Bac M1 2013, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2013 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2013 a examenului național de bacalaureat — Varianta 2, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Anul $2013$ este anul în care disciplina și-a schimbat numele pe hârtiile examenului: pe antet nu mai scrie „Matematică M1", ci „Matematică M_mate-info". Este aceeași probă, pentru aceiași elevi, cu aceeași structură — s-a schimbat doar eticheta, care de atunci numește direct specializarea. La noi banca de subiecte se numește tot „Bacalaureat M1", pentru că așa o caută elevii și profesorii.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2013:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: operații în formă algebrică și condiția ca un număr complex să fie real — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: suma valorilor funcției în primele zece numere naturale nenule, cu formula lui Gauss — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: injectivitatea funcției logaritmice și verificarea condițiilor de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Procente: prețul după o scumpire și întoarcerea la prețul inițial — clasa a IX-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: condiția de coliniaritate a doi vectori scriși în baza $\vec{i}$, $\vec{j}$ — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: ecuație trigonometrică redusă la $\sin x=\cos x$ pe primul cadran — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Determinanți și geometrie analitică: un determinant de tip Vandermonde, factorizarea lui prin operații pe coloane și aria unui triunghi scrisă cu determinant — clasele a X-a – a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom într-un punct, o relație între rădăcini combinată cu prima relație a lui Viète și suma cuburilor rădăcinilor — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, tangentă și inegalități: derivarea unei sume, ecuația tangentei într-un punct al graficului și o inegalitate demonstrată din semnul derivatei — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șiruri de integrale: integrarea prin părți, relația de recurență între doi termeni consecutivi și încadrarea obținută prin monotonia integralei — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2013. Subiectul I este cel mai accesibil dintre toate cele patru probe ale anului: nicio cerință nu are calcul lung, iar itemul de procente este de-a dreptul o problemă de gimnaziu. Greutatea se mută în Subiectul al II-lea, la problema $1$: determinantul se factorizează prin operații pe coloane, nu prin dezvoltare brută, iar subpunctul c) cere să recunoști în același determinant formula ariei unui triunghi — două capitole diferite lipite într-o singură problemă. Problema $2$ combină relațiile lui Viète cu o condiție dată pe rădăcini, iar la c) cere suma cuburilor, adică formula lui Newton scrisă în forma cea mai comodă: fiecare rădăcină verifică ecuația polinomului. Subiectul al III-lea este clasic: la problema $1$, lanțul derivată $\to$ tangentă $\to$ inegalitate, cu derivata a doua ca argument; la problema $2$, un șir de integrale cu recurență prin părți și o încadrare care se obține integrând o inegalitate.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, unghiuri remarcabile ca $\frac{\pi }{4}$ sau expresii de forma $e$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția ecuației logaritmice dată fără verificarea condițiilor de existență; prețul inițial obținut scăzând direct zece la sută din prețul final; aria triunghiului scrisă fără modul sau fără jumătate; concluzia „$f$ se divide cu $X-3$" fără calculul lui $f(3)$; încadrarea $1\le (n+1)I_n\le e$ afirmată fără inegalitatea de plecare pe integrand.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; un număr complex este real exact când partea lui imaginară este nulă. Suma lui Gauss: $1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$, deci $1+2+\dots +10=55$. Ecuații logaritmice: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v\iff u=v$, după condițiile $u>0$, $v>0$. Procente: o scumpire cu $10\%$ înmulțește prețul cu $1,1$, deci întoarcerea se face împărțind la $1,1$, nu scăzând $10\%$ din prețul nou. Coliniaritate: $\vec{u}=a_1\vec{i}+b_1\vec{j}$ și $\vec{v}=a_2\vec{i}+b_2\vec{j}$ sunt coliniari exact când $\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}$, adică $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$. Trigonometrie: pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\sin x=\cos x$ are unica soluție $\frac{\pi }{4}$.
• Determinanți: operațiile pe linii și pe coloane nu schimbă valoarea determinantului dacă se adună la o linie (coloană) un multiplu al alteia; un factor comun pe o linie (coloană) iese în fața determinantului. Aria unui triunghi cu vârfurile $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$, $C(x_C,y_C)$: $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$, unde $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|$.
• Polinoame: relațiile lui Viète pentru gradul al treilea; fiecare rădăcină verifică ecuația, deci $x_k^3=4x_k^2-3x_k+m$ — de aici suma cuburilor, prin însumare; teorema lui Bézout: $f$ se divide cu $X-a$ exact când $f(a)=0$.
• Derivate: $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, ${\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }=x$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; o funcție cu derivata a doua nenegativă are derivata întâi crescătoare, iar dacă aceasta se anulează într-un punct, acolo este minimul funcției.
• Integrale: integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }dx=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }gdx$; monotonia integralei: din $u\le v\le w$ pe $[a,b]$ rezultă ${\int }_a^{b}u\le {\int }_a^{b}v\le {\int }_a^{b}w$; ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția de gradul întâi $f(x)=4x-1$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3-4X^2+3X-m$ de la itemul $8$ și funcția $f(x)=\cos x+\frac{x^2}{2}$ de la itemul $9$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Literele $a$ și $b$ sunt parametrii determinantului la itemul $7$, dar la itemul $1$ litera $a$ este numărul complex cerut, iar la itemul $5$ este necunoscuta din componenta vectorului $\vec{v}$.
• Litera $n$ este indicele punctului $P_n$ la itemul $7$, subpunctul c), și indicele șirului de integrale la itemul $10$ — două roluri diferite, în două probleme diferite.
• Notația $I_n$ de la itemul $10$ este un șir de numere (integrale), nu matricea unitate $I_n$ din algebra liniară. În această probă nu apare nicio matrice unitate. Litera $e$, de la același item, înseamnă numărul lui Euler, baza logaritmului natural.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $a=3(3-2i)+2(5+3i)$ este real.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-1$. Calculați $f(1)+f(2)+\dots +f(10)$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2\left(2x\right)={\log }_2(1+x)$.

