Bac M1 2013, sesiunea august-septembrie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2013 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de rezervă al probei E. c), Matematică M_mate-info, din sesiunea august-septembrie 2013 a examenului național de bacalaureat — Varianta 4. Variantele de rezervă sunt pregătite de comisie pentru cazurile în care varianta extrasă nu poate fi folosită; ele au exact aceeași structură, același nivel de dificultate și același barem ca varianta de examen. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din 2013:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: suma primilor termeni și proprietatea termenului din mijloc — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: coordonatele vârfului parabolei — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: injectivitatea logaritmului și condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu produsul cifrelor — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori în reper cartezian: egalitatea a doi vectori scriși pe componente — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula sinusului unghiului dublu — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinant numeric, produs de matrice și ecuația $\det (A(m))=0$ — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: forma translatată $(x-a)(y-a)+a$, elementul absorbant și un produs lung care se prăbușește — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate și limite: derivata unui raport de polinoame, recunoașterea derivatei într-o limită și nedeterminarea $1^{\infty }$ — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șiruri de integrale: integrare prin părți, o relație de recurență și încadrarea între două margini — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă din 2013. Subiectul I este scurt și direct, cu o singură capcană: la itemul $3$ trebuie scrise condițiile de existență ale logaritmilor înainte de a simplifica. Subiectul al II-lea este ușor la primele două subpuncte ale fiecărei probleme și tăios la subpunctele c): la problema 1, determinantul unei matrice simetrice cu parametru se factorizează, iar cine îl desface brut ajunge la o ecuație de gradul al treilea; la problema 2, produsul $1\circ 2\circ \dots \circ 2013$ pare imposibil până când observi că $2$ este element absorbant. Subiectul al III-lea are cea mai grea cerință a probei la itemul $9$c), o limită de tip $1^{\infty }$ care cere scrierea cu limita fundamentală ${\left(1+\frac{1}{u}\right)}^u\to e$; problema $2$ este, în schimb, un lanț clasic: integrare prin părți, recurență, încadrare.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{e-2}{e}$ și $e^2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția ecuației logaritmice dată fără verificare; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; verificarea de la itemul $7$b) încheiată fără cuvântul „da" sau „nu"; limita de tip $1^{\infty }$ scrisă direct ca $e^2$, fără aducerea la limita fundamentală; încadrarea $0\le I_n\le \frac{1}{n+1}$ obținută fără inegalitatea de sub integrală.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$; termenul din mijloc al oricăror trei termeni consecutivi este media aritmetică a vecinilor, $a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$. Vârful parabolei: $x_V=-\frac{b}{2a}$, iar $y_V=f(x_V)$. Ecuații logaritmice: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu $u>0$ și $v>0$ — condițiile de existență se scriu întotdeauna. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$. Vectori: doi vectori sunt egali exact când au aceleași componente pe $\vec{i}$ și pe $\vec{j}$. Trigonometrie: $\sin 2t=2\sin t\cos t$, deci $4\sin t\cos t=2\sin 2t$.
• Matrice: o matrice cu suma constantă pe fiecare linie are acea sumă ca factor al determinantului — se adună toate coloanele la prima; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid.
• Legi de compoziție: legea $x\circ y=xy-ax-ay+a^2+a$ se scrie translatat, $x\circ y=(x-a)(y-a)+a$; numărul $a$ este atunci element absorbant: $x\circ a=a$ pentru orice $x$. Într-un produs lung, un singur element absorbant „înghite" tot restul.
• Derivate și limite: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; derivata ca limită, $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$; nedeterminarea $1^{\infty }$ se rezolvă cu limita fundamentală $\underset{u\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{u}\right)}^u=e$, scriind baza sub forma $1+\frac{1}{u}$.
• Integrale: integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; monotonia integralei: dacă $g\le h$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}g\le {\int }_a^{b}h$; ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ de la itemul $8$ nu este compunerea funcțiilor: el denumește aici legea de compoziție $x\circ y=xy-2x-2y+6$, definită pe $\mathbb{R}$. Așa a fost tipărit în subiectul oficial și așa l-am transcris. La noi, o lege de compoziție oarecare se notează de obicei $\ast$; când o probă oficială folosește alt semn, păstrăm semnul din enunț.
• Litera $f$ denumește două obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2-4x+2$ de la itemul $2$ și funcția $f(x)=\frac{x^3-1}{x^2+1}$ de la itemii $9$a), $9$b) și $9$c). Fiecare item se citește separat.
• Litera $n$ apare în două roluri: indice de termen la itemii $1$ și $10$ (unde $I_n$ este al $n$-lea număr al unui șir) și exponent al lui $x$ tot la itemul $10$ (unde integrandul este $x^n{e}^{-x}$) — este vorba despre același $n$, dar folosit o dată ca rang și o dată ca putere. Litera $e$ înseamnă peste tot numărul lui Euler.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, dacă $a_1=2$ și $a_3=8$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+2$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_{3}x={\log }_3(4-x)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu $4$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$ și $B(4,1)$. Determinați coordonatele punctului $M$ știind că $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Arătați că $4\sin \frac{\pi }{12}\cos \frac{\pi }{12}=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Pentru fiecare număr real $m$ se consideră matricea $$A(m)=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& m+1\\ 2& m+1& 2\\ m+1& 2& 2\end{array}\right).$$

