Volumul corpului de rotație

Un strungar așază pe strung un bloc de lemn și îl pune să se învârtă. Apoi apropie dalta și o plimbă de-a lungul piesei, tăind un contur. Când oprește mașina, în fața lui stă un picior de scaun, o măciulie de balustradă sau un pion de șah — un obiect care arată la fel din orice direcție l-ai privi, pentru că s-a născut dintr-o singură curbă rotită complet în jurul unei axe. Întrebarea firească a atelierului este: câtă materie are obiectul acesta? La clasa a 12-a răspunsul se scrie într-un singur rând, cu integrala definită, și — ceea ce contează mai mult — se demonstrează. Volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului unei funcții continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$, formulă demonstrată cu sume Riemann, pornind de la volumul cilindrului.

Punctul de plecare îl ai din gimnaziu: știi să calculezi volumul unui cilindru. Ideea întregii lecții este că orice corp obținut prin rotație poate fi tăiat în felii subțiri, fiecare felie seamănă foarte bine cu un cilindru, iar suma volumelor feliilor este o sumă Riemann. De aici, trecerea la limită face restul. Este exact drumul pe care l-ai parcurs deja o dată, când ai calculat aria subgraficului cu dreptunghiuri: aceeași idee, o dimensiune mai sus.

Ce vei învăța

• Vei ști să descrii corpul de rotație $C_f$ determinat de o funcție continuă și pozitivă și să-l recunoști dintr-un enunț.
• Vei ști să demonstrezi formula $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ pornind de la volumul cilindrului, cu sume Riemann.
• Vei ști să calculezi volumul unui corp de rotație în patru pași, cu redactarea completă cerută la Bacalaureat M1.
• Vei ști să deosebești aria subgraficului de volumul corpului de rotație și să nu confunzi $\pi \int f^2$ cu $\pi {\left(\int f\right)}^2$.
• Vei ști să faci verificările rapide care prind o greșeală de calcul înainte de a preda lucrarea.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un corp de rotație?

Pornim de la obiectul plan pe care îl cunoști. Pentru $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă și pozitivă, subgraficul lui $f$ este mulțimea plană $${\Gamma }_f=\{(x,y)\mid a\le x\le b,0\le y\le f(x)\},$$ adică porțiunea din plan cuprinsă între graficul lui $f$, axa $Ox$ și cele două drepte verticale $x=a$ și $x=b$. Aria ei se calculează cu integrala definită, așa cum ai văzut la lecția despre aria subgraficului unei funcții continue.

Acum ridicăm figura în spațiu. Corpul de rotație $C_f$ determinat de funcția continuă și pozitivă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este mulțimea punctelor din spațiu descrise de subgraficul ${\Gamma }_f$ atunci când acesta se rotește complet, cu $360^{\circ }$, în jurul axei $Ox$. Notația fixată în acest curs este $C_f$, iar volumul lui se notează $\mathcal{V}(C_f)$.

Merită să vezi corpul „pe felii". Dacă tai $C_f$ cu un plan perpendicular pe axa $Ox$ în punctul de abscisă $x$, secțiunea este exact discul de centru $(x,0)$ și rază $f(x)$: punctul de pe grafic aflat la distanța $f(x)$ de axă descrie, rotindu-se, un cerc de rază $f(x)$, iar segmentul de la axă până la grafic mătură tot discul. Aceasta este descrierea care conduce la formulă: un corp de rotație este un teanc de discuri, iar raza discului din dreptul lui $x$ este chiar $f(x)$.

2. De la ce formulă cunoscută pornim?

Nu putem demonstra o formulă de volum din nimic: avem nevoie de un volum deja acceptat. Acela este volumul cilindrului circular drept, învățat în clasa a VIII-a la lecția „Cilindrul circular drept: aria laterală, aria totală și volumul": $${\mathcal{V}}_{\text{cilindru}}=\pi R^{2}h,$$ unde $R$ este raza bazei și $h$ este înălțimea. Această formulă este piatra de temelie a lecției: o admitem ca punct de plecare, exact cum la lecția despre problema ariei și subgraficul am admis aria dreptunghiului ca punct de plecare pentru arii.

Mai avem nevoie de o convenție de onestitate, aceeași ca la arie. Nu am definit riguros ce înseamnă „volumul unei mulțimi din spațiu" — o astfel de definiție nu este în programa clasei a 12-a. Prin urmare presupunem că $C_f$ are un volum care se comportă rezonabil: este pozitiv, corpuri mai mari au volum mai mare, iar volumul unei reuniuni de corpuri fără puncte interioare comune este suma volumelor. În aceste ipoteze vom demonstra că valoarea volumului nu poate fi decât una singură — și o vom afla.

