Bac M1 2013, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2013 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2013 a examenului național de bacalaureat — Varianta 9, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2013:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: formula termenului general, $b_n=b_1{q}^{n-1}$ — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: coordonatele vârfului parabolei — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și injectivitatea funcției exponențiale — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu pătratele perfecte de două cifre — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: relația lui Chasles și lungimea unui vector din coordonate — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor într-un triunghi oarecare — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinant numeric, produsul a două matrice din aceeași familie și determinantul unei sume de $101$ matrice — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul unui compus, forma „translatată" $(x-a)(y-a)+a$ și puterea de ordinul $2013$ în raport cu legea — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, asimptotă și inegalități: derivata unui raport cu exponențială, limita la $+\infty$ și minimul global citit din semnul derivatei — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șiruri de integrale: o integrală elementară, compararea a doi termeni prin semnul diferenței și calculul termenului general cu o primitivă recunoscută — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2013. Subiectul I este un tur complet al claselor a IX-a și a X-a, fără nicio cerință lungă: progresie, parabolă, ecuație exponențială, probabilitate, vectori, trigonometrie — câte una din fiecare capitol, exact în ordinea din programă. Subiectul al II-lea nu conține niciun polinom: problema 1 este pur matriceală, iar problema 2 este o lege de compoziție care se rezolvă integral din forma translatată de la subpunctul b) — cine nu o scrie rămâne la subpunctul c) cu un calcul imposibil. Subiectul al III-lea este cel care separă notele: la problema 1, subpunctul c) cere să transformi o inegalitate într-o problemă de minim, iar la problema 2, subpunctul b) cere compararea a doi termeni fără să-i calculezi, doar din semnul integrandului. Ambele sunt raționamente, nu calcule.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{e}{e+1}$ și $\frac{1}{2n}\left(1-\frac{1}{e^n}\right)$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: rația scrisă direct, fără ecuația $q^3=27$; probabilitatea dată fără numărarea cazurilor posibile; egalitatea a două matrice folosită fără a spune că toate elementele corespunzătoare coincid; concluzia „$f$ are minim în $1$" fără semnul derivatei pe cele două intervale; inegalitatea $I_{n+1}\le I_n$ „prin evidență", fără semnul diferenței.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: $b_n=b_1{q}^{n-1}$; între $b_1$ și $b_4$ se fac trei înmulțiri cu rația. Vârful parabolei: $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$, iar $y_V$ se poate obține și mai simplu, calculând $f(x_V)$. Ecuații exponențiale: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Vectori: relația lui Chasles $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ și $|x\vec{i}+y\vec{j}|=\sqrt{x^2+y^2}$. Teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ — laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse lor.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie cu multe zerouri; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid — de aici se scot ecuațiile; o sumă de matrice se face element cu element, deci ${\sum }_{k=1}^{101}k=\frac{101\cdot 102}{2}=101\cdot 51$.
• Legi de compoziție: legea $x\circ y=xy-ax-ay+a^2+a$ se scrie întotdeauna sub forma translatată $x\circ y=(x-a)(y-a)+a$; de aici, prin inducție, $\underset{x\text{ de }n\text{ ori}}{\underbrace{x\circ x\circ \dots \circ x}}=(x-a{)}^n+a$. Aceasta este singura cale rezonabilă spre subpunctul c).
• Derivate și asimptote: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; $(e^x{)}^{\prime }=e^x$; asimptota orizontală spre $+\infty$ există când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ este finită, iar atunci dreapta este $y=\ell$. Inegalitatea prin monotonie: dacă $f^{\prime }\le 0$ înainte de $x_0$ și $f^{\prime }\ge 0$ după, atunci $x_0$ este punct de minim global și $f(x)\ge f(x_0)$ pe tot domeniul.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; recunoașterea derivatei, ${\int }_a^b{u}^{\prime }(x)dx=u(x){|}_a^b$; monotonia integralei: dacă $h(x)\le 0$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}h(x)dx\le 0$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ de la itemul $8$ nu este compunerea funcțiilor: aici el denumește legea de compoziție $x\circ y=xy-4x-4y+20$, definită pe mulțimea numerelor reale. Așa a fost tipărit în subiectul oficial și așa l-am transcris. La noi, o lege de compoziție oarecare se notează de obicei $\ast$; când o probă oficială folosește alt semn, păstrăm semnul din enunț.
• Litera $f$ denumește două obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2-6x+8$ de la itemul $2$ și funcția $f(x)=\frac{e^x}{x+e^x}$ de la itemul $9$. Fiecare item se citește separat.
• Litera $e$ apare la itemii $9$ și $10$ și înseamnă acolo numărul lui Euler, baza logaritmului natural. În această probă legea de compoziție de la itemul $8$ nu are element neutru cerut, deci nu există nicio ciocnire cu $e$ „element neutru". Tot la itemul $10$, litera $n$ este indice de șir, nu exponent al vreunei puteri a lui $x$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați rația progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$ cu termeni reali, știind că $b_1=1$ și $b_4=27$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+8$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x+2}=9^{1-x}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie pătrat perfect.

