate o sferă și cilindrul ei circumscris.

6. Cum se calculează volumul unei calote sferice?

Aceeași funcție, alt interval — și obții mai mult decât cere programa la corpuri rotunde. Calota sferică de înălțime $h$ (cu $0<h\le 2r$) este partea din bilă tăiată de un plan perpendicular pe axă; în reperul nostru, ea corespunde intervalului $[r-h,r]$: $${\mathcal{V}}_{\text{calota˘}}=\pi {\int }_{r-h}^r\left(r^2-x^2\right)dx=\pi \left(r^{2}x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{r-h}^r.$$ Calculul este identic cu cel de la sferă, doar cu alt capăt inferior, și dă $${\mathcal{V}}_{\text{calota˘}}=\frac{\pi h^2(3r-h)}{3}.$$ Verificarea cazului-limită: pentru $h=2r$ formula dă $\frac{\pi \cdot 4r^2\cdot r}{3}=\frac{4\pi r^3}{3}$, adică toată bila; pentru $h=r$ dă $\frac{2\pi r^3}{3}$, adică jumătate — semibila. Ambele sunt cele așteptate.

Pentru un interval $[a,b]$ oarecare inclus în $[-r,r]$ se obține zona sferică dintre două plane paralele, cu același integrand; nu are nevoie de formulă separată, se calculează direct. Este exact tiparul pe care îl vei folosi la lecția despre volume de rotație în probleme, unde un rezervor sferic parțial plin cere volumul unei calote.

7. Cum verifici o formulă de volum?

Trei controale rapide, de aplicat pe orice formulă pe care o scrii sau o reții.

(a) Controlul dimensional. Un volum crește ca puterea a treia a mărimii corpului. Numără factorii de lungime din formulă: $\pi r^{2}h$ are trei, $\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$ are trei ($h$ o dată, apoi doi din fiecare termen al parantezei), $\frac{4\pi r^3}{3}$ are trei. O formulă cu doi sau cu patru factori de lungime este greșită.

(b) Controlul cazurilor particulare. Fiecare formulă trebuie să se reducă la una cunoscută atunci când un parametru degenerează: trunchiul cu $R=r$ dă cilindrul, trunchiul cu $r=0$ dă conul, calota cu $h=2r$ dă sfera. Am folosit acest control de trei ori mai sus și el a prins, de fiecare dată, forma corectă.

(c) Controlul de încadrare. Corpul este cuprins între doi cilindri, cel înscris și cel circumscris. Sfera de rază $r$, de pildă, este cuprinsă în cilindrul de rază $r$ și înălțime $2r$, deci volumul ei este mai mic decât $2\pi r^3$; într-adevăr, $\frac{4\pi r^3}{3}<2\pi r^3$.

Tabelul-sinteză al unității, de reținut ca atare:

8. Cum se calculează volumul unui corp compus?

Multe obiecte reale sunt lipite din două corpuri rotunde: un siloz este un cilindru cu un con deasupra, un cornet de înghețată este un con cu o semisferă deasupra, un pilon este un trunchi peste un cilindru. Funcția generatoare a unui astfel de corp este definită pe ramuri, iar volumul se calculează cu proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul, enunțată la lecția despre proprietățile integralei definite: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_a^c{f}^2(x)dx+\pi {\int }_c^b{f}^2(x)dx.$$ Procedura este cea de la lecția despre integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul: tai în punctul de racord, aplici formula Leibniz–Newton pe fiecare ramură, aduni. Un singur lucru de verificat în plus, și el se scrie: funcția trebuie să fie continuă în punctul de racord, altfel corpul are un prag, iar cele două bucăți nu se lipesc. Practic, se verifică egalitatea razelor la racord.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Cilindrul, cu toți pașii scriși

Deduce volumul cilindrului de rază $3$ și înălțime $5$, folosind integrala definită.

Funcția generatoare este $f:[0,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3$, continuă și strict pozitivă. Atunci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^5{3}^{2}dx=9\pi \cdot x{|}_0^5=45\pi .$$ Formula din gimnaziu dă $\pi \cdot 3^2\cdot 5=45\pi$ — coincidența era obligatorie, fiind vorba de verificarea de coerență discutată la subsecțiunea 1.