Itemul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $10\%$ prețul unui produs este 2200 de lei. Calculați prețul produsului înainte de scumpire.

Itemul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u}=\vec{i}+4\vec{j}$ și $\vec{v}=2\vec{i}+(a+1)\vec{j}$ sunt coliniari.

Itemul 6 (5 puncte)

Determinați $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, știind că $\frac{3\sin x+\cos x}{\sin x}=4$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră determinantul $D(a,b)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& a^2& 1\\ b& b^2& 1\end{array}\right|$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Arătați că $D(2,3)=2$.

b) (5 puncte) Verificați dacă $D(a,b)=(a-1)(b-1)(b-a)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

c) (5 puncte) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $P_n(n,n^2)$, unde $n$ este un număr natural nenul. Determinați numărul natural $n$, $n\ge 3$, pentru care aria triunghiului $P_1{P}_2{P}_n$ este egală cu 1.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile complexe ale polinomului $f=X^3-4X^2+3X-m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=4$, arătați că $f(4)=8$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care rădăcinile polinomului $f$ verifică relația $x_1+x_2=x_3$.

c) (5 puncte) Dacă $x_1^3+x_2^3+x_3^3=7(x_1+x_2+x_3)$, arătați că $f$ se divide cu $X-3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\cos x+\frac{x^2}{2}$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\ge 1$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$.

a) (5 puncte) Calculați $I_1$.

b) (5 puncte) Arătați că $I_{n+1}+(n+1)I_n=e$, pentru orice număr natural nenul $n$.

c) (5 puncte) Arătați că $1\le (n+1)I_n\le e$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2013; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se desfac pe rând cele două paranteze, înmulțind fiecare număr complex cu factorul din față: $$3(3-2i)=9-6i\text{(2 p)},$$ $$2(5+3i)=10+6i\text{(2 p)}.$$ Adunând, părțile imaginare $-6i$ și $+6i$ se reduc, deci $$a=9+10=19\in \mathbb{R}\text{(1 p)}.$$ (Control pe părți: partea reală este $9+10=19$, iar partea imaginară $-6+6=0$; un număr complex este real exact când partea lui imaginară este nulă. Unde se greșește de obicei: se scrie „$a=19+0i$, deci este complex" — orice număr real este complex, dar enunțul cere tocmai anularea părții imaginare, care trebuie arătată.)

Itemul 2. (5 p) — suma valorilor unei funcții de gradul întâi.