a) (5 puncte) Calculați $\det (A(-1))$.

b) (5 puncte) Verificați dacă $A(0)\cdot A(1)=5A(1)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ pentru care $\det (A(m))=0$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție asociativă dată de $x\circ y=xy-2x-2y+6$.

a) (5 puncte) Verificați dacă $x\circ y=(x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\circ 2=2\circ x=2$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Calculați $1\circ 2\circ 3\circ \dots \circ 2012\circ 2013$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3-1}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x^4+3x^2+2x}{(x^2+1{)}^2}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^{f(x)}$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{-x}dx$.

a) (5 puncte) Arătați că $I_1=\frac{e-2}{e}$.

b) (5 puncte) Verificați dacă $I_{n+1}=(n+1)I_n-\frac{1}{e}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

c) (5 puncte) Arătați că $0\le I_n\le \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2013, varianta de rezervă; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — suma primilor termeni ai unei progresii aritmetice.

Suma primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice este $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$. Pentru $n=3$ sunt de ajuns primul și al treilea termen, care sunt amândoi dați: $$S_3=\frac{(a_1+a_3)\cdot 3}{2}=\frac{(2+8)\cdot 3}{2}\text{(3 p)}.$$ $$S_3=\frac{30}{2}=15\text{(2 p)}.$$

(Control pe alt drum: termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor, $a_2=\frac{2+8}{2}=5$, deci rația este $3$ și progresia începe cu $2,5,8$; suma lor este $2+5+8=15$. Unde se greșește de obicei: se caută întâi rația și se pierde timp — formula sumei nu are nevoie de ea. A doua capcană: se folosește $S_3=\frac{(a_1+a_3)\cdot 3}{2}$ cu $a_3$ înlocuit greșit prin $a_1+3r$; al treilea termen este $a_1+2r$.)

Itemul 2. (5 p) — vârful unei parabole.

Parabola are ecuația $y=x^2-4x+2$, deci $a=1$, $b=-4$, $c=2$. Abscisa vârfului este $$x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2\text{(2 p)}.$$ Ordonata se obține înlocuind în funcție: $$y_V=f(2)=2^2-4\cdot 2+2=4-8+2=-2\text{(3 p)},$$ deci vârful este $\mathbf{V}(2,-2)$.

(Același rezultat pe drumul cu discriminantul: $\Delta =16-8=8$ și $y_V=-\frac{\Delta }{4a}=-2$. Control: parabola are ramurile în sus, iar $f(0)=2$ și $f(4)=2$ sunt egale — semn că $2$ este exact la mijloc, adică abscisa vârfului. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus din $-\frac{b}{2a}$ sau se scrie $y_V=-\frac{\Delta }{4}$ fără $a$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul în bază $3$ este o funcție injectivă, deci două logaritmi sunt egali exact când argumentele lor sunt egale: $${\log }_{3}x={\log }_3(4-x)⟹x=4-x\text{(3 p)}.$$ Rezultă $2x=4$, adică $x=2$; se verifică apoi condițiile de existență, $x>0$ și $4-x>0$, adică $x\in (0,4)$ — iar $2$ le respectă pe amândouă, deci soluția $\mathbf{x}=2$ convine (2 p).