Exemplul 2. Conul

Un con circular drept are raza bazei $2$ și înălțimea $6$. Calculează-i volumul cu integrala.

Funcția generatoare este $f:[0,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2}{6}x=\frac{x}{3}$, continuă și pozitivă. Atunci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^6\frac{x^2}{9}dx=\frac{\pi }{9}\cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^6=\frac{\pi }{9}\cdot \frac{216}{3}=8\pi .$$ Control: cilindrul cu aceeași bază și aceeași înălțime are volumul $\pi \cdot 4\cdot 6=24\pi$, iar $8\pi$ este exact o treime din el.

Exemplul 3. Trunchiul de con

Un trunchi de con are razele bazelor $3$ și $5$ și înălțimea $4$. Calculează-i volumul cu integrala definită.

Așezăm baza mică în planul $x=0$. Panta generatoarei este $\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$, deci $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3+\frac{x}{2}$. Dezvoltăm pătratul: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^4\left(9+3x+\frac{x^2}{4}\right)dx=\pi \left(9x+\frac{3x^2}{2}+\frac{x^3}{12}\right){|}_0^4=\pi \left(36+24+\frac{16}{3}\right)=\frac{196\pi }{3}.$$ Control cu formula generală: $\frac{\pi \cdot 4}{3}\left(25+15+9\right)=\frac{4\pi \cdot 49}{3}=\frac{196\pi }{3}$. Aceeași valoare, deci calculul este corect.

Exemplul 4. Sfera și o calotă a ei

a) Calculează volumul sferei de rază $3$. b) Calculează volumul calotei de înălțime $1$ decupate din aceeași sferă.

a) Cu $f(x)=\sqrt{9-x^2}$ pe $[-3,3]$: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_{-3}^3\left(9-x^2\right)dx=\pi \left(9x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-3}^3=\pi \left(18-(-18)\right)=36\pi .$$

b) Calota de înălțime $1$ corespunde intervalului $[2,3]$: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_2^3\left(9-x^2\right)dx=\pi \left(9x-\frac{x^3}{3}\right){|}_2^3=\pi \left(18-\left(18-\frac{8}{3}\right)\right)=\frac{8\pi }{3}.$$ Formula calotei confirmă: $\frac{\pi \cdot 1\cdot (9-1)}{3}=\frac{8\pi }{3}$. Observă cât de mică este calota față de sferă — sub $8\%$ din volumul total, deși înălțimea ei este o șesime din diametru.

Exemplul 5. Un corp compus, cu funcție pe ramuri

Un cornet de înghețată este format dintr-un con de rază $2$ și înălțime $2$, peste care se așază o semisferă de rază $2$. Calculează volumul corpului.

Așezăm vârful conului în origine, cu axa pe $Ox$. Funcția generatoare este $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\in [0,2]\\ \sqrt{4-(x-2{)}^2},& x\in [2,4]\end{array}$$

Racordul. În $x=2$, prima ramură dă $2$, iar a doua dă $\sqrt{4-0}=2$. Valorile coincid, deci $f$ este continuă în punctul de racord și cele două bucăți se lipesc fără prag.

Volumul, cu aditivitatea în raport cu intervalul: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^2{x}^{2}dx+\pi {\int }_2^4\left(4-(x-2{)}^2\right)dx.$$ Prima integrală: $\pi \cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^2=\frac{8\pi }{3}$, adică volumul conului. A doua, cu $x-2=t$ (adică o translație a intervalului la $[0,2]$): $\pi {\int }_0^2\left(4-t^2\right)dt=\pi \left(8-\frac{8}{3}\right)=\frac{16\pi }{3}$, adică volumul semisferei. Prin urmare $$\mathcal{V}=\frac{8\pi }{3}+\frac{16\pi }{3}=8\pi .$$ Control: $\frac{\pi \cdot 4\cdot 2}{3}=\frac{8\pi }{3}$ pentru con și jumătate din $\frac{4\pi \cdot 8}{3}=\frac{32\pi }{3}$ pentru semisferă, adică $\frac{16\pi }{3}$ — exact valorile obținute.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numerele reale $R>0$ și $h>0$ și funcția $f:[0,h]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{R}{h}x$.

a) Arată că funcția $f$ îndeplinește ipotezele formulei volumului și calculează $\mathcal{V}(C_f)$.

b) Determină $h$ în funcție de $R$ astfel încât volumul corpului $C_f$ să fie egal cu volumul sferei de rază $R$.

c) Arată că volumul sferei de rază $R$ reprezintă două treimi din volumul cilindrului de rază $R$ și înălțime $2R$.