3. Cum se demonstrează formula volumului corpului de rotație?

Luăm $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă, pozitivă și, pentru început, crescătoare — cazul în care încadrarea se scrie cel mai limpede. Considerăm o diviziune $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ a intervalului $[a,b]$, cu $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$, ca la lecția despre diviziuni și norma unei diviziuni.

Planele verticale duse prin punctele diviziunii taie corpul $C_f$ în $n$ felii. Felia a $i$-a este corpul de rotație determinat de restricția lui $f$ la $[x_{i-1},x_i]$. Pe acest interval $f$ este crescătoare, deci ia valori între $f(x_{i-1})$ și $f(x_i)$. Rezultă că felia:

• conține cilindrul de rază $f(x_{i-1})$ și înălțime $x_i-x_{i-1}$ (cilindrul „înscris", cel construit cu raza cea mai mică);
• este conținută în cilindrul de rază $f(x_i)$ și aceeași înălțime (cilindrul „circumscris", cel construit cu raza cea mai mare).

Din monotonia volumului și din formula cilindrului obținem, pentru fiecare felie, $$\pi f^2(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})\le \mathcal{V}(\text{felia }i)\le \pi f^2(x_i)(x_i-x_{i-1}).$$ Adunăm după $i$ de la $1$ la $n$. Feliile nu au puncte interioare comune și reconstituie tot corpul, deci suma volumelor lor este $\mathcal{V}(C_f)$: $$\underset{{\sigma }_{\text{st}}}{\underbrace{\sum _{i=1}^n\pi f^2(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})}}\le \mathcal{V}(C_f)\le \underset{{\sigma }_{\text{dr}}}{\underbrace{\sum _{i=1}^n\pi f^2(x_i)(x_i-x_{i-1})}}.$$

Acum privește cele două margini: ${\sigma }_{\text{st}}$ și ${\sigma }_{\text{dr}}$ sunt sume Riemann ale funcției $\pi f^2$ relative la diviziunea $\Delta$, cu punctele intermediare alese în capătul din stânga, respectiv în capătul din dreapta al fiecărui subinterval — exact cele două alegeri standard de la lecția despre sume Riemann. Funcția $\pi f^2$ este continuă pe $[a,b]$, fiind produsul unor funcții continue, deci este integrabilă (clasa funcțiilor continue este integrabilă — enunțul de la lecția despre clase de funcții integrabile). Prin urmare, când $\Vert \Delta \Vert \to 0$, ambele sume tind către același număr: $$\underset{\Vert \Delta \Vert \to 0}{\lim }{\sigma }_{\text{st}}=\underset{\Vert \Delta \Vert \to 0}{\lim }{\sigma }_{\text{dr}}=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx.$$ Numărul $\mathcal{V}(C_f)$ este prins între două șiruri cu aceeași limită, deci, prin trecerea la limită în inegalități (vezi trecerea la limită în inegalități), nu poate fi decât acea limită.

Teoremă (volumul corpului de rotație). Dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este continuă și pozitivă, atunci corpul $C_f$ obținut prin rotația subgraficului lui $f$ în jurul axei $Ox$ are volumul $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx.$$

Ce se întâmplă dacă $f$ nu este monotonă? Argumentul de mai sus a folosit monotonia doar ca să știm care capăt dă raza mai mică. În cazul general, pe fiecare subinterval alegem un punct intermediar ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$ și comparăm felia cu cilindrul de rază $f({\xi }_i)$; suma acestor cilindri este suma Riemann ${\sigma }_{\Delta }(\pi f^2,\xi )$, iar integrabilitatea funcției continue $\pi f^2$ garantează că orice alegere a punctelor intermediare duce la aceeași limită. Formula rămâne aceeași. Reține și ideea în cuvinte: felia cilindrică de volum $\pi f^2({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$ este cărămida din care se construiește tot corpul.

4. Cum verifici că formula volumului este corectă?

Orice formulă nouă trebuie întoarsă pe cazul din care a pornit. Fie $f:[0,h]\to \mathbb{R}$, $f(x)=R$, cu $R>0$ constant. Subgraficul este dreptunghiul de laturi $h$ și $R$, iar prin rotație în jurul axei $Ox$ se obține chiar cilindrul de rază $R$ și înălțime $h$. Formula dă $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^h{R}^{2}dx=\pi R^{2}x{|}_0^h=\pi R^{2}h,$$ adică exact formula din gimnaziu.