(Verificare directă: ${\log }_{3}2={\log }_3(4-2)={\log }_{3}2$. Unde se greșește de obicei: se sare peste condițiile de existență. La ecuațiile logaritmice ele nu sunt pedanterie — dacă ecuația ar fi fost ${\log }_{3}x={\log }_3(x-4)$, „soluția" formală ar fi dus la o contradicție, iar mulțimea soluțiilor ar fi fost vidă. A doua capcană: se aplică logaritmul încă o dată, deși el trebuie doar înlăturat.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Un număr de două cifre se scrie $\overline{ab}$, cu $a$ nenulă. Cerința este $a\cdot b=4$, iar perechile de cifre cu produsul $4$ sunt $(1,4)$, $(2,2)$ și $(4,1)$; numerele sunt deci $14$, $22$ și $41$ — adică $3$ cazuri favorabile (2 p).

Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$, deci $99-10+1=90$ de cazuri posibile (1 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}\text{(2 p)}.$$

(De ce lista este completă: perechile $(a,b)$ cu $ab=4$ se obțin din divizorii lui $4$, adică $1$, $2$ și $4$ — iar toate trei sunt cifre. Perechea $(4,1)$ și perechea $(1,4)$ dau numere diferite, deci se numără separat. Unde se greșește de obicei: se ia și „$b=0$", deși $a\cdot 0=0\ne 4$, sau se uită că prima cifră nu poate fi zero.)

Itemul 5. (5 p) — egalitate de vectori în reper cartezian.

Vectorul $\overrightarrow{AB}$ are componentele diferențelor de coordonate: $\overrightarrow{AB}=(4-1)\vec{i}+(1-1)\vec{j}=3\vec{i}$. Notând $M(x_M,y_M)$, avem la fel $$\overrightarrow{AB}=3\vec{i}\text{și}\overrightarrow{AM}=(x_M-1)\vec{i}+(y_M-1)\vec{j}\text{(2 p)}.$$ Doi vectori sunt egali exact când componentele lor coincid; din $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\vec{i}$ rezultă $x_M-1=1$ și $y_M-1=0$, deci $\mathbf{M}(2,1)$ (3 p).

(Interpretare: $M$ este punctul de pe segmentul $[AB]$ situat la o treime de $A$; cum $A$ și $B$ au aceeași ordonată, tot segmentul este orizontal, iar $M$ are și el ordonata $1$. Control: distanța de la $A(1,1)$ la $M(2,1)$ este $1$, adică exact o treime din $AB=3$. Unde se greșește de obicei: se împart coordonatele lui $B$ la $3$, în loc să se împartă vectorul $\overrightarrow{AB}$ — punctul de plecare este $A$, nu originea.)

Itemul 6. (5 p) — sinusul unghiului dublu.

Expresia conține produsul $\sin t\cos t$, care se recunoaște în formula $\sin 2t=2\sin t\cos t$. Grupând factorul $4$ ca $2\cdot 2$, cu $t=\frac{\pi }{12}$: $$4\sin \frac{\pi }{12}\cos \frac{\pi }{12}=2\cdot \left(2\sin \frac{\pi }{12}\cos \frac{\pi }{12}\right)=2\sin \frac{\pi }{6}\text{(3 p)}.$$ Sinusul unghiului de $\frac{\pi }{6}$ este $\frac{1}{2}$, deci $$4\sin \frac{\pi }{12}\cos \frac{\pi }{12}=2\cdot \frac{1}{2}=1\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{\pi }{12}=15^{\circ }$, iar $\sin 15^{\circ }\approx 0,2588$ și $\cos 15^{\circ }\approx 0,9659$; produsul lor înmulțit cu $4$ dă $1,0000$. Unde se greșește de obicei: se caută valorile exacte ale lui $\sin 15^{\circ }$ și $\cos 15^{\circ }$ și se intră într-un calcul cu radicali imbricați — formula unghiului dublu evită tot acest drum. A doua capcană: se scrie $4\sin t\cos t=\sin 4t$; formula dublează unghiul o singură dată.)

Itemul 7. (15 p) — matrice simetrică de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $m=-1$ toate elementele $m+1$ devin nule: $$\begin{array}{rl}& A(-1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 2& 0& 2\\ 0& 2& 2\end{array}\right)⟹\det (A(-1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 2& 0& 2\\ 0& 2& 2\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, diagonalele „descendente" dau toate zero, iar dintre cele „ascendente" rămân două produse egale cu $8$: $$\begin{array}{rl}\det (A(-1))& =0+0+0-0-8-8\\ & =-16\text{(3 p)}.\end{array}$$

(Control pe alt drum: dezvoltând după prima linie, $2\cdot (0\cdot 2-2\cdot 2)-2\cdot (2\cdot 2-2\cdot 0)+0=2\cdot (-4)-2\cdot 4=-16$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $m$ cu $-1$ doar în unele poziții; expresia $m+1$ apare de trei ori, pe „antidiagonala" matricei.)

