Bac M1 2013, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2013 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de rezervă al probei E. c), Matematică M_mate-info, pentru sesiunea iunie-iulie 2013 a examenului național de bacalaureat — Varianta 6, varianta de rezervă publicată împreună cu baremul ei oficial. Variantele de rezervă se pregătesc pentru situațiile în care proba se susține la data de rezervă a sesiunii; ele au exact aceeași structură, aceeași durată și aceeași greutate ca varianta principală, deci se antrenează la fel de bine pe ele. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Anul $2013$ este anul în care disciplina și-a schimbat numele pe hârtiile examenului: pe antet nu mai scrie „Matematică M1", ci „Matematică M_mate-info". Este aceeași probă, pentru aceiași elevi, cu aceeași structură — s-a schimbat doar eticheta, care de atunci numește direct specializarea. La noi banca de subiecte se numește tot „Bacalaureat M1", pentru că așa o caută elevii și profesorii.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din 2013:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali: pătratul unui binom cu radical și reducerea termenilor asemenea — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcții de gradul întâi: punctul de intersecție a două grafice, ca soluție a unei ecuații — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: injectivitatea funcției exponențiale și ecuația de gradul al doilea obținută la exponenți — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea numerelor de trei cifre cu o proprietate a cifrelor — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment, panta perpendicularei și ecuația mediatoarei — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: produsul a două matrice de ordinul al treilea, determinantul unei familii cu parametru și condiția ca inversa să aibă elemente întregi — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calcul direct, aducerea legii la o formă „de produs" și rezolvarea unei ecuații în care legea se aplică de două ori — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, limite și inegalități: derivata unui trinom, o limită de tipul $\frac{0}{0}$ rezolvată cu regula lui L'Hôpital și o inegalitate demonstrată cu derivata a doua — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Primitive și integrale: simplificarea integrandului, verificarea unei primitive prin derivare și recunoașterea structurii $F\cdot F^{\prime }$ sub integrală — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă din 2013. Subiectul I este scurt și direct, dar itemul de probabilități cere numărare efectivă (nu există formulă: se scriu cele trei numere), iar cel de geometrie plană se rezolvă într-un rând dacă știi că ipotenuza unui triunghi dreptunghic este diametrul cercului circumscris. Subiectul al II-lea este partea cea mai interesantă: la problema $1$, subpunctul c) leagă inversabilitatea peste $\mathbb{Z}$ de valoarea determinantului, un raționament în trei trepte care nu se ghicește; la problema $2$, legea de compoziție ascunde sub radical un produs, iar toată problema se sprijină pe rescrierea $x\circ y=\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1}$. Subiectul al III-lea este mai clasic: o limită $\frac{0}{0}$ care cere regula lui L'Hôpital de două ori și o pereche primitivă–integrală în care subpunctul c) se rezolvă recunoscând că integrandul este $F\cdot F^{\prime }$.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple ca $\frac{22}{3}$ sau expresii de forma $\frac{1}{2}\left({\ln }^{2}2-\frac{9}{4}\right)$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: una dintre cele două soluții ale ecuației exponențiale pierdută; numărul cazurilor posibile luat $999$ în loc de $900$; ecuația mediatoarei scrisă fără punctul prin care trece; concluzia „inversa are elemente întregi" fără raționamentul pe determinanți; soluția ecuației cu radical dată fără verificare.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, cu $(\sqrt{3}{)}^2=3$. Intersecția a două grafice: se rezolvă $f(x)=g(x)$, iar ordonata se ia din oricare dintre cele două funcții. Ecuații exponențiale: $a^u=a^v\iff u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de trei cifre sunt $900$ la număr. Mediatoarea: trece prin mijlocul segmentului și are panta $-\frac{1}{m_{AB}}$. Cercul circumscris: într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este diametrul cercului circumscris, deci $R=\frac{\text{ipotenuza}}{2}$.
• Matrice: înmulțirea „linie pe coloană"; o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul, iar $\det \left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det A}$. Peste $\mathbb{Z}$: dacă $A$ și $A^{-1}$ au amândouă elemente întregi, atunci determinanții lor sunt întregi cu produsul $1$, deci fiecare este $1$ sau $-1$.
• Legi de compoziție: o lege se studiază căutându-i o formă închisă — aici $x\circ y=\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1}$ — pentru că din ea se citesc imediat asociativitatea și iterațiile.
• Derivate și limite: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$; regula lui L'Hôpital se aplică doar după ce se constată nedeterminarea $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$, și poate fi aplicată de mai multe ori; o funcție cu derivata nenegativă pe un interval este crescătoare acolo.
• Primitive și integrale: $F$ este primitivă a lui $f$ pe un interval exact când $F^{\prime }=f$ pe tot intervalul; $\int F(x)F^{\prime }(x)dx=\frac{F^2(x)}{2}+\mathcal{C}$; formula Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ de la itemul $8$ nu înseamnă compunerea funcțiilor: el este numele legii de compoziție definite chiar acolo, pe mulțimea numerelor reale. Așa este tipărit în subiectul oficial și așa l-am transcris; în lecțiile noastre o lege oarecare se notează $\ast$, dar enunțul oficial nu se modifică. În această probă nu apare nicio compunere de funcții, deci confuzia nu poate apărea decât din obișnuință.
• Litera $f$ denumește trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x+1$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=e^x$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=x+2+\frac{1}{x+2}$ de la itemul $10$. La fel, litera $g$ este $g(x)=2x-1$ la itemul $2$ și $g(x)=x^2+2x+2$ la itemul $9$.
• Litera $x$ este variabila funcțiilor peste tot, dar la itemul $7$ ea este parametrul familiei de matrice $A(x)$, iar la subpunctul c) al aceluiași item devine necunoscută întreagă. La itemul $8$, subpunctul c), este necunoscuta unei ecuații.
• Litera $F$ de la itemul $10$ este o primitivă, nu o forță și nici o funcție integrală definită printr-o integrală cu capăt variabil; ea este dată explicit prin formulă, iar cerința b) este tocmai să verifici că este primitivă.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $n=(\sqrt{3}-1{)}^2+2\sqrt{3}$ este natural.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x-1$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{6-x^2}=2^x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, suma cifrelor acestuia să fie egală cu 2.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$ și $B(3,1)$. Determinați ecuația mediatoarei segmentului $AB$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ dreptunghic în $A$, știind că $BC=8$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& x& 1\\ 1& -1& 1\\ x& -1& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $A(0)\cdot A(1)$.