Itemul 5 (5 puncte)

Se consideră punctele $A$, $B$ și $C$ astfel încât $\overrightarrow{AB}=4\vec{i}-3\vec{j}$ și $\overrightarrow{BC}=2\vec{i}-5\vec{j}$. Determinați lungimea vectorului $\overrightarrow{AC}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați sinusul unghiului $A$ al triunghiului $ABC$ în care $AB=4$, $BC=5$ și $\sin C=\frac{4}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Pentru fiecare număr real $m$ se consideră matricea $$A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ m& 0& 0\\ m& 0& m\end{array}\right).$$

a) (5 puncte) Calculați $\det (A(1))$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ știind că $A(m)\cdot A(-m)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1)+A(2)+\dots +A(101))=-51^2\cdot 101^3$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de $x\circ y=xy-4x-4y+20$.

a) (5 puncte) Calculați $3\circ 4$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=(x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\underset{x\text{ de }2013\text{ ori}}{\underbrace{x\circ x\circ \dots \circ x}}=5$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{x+e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)e^x}{(x+e^x{)}^2}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\ge \frac{e}{e+1}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^{1}x{e}^{-n{x}^2}dx$.

a) (5 puncte) Calculați $I_0$.

b) (5 puncte) Arătați că $I_{n+1}\le I_n$, pentru orice număr natural $n$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $I_n=\frac{1}{2n}\left(1-\frac{1}{e^n}\right)$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2013; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — rația unei progresii geometrice.

Într-o progresie geometrică fiecare termen se obține din cel dinainte înmulțind cu rația, deci de la $b_1$ la $b_4$ se fac trei înmulțiri: $b_4=b_1{q}^3$. Cu datele din enunț, $$b_4=b_1{q}^3⟹q^3=27\text{(3 p)}.$$ Termenii progresiei sunt reali, iar singurul număr real al cărui cub este $27$ este $3$, deci $\mathbf{q}=3$ (2 p).

(Control: progresia este $1,3,9,27,\dots$, iar al patrulea termen este într-adevăr $27$. Unde se greșește de obicei: se scrie $b_4=b_1{q}^4$, adică se numără termenii în loc să se numere înmulțirile. A doua capcană: se caută și rații negative — ecuația $q^3=27$ are o singură soluție reală, spre deosebire de $q^2=9$, care ar avea două.)

Itemul 2. (5 p) — vârful unei parabole.

Parabola are ecuația $y=x^2-6x+8$, deci $a=1$, $b=-6$, $c=8$. Abscisa vârfului este $$x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot 1}=3\text{(2 p)}.$$ Ordonata se obține cel mai repede înlocuind în funcție: $$y_V=f(3)=3^2-6\cdot 3+8=9-18+8=-1\text{(3 p)},$$ deci vârful este $\mathbf{V}(3,-1)$.

(Același rezultat pe drumul cu discriminantul: $\Delta =36-32=4$, iar $y_V=-\frac{\Delta }{4a}=-1$. Control: coeficientul lui $x^2$ este pozitiv, deci parabola are ramurile în sus și vârful este punctul cel mai de jos; într-adevăr $f(2)=0$ și $f(4)=0$ sunt amândouă mai mari decât $-1$, iar $3$ este exact la mijlocul dintre rădăcinile $2$ și $4$. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus din $-\frac{b}{2a}$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cele două puteri se aduc la aceeași bază, folosind $9=3^2$, deci $9^{1-x}=(3^2{)}^{1-x}=3^{2(1-x)}$. Funcția exponențială de bază $3$ este injectivă, deci egalitatea puterilor înseamnă egalitatea exponenților: $$3^{x+2}=3^{2(1-x)}⟹x+2=2-2x\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul întâi se rezolvă imediat: $3x=0$, deci $\mathbf{x}=0$ (2 p).