b) (5 p) Cele două matrice sunt $A(0)=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 2& 1& 2\\ 1& 2& 2\end{array}\right)$ și $A(1)=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ 2& 2& 2\\ 2& 2& 2\end{array}\right)$, iar produsul lor se face „linie pe coloană": $$\begin{array}{rl}& A(0)\cdot A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 2& 1& 2\\ 1& 2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ 2& 2& 2\\ 2& 2& 2\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Toate coloanele lui $A(1)$ sunt egale, deci fiecare element al produsului este suma liniei corespunzătoare din $A(0)$, înmulțită cu $2$; cum fiecare linie a lui $A(0)$ are suma $5$, toate elementele produsului sunt $10$: $$\begin{array}{rl}& A(0)\cdot A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}10& 10& 10\\ 10& 10& 10\\ 10& 10& 10\end{array}\right)=5A(1),\\ & \text{ deci egalitatea din enunț este }\text{adeva˘rata˘}\text{(3 p)}.\end{array}$$

(Verificare pe o poziție: elementul din colțul din stânga sus este $2\cdot 2+2\cdot 2+1\cdot 2=10$. De ce iese așa de curat: matricea $A(1)$ are toate elementele egale cu $2$, deci înmulțirea cu ea „citește" doar sumele liniilor primei matrice — iar $A(0)$ are, pe fiecare linie, aceleași trei numere $2,2,1$. Unde se greșește de obicei: la o cerință de tip „verificați dacă", răspunsul trebuie să conțină explicit cuvântul de încheiere — „da, egalitatea are loc"; un calcul lăsat fără concluzie pierde puncte.)

c) (5 p) Fiecare linie a matricei $A(m)$ are suma $2+2+(m+1)=m+5$. Adunând coloanele a doua și a treia la prima, toate elementele primei coloane devin $m+5$, iar acest factor iese din determinant: $$\begin{array}{rl}& \det (A(m))\\ & =(m+5)\cdot \left|\begin{array}{ccc}1& 2& m+1\\ 1& m+1& 2\\ 1& 2& 2\end{array}\right|\\ & =-(m+5)(m-1{)}^2\text{(3 p)}.\end{array}$$ Un produs este nul exact când unul dintre factori este nul, deci $$\begin{array}{rl}& \det (A(m))\\ & =0⟺\mathbf{m}=-5\text{ sau }\mathbf{m}=1\text{(2 p)}.\end{array}$$

(Cum se termină determinantul rămas: scăzând prima linie din celelalte două, se obține $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& m+1\\ 0& m-1& 1-m\\ 0& 0& 1-m\end{array}\right|=(m-1)(1-m)=-(m-1{)}^2$. Control numeric: pentru $m=-1$ formula dă $-(4)\cdot (-2{)}^2=-16$, exact rezultatul de la subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se desface determinantul brut și se ajunge la un polinom de gradul al treilea în $m$, greu de factorizat; trucul sumei constante pe linii scurtează totul. A doua capcană: se pierde rădăcina dublă $m=1$ și se scrie doar $m=-5$.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se grupează termenii care conțin $x$ și se dă factor comun, cu grijă la constantă: $$xy-2x-2y+6=x(y-2)-2(y-2)+2\text{(3 p)},$$ $$x\circ y=(x-2)(y-2)+2,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{— deci egalitatea din enunț este }\text{adeva˘rata˘}\text{(2 p)}.$$

(Verificare prin desfacere: $(x-2)(y-2)+2=xy-2x-2y+4+2=xy-2x-2y+6$, exact formula din enunț. De ce apare tocmai $2$: la o lege de forma $xy-ax-ay+c$ cu $a=2$, constanta care rămâne în afara produsului este $c-a^2=6-4=2$. Unde se greșește de obicei: se dă factor comun $-2$ din ultimii doi termeni și se scrie $-2(y-3)$, adică se împarte greșit constanta.)

b) (5 p) Se folosește forma translatată de la subpunctul a), cu $y=2$; a doua paranteză se anulează: $$x\circ 2=(x-2)(2-2)+2=0+2=2,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Prin simetria formulei, la fel se obține și cealaltă jumătate: $$2\circ x=(2-2)(x-2)+2=0+2=2⟹x\circ 2=2\circ x=2,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$