Rezolvare.

a) $f$ este funcție de gradul întâi, deci continuă pe $[0,h]$; cum $\frac{R}{h}>0$ și $x\ge 0$, avem $f(x)\ge 0$ pe tot intervalul. Așadar $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^h\frac{R^2}{h^2}{x}^{2}dx=\frac{\pi R^2}{h^2}\cdot \frac{h^3}{3}=\frac{\pi R^{2}h}{3}.$$ Corpul $C_f$ este conul circular drept de rază $R$ și înălțime $h$.

b) Egalăm volumele: $\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{4\pi R^3}{3}$. Simplificăm prin $\frac{\pi R^2}{3}$, care este nenul, și obținem $h=4R$. Deci conul de rază $R$ trebuie să fie de patru ori mai înalt decât raza lui pentru a avea volumul sferei de aceeași rază.

c) Volumul cilindrului este $\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3$, iar volumul sferei este $\frac{4\pi R^3}{3}$. Raportul lor este $$\frac{4\pi R^3/3}{2\pi R^3}=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{3},$$ ceea ce trebuia arătat.

Să exersăm

1. Deduce cu integrala volumul cilindrului de rază $4$ și înălțime $10$.

2. Calculează cu integrala volumul conului de rază $3$ și înălțime $4$.

3. Calculează cu integrala volumul conului de rază $6$ și înălțime $5$.

4. Calculează cu integrala volumul trunchiului de con cu razele $2$ și $6$ și înălțimea $3$.

5. Calculează cu integrala volumul trunchiului de con cu razele $1$ și $4$ și înălțimea $6$.

6. Deduce cu integrala volumul sferei de rază $6$.

7. Calculează volumul semisferei de rază $4$, integrând pe intervalul potrivit.

8. Calculează volumul calotei sferice de înălțime $2$ decupate dintr-o sferă de rază $5$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) Formula volumului trunchiului de con se reduce la formula volumului cilindrului atunci când cele două raze sunt egale.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) Un con are jumătate din volumul cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime.

11. Un siloz este format dintr-un cilindru de rază $2$ și înălțime $3$, peste care se așază un con de aceeași rază și de înălțime $3$. Scrie funcția generatoare pe ramuri, verifică racordul și calculează volumul.

12. (Problemă aplicată.) O pâlnie are forma unui con cu raza $5\text{cm}$ și înălțimea $12\text{cm}$. Câți centimetri cubi de lichid încape în ea? Exprimă rezultatul și în mililitri.

13. Determină înălțimea $h$ a unui con de rază $3$ al cărui volum este $24\pi$.

14. Determină raza sferei al cărei volum este $36\pi$.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă raza unei sfere se dublează, volumul ei se dublează.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{4-x^2}$. a) Arată că $f$ este continuă și pozitivă. b) Calculează $\mathcal{V}(C_f)$. c) Recunoaște corpul $C_f$ și verifică rezultatul cu formula corespunzătoare din gimnaziu.

17. Calculează volumul calotei sferice de înălțime $3$ decupate dintr-o sferă de rază $6$ și spune ce fracțiune din sferă reprezintă.

18. (Provocare.) Dintr-o sferă de rază $5$ se taie zona sferică cuprinsă între planele $x=1$ și $x=4$. Calculează volumul ei, pornind de la aceeași funcție generatoare.

Răspunsuri și explicații

1. $f(x)=4$ pe $[0,10]$, deci $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{10}16dx=160\pi$, exact $\pi \cdot 4^2\cdot 10$.

2. $f(x)=\frac{3}{4}x$ pe $[0,4]$, deci $\mathcal{V}=\pi \cdot \frac{9}{16}\cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^4=\frac{9\pi }{16}\cdot \frac{64}{3}=12\pi$. Formula $\frac{\pi \cdot 9\cdot 4}{3}=12\pi$ confirmă.

3. $f(x)=\frac{6}{5}x$ pe $[0,5]$, deci $\mathcal{V}=\pi \cdot \frac{36}{25}\cdot \frac{125}{3}=60\pi$.