Atenție la logica acestui control: el nu este o demonstrație a formulei cilindrului, pentru că formula cilindrului a fost ipoteza de la care am pornit. Este o verificare de coerență — dacă rezultatul ar fi ieșit altfel, ar fi însemnat că am greșit undeva pe drum. Aceeași observație se aplică și lecției următoare, despre volumele cilindrului, conului, trunchiului de con și sferei deduse cu integrala: acolo cilindrul reapare ca rezultat, dar rolul lui de punct de plecare rămâne cel de aici.

5. Cum se calculează un volum de rotație, pas cu pas?

Redactarea are patru pași — îi vom numi cei patru pași ai volumului de rotație. Nu îi confunda cu cei patru pași ai integralei pe ramuri de la lecția despre integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul: aceia taie intervalul, aceștia construiesc un volum.

Pasul 1. Verifici ipotezele. Scrii că $f$ este continuă pe $[a,b]$ și că $f(x)\ge 0$ pe tot intervalul. Fără această propoziție rezolvarea este incompletă la Bacalaureat M1 — și, mai grav, poate fi și greșită, pentru că formula descrie rotația subgraficului.

Pasul 2. Scrii formula. $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$, cu limitele puse de la început.

Pasul 3. Aduci $f^2$ la o formă integrabilă cu tabelul. Aici se câștigă timp: ridicarea la pătrat simplifică adesea integrandul. La $f(x)=\sqrt{x}$ rămâne $x$; la $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ rămâne $\frac{1}{x}$; la $f(x)=e^{-x}$ rămâne $e^{-2x}$; la $f(x)=\sin x$ apare ${\sin }^{2}x$, care se liniarizează cu ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$.

Pasul 4. Aplici formula Leibniz–Newton și scrii rezultatul cu $\pi$ dat factor. Un volum de rotație aproape întotdeauna conține factorul $\pi$; scoate-l în față și lasă restul ca număr. Rezultatul se măsoară în unități cubice.

6. De ce apare pătratul funcției?

Este întrebarea la care se împiedică cei mai mulți elevi, iar răspunsul este geometric, nu algebric. Secțiunea corpului cu un plan perpendicular pe axă este un disc de rază $f(x)$, iar aria discului este $\pi f^2(x)$ — pătratul vine din aria cercului, nu din vreo manevră de calcul. Volumul se obține „adunând" ariile secțiunilor de-a lungul axei, deci integrandul este aria secțiunii.

De aici, două comparații care nu trebuie confundate niciodată:

Și o egalitate falsă, de ținut minte ca atare: $\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx\ne \pi {\left({\int }_a^{b}f(x)dx\right)}^2$. Pe $f(x)=x$ și $[0,1]$, membrul stâng este $\frac{\pi }{3}$, iar cel drept $\frac{\pi }{4}$ — nu sunt egale, iar contraexemplul acesta merită reținut.

7. Cum verifici rapid un volum înainte de a-l preda?

Trei controale scurte, care prind aproape orice greșeală de calcul.

(a) Controlul cutiei. Dacă $m\le f(x)\le M$ pe $[a,b]$, atunci corpul este cuprins între doi cilindri, deci $$\pi m^2(b-a)\le \mathcal{V}(C_f)\le \pi M^2(b-a).$$ Este monotonia integralei, aplicată funcției $\pi f^2$. Un rezultat în afara acestei benzi este sigur greșit. Pentru $f(x)=\sqrt{x}$ pe $[0,4]$ avem $0\le f\le 2$, deci volumul este cel mult $\pi \cdot 4\cdot 4=16\pi$; valoarea $8\pi$ trece controlul.

(b) Controlul dimensional. Volumul crește ca puterea a treia a mărimii corpului. Dacă în formula finală apare o lungime la puterea a doua sau la puterea a patra, ai greșit. La cilindru, $\pi R^{2}h$ are într-adevăr trei factori de lungime.

(c) Controlul semnului și al factorului $\pi$. Volumul este un număr strict pozitiv, iar factorul $\pi$ trebuie să fie prezent o singură dată. Un rezultat negativ înseamnă, aproape întotdeauna, limite de integrare inversate.

8. Ce precizări închid subiectul volumului de rotație?

Funcțiile care se anulează la capete. Formula cere $f\ge 0$, nu $f>0$. Dacă $f(a)=0$ sau $f(b)=0$, corpul se termină într-un vârf ascuțit (ca la con) sau într-un punct (ca la sferă), iar demonstrația funcționează neschimbat, pentru că nicăieri nu am împărțit la $f$.