Se însumează cele zece valori, grupând separat termenii cu $x$ și cei liberi. Fiecare dintre cele zece valori aduce câte un $-1$: $$\begin{array}{rl}& f(1)+f(2)+\dots +f(10)\\ & =4\cdot (1+2+\dots +10)-10\text{(3 p)}.\end{array}$$ Suma lui Gauss dă $1+2+\dots +10=\frac{10\cdot 11}{2}=55$, deci $$\begin{array}{rl}& f(1)+f(2)+\dots +f(10)\\ & =4\cdot 55-10\\ & =220-10=210\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Al doilea drum, la fel de bun: valorile $f(1)=3$, $f(2)=7$, …, $f(10)=39$ formează o progresie aritmetică cu rația $4$, iar suma ei este $\frac{(3+39)\cdot 10}{2}=210$. Unde se greșește de obicei: se scade o singură dată $1$ în loc de zece ori, sau se scrie $f(1+2+\dots +10)=f(55)=219$ — funcția se aplică fiecărui termen, nu sumei lor.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția logaritmică este injectivă, deci doi logaritmi în aceeași bază sunt egali exact când argumentele lor coincid. Condițiile de existență cer $2x>0$ și $1+x>0$, adică $x>0$: $$2x=1+x\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul întâi are soluția unică $x=1$, care este strict pozitivă, deci respectă amândouă condițiile: $$\text{rezulta˘ }\mathbf{x}=1,\text{care verifica˘ ecuația}\text{(2 p)}.$$ (Verificare: ${\log }_2(2\cdot 1)={\log }_{2}2=1$ și ${\log }_2(1+1)={\log }_{2}2=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_2(2x)=1+{\log }_{2}x$ și apoi se compară greșit cu membrul drept — atenție, în dreapta este ${\log }_2(1+x)$, logaritmul unei sume, care nu se desface în niciun fel.)

Itemul 4. (5 p) — procente.

Se notează cu $x$ prețul inițial. O scumpire cu $10\%$ înseamnă că la prețul vechi se adaugă o zecime din el: $$\text{se noteaza˘ cu }x\text{ prețul inițial},x+10\%\cdot x=2200\text{(2 p)}.$$ Membrul stâng este $x\left(1+\frac{1}{10}\right)=\frac{11x}{10}$, deci $11x=22000$ și $$\text{prețul ıˆnainte de scumpire este }2000\text{ de lei}\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $10\%$ din $2000$ este $200$, iar $2000+200=2200$. Unde se greșește de obicei: se scad $10\%$ din prețul nou, adică $2200-220=1980$ — greșit, pentru că procentul se calculase asupra prețului vechi. Regula de reținut: o creștere cu $p\%$ se desface împărțind la $1+\frac{p}{100}$, nu scăzând $p\%$ din rezultat.)

Itemul 5. (5 p) — coliniaritatea a doi vectori.

Doi vectori nenuli sunt coliniari exact când componentele lor sunt proporționale: $$\frac{2}{1}=\frac{a+1}{4}\text{(3 p)}.$$ Din proporție rezultă $a+1=8$, deci $$\mathbf{a}=7\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $a=7$ avem $\vec{v}=2\vec{i}+8\vec{j}=2(\vec{i}+4\vec{j})=2\vec{u}$ — chiar un multiplu al lui $\vec{u}$. Forma echivalentă, cea care merge și când o componentă este nulă: $1\cdot (a+1)-4\cdot 2=0$, adică determinantul componentelor este nul. Unde se greșește de obicei: se scrie proporția încrucișat, $\frac{2}{4}=\frac{a+1}{1}$, și iese $a=-\frac{1}{2}$.)

Itemul 6. (5 p) — ecuație trigonometrică.

Se înmulțește egalitatea cu $\sin x$, care este nenul pe intervalul dat, apoi se reduc termenii: $$3\sin x+\cos x=4\sin x⟹\sin x=\cos x\text{(3 p)}.$$ Pe intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ ambele funcții sunt strict pozitive, deci egalitatea se poate scrie $\mathrm{tg}x=1$, cu unica soluție $$\mathbf{x}=\frac{\pi }{4}\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, iar raportul din enunț devine $\frac{3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=4$. Unde se greșește de obicei: se desface fracția în $3+\frac{\cos x}{\sin x}=4$ și se scrie apoi $\mathrm{ctg}x=1$, ceea ce este corect, dar se dă ca soluție și $x=\frac{5\pi }{4}$, care nu este în intervalul cerut.)