(Verificare: pentru $x=0$, membrul stâng este $3^2=9$, iar cel drept $9^1=9$. Unde se greșește de obicei: se scrie $9^{1-x}=3^{2-x}$, adică se ridică la pătrat doar baza, nu și exponentul; regula corectă este $(a^m{)}^n=a^{mn}$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Pătratele perfecte de două cifre sunt pătratele numerelor de la $4$ la $9$, adică $16$, $25$, $36$, $49$, $64$ și $81$; sunt așadar $6$ cazuri favorabile (2 p).

Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$, deci $99-10+1=90$ de cazuri posibile (1 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se pornește lista de la $1^2=1$ și se numără și pătratele de o cifră, sau se uită $9^2=81$ crezând că $100$ ar mai încăpea. Control: $3^2=9$ are o cifră, $10^2=100$ are trei, deci baza trebuie să fie între $4$ și $9$ — adică exact șase valori.)

Itemul 5. (5 p) — vectori și relația lui Chasles.

Punctele $A$, $B$, $C$ se leagă prin relația lui Chasles, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, iar vectorii se adună pe componente: $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(4\vec{i}-3\vec{j})+(2\vec{i}-5\vec{j})=6\vec{i}-8\vec{j}\text{(3 p)}.$$ Lungimea unui vector dat pe componente se calculează cu teorema lui Pitagora: $$\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună lungimile, nu vectorii — ar da $5+\sqrt{29}\approx 10,39$, alt număr. A doua capcană: la ridicarea la pătrat se pierde semnul minus, dar $(-8{)}^2=64$, nu $-64$. Control: triunghiul de laturi $6$ și $8$ cu unghi drept are ipotenuza $10$ — este triunghiul „$3$–$4$–$5$" dublat.)

Itemul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Într-un triunghi oarecare, laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse lor. Latura $AB$ este opusă unghiului $C$, iar latura $BC$ este opusă unghiului $A$, deci $$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\text{(2 p)}.$$ Înlocuind datele din enunț, $\frac{4}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{\sin A}$, adică $5=\frac{5}{\sin A}$, de unde $$\sin A=\frac{BC\cdot \sin C}{AB}=\frac{5\cdot \frac{4}{5}}{4}=1\text{(3 p)}.$$

(Ce înseamnă rezultatul: $\sin A=1$ pentru un unghi al unui triunghi înseamnă $A=90^{\circ }$ — triunghiul este dreptunghic în $A$, iar $BC$ este ipotenuza. Control complet: dacă $A=90^{\circ }$ și $AB=4$, $BC=5$, atunci $AC=\sqrt{25-16}=3$ și $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5}$ — exact datele din enunț, deci triunghiul chiar există. Unde se greșește de obicei: se scriu laturile lângă unghiurile lor „vecine", nu lângă cele opuse, adică $\frac{AB}{\sin A}=\frac{BC}{\sin C}$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $m=1$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}A(1)& =\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}\det (A(1))& =0+0+0-0-0-1\\ & =-1\text{(3 p)}.\end{array}$$

(Drumul scurt este dezvoltarea după linia a doua, care are un singur element nenul: $\det (A(1))=-1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=-1$; semnul minus vine din poziția $(2,1)$, unde $(-1{)}^{2+1}=-1$. Aceeași valoare, și un control gratuit al calculului lung. De reținut: linia a doua a matricei $A(m)$ este $\left(\begin{array}{ccc}m& 0& 0\end{array}\right)$ pentru orice $m$, deci trucul merge la orice valoare a parametrului.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele „linie pe coloană", cu $A(-m)$ obținută înlocuind $m$ cu $-m$ peste tot: $$\begin{array}{rl}& A(m)\cdot A(-m)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1-2m& 1& 1-m\\ m& m& m\\ m-m^2& m& m-m^2\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Două matrice sunt egale exact atunci când toate elementele corespunzătoare coincid. Comparând, de exemplu, elementele de pe linia întâi — $1-2m=-1$ și $1-m=0$ — și pe cele de pe linia a doua — $m=1$ —, toate condițiile duc la aceeași valoare: $$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{ccc}1-2m& 1& 1-m\\ m& m& m\\ m-m^2& m& m-m^2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\\ & ⟹\mathbf{m}=1\text{(2 p)}.\end{array}$$