Funcțiile care iau și valori negative. Programa clasei a 12-a cere rotația subgraficului unei funcții continue și pozitive, deci în probleme vei avea mereu $f\ge 0$. Merită totuși știut, într-o propoziție, că prin rotație contează doar distanța de la grafic la axă, iar $f^2=|f{|}^2$; nu vom folosi acest lucru în rezolvări.

Unitățile de măsură. Când enunțul dă unități (centimetri, metri), rezultatul se scrie cu unitatea cubică potrivită: $8\pi {\text{cm}}^3$, nu doar $8\pi$. La problemele cu poveste de la lecția despre volume de rotație în probleme acest lucru se punctează.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Modelul minimal

Calculează volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$.

Pasul 1. $f$ este continuă pe $[0,4]$ (compunere de funcții continue) și $f(x)=\sqrt{x}\ge 0$ pentru orice $x\in [0,4]$.

Pasul 2. $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^4{f}^2(x)dx$.

Pasul 3. $f^2(x)={\left(\sqrt{x}\right)}^2=x$ pe $[0,4]$.

Pasul 4. $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^4=\pi \cdot \frac{16}{2}=8\pi$.

Controlul cutiei: $0\le f\le 2$ pe $[0,4]$, deci volumul este între $0$ și $16\pi$. Rezultatul $8\pi$ se încadrează, chiar la jumătatea benzii — potrivit pentru un corp care se subțiază spre stânga.

Exemplul 2. O funcție de gradul întâi

Calculează volumul corpului de rotație determinat de $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$.

Funcția este continuă și strict pozitivă pe $[0,2]$, cu $f(0)=1$ și $f(2)=3$. Atunci $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^2(x+1{)}^{2}dx=\pi \cdot \frac{(x+1{)}^3}{3}{|}_0^2=\pi \left(\frac{27}{3}-\frac{1}{3}\right)=\frac{26\pi }{3}.$$

Observă ce corp ai obținut: graficul este un segment care nu atinge axa, deci corpul este un trunchi de con cu razele $1$ și $3$ și înălțimea $2$. Formula din gimnaziu, $\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$, dă $\frac{2\pi }{3}(9+3+1)=\frac{26\pi }{3}$ — același număr. Deducerea completă a acestei formule este tema lecției următoare.

Exemplul 3. Când pătratul simplifică integrandul

Calculează volumul corpului de rotație pentru $f:[1,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$.

Funcția este continuă și pozitivă pe $[1,3]$, iar $f^2(x)=\frac{1}{x^2}$. Așadar $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_1^3\frac{1}{x^2}dx=\pi \cdot \left(-\frac{1}{x}\right){|}_1^3=\pi \left(-\frac{1}{3}+1\right)=\frac{2\pi }{3}.$$

Merită remarcată deosebirea față de arie: aria subgraficului este ${\int }_1^3\frac{1}{x}dx=\ln 3$, un logaritm, în timp ce volumul este o fracție simplă. Ridicarea la pătrat a schimbat complet natura integralei — de aceea pasul 3 al rețetei se face înainte de a alege metoda de integrare.

Exemplul 4. Cu exponențiala

Calculează volumul corpului de rotație determinat de $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{-x}$.

Funcția este continuă și strict pozitivă. Pătratul ei este $f^2(x)=e^{-2x}$, deci $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^1{e}^{-2x}dx=\pi \cdot \left(-\frac{e^{-2x}}{2}\right){|}_0^1=\pi \left(-\frac{e^{-2}}{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi \left(1-e^{-2}\right)}{2}.$$

Numeric, $e^{-2}\approx 0,135$, deci $\mathcal{V}(C_f)\approx 1,36$. Controlul cutiei: $e^{-1}\le f\le 1$ pe $[0,1]$, deci volumul este între $\pi e^{-2}\approx 0,43$ și $\pi \approx 3,14$. Rezultatul se încadrează.

Exemplul 5. Cu o funcție trigonometrică

Calculează volumul corpului obținut prin rotația subgraficului funcției $f:[0,\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x$.