b) (5 puncte) Arătați că $\det (A(x))=x^2-1$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numerele întregi $x$ pentru care inversa matricei $A(x)$ are elementele numere întregi.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de $x\circ y=\sqrt{x^2{y}^2+x^2+y^2}$.

a) (5 puncte) Calculați $2\circ 3$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1}$, pentru orice $x$ și $y$ numere reale.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x\circ x\circ x=x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2+2x+2$.

a) (5 puncte) Calculați $g^{\prime }(2)$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2f(x)-g(x)}{2x^3}=\frac{1}{6}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $2f(x)\ge g(x)$, pentru orice $x\in [0,+\infty )$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcțiile $f:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2+\frac{1}{x+2}$ și $F:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+\ln (x+2)$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1(x+2)f(x)dx$.

b) (5 puncte) Verificați dacă funcția $F$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Calculați ${\int }_{-1}^{0}F(x)f(x)dx$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea iunie-iulie 2013; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Se desface pătratul binomului, ținând minte că $(\sqrt{3}{)}^2=3$: $$(\sqrt{3}-1{)}^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ Adunând acum $2\sqrt{3}$, radicalii se reduc: $$n=4-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\in \mathbb{N}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\sqrt{3}\approx 1,732$, deci $(\sqrt{3}-1{)}^2\approx 0,536$ și $2\sqrt{3}\approx 3,464$, cu suma $4,000$. Unde se greșește de obicei: se pierde dublul produsului $-2\sqrt{3}$ — exact termenul care se anulează cu al doilea. De reținut tiparul: $(\sqrt{a}-1{)}^2+2\sqrt{a}=a+1$, întotdeauna natural când $a$ este natural.)

Itemul 2. (5 p) — intersecția graficelor a două funcții de gradul întâi.