(Verificare pe o poziție: elementul din colțul din stânga sus este $1\cdot 1+1\cdot (-m)+1\cdot (-m)=1-2m$. Atenție la o capcană: condiția $m-m^2=0$, luată singură, ar da $m=0$ sau $m=1$ — dar $m=0$ pică la celelalte poziții, unde ar trebui ca $1-2\cdot 0=-1$, fals. De aceea egalitatea de matrice trebuie citită pe toate cele nouă poziții, nu pe una singură. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele „poziție cu poziție", ca la adunare.)

c) (5 p) Suma se face element cu element. Singurele poziții care depind de $m$ sunt $(2,1)$, $(3,1)$ și $(3,3)$, iar acolo se adună $1+2+\dots +101=\frac{101\cdot 102}{2}=101\cdot 51$; pe pozițiile constante se adună de $101$ ori aceeași valoare: $$\begin{array}{rl}& A(1)+A(2)+\dots +A(101)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}101& 101& 101\\ 101\cdot 51& 0& 0\\ 101\cdot 51& 0& 101\cdot 51\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Dezvoltând determinantul după linia întâi, primul și al treilea minor sunt nuli (au o coloană de zerouri), deci rămâne doar termenul din mijloc: $$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{ccc}101& 101& 101\\ 101\cdot 51& 0& 0\\ 101\cdot 51& 0& 101\cdot 51\end{array}\right|\\ & =-101\cdot (101\cdot 51{)}^2\\ & =-51^2\cdot 101^3\text{(2 p)}.\end{array}$$

(De ce se poate aduna așa: adunarea matricelor este definită element cu element, deci fiecare poziție se tratează separat. Control: $101\cdot 51=5151$, iar $-51^2\cdot 101^3=-2601\cdot 1030301=-2679812901$ — același număr se obține și calculând direct $-101\cdot 5151^2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $1+2+\dots +101=\frac{101\cdot 101}{2}$, adică se folosește formula lui Gauss cu $n$ în loc de $n+1$.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se înlocuiește direct în formula legii, cu $x=3$ și $y=4$: $$3\circ 4=3\cdot 4-4\cdot 3-4\cdot 4+20=12-12-16+20\text{(3 p)},$$ $$3\circ 4=4\text{(2 p)}.$$

(Control cu forma de la subpunctul b): $3\circ 4=(3-4)(4-4)+4=0+4=4$ — al doilea factor este nul, deci rezultatul este chiar $4$. Unde se greșește de obicei: se confundă $\circ$ cu compunerea funcțiilor și se caută o funcție de compus; aici $\circ$ este numele unei operații pe numere reale, definit de formula din enunț.)

b) (5 p) Se grupează termenii care conțin $x$ și se dă factor comun, apoi se completează astfel încât să reapară constanta din enunț: $$x\circ y=xy-4x-4y+20=x(y-4)-4(y-4)+4\text{(3 p)},$$ $$x\circ y=(x-4)(y-4)+4,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$

(Verificare prin desfacere: $(x-4)(y-4)+4=xy-4x-4y+16+4=xy-4x-4y+20$, exact formula din enunț. De ce apare tocmai $4$: la o lege de forma $xy-ax-ay+c$, translația funcționează cu $a=4$, iar constanta care rămâne în afara produsului este $c-a^2=20-16=4$. Două consecințe imediate, folositoare la subpunctul c): $x\circ 4=(x-4)\cdot 0+4=4$ pentru orice $x$, deci $4$ este element absorbant, iar $x\circ 5=(x-4)\cdot 1+4=x$ pentru orice $x$, deci $5$ este elementul neutru al legii.)

c) (5 p) Din forma translatată, compunând de două ori același număr: $$x\circ x=(x-4{)}^2+4\text{(1 p)}.$$ Repetând raționamentul — la fiecare nouă compunere cu $x$, paranteza $(x-4)$ capătă încă un exponent, pentru că $[(x-4{)}^k+4]\circ x=(x-4{)}^k(x-4)+4$ — se obține, prin inducție, $$\underset{x\text{ de }2013\text{ ori}}{\underbrace{x\circ x\circ \dots \circ x}}=(x-4{)}^{2013}+4\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $(x-4{)}^{2013}+4=5$, adică $(x-4{)}^{2013}=1$; exponentul fiind impar, funcția $t\mapsto t^{2013}$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci ecuația are soluție unică, $x-4=1$, de unde $\mathbf{x}=5$ (2 p).