(Ce înseamnă: numărul $2$ este element absorbant pentru această lege — orice îl compui cu el dă tot $2$, la fel cum $0$ înghite orice produs de numere. Legea fiind și comutativă (formula nu se schimbă dacă schimbi $x$ cu $y$), cele două calcule sunt în oglindă, dar baremul cere ambele scrise. Unde se greșește de obicei: se verifică doar $x\circ 2$ și se afirmă „analog"; enunțul cere explicit ambele egalități.)

c) (5 p) Legea este asociativă — enunțul o spune —, deci parantezele se pot pune oriunde. Grupând primii doi factori: $$1\circ 2\circ 3\circ \dots \circ 2012\circ 2013=(1\circ 2)\circ 3\circ \dots \circ 2012\circ 2013\text{(3 p)}.$$ Din subpunctul b), $1\circ 2=2$, iar apoi $2$ înghite tot ce urmează, tot din b): $$=2\circ (3\circ \dots \circ 2012\circ 2013)=2\text{(2 p)}.$$

(De ce funcționează: al doilea pas folosește $2\circ x=2$ cu $x$ egal cu valoarea întregului rest al produsului, oricare ar fi ea — nu trebuie calculată. Control pe un caz mic: $1\circ 2\circ 3=(1\circ 2)\circ 3=2\circ 3=2$, iar direct $1\circ 2=2-2-4+6=2$ și $2\circ 3=6-4-6+6=2$. Unde se greșește de obicei: se încearcă formula puterii, $(x-2{)}^n+2$ — ea este pentru compunerea aceluiași număr cu el însuși, nu pentru numere diferite. Aici cheia este elementul absorbant.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, derivata ca limită și nedeterminarea $1^{\infty }$.

a) (5 p) Funcția este un raport de polinoame, deci se derivează cu formula raportului: $$f^{\prime }(x)=\frac{(x^3-1{)}^{\prime }(x^2+1)-(x^3-1\left)\right(x^2+1{)}^{\prime }}{(x^2+1{)}^2}\text{(2 p)}.$$ Înlocuind derivatele și desfăcând parantezele de la numărător, $$f^{\prime }(x)=\frac{3x^2(x^2+1)-2x(x^3-1)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{3x^4+3x^2-2x^4+2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{x^4+3x^2+2x}{(x^2+1{)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Numitorul nu se anulează niciodată — $x^2+1\ge 1$ —, deci funcția este derivabilă pe tot $\mathbb{R}$, cum spune și enunțul. Control numeric: în $x=1$, formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{1+3+2}{4}=\frac{3}{2}$, iar raportul incremental $\frac{f(1,000001)-f(0,999999)}{0,000002}$ dă tot $1,5$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul minus din mijlocul formulei, sau se scrie $(x^2+1{)}^{\prime }=2x+1$.)

b) (5 p) Expresia de sub limită este chiar raportul incremental al funcției $f$ în punctul $0$, pentru că $x-0=x$. Funcția fiind derivabilă în $0$, limita există și este derivata: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime }(0)\text{(3 p)}.$$ Din formula de la subpunctul a), înlocuind $x=0$: $$f^{\prime }(0)=\frac{0+0+0}{(0+1{)}^2}=0\text{(2 p)}.$$

(Al doilea drum, dacă nu recunoști raportul incremental: $f(0)=\frac{-1}{1}=-1$, deci limita este $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^3-1}{x^2+1}+1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3+x^2}{x(x^2+1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x(x+1)}{x^2+1}=0$ — același rezultat, cu mai mult calcul. Unde se greșește de obicei: se scrie direct $\frac{0}{0}$ și se abandonează; nedeterminarea $\frac{0}{0}$ de acest tip ESTE definiția derivatei. A doua capcană: se calculează $f(0)$ greșit ca $0$.)

c) (5 p) Baza tinde la $1$, iar exponentul la $+\infty$, deci este o nedeterminare de tipul $1^{\infty }$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{x-1}=1\text{(1 p)}.$$ Se scrie baza sub forma $1+\frac{1}{u}$, cu $u=\frac{x-1}{2}$, și se aranjează exponentul astfel încât să apară limita fundamentală: $${\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^{f(x)}={\left[{\left(1+\frac{2}{x-1}\right)}^{\frac{x-1}{2}}\right]}^{\frac{2}{x-1}\cdot f(x)}\text{(2 p)}.$$ Paranteza dreaptă tinde la $e$, iar exponentul se simplifică exact: $$\frac{2f(x)}{x-1}=\frac{2(x^3-1)}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{2(x^2+x+1)}{x^2+1}\underset{x\to +\infty }{\to }2,\text{ deci limita este }{\mathbf{e}}^2\text{(2 p)}.$$