Pe $[0,\pi ]$ sinusul este continuu și $\sin x\ge 0$, deci ipotezele sunt îndeplinite. Liniarizăm pătratul: $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\pi {\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\pi \left(\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right){|}_0^{\pi }.$$ Cum $\sin 2\pi =0$ și $\sin 0=0$, rămâne $$\mathcal{V}(C_f)=\pi \cdot \frac{\pi }{2}=\frac{{\pi }^2}{2}.$$

Corpul acesta seamănă cu o măciulie de balustradă: se subțiază la ambele capete, unde funcția se anulează. Rezultatul $\frac{{\pi }^2}{2}\approx 4,93$ trece controlul cutiei, pentru că $0\le f\le 1$ dă marginea superioară $\pi \cdot 1\cdot \pi ={\pi }^2\approx 9,87$.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$.

a) Arată că $f$ este continuă și pozitivă pe $[1,e]$ și calculează aria subgraficului lui $f$ pe acest interval.

b) Calculează volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f$ pe intervalul $[1,e]$.

c) Determină numărul real $t>1$ pentru care corpul obținut prin rotația subgraficului lui $f$ pe intervalul $[1,t]$ are volumul $2\pi$.

Rezolvare.

a) Funcția $x\mapsto \sqrt{x}$ este continuă și strict pozitivă pe $[1,e]$, deci $f=\frac{1}{\sqrt{x}}$ este continuă (cât de funcții continue cu numitorul nenul) și strict pozitivă acolo. Aria subgraficului este $$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_1^e{x}^{-1/2}dx=2\sqrt{x}{|}_1^e=2\sqrt{e}-2.$$ Numeric, $\mathcal{S}({\Gamma }_f)\approx 1,30$.

b) Pătratul funcției este $f^2(x)=\frac{1}{x}$, deci $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_1^e\frac{1}{x}dx=\pi \ln |x|{|}_1^e=\pi (\ln e-\ln 1)=\pi .$$

c) Pentru un capăt oarecare $t>1$, același calcul dă volumul $\pi \ln t$. Condiția din enunț devine $\pi \ln t=2\pi$, adică $\ln t=2$, deci $t=e^2$. Valoarea găsită verifică $t>1$, deci este soluția problemei.

Observă structura: subpunctul a) cere o arie, b) un volum, c) o ecuație în care necunoscuta este o limită de integrare. Este tiparul cel mai frecvent al problemei 2 din Subiectul al III-lea, când tema este volumul de rotație.

Să exersăm

1. Calculează volumul corpului de rotație determinat de $f:[0,7]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2$, și recunoaște corpul obținut.

2. Calculează volumul corpului de rotație pentru $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$.

3. Calculează $\mathcal{V}(C_f)$ pentru $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$.

4. Calculează volumul corpului de rotație determinat de $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$.

5. Calculează $\mathcal{V}(C_f)$ pentru $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x+1}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Pentru orice funcție continuă și pozitivă $f$ pe $[a,b]$ avem $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\left({\int }_a^{b}f(x)dx\right)}^2$.

7. Calculează volumul corpului de rotație pentru $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$.

8. Calculează $\mathcal{V}(C_f)$ pentru $f:[1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, și compară rezultatul cu aria subgraficului.

9. Calculează volumul corpului obținut prin rotația subgraficului funcției $f:\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\cos x$.

10. Calculează $\mathcal{V}(C_f)$ pentru $f:[0,\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{\sin x}$.

11. Calculează volumul corpului de rotație determinat de $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{x}$.

12. (Problemă aplicată.) Un abajur are forma corpului obținut prin rotația subgraficului funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3-x$, unde unitatea este decimetrul. Câți decimetri cubi de aer cuprinde el?

13. Calculează $\mathcal{V}(C_f)$ pentru $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x+1}$.

14. Calculează volumul corpului de rotație pentru $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{4-x}$.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $g(x)=f(x)+1$ pe $[a,b]$, cu $f$ continuă și pozitivă, atunci $\mathcal{V}(C_g)=\mathcal{V}(C_f)+\pi (b-a)$.

16. Calculează $\mathcal{V}(C_f)$ pentru $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$, și verifică rezultatul cu controlul cutiei.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+1}$. a) Arată că $f$ este continuă și pozitivă. b) Calculează $\mathcal{V}(C_f)$. c) Arată că $\mathcal{V}(C_f)>\pi$ și explică geometric de ce era de așteptat.

18. (Provocare.) Fie $f:\left[0,\frac{\pi }{4}\right]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\mathrm{tg}x$. Calculează $\mathcal{V}(C_f)$, folosind identitatea ${\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$.

Răspunsuri și explicații

1. $f^2=4$, deci $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^{7}4dx=4\pi \cdot 7=28\pi$. Corpul este cilindrul de rază $2$ și înălțime $7$, iar $\pi \cdot 2^2\cdot 7=28\pi$ confirmă.