Itemul 7. (15 p) — determinant cu doi parametri și aria unui triunghi.

a) (5 p) Se înlocuiesc $a$ cu $2$ și $b$ cu $3$ în determinantul din enunț: $$D(2,3)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 4& 1\\ 3& 9& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe diagonalele „descendente" minus cele de pe „ascendente" dau $4+3+18-12-9-2$, adică $$D(2,3)=2\text{(3 p)}.$$ (Control pe alt drum: dezvoltând după prima linie, $1(4-9)-1(2-3)+1(18-12)=-5+1+6=2$. Al treilea control vine de la subpunctul b): $(2-1)(3-1)(3-2)=1\cdot 2\cdot 1=2$ — aceeași valoare.)

b) (5 p) Se scad, pe coloane, ultima coloană din primele două — operație care nu schimbă valoarea determinantului, dar face să apară un rând de zerouri: $$D(a,b)=\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ a-1& a^2-1& 1\\ b-1& b^2-1& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Se dezvoltă după prima linie, care are un singur element nenul, apoi se scoate factor comun $a-1$ de pe prima linie a minorului și $b-1$ de pe a doua, folosind $a^2-1=(a-1)(a+1)$: $$D(a,b)=(a-1)(b-1)\left|\begin{array}{cc}1& a+1\\ 1& b+1\end{array}\right|\text{(2 p)},$$ $$\begin{array}{rl}& D(a,b)\\ & =(\mathbf{a}-1)(\mathbf{b}-1)(\mathbf{b}-\mathbf{a}),\\ & \text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{(1 p)}.\end{array}$$ (Ultimul determinant de ordinul al doilea este $(b+1)-(a+1)=b-a$. Control numeric pe alte valori: $D(0,5)=(-1)(4)(5)=-20$, iar calculul direct al determinantului $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 5& 25& 1\end{array}\right|$ dă tot $-20$. Unde se greșește de obicei: se dezvoltă determinantul brut și se ajunge la un polinom pe care nu se mai știe cum să-l factorizeze; operațiile pe coloane sunt scurtătura, iar ele sunt punctate ca atare.)

c) (5 p) Aria unui triunghi cu vârfurile date prin coordonate se scrie cu determinantul acelorași coordonate, completate cu o coloană de $1$. Pentru $P_1(1,1)$, $P_2(2,4)$ și $P_n(n,n^2)$, acest determinant este chiar $D(2,n)$: $$\begin{array}{rl}& {\mathcal{S}}_{P_1{P}_2{P}_n}\\ & =\frac{1}{2}\cdot |\Delta |,\text{ unde }\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2^2& 1\\ n& n^2& 1\end{array}\right|\\ & =(n-1)(n-2)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Pentru $n\ge 3$ produsul $(n-1)(n-2)$ este strict pozitiv, deci modulul dispare, iar condiția din enunț devine o ecuație de gradul al doilea: $$\begin{array}{rl}{\mathcal{S}}_{P_1{P}_2{P}_n}& =1⟺(n-1)(n-2)\\ & =2⟺\mathbf{n}=3\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Desfăcând, $n^2-3n+2=2$, adică $n(n-3)=0$, cu soluțiile $0$ și $3$; doar a doua respectă condiția $n\ge 3$. Control direct: $P_1(1,1)$, $P_2(2,4)$, $P_3(3,9)$, iar aria calculată cu determinantul este $\frac{1}{2}|2|=1$. Unde se greșește de obicei: se uită jumătatea din formula ariei, sau modulul — pentru $n\ge 3$ el chiar nu schimbă nimic, dar motivul trebuie spus.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Se înlocuiește parametrul cu valoarea dată: $$f=X^3-4X^2+3X-4\text{(2 p)}.$$ Valoarea polinomului în $4$ se obține punând $X=4$: $$f(4)=4^3-4\cdot 4^2+3\cdot 4-4=64-64+12-4=8\text{(3 p)}.$$ (Observație de calcul: primii doi termeni se anulează între ei, pentru că $4^3=4\cdot 4^2$ — de aceea rezultatul este atât de curat. Unde se greșește de obicei: se calculează $4\cdot 4^2$ ca $(4\cdot 4{)}^2=256$, adică se ridică la pătrat produsul în loc de al doilea factor.)