(Legea este asociativă — enunțul o spune — deci scrierea fără paranteze are sens și ordinea compunerilor nu contează. Control: pentru $x=5$ avem $5\circ 5=1\cdot 1+4=5$, deci compunerea lui $5$ cu el însuși de oricâte ori dă tot $5$; într-adevăr $5$ este elementul neutru al legii. Unde se greșește de obicei: se încearcă desfacerea produsului de $2013$ paranteze din forma inițială, ceea ce este imposibil de dus la capăt; drumul obligatoriu trece prin subpunctul b). A doua capcană: dacă exponentul ar fi fost par, ar fi apărut și soluția $x=3$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală și inegalitate.

a) (5 p) Funcția este un raport, deci se derivează cu ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, unde numărătorul are derivata $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, iar numitorul $(x+e^x{)}^{\prime }=1+e^x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x(x+e^x)-e^x(1+e^x)}{(x+e^x{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Se dă factor comun $e^x$ la numărător, iar termenii $e^{2x}$ se reduc: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x(x+e^x-1-e^x)}{(x+e^x{)}^2}=\frac{(x-1)e^x}{(x+e^x{)}^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: în $x=2$, formula dă $f^{\prime }(2)=\frac{e^2}{(2+e^2{)}^2}\approx 0,0838$, iar raportul incremental $\frac{f(2,000001)-f(1,999999)}{0,000002}$ dă tot $0,0838$. Al doilea control: în $x=1$ formula dă zero, iar funcția chiar are acolo un palier. Unde se greșește de obicei: se scrie $(x+e^x{)}^{\prime }=e^x$, adică se uită derivata lui $x$; numitorul $(x+e^x{)}^2$ nu se derivează, el este $g^2$ din formulă.)

b) (5 p) Se caută limita funcției la $+\infty$; ambii termeni tind la infinit, deci se scoate forțat $e^x$ factor comun la numitor: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x+e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{x}{e^x}+1}=\frac{1}{0+1}=1\text{(3 p)}.$$ Limita fiind finită, graficul se apropie de o dreaptă orizontală, deci ecuația asimptotei spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ este $\mathbf{y}=1$ (2 p).

(De ce $\frac{x}{e^x}\to 0$: exponențiala crește mai repede decât orice putere a lui $x$ — este limita fundamentală $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{e^x}=0$, care se poate obține și cu regula lui l'Hôpital, din $\frac{1}{e^x}\to 0$. Control numeric: $f(20)=\frac{e^{20}}{20+e^{20}}\approx 0,99999996$. Unde se greșește de obicei: se caută asimptotă oblică, deși limita este finită — panta ar ieși $0$ și procedura s-ar întoarce tot la dreapta orizontală.)

c) (5 p) Se citește semnul derivatei de la subpunctul a). Numitorul $(x+e^x{)}^2$ este strict pozitiv, iar $e^x>0$ pentru orice $x$, deci semnul lui $f^{\prime }(x)$ este dat exclusiv de factorul $x-1$. Prin urmare $f^{\prime }(1)=0$, iar $$f^{\prime }(x)\le 0\text{ pentru }x\in (0,1],f^{\prime }(x)\ge 0\text{ pentru }x\in [1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Funcția scade până în $x=1$ și crește după, deci $x=1$ este punct de minim global pe $(0,+\infty )$, iar valoarea minimă este $f(1)=\frac{e}{1+e}$; așadar $$f(x)\ge f(1)=\frac{\mathbf{e}}{\mathbf{e}+1},\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{e}{e+1}\approx 0,7311$, iar căutarea minimului lui $f$ pe $(0,20]$ pe o rețea fină dă tot $0,7311$, atins în $x=1$. Un al doilea control: $f(0,5)\approx 0,7673$ și $f(3)\approx 0,8700$ — amândouă peste minim, așa cum trebuie. Unde se greșește de obicei: se încearcă demonstrarea inegalității prin calcul direct, înmulțind în cruce; drumul corect transformă inegalitatea într-o problemă de minim, iar minimul se citește din semnul derivatei. A doua capcană: se scrie „$f$ este crescătoare, deci $f(x)\ge f(1)$" — funcția nu este monotonă pe tot domeniul, are un minim la mijloc.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale.