2. $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^3{x}^{2}dx=\pi \cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^3=9\pi$. Corpul este un con de rază $3$ și înălțime $3$.

3. $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^1{x}^{4}dx=\pi \cdot \frac{x^5}{5}{|}_0^1=\frac{\pi }{5}$.

4. $f^2(x)=(2x+1{)}^2$, deci $\mathcal{V}(C_f)=\pi \cdot \frac{(2x+1{)}^3}{6}{|}_0^1=\frac{\pi (27-1)}{6}=\frac{13\pi }{3}$.

5. $f^2(x)=x+1$, deci $\mathcal{V}(C_f)=\pi \left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_0^3=\pi \left(\frac{9}{2}+3\right)=\frac{15\pi }{2}$.

6. Fals. Pe $f(x)=x$ și $[0,1]$: volumul este $\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{\pi }{3}$, în timp ce $\pi {\left({\int }_0^{1}xdx\right)}^2=\pi \cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi }{4}$. Ridicarea la pătrat se face sub integrală, pentru că integrandul este aria secțiunii.

7. $f^2(x)=e^{2x}$, deci $\mathcal{V}(C_f)=\pi \cdot \frac{e^{2x}}{2}{|}_0^1=\frac{\pi \left(e^2-1\right)}{2}\approx 10,04$.

8. $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_1^2{x}^{-2}dx=\pi \left(-\frac{1}{x}\right){|}_1^2=\frac{\pi }{2}$. Aria subgraficului este $\ln 2\approx 0,69$, iar volumul $\approx 1,57$ — două mărimi de naturi diferite, care nu se compară direct.

9. $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}xdx=\pi \left(\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right){|}_0^{\pi /2}=\pi \cdot \frac{\pi }{4}=\frac{{\pi }^2}{4}$.

10. $f$ este bine definită și continuă pe $[0,\pi ]$, unde $\sin x\ge 0$, iar $f^2(x)=\sin x$. Rezultă $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^{\pi }\sin xdx=\pi (-\cos x){|}_0^{\pi }=\pi (1+1)=2\pi$.

11. $f(x)=x^{3/2}$, deci $f^2(x)=x^3$ și $\mathcal{V}(C_f)=\pi \cdot \frac{x^4}{4}{|}_0^2=\frac{16\pi }{4}=4\pi$.

12. $f^2(x)=(3-x{)}^2$, deci $\mathcal{V}(C_f)=\pi \cdot \left(-\frac{(3-x{)}^3}{3}\right){|}_0^3=\pi \cdot \frac{27}{3}=9\pi \approx 28,3$. Abajurul cuprinde aproximativ $28,3{\text{dm}}^3$ de aer, adică vreo $28$ de litri.

13. $f^2(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2}$, deci $\mathcal{V}(C_f)=\pi \left(-\frac{1}{x+1}\right){|}_0^1=\pi \left(-\frac{1}{2}+1\right)=\frac{\pi }{2}$.

14. $f^2(x)=4-x$ pe $[0,4]$, deci $\mathcal{V}(C_f)=\pi \left(4x-\frac{x^2}{2}\right){|}_0^4=\pi (16-8)=8\pi$. Corpul este un con „culcat", cu vârful în $x=4$.

15. Fals. $g^2=f^2+2f+1$, deci $\mathcal{V}(C_g)=\mathcal{V}(C_f)+2\pi {\int }_a^{b}f(x)dx+\pi (b-a)$. Termenul din mijloc lipsește din egalitatea propusă; ea ar fi adevărată doar dacă ${\int }_a^{b}f(x)dx=0$, adică — pentru o funcție continuă și pozitivă — doar dacă $f$ este identic nulă, caz în care corpul $C_f$ este degenerat.

16. $f^2(x)=\frac{1}{x}$, deci $\mathcal{V}(C_f)=\pi \ln |x|{|}_1^4=\pi \ln 4\approx 4,36$. Controlul cutiei: $\frac{1}{2}\le f\le 1$ pe $[1,4]$, deci volumul este între $\pi \cdot \frac{1}{4}\cdot 3\approx 2,36$ și $\pi \cdot 1\cdot 3\approx 9,42$. Rezultatul se încadrează.

17. a) $x^2+1>0$ pentru orice $x$, deci $f$ este bine definită, continuă (compunere de funcții continue) și strict pozitivă pe $[0,1]$. b) $f^2(x)=x^2+1$, deci $\mathcal{V}(C_f)=\pi \left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^1=\pi \left(\frac{1}{3}+1\right)=\frac{4\pi }{3}$. c) $\frac{4\pi }{3}>\pi$ pentru că $\frac{4}{3}>1$. Geometric era de așteptat: $f(x)\ge 1$ pe tot intervalul, deci corpul conține cilindrul de rază $1$ și înălțime $1$, al cărui volum este $\pi$.