(De ce se simplifică: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, deci factorul $x-1$ de la numitor dispare. Control numeric: pentru $x=10^6$, expresia dă $7,389$, iar $e^2\approx 7,389$. Unde se greșește de obicei: se scrie „baza tinde la $1$, deci limita este $1$" — la $1^{\infty }$ acest raționament este fals, exact ca la ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$, care tinde la $e$, nu la $1$. A doua capcană: se ia $u=x-1$ în loc de $\frac{x-1}{2}$ și se pierde factorul $2$ din exponent.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale cu recurență.

a) (5 p) Pentru $n=1$ integrala se face prin părți, luând $u=x$ și $v^{\prime }=e^{-x}$, deci $v=-e^{-x}$: $$I_1={\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}{|}_0^1+{\int }_0^1{e}^{-x}dx\text{(3 p)}.$$ Primul termen dă $-\frac{1}{e}$, iar integrala rămasă dă $-e^{-x}{|}_0^1=1-\frac{1}{e}$; adunându-le, $$I_1=-\frac{1}{e}+1-\frac{1}{e}=1-\frac{2}{e}=\frac{\mathbf{e}-2}{\mathbf{e}}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{e-2}{e}\approx 0,2642$, iar integrala calculată numeric dă $0,26424$. Unde se greșește de obicei: se ia $v=e^{-x}$, uitând semnul minus din primitiva lui $e^{-x}$; toate semnele de mai departe se strică atunci. A doua capcană: se scrie $-x{e}^{-x}{|}_0^1=-\frac{1}{e}-0$ dar apoi se scade, în loc să se adune, integrala rămasă — formula prin părți are semn minus în fața ei, iar aici el a fost deja consumat de $v=-e^{-x}$.)

b) (5 p) Se repetă integrarea prin părți, de data aceasta cu $u=x^{n+1}$: $$I_{n+1}={\int }_0^1{x}^{n+1}{e}^{-x}dx=-x^{n+1}{e}^{-x}{|}_0^1+(n+1){\int }_0^1{x}^n{e}^{-x}dx\text{(3 p)}.$$ Primul termen dă $-\frac{1}{e}$ (în $x=1$ puterea este $1$, iar în $x=0$ tot produsul se anulează), iar integrala rămasă este chiar $I_n$: $$I_{n+1}=-\frac{1}{e}+(n+1)I_n,\text{ deci egalitatea din enunț este }\text{adeva˘rata˘}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $I_1\approx 0,26424$ și $I_2\approx 0,16060$, iar $2I_1-\frac{1}{e}\approx 0,52848-0,36788=0,16060$ — se potrivesc. Legătura cu subpunctul a): pentru $n=1$ relația dă $I_2=2I_1-\frac{1}{e}$, deci tot șirul se poate calcula pornind de la $I_1$. Unde se greșește de obicei: se scoate $(n+1)$ cu semn greșit — derivata lui $x^{n+1}$ este $(n+1)x^n$, iar minusul din $v=-e^{-x}$ îl transformă în plus.)

c) (5 p) Se încadrează întâi integrandul. Pentru orice $x\in [0,1]$ avem $-x\le 0$, deci $0<e^{-x}\le 1$; înmulțind cu $x^n\ge 0$: $$0\le x^n{e}^{-x}\le x^n,\text{ pentru orice }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\text{ și orice }x\in [0,1]\text{(2 p)}.$$ Integrala păstrează inegalitățile între funcții, deci integrând pe $[0,1]$: $$0\le {\int }_0^1{x}^n{e}^{-x}dx\le {\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}{|}_0^1⟹0\le {\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}\le \frac{1}{\mathbf{n}+1}\text{(3 p)}.$$

(Ce spune rezultatul: marginea din dreapta tinde la zero, deci $I_n\to 0$ — șirul de integrale se stinge, cum era de așteptat, integrandul fiind tot mai mic pe $[0,1]$. Control numeric: $I_5\approx 0,0713$, iar $\frac{1}{6}\approx 0,1667$ — încadrarea ține. Unde se greșește de obicei: se scrie $e^{-x}\le 1$ fără să se spună de ce, sau se înmulțește inegalitatea cu $x^n$ fără să se precizeze că $x^n\ge 0$ pe $[0,1]$ — înmulțirea unei inegalități cu un număr negativ i-ar schimba sensul.)