Volumul corpului de rotație: pe scurt

Corpul de rotație $C_f$ este mulțimea descrisă în spațiu de subgraficul funcției continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ atunci când acesta se rotește complet în jurul axei $Ox$. Se rotește regiunea plină, nu curba: rotirea graficului singur ar da o suprafață, iar aria suprafeței de rotație nu este în programă. Volumul este $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$, iar integrandul are un sens precis — $\pi f^2(x)$ este aria discului de secțiune făcut de planul perpendicular pe axă în punctul $x$. Formula se demonstrează tăind corpul în felii cilindrice de volum $\pi f^2({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$ și recunoscând suma lor drept sumă Riemann a funcției continue $\pi f^2$; ipoteza de pornire este volumul cilindrului. Cei patru pași ai volumului de rotație sunt: verificarea ipotezelor (continuitate și pozitivitate — propoziție punctată separat la Bacalaureat M1), scrierea formulei, simplificarea lui $f^2$, aplicarea formulei Leibniz–Newton. Trei greșeli se repetă: uitarea pătratului, care dă o mărime ce nici măcar nu se măsoară în unități cubice; scrierea $\pi {\left({\int }_a^{b}f\right)}^2$ în loc de $\pi {\int }_a^b{f}^2$ — pentru $f(x)=x$ pe $[0,1]$ ies $\frac{\pi }{3}$ față de $\frac{\pi }{4}$; și pierderea factorului $\pi$ pe drum.

Exerciții din această mini-lecție

1. Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x$, este:

   • a) $12\pi$
   • b) $9\pi$
   • c) $36\pi$
   • d) $81\pi$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $36\pi$

   Funcția este continuă și pozitivă pe $[0,3]$, deci $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^{3}4x^{2}dx=\pi \cdot \frac{4x^3}{3}{|}_0^3=36\pi$. Varianta $9\pi$ vine din $\pi {\int }_0^{3}f$, adică din uitarea pătratului, iar $81\pi$ din $\pi {\left({\int }_0^{3}f\right)}^2$. Control: corpul este un con de rază $6$ și înălțime $3$, cu volumul $\frac{\pi \cdot 36\cdot 3}{3}=36\pi$.

2. Un elev scrie $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^{b}f(x)dx$. Care este greșeala?

   • a) a uitat factorul $\pi$
   • b) a uitat pătratul funcției
   • c) a inversat limitele de integrare
   • d) nu a verificat continuitatea
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) a uitat pătratul funcției

   Integrandul trebuie să fie aria discului de secțiune, adică $\pi f^2(x)$; fără pătrat se obține o mărime care nici măcar nu se măsoară în unități cubice. Factorul $\pi$ este scris, limitele sunt în ordine, iar continuitatea este o ipoteză de verificat, nu greșeala din formulă.

3. Pentru $f(x)=x$ pe $[0,1]$, comparați $A=\pi {\int }_0^1{f}^2(x)dx$ cu $B=\pi {\left({\int }_0^{1}f(x)dx\right)}^2$.

   • a) $A=\frac{\pi }{3}$ și $B=\frac{\pi }{4}$
   • b) $A=B$
   • c) $A=\frac{\pi }{4}$ și $B=\frac{\pi }{3}$
   • d) $A=\frac{\pi }{2}$ și $B=\frac{\pi }{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $A=\frac{\pi }{3}$ și $B=\frac{\pi }{4}$

   $A=\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{\pi }{3}$ este volumul căutat, iar $B=\pi {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{4}$. Pătratul se aplică funcției, sub semnul de integrare, nu integralei. Acesta este contraexemplul de reținut: cele două expresii nu sunt egale niciodată pentru funcții neconstante.