4. Panta este $\frac{6-2}{3}=\frac{4}{3}$, deci $f(x)=2+\frac{4}{3}x$ pe $[0,3]$. Formula generală dă $\frac{\pi \cdot 3}{3}\left(36+12+4\right)=52\pi$; calculul direct al integralei dă aceeași valoare.

5. $f(x)=1+\frac{1}{2}x$ pe $[0,6]$, iar $\frac{\pi \cdot 6}{3}\left(16+4+1\right)=2\pi \cdot 21=42\pi$.

6. $f(x)=\sqrt{36-x^2}$ pe $[-6,6]$, deci $\mathcal{V}=\pi \left(36x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-6}^6=\pi (144+144)=288\pi$, adică $\frac{4\pi \cdot 216}{3}$.

7. $f(x)=\sqrt{16-x^2}$ pe $[0,4]$, deci $\mathcal{V}=\pi \left(16x-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^4=\pi \left(64-\frac{64}{3}\right)=\frac{128\pi }{3}$ — jumătate din $\frac{256\pi }{3}$.

8. Cu $r=5$ și $h=2$: $\frac{\pi \cdot 4\cdot (15-2)}{3}=\frac{52\pi }{3}$. Integrala pe $[3,5]$ din $25-x^2$ dă aceeași valoare.

9. Adevărat. Pentru $R=r$ formula devine $\frac{\pi h}{3}\left(r^2+r^2+r^2\right)=\pi r^{2}h$. Este chiar unul dintre controalele de cazuri particulare din subsecțiunea 7, iar geometric este limpede: un trunchi cu bazele egale este un cilindru.

10. Fals. Are o treime, nu jumătate: $\frac{\pi r^{2}h}{3}$ față de $\pi r^{2}h$. Treimea provine din integrarea lui $x^2$, care ridică exponentul la $3$ și îl aduce la numitor.

11. $f(x)=2$ pe $[0,3]$ și $f(x)=\frac{2(6-x)}{3}$ pe $[3,6]$. Racordul: ambele ramuri dau $2$ în $x=3$, deci $f$ este continuă acolo. Volumul: $\pi \cdot 4\cdot 3+\frac{\pi \cdot 4\cdot 3}{3}=12\pi +4\pi =16\pi$.

12. $\mathcal{V}=\frac{\pi \cdot 25\cdot 12}{3}=100\pi \approx 314{\text{cm}}^3$. Cum $1{\text{cm}}^3=1\text{ml}$, pâlnia încape aproximativ $314\text{ml}$, adică puțin peste $0,3$ litri.

13. $\frac{\pi \cdot 9\cdot h}{3}=24\pi$, adică $3\pi h=24\pi$, deci $h=8$.

14. $\frac{4\pi r^3}{3}=36\pi$ dă $r^3=27$, deci $r=3$.

15. Fals. Volumul crește ca puterea a treia a razei: la rază dublă, volumul devine $\frac{4\pi (2r{)}^3}{3}=8\cdot \frac{4\pi r^3}{3}$, adică de opt ori mai mare. Este exact controlul dimensional din subsecțiunea 7.

16. a) $4-x^2\ge 0$ pe $[0,2]$, deci $f$ este bine definită; este continuă ca o compunere de funcții continue și ia valori pozitive. b) $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^2\left(4-x^2\right)dx=\pi \left(8-\frac{8}{3}\right)=\frac{16\pi }{3}$. c) Corpul este semisfera de rază $2$; formula din gimnaziu dă $\frac{1}{2}\cdot \frac{4\pi \cdot 8}{3}=\frac{16\pi }{3}$, aceeași valoare.

17. Cu $r=6$ și $h=3$: $\frac{\pi \cdot 9\cdot (18-3)}{3}=45\pi$. Sfera are $\frac{4\pi \cdot 216}{3}=288\pi$, deci calota reprezintă $\frac{45}{288}=\frac{5}{32}$ din sferă, adică puțin peste $15\%$ — deși înălțimea ei este un sfert din diametru.

18. Cu $f(x)=\sqrt{25-x^2}$ și intervalul $[1,4]$: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_1^4\left(25-x^2\right)dx=\pi \left(25x-\frac{x^3}{3}\right){|}_1^4=\pi \left(\frac{236}{3}-\frac{74}{3}\right)=54\pi .$$ Reține ideea: sfera, calota și zona sferică au aceeași funcție generatoare; se schimbă doar intervalul de integrare.