Un punct este comun celor două grafice exact când are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe amândouă, deci când valorile funcțiilor coincid: $$f(x)=g(x)⟺x+1=2x-1\text{(2 p)}.$$ Ecuația de gradul întâi dă $x=2$, iar ordonata se citește din oricare dintre funcții: $$\mathbf{x}=2⟹\mathbf{y}=3\text{(3 p)}.$$ (Verificare pe amândouă: $f(2)=3$ și $g(2)=4-1=3$ — punctul de intersecție este $(2,3)$. Unde se greșește de obicei: se dă ca răspuns doar abscisa $x=2$, deși enunțul cere coordonatele punctului, adică perechea. Pantele fiind diferite, $1\ne 2$, dreptele chiar se intersectează într-un singur punct.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Funcția exponențială de bază $2$ este injectivă, deci două puteri egale au exponenți egali: $$6-x^2=x⟹x^2+x-6=0\text{(3 p)}.$$ Discriminantul este $\Delta =1+24=25$, deci rădăcinile sunt $$\mathbf{x}=-3\text{ sau }\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=2$, membrul stâng este $2^{6-4}=4$, iar cel drept $2^2=4$; pentru $x=-3$, $2^{6-9}=2^{-3}=\frac{1}{8}$, iar $2^{-3}=\frac{1}{8}$. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar soluția pozitivă, ca și cum ar exista o condiție de existență — la o ecuație exponențială nu există niciuna, exponentul poate fi orice număr real. A doua capcană: se citește exponentul din stânga ca $6-x$, nu ca $6-x^2$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități și numărarea cifrelor.

Se scriu efectiv numerele de trei cifre a căror sumă a cifrelor este $2$: prima cifră nu poate fi zero, deci ea este $1$ sau $2$, iar restul se completează: $$\text{numerele }\overline{abc}\text{ cu }a+b+c=2\text{ sunt }101,110\text{ și }200⟹3\text{ cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Numerele naturale de trei cifre sunt cele de la $100$ la $999$: $$\text{numa˘rul numerelor de 3 cifre este }900⟹900\text{ de cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{900}=\frac{1}{300}\text{(2 p)}.$$ (Control: numerele de trei cifre sunt $999-100+1=900$ — nu $999$, cum se scrie adesea din grabă. Unde se greșește de obicei: se uită numărul $200$, pentru că se caută doar variante cu prima cifră $1$; sau se numără și $020$, care nu este număr de trei cifre.)

Itemul 5. (5 p) — ecuația mediatoarei unui segment.

Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului, ale cărui coordonate sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor: $$\text{mijlocul segmentului }AB\text{ este punctul }M(2,2)\text{(2 p)}.$$ Mediatoarea este perpendiculară pe $AB$, deci panta ei este opusul inversului pantei lui $AB$: $$m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{1-3}{3-1}=-1⟹\text{panta mediatoarei segmentului }AB\text{ este egala˘ cu }1\text{(2 p)}.$$ Dreapta de pantă $1$ care trece prin $M(2,2)$ are ecuația $y-2=1\cdot (x-2)$, adică $$\text{ecuația mediatoarei segmentului }AB\text{ este }\mathbf{y}=\mathbf{x}\text{(1 p)}.$$ (Control geometric: punctele $A(1,3)$ și $B(3,1)$ sunt simetrice față de prima bisectoare, deci mediatoarea lor chiar este dreapta $y=x$. Control prin distanțe: pentru orice punct $(t,t)$ de pe ea, distanțele la $A$ și la $B$ sunt amândouă $\sqrt{(t-1{)}^2+(t-3{)}^2}$, respectiv $\sqrt{(t-3{)}^2+(t-1{)}^2}$ — egale. Unde se greșește de obicei: se ia panta mediatoarei egală cu $m_{AB}$, adică se scrie ecuația paralelei, nu a perpendicularei.)

Itemul 6. (5 p) — cercul circumscris unui triunghi dreptunghic.

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza se vede din vârful unghiului drept sub un unghi de $90^{\circ }$, deci ea este diametrul cercului circumscris: $$△ABC\text{ dreptunghic ıˆn }A⟹R=\frac{BC}{2}\text{(3 p)}.$$ Cum ipotenuza este $BC=8$, $$R=\frac{8}{2}=4\text{(2 p)}.$$ (Alt drum, cu teorema sinusurilor: $\frac{BC}{\sin A}=2R$, iar $\sin A=\sin 90^{\circ }=1$, deci $2R=BC=8$ — același rezultat. De reținut: centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei. Unde se greșește de obicei: se caută raza prin formula generală $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$, care cere toate cele trei laturi — aici nu sunt date, dar nici nu e nevoie de ele.)