b) (5 p) Prima relație a lui Viète dă suma rădăcinilor, egală cu coeficientul lui $X^2$ cu semn schimbat: $$x_1+x_2+x_3=4\text{(1 p)}.$$ Condiția din enunț înlocuiește $x_1+x_2$ cu $x_3$, deci suma devine $2x_3$: $$x_1+x_2=x_3⟹2x_3=4⟹x_3=2\text{(2 p)}.$$ Fiind rădăcină, $x_3=2$ anulează polinomul, iar de aici iese parametrul: $$f(2)=0⟺8-16+6-m=0⟺\mathbf{m}=-2\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $m=-2$ polinomul este $X^3-4X^2+3X+2$, iar $f(2)=8-16+6+2=0$; celelalte două rădăcini sunt $1\pm \sqrt{2}$, cu suma $2$, adică exact $x_3$. Unde se greșește de obicei: se folosesc toate cele trei relații ale lui Viète, deși e nevoie doar de prima; sau se scrie $x_3=\frac{4}{2}=2$ fără să se spună de unde vine $2x_3$.)

c) (5 p) Fiecare rădăcină verifică ecuația polinomului, deci $x_k^3=4x_k^2-3x_k+m$ pentru $k\in \{1,2,3\}$. Însumând cele trei egalități și folosind $x_1+x_2+x_3=4$, $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=3$, de unde $x_1^2+x_2^2+x_3^2=16-6=10$: $$x_1^3+x_2^3+x_3^3=4\cdot 10-3\cdot 4+3m=3m+28\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț cere ca această sumă să fie $7\cdot 4=28$: $$x_1^3+x_2^3+x_3^3=7(x_1+x_2+x_3)⟹m=0\text{(1 p)}.$$ Cu teorema lui Bézout, divizibilitatea se citește dintr-o singură valoare: $$\text{daca˘ }m=0,\text{atunci }f(3)=27-36+9-0=0,\text{deci }f\text{se divide cu }X-3\text{(2 p)}.$$ (Control numeric pentru $m=0$: polinomul devine $X^3-4X^2+3X=X(X-1)(X-3)$, cu rădăcinile $0$, $1$ și $3$; suma cuburilor este $0+1+27=28$, iar $7(0+1+3)=28$ — egalitatea din enunț se verifică. Unde se greșește de obicei: se caută rădăcinile explicit, ceea ce nu se poate pentru un $m$ oarecare; drumul corect trece prin relațiile lui Viète și prin faptul că fiecare rădăcină anulează polinomul.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă și o inegalitate.

a) (5 p) Funcția este o sumă de două funcții elementare, deci se derivează termen cu termen: $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& ={\left(\cos x+\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }\\ & =(\cos x{)}^{\prime }+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }\text{(2 p)}.\end{array}$$ Derivata cosinusului este minus sinus, iar cea a lui $\frac{x^2}{2}$ este $x$: $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =-\sin x+2\cdot \frac{x}{2}\\ & =\mathbf{x}-\sin \mathbf{x},\text{ pentru orice }x\\ & \in \mathbb{R}\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control numeric: în $x=1$, formula dă $1-\sin 1\approx 0,1585$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $0,1585$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(\cos x{)}^{\prime }=\sin x$, fără minus.)

b) (5 p) Ecuația tangentei într-un punct al graficului se scrie cu formula $$y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)\text{(2 p)}.$$ Se calculează cele două valori, folosind $\cos 0=1$ și $\sin 0=0$: $$f(0)=1,f^{\prime }(0)=0-0=0\text{(2 p)}.$$ Panta fiind nulă, tangenta este orizontală: $$\text{ecuația tangentei este }\mathbf{y}=1\text{(1 p)}.$$ (Interpretare: $x_0=0$ este chiar punctul de minim al funcției, iar în punctul de minim tangenta este paralelă cu axa $Ox$ — asta se va vedea la subpunctul c). Unde se greșește de obicei: se scrie $y=f^{\prime }(0)\cdot x$, uitând ordonata $f(0)$, sau se confundă $f(0)$ cu $f^{\prime }(0)$.)