18. $f^2(x)={\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$, iar o primitivă a lui $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ este $\mathrm{tg}x$. Rezultă $$\mathcal{V}(C_f)=\pi \left(\mathrm{tg}x-x\right){|}_0^{\pi /4}=\pi \left(1-\frac{\pi }{4}\right)\approx 0,67.$$ Reține tiparul: la funcțiile trigonometrice, pătratul se rescrie mai întâi cu o identitate, abia apoi se integrează.

De reținut

• Corpul de rotație $C_f$ este mulțimea descrisă în spațiu de subgraficul funcției continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ atunci când acesta se rotește complet în jurul axei $Ox$.
• Volumul corpului de rotație se calculează cu formula $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$, în care integrandul este aria discului de secțiune, $\pi f^2(x)$.
• Formula se demonstrează tăind corpul în felii cilindrice de volum $\pi f^2({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$ și recunoscând suma lor drept sumă Riemann a funcției continue $\pi f^2$.
• Cei patru pași ai volumului de rotație sunt: verificarea ipotezelor, scrierea formulei, simplificarea lui $f^2$ și aplicarea formulei Leibniz–Newton.
• Aria subgraficului și volumul corpului de rotație sunt mărimi diferite, măsurate în unități pătratice, respectiv cubice, iar $\pi \int f^2$ nu este niciodată egal cu $\pi {\left(\int f\right)}^2$.

Greșeli frecvente

• Uitarea pătratului. Se scrie $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^{b}f(x)dx$. Corect: integrandul este aria discului de secțiune, adică $\pi f^2(x)$; fără pătrat obții o mărime care nici măcar nu se măsoară în unități cubice.
• Ridicarea la pătrat a integralei. Se scrie $\pi {\left({\int }_a^{b}f\right)}^2$ în loc de $\pi {\int }_a^b{f}^2$. Corect: pătratul se aplică funcției, sub semnul de integrare — contraexemplul $f(x)=x$ pe $[0,1]$ dă $\frac{\pi }{3}$ față de $\frac{\pi }{4}$.
• Uitarea factorului $\pi$. Se calculează corect ${\int }_a^b{f}^2$ și se oprește acolo. Corect: rezultatul final are factorul $\pi$ în față, o singură dată; scoate-l de la început, ca să nu-l pierzi pe drum.
• Săritul peste verificarea ipotezelor. Se aplică formula fără a scrie că $f$ este continuă și pozitivă pe $[a,b]$. Corect: prima propoziție a rezolvării verifică ipotezele; la Bacalaureat M1 această propoziție este punctată separat în barem.
• Confuzia dintre grafic și subgrafic. Se crede că se rotește doar curba, nu și regiunea de sub ea. Corect: se rotește subgraficul, adică regiunea plină; rotirea curbei ar da o suprafață, nu un corp, iar aria suprafeței de rotație nu este în programa clasei a 12-a.

Aplică acasă

1. Ia un pahar cilindric și o cană tronconică. Măsoară cu rigla razele și înălțimile, apoi calculează volumele: pe cilindru cu $f$ constantă, pe cană cu o funcție de gradul întâi. Verifică turnând apă și citind volumul pe un vas gradat — abaterea sub $10\%$ înseamnă că măsurătorile și calculul sunt bune.
2. Desenează pe hârtie milimetrică graficul funcției $f(x)=\sqrt{x}$ pe $[0,4]$, apoi taie din carton cinci dreptunghiuri de lățime $0,8$ care aproximează subgraficul. Calculează suma $\sum \pi f^2({\xi }_i)\cdot 0,8$ cu ${\xi }_i$ la mijlocul fiecărui subinterval și compar-o cu valoarea exactă $8\pi$.
3. Alege trei obiecte din casă obținute prin rotație (o vază, un bec, un pion). Pentru fiecare, schițează profilul pe hârtie, propune o funcție care îl aproximează și estimează volumul. Ordonează obiectele după volumul calculat și verifică ordinea cufundându-le, pe rând, într-un vas cu apă.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide un arc început în clasa a VIII-a. Elevul cunoștea formula volumului cilindrului ca pe un fapt de memorat; acum ea devine ipoteza de lucru dintr-o demonstrație care produce o formulă mult mai generală. Această schimbare de statut — de la formulă memorată la instrument de demonstrație — este exact competența pe care programa o urmărește prin XII.CS.6.6.