Itemul 7. (15 p) — o familie de matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Se scriu cele două matrice, înlocuind parametrul cu $0$, respectiv cu $1$, și se înmulțesc „linie pe coloană": $$\begin{array}{rl}& A(0)\cdot A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& -1& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Fiecare element al produsului este suma produselor dintre elementele unei linii din prima matrice și cele ale unei coloane din a doua: $$A(0)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ (Un element, în detaliu: pe poziția din stânga sus, $1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1=2$. Ultima linie iese nulă pentru că linia a treia a lui $A(0)$ este $\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\end{array}\right)$, iar liniile a doua și a treia ale lui $A(1)$ sunt identice — deci produsele se anulează două câte două. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele „poziție cu poziție", ca la adunare.)

b) (5 p) Se aplică regula lui Sarrus pe matricea cu parametru, adunând produsele de pe diagonalele „descendente" și scăzându-le pe cele de pe cele „ascendente": $$\begin{array}{rl}& \det (A(x))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& x& 1\\ 1& -1& 1\\ x& -1& 1\end{array}\right|\\ & =-1-1+x^2+x-x+1\text{(3 p)}.\end{array}$$ Termenii $+x$ și $-x$ se reduc, la fel doi dintre termenii liberi: $$\det (A(x))={\mathbf{x}}^2-1\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=0$ determinantul ar trebui să fie $-1$, iar calculul direct al lui $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& -1& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right|$ dă $-1$; pentru $x=2$, formula dă $3$, iar Sarrus la fel. Unde se greșește de obicei: se pierde un semn la diagonalele ascendente — fiecare dintre cele trei produse intră cu semn schimbat.)

c) (5 p) Se pleacă de la definiția inversei și se ia determinantul în ambii membri, folosind că determinantul unui produs este produsul determinanților: $$\begin{array}{rl}& (A(x){)}^{-1}\text{ este inversa lui }A(x)\\ & ⟹A(x)\cdot (A(x){)}^{-1}=I_3\\ & ⟹\det (A(x))\cdot \det \left(\right(A(x){)}^{-1})\\ & =1\text{(1 p)}.\end{array}$$ Determinantul unei matrice cu elemente întregi este un număr întreg, deci prima jumătate a produsului este întreagă: $$x\in \mathbb{Z}⟹\det (A(x))\in \mathbb{Z}\text{(1 p)}.$$ Din ipoteza cerinței, și inversa are elemente întregi, deci și a doua jumătate este întreagă: $$\begin{array}{rl}& (A(x){)}^{-1}\text{ are elementele numere ıˆntregi}\\ & ⟹\det \left(\right(A(x){)}^{-1})\in \mathbb{Z}\text{(1 p)}.\end{array}$$ Două numere întregi cu produsul $1$ sunt amândouă $1$ sau amândouă $-1$, deci $x^2-1\in \{-1,1\}$; ecuația $x^2=2$ nu are soluții întregi, iar $x^2=0$ dă $$\begin{array}{rl}& \\ & \det (A(x))\\ & =\pm 1\\ & ⟹\mathbf{x}=0,\text{care verifica˘ cerința}\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pentru $x=0$: determinantul este $-1$, iar inversa este $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& -1& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$ — chiar cu elemente întregi, pentru că la împărțirea reciprocei la $-1$ nu apar fracții. Verificare pe prima linie a produsului $A(0)\cdot (A(0){)}^{-1}$: $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right)$ înmulțit cu cele trei coloane dă $0+0+1=1$, $1+0-1=0$, $-1+0+1=0$. Unde se greșește de obicei: se calculează inversa în funcție de $x$ și se impun condiții pe fiecare element, ceea ce duce la un sistem greu; raționamentul pe determinanți rezolvă totul în trei rânduri. A doua capcană: se acceptă și $x^2=2$, uitând că $x$ este cerut întreg.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x$ cu $2$ și $y$ cu $3$ în definiția legii: $$2\circ 3=\sqrt{2^2\cdot 3^2+2^2+3^2}=\sqrt{4\cdot 9+4+9}\text{(3 p)}.$$ Suma de sub radical este $36+4+9=49$, un pătrat perfect: $$2\circ 3=\sqrt{49}=7\text{(2 p)}.$$ (Control cu forma de la subpunctul b): $\sqrt{(4+1)(9+1)-1}=\sqrt{50-1}=\sqrt{49}=7$ — aceeași valoare, pe alt drum. Unde se greșește de obicei: se uită radicalul și se răspunde $49$; sau se calculează $2^2\cdot 3^2$ ca $(2\cdot 3{)}^2=36$, ceea ce, întâmplător, e chiar corect aici, dar din motivul greșit.)