a) (5 p) Pentru $n=0$ exponentul se anulează, iar $e^0=1$, deci integrandul rămâne doar $x$: $$I_0={\int }_0^{1}x{e}^{-0\cdot x^2}dx={\int }_0^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $$I_0=\frac{1}{2}-\frac{0}{2}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Control geometric: integrandul este funcția $x$, iar aria de sub ea pe $[0,1]$ este aria unui triunghi dreptunghic cu catetele $1$ și $1$, adică $\frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $e^0=0$; orice număr nenul la puterea zero este $1$.)

b) (5 p) Nu se calculează niciun termen: se compară direct, scriind diferența ca o singură integrală. Cum $e^{-(n+1)x^2}=e^{-n{x}^2}\cdot e^{-x^2}$, obținem $$I_{n+1}-I_n={\int }_0^{1}x{e}^{-n{x}^2}(e^{-x^2}-1)dx\text{(2 p)}.$$ Pentru orice număr natural $n$ și orice $x\in [0,1]$ avem $x\ge 0$ și $e^{-n{x}^2}>0$, iar $-x^2\le 0$ dă $e^{-x^2}\le e^0=1$, adică $e^{-x^2}-1\le 0$. Integrandul este deci negativ sau nul pe tot intervalul, iar integrala unei funcții negative pe $[0,1]$ este negativă: $I_{n+1}-I_n\le 0$, adică ${\mathbf{I}}_{\mathbf{n}+1}\le {\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}$ (3 p).

(Baremul oficial nu scrie explicit condiția $x\ge 0$, deși fără ea semnul produsului $x\cdot e^{-n{x}^2}\cdot (e^{-x^2}-1)$ nu ar fi stabilit; o scriem, fără punctaj, pentru că pe $[0,1]$ ea este evidentă, dar necesară. Control numeric: $I_0=0,5$, $I_1\approx 0,3161$, $I_2\approx 0,2162$ — șirul chiar scade. Unde se greșește de obicei: se compară integrandele „la ochi", fără să se scrie diferența ca integrală; sau se calculează $I_n$ de la subpunctul c) și se compară formulele, ceea ce cere în plus discutarea factorului $\frac{1}{2n}$ și nu merge pentru $n=0$.)

c) (5 p) Se recunoaște la integrand derivata exponentului: $(e^{-n{x}^2}{)}^{\prime }=-2nx\cdot e^{-n{x}^2}$, deci pentru $n$ nenul $x{e}^{-n{x}^2}=-\frac{1}{2n}(e^{-n{x}^2}{)}^{\prime }$ și integrala devine integrala unei derivate: $$I_n={\int }_0^{1}x{e}^{-n{x}^2}dx=-\frac{1}{2n}{\int }_0^1(e^{-n{x}^2}{)}^{\prime }dx\text{(3 p)}.$$ Integrala unei derivate se calculează direct cu Leibniz–Newton: $$I_n=-\frac{1}{2n}{e}^{-n{x}^2}{|}_0^1=-\frac{1}{2n}\left(\frac{1}{e^n}-1\right)=\frac{1}{2n}\left(1-\frac{1}{{\mathbf{e}}^{\mathbf{n}}}\right)\text{(2 p)}.$$

(Aceeași integrală se poate face și prin schimbarea de variabilă $t=x^2$, cu $dt=2xdx$, care duce la $\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{-nt}dt$ — același rezultat. Control numeric: pentru $n=2$ formula dă $\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{e^2}\right)\approx 0,21617$, iar integrala calculată numeric dă $0,21617$; pentru $n=3$, $0,15837$ în ambele feluri. Unde se greșește de obicei: se împarte la $-2n$ dar se uită să se schimbe semnul la final, sau se aplică formula și pentru $n=0$ — de aceea enunțul cere „număr natural nenul". Legătura cu subpunctul a): formula nu are sens în $n=0$, dar $I_0$ a fost calculat separat, direct.)