Ce verifică lecția: recunoașterea corpului de rotație dintr-un enunț; demonstrația formulei cu felii cilindrice și sume Riemann; aplicarea corectă a celor patru pași; deosebirea dintre arie și volum.

Întrebări de control: „De ce apare pătratul funcției în integrand?" (pentru că integrandul este aria discului de secțiune, $\pi f^2(x)$); „De la ce formulă pornește demonstrația?" (de la volumul cilindrului, din clasa a VIII-a); „Care este deosebirea dintre $\pi \int f^2$ și $\pi {\left(\int f\right)}^2$?" (prima este volumul, a doua nu are semnificație geometrică; contraexemplul $f(x)=x$ pe $[0,1]$).

Semne că a înțeles: scrie ipotezele înainte de formulă, fără să i se ceară; simplifică $f^2$ înainte de a alege metoda de integrare; face controlul cutiei din proprie inițiativă; explică rotația cu mâna, descriind discul de secțiune.

Unde apare la BAC: în problema 2 a Subiectului al III-lea, cel mai adesea ca subpunct final, după un calcul de arie sau după studiul unei funcții. Enunțul-tip este „calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f$", iar baremul acordă puncte separate pentru scrierea formulei și pentru calculul integralei.

Întrebări frecvente

Ce este un corp de rotație?

Un corp de rotație este mulțimea punctelor din spațiu descrise de subgraficul unei funcții continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ atunci când acesta se rotește complet, cu $360^{\circ }$, în jurul axei $Ox$. Secțiunea corpului cu un plan perpendicular pe axă în punctul de abscisă $x$ este discul de rază $f(x)$. Cilindrul, conul, trunchiul de con și sfera sunt exemple de corpuri de rotație.

Care este formula volumului corpului de rotație?

Formula este $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$, unde $f$ este continuă și pozitivă pe $[a,b]$, iar rotația se face în jurul axei $Ox$. Integrandul $\pi f^2(x)$ este aria discului de secțiune din dreptul lui $x$. Rezultatul se măsoară în unități cubice și conține aproape întotdeauna factorul $\pi$, care se scoate în față de la primul rând.

Cum se demonstrează formula volumului corpului de rotație?

Se taie corpul cu plane perpendiculare pe axă, în dreptul punctelor unei diviziuni. Fiecare felie este încadrată între doi cilindri, deci volumul ei este între $\pi f^2$ evaluat în două puncte, înmulțit cu grosimea. Adunând, volumul corpului este prins între două sume Riemann ale funcției continue $\pi f^2$, care au aceeași limită când norma diviziunii tinde la zero.

De ce apare pătratul funcției în formulă?

Pentru că integrandul nu este funcția, ci aria secțiunii. Secțiunea corpului cu un plan perpendicular pe axa $Ox$ este un disc de rază $f(x)$, iar aria discului este $\pi f^2(x)$. Pătratul provine deci din formula ariei cercului, nu dintr-o manevră de calcul. Din același motiv volumul se măsoară în unități cubice, iar aria subgraficului în unități pătratice.

Ce diferență este între aria subgraficului și volumul corpului de rotație?

Aria subgraficului este o mărime plană, $\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_a^{b}f(x)dx$, măsurată în unități pătratice. Volumul corpului de rotație este o mărime spațială, $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$, măsurată în unități cubice. Ele se calculează din aceeași funcție, dar nu se compară între ele și nu se deduc una din alta.

Când nu se poate aplica formula volumului de rotație?

Formula cere ca $f$ să fie continuă și pozitivă pe intervalul închis $[a,b]$ și ca rotația să se facă în jurul axei $Ox$. Dacă funcția are o discontinuitate cu salt sau nu este mărginită, ipotezele cad. Dacă axa de rotație este alta, problema trebuie reformulată; în programa clasei a 12-a se cere numai rotația în jurul axei $Ox$.

Cum verific dacă rezultatul unui volum este plauzibil?

Cu controlul cutiei: dacă $m\le f\le M$ pe $[a,b]$, atunci $\pi m^2(b-a)\le \mathcal{V}(C_f)\le \pi M^2(b-a)$, pentru că un corp de rotație este cuprins între doi cilindri. Adaugă controlul dimensional — în rezultat trebuie să apară trei factori de lungime — și verificarea semnului: un volum negativ înseamnă, aproape sigur, limite de integrare inversate.