De reținut

• Toate corpurile rotunde studiate în gimnaziu se obțin prin rotația subgraficului unei funcții simple în jurul axei $Ox$, deci volumele lor se deduc din formula $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$.
• Cilindrul vine din constanta $f(x)=r$, conul din dreapta $f(x)=\frac{r}{h}x$, trunchiul de con din dreapta $f(x)=r+\frac{R-r}{h}x$, iar sfera din semicercul $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ pe $[-r,r]$.
• Treimea din formula conului provine din integrarea lui $x^2$, iar conul are exact o treime din volumul cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime.
• Formula trunchiului de con se verifică prin cazurile-limită: pentru $R=r$ dă cilindrul, iar pentru $r=0$ dă conul.
• Calota sferică și zona sferică folosesc aceeași funcție generatoare ca sfera, pe alt interval, iar volumul calotei de înălțime $h$ este $\frac{\pi h^2(3r-h)}{3}$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre generatoarea conului și înălțimea lui. Se scrie funcția cu panta $\frac{r}{G}$, unde $G$ este generatoarea. Corect: panta dreptei este $\frac{r}{h}$, cu $h$ înălțimea, pentru că axa $Ox$ este axa corpului, nu generatoarea.
• Uitarea capătului negativ la sferă. Se integrează pe $[0,r]$ și se obține $\frac{2\pi r^3}{3}$, care se dă drept volumul sferei. Corect: sfera corespunde intervalului $[-r,r]$; pe $[0,r]$ se obține doar semisfera.
• Schimbarea de variabilă inutilă la sferă. Se pornește substituția $x=r\sin t$, ca la aria discului. Corect: după ridicarea la pătrat radicalul dispare, iar integrandul $r^2-x^2$ este un polinom, deci se integrează direct.
• Trunchiul așezat greșit. Se ia $f(x)=R+\frac{R-r}{h}x$, amestecând raza de la capătul stâng cu cea de la capătul drept. Corect: valoarea funcției în $x=0$ trebuie să fie raza bazei din planul $x=0$; verifică întotdeauna $f(0)$ și $f(h)$ înainte de a integra.
• Formula calotei aplicată cu raza calotei în loc de raza sferei. Se înlocuiește în $\frac{\pi h^2(3r-h)}{3}$ raza cercului de tăiere. Corect: $r$ este raza sferei, iar $h$ este înălțimea calotei; dacă enunțul dă raza cercului de tăiere, ea se leagă de $r$ și $h$ prin teorema lui Pitagora.

Aplică acasă

1. Ia un pahar cilindric și o pâlnie conică de aceeași rază și aproximativ aceeași înălțime. Umple pâlnia cu orez și golește-o în pahar; repetă până se umple paharul. Numărul de pâlnii ar trebui să fie aproximativ trei — verificarea experimentală a raportului demonstrat în subsecțiunea 3.
2. Măsoară cu rigla razele bazelor și înălțimea unui ghiveci sau a unei găleți tronconice. Calculează volumul cu formula trunchiului, apoi verifică turnând apă măsurată cu o sticlă gradată. Compară și cu ce ar da formula greșită $\frac{\pi h(R^2+r^2)}{3}$, ca să vezi cât contează termenul $Rr$.
3. Scufundă o minge mică într-un vas plin-ochi cu apă, așezat într-o farfurie, și măsoară apa scursă. Compară volumul măsurat cu $\frac{4\pi r^3}{3}$, unde raza se obține din circumferința mingii, măsurată cu un fir de ață.

Pentru părinți și profesori

Lecția aceasta este, pentru mulți elevi, momentul în care matematica de liceu își plătește o datorie veche. Formulele de volum ale corpurilor rotunde au fost primite în clasa a VIII-a fără justificare, pentru că justificarea cerea calcul integral. Acum ele se deduc, toate patru, în aceeași jumătate de oră, cu aceeași metodă — iar elevul vede că o singură idee generală înlocuiește patru formule memorate.

Ce verifică lecția: identificarea funcției generatoare și a intervalului pentru fiecare corp rotund; efectuarea corectă a celor patru integrale; verificarea unei formule prin cazuri particulare și prin controlul dimensional; calculul volumului unui corp compus, cu funcție definită pe ramuri.