c) (5 p) Se studiază semnul derivatei, iar pentru asta se derivează încă o dată: $$\begin{array}{rl}& f^{\prime \prime }(x)\\ & =-\cos x+1\\ & \ge 0,\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\\ & ⟹f^{\prime }\text{ este cresca˘toare pe }\mathbb{R}\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cum $f^{\prime }(0)=0$, iar $f^{\prime }$ este crescătoare, semnul derivatei se citește imediat: $$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)\\ & \le 0,\text{ pentru }x\in (-\infty ,0]\text{ și }{f}^{\prime }(x)\\ & \ge 0,\text{ pentru }x\in [0,+\infty )\text{(2 p)}.\end{array}$$ Prin urmare funcția scade până în $0$ și crește după, deci în $0$ are minimul global: $$\begin{array}{rl}f(x)& \ge f(0)\\ & ⟹\mathbf{f}(\mathbf{x})\ge 1,\text{ pentru orice }x\\ & \in \mathbb{R}\text{(1 p)}.\end{array}$$ (De ce $-\cos x+1\ge 0$: cosinusul ia valori în $[-1,1]$, deci $1-\cos x$ este între $0$ și $2$. Control numeric: $f(2)=\cos 2+2\approx 1,584$, $f(-3)=\cos 3+4,5\approx 3,510$, iar $f(0,1)\approx 1,0000$ — valorile nu coboară sub $1$. Unde se greșește de obicei: se încearcă inegalitatea direct, cu $\cos x\ge 1-\frac{x^2}{2}$, care este adevărată dar trebuie ea însăși demonstrată; drumul punctat este cel prin derivata a doua.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale.

a) (5 p) Se integrează prin părți, luând $e^x$ drept factor care se integrează și $x$ drept factor care se derivează: $$I_1={\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx\text{(3 p)}.$$ Primul termen dă $1\cdot e-0=e$, iar a doua integrală este tot exponențiala: $$I_1=e-e^x{|}_0^1=e-(e-1)=1\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: integrala calculată cu metoda lui Simpson pe $[0,1]$ dă $1,000000$. Verificare prin derivare: o primitivă a lui $x{e}^x$ este $(x-1)e^x$, iar $(x-1)e^x{|}_0^1=0-(-1)=1$. Unde se greșește de obicei: se ia $x$ drept factor de integrat, ceea ce complică integrala în loc s-o simplifice; regula este să derivezi partea polinomială, ca gradul ei să scadă.)

b) (5 p) Aceeași integrare prin părți, scrisă pentru exponentul $n+1$; derivata lui $x^{n+1}$ este $(n+1)x^n$: $$I_{n+1}={\int }_0^1{x}^{n+1}{e}^{x}dx=x^{n+1}{e}^x{|}_0^1-(n+1){\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx\text{(3 p)}.$$ Termenul din afara integralei este $1^{n+1}\cdot e-0^{n+1}\cdot 1=e$, iar integrala rămasă este chiar $I_n$: $$I_{n+1}=e-(n+1)I_n⟹{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}+1}+(\mathbf{n}+1){\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{e}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric pentru $n=1$: $I_1=1$ și $I_2=e-2\approx 0,7183$, iar $I_2+2I_1\approx 2,7183=e$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $n+1$ scos din derivata puterii, sau se scrie $0^{n+1}=1$ — pentru $n\ge 1$ exponentul este cel puțin $2$, deci valoarea în zero este chiar zero.)

c) (5 p) Se pleacă de la o încadrare a integrandului, valabilă pe tot intervalul de integrare. Pe $[0,1]$ exponențiala este între $1$ și $e$, iar $x^n$ este nenegativ, deci înmulțirea cu el păstrează sensul inegalităților: $$\text{pentru orice }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\text{ și }x\in [0,1],\text{avem }1\le e^x\le e\text{ și }{x}^n\ge 0⟹x^n\le x^n{e}^x\le x^{n}e\text{(2 p)}.$$ Integrala păstrează inegalitățile între funcții, iar ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$: $${\int }_0^1{x}^{n}dx\le {\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx\le e{\int }_0^1{x}^{n}dx⟹1\le (\mathbf{n}+1){\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}\le \mathbf{e}\text{(3 p)}.$$ (Ultimul pas: încadrarea este $\frac{1}{n+1}\le I_n\le \frac{e}{n+1}$, iar înmulțind cu $n+1>0$ se obține exact ce se cere. Control numeric: pentru $n=3$, $(n+1)I_3=4\cdot 0,5634\approx 2,2537$, într-adevăr între $1$ și $e\approx 2,7183$. Unde se greșește de obicei: se pornește de la relația de la subpunctul b) și se încearcă mărginirea lui $I_{n+1}$ — se poate, dar cere încă un argument; drumul scurt este integrarea unei inegalități pe integrand. A doua capcană: se uită că $x^n\ge 0$ este condiția care permite înmulțirea inegalității $1\le e^x\le e$ cu $x^n$ fără schimbarea sensului.)