Întrebări de control: „De unde vine treimea din formula conului?" (din integrarea lui $x^2$); „Ce funcție generează sfera și pe ce interval?" ($\sqrt{r^2-x^2}$ pe $[-r,r]$); „Ce se întâmplă cu formula trunchiului dacă cele două raze sunt egale?" (devine formula cilindrului); „De ce nu este nevoie de substituție trigonometrică la sferă?" (pentru că ridicarea la pătrat elimină radicalul).

Semne că a înțeles: desenează reperul și așază singur corpul cu axa pe $Ox$ înainte de a scrie ceva; verifică $f(0)$ și $f(h)$ la trunchi; face controlul cazurilor particulare fără să i se ceară; nu confundă raza sferei cu raza cercului de tăiere la calotă.

Unde apare la BAC: cel mai des ca subpunct al problemei 2 din Subiectul al III-lea, cu enunțul „calculați volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului funcției $f$ în jurul axei $Ox$", unde funcția este chiar una dintre cele patru de aici. Baremul acordă puncte pentru scrierea formulei, pentru calculul integralei și pentru identificarea corpului, atunci când ea este cerută.

Întrebări frecvente

De unde vine formula volumului sferei?

Din rotația semicercului. Semicercul superior al cercului $x^2+y^2=r^2$ este graficul funcției $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ pe $[-r,r]$, iar rotația subgraficului ei în jurul axei $Ox$ dă exact bila. Formula volumului corpului de rotație cere integrala lui $f^2=r^2-x^2$, care este un polinom și dă imediat $\frac{4\pi r^3}{3}$.

De ce are conul o treime din volumul cilindrului?

Pentru că funcția lui generatoare este $f(x)=\frac{r}{h}x$, iar pătratul ei este proporțional cu $x^2$. Integrarea lui $x^2$ produce $\frac{x^3}{3}$, deci un factor $\frac{1}{3}$ pe care cilindrul, generat de o constantă, nu îl are. Rezultatul este geometric, nu accidental: raportul rămâne $\frac{1}{3}$ pentru orice rază și orice înălțime.

Ce funcție generează trunchiul de con?

Funcția de gradul întâi $f(x)=r+\frac{R-r}{h}x$ pe intervalul $[0,h]$, unde $r$ este raza bazei din planul $x=0$, iar $R$ raza bazei din planul $x=h$. Verificarea este imediată: $f(0)=r$ și $f(h)=R$. Rotația segmentului corespunzător descrie suprafața laterală a trunchiului.

Care este formula volumului calotei sferice?

Volumul calotei sferice de înălțime $h$ dintr-o sferă de rază $r$ este $\frac{\pi h^2(3r-h)}{3}$. Se obține integrând $r^2-x^2$ pe intervalul $[r-h,r]$, adică folosind aceeași funcție generatoare ca sfera, pe un interval mai scurt. Pentru $h=2r$ formula redă volumul întregii sfere, iar pentru $h=r$ pe cel al semisferei.

Cum verific dacă am scris corect o formulă de volum?

Prin trei controale. Controlul dimensional: în formulă trebuie să apară exact trei factori de lungime. Controlul cazurilor particulare: trunchiul cu razele egale trebuie să dea cilindrul, iar cu raza mică nulă trebuie să dea conul. Controlul de încadrare: corpul este cuprins între cilindrul înscris și cel circumscris, deci volumul lui este între volumele acestora.

Cum se calculează volumul unui corp format din două corpuri lipite?

Se scrie funcția generatoare pe ramuri, se verifică egalitatea razelor în punctul de racord, apoi se aplică aditivitatea integralei în raport cu intervalul: volumul total este suma volumelor calculate pe fiecare ramură. Practic, este mai simplu decât pare, pentru că fiecare bucată este un corp rotund cunoscut, cu formula lui.

Este nevoie de substituție trigonometrică la volumul sferei?

Nu, și aceasta este deosebirea față de calculul ariei discului. La arie integrandul este chiar $\sqrt{r^2-x^2}$ și radicalul cere substituția $x=r\sin t$. La volum integrandul este pătratul funcției, adică $r^2-x^2$, un polinom de gradul al doilea care se integrează direct cu tabelul primitivelor.