b) (5 p) Sub radical se dă factor comun $x^2$ din primii doi termeni, apoi se adună și se scade $1$, ca să apară același factor și lângă $y^2$: $$x\circ y=\sqrt{x^2(y^2+1)+y^2}=\sqrt{x^2(y^2+1)+(y^2+1)-1}\text{(2 p)}.$$ Primii doi termeni au acum factorul comun $y^2+1$, deci se grupează: $$x\circ y=\sqrt{({\mathbf{x}}^2+1)({\mathbf{y}}^2+1)-1},\text{ pentru orice }x,y\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ (Control pe valori: pentru $x=3$ și $y=-4$, forma inițială dă $\sqrt{144+9+16}=\sqrt{169}=13$, iar forma nouă $\sqrt{10\cdot 17-1}=\sqrt{169}=13$. La ce folosește forma nouă: notând $u(x)=x^2+1$, egalitatea se citește $u(x\circ y)=u(x)\cdot u(y)$ — de aici vine asociativitatea anunțată în enunț, iar subpunctul c) se rezolvă într-un rând. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}-1$, cu $-1$ în afara radicalului; radicalul acoperă toată expresia, inclusiv scăderea.)

c) (5 p) Se aplică de două ori forma de la subpunctul b). Notând $u(t)=t^2+1$, avem $u(x\circ y)=u(x)u(y)$, deci compunerea de trei ori înmulțește de trei ori: $$x\circ x\circ x=\sqrt{(x^2+1{)}^3-1}\text{(2 p)}.$$ Ecuația cerută devine $\sqrt{(x^2+1{)}^3-1}=x$. Notând $t=x^2+1\ge 1$ și ridicând la pătrat, se obține $t^3-1=t-1$, adică $t(t-1)(t+1)=0$, cu singura rădăcină acceptabilă $t=1$: $$\sqrt{(x^2+1{)}^3-1}=x⟹\mathbf{x}=0,\text{care verifica˘ ecuația}\text{(3 p)}.$$ (De ce se poate ridica la pătrat: membrul stâng este o rădăcină pătrată, deci nenegativ, prin urmare orice soluție trebuie să aibă $x\ge 0$ — iar $x=0$ respectă condiția. Verificarea efectivă: $0\circ 0=\sqrt{0}=0$, deci $0\circ 0\circ 0=0$. Control numeric: pentru $x=1$, $x\circ x\circ x=\sqrt{8-1}=\sqrt{7}\approx 2,646\ne 1$; pentru $x=0,5$, iese $\sqrt{1,25^3-1}\approx 0,976\ne 0,5$ — funcția crește prea repede ca să mai atingă diagonala. Unde se greșește de obicei: se calculează $x\circ x$ și se compune brut, fără forma de la b), și se ajunge la un polinom de grad mare.)

Itemul 9. (15 p) — derivate, o limită de tipul $\frac{0}{0}$ și o inegalitate.

a) (5 p) Funcția $g$ este un polinom de gradul al doilea, deci se derivează termen cu termen: $$g^{\prime }(x)=2x+2,\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind $x$ cu $2$: $$g^{\prime }(2)=4+2=6\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: raportul incremental $\frac{g(2,001)-g(1,999)}{0,002}$ dă $6,0000$. Unde se greșește de obicei: se calculează $g(2)=10$ în loc de $g^{\prime }(2)$ — enunțul cere derivata în punct, nu valoarea funcției.)

b) (5 p) În $x=0$, numărătorul este $2e^0-g(0)=2-2=0$, iar numitorul este tot $0$: avem nedeterminarea $\frac{0}{0}$, deci se poate aplica regula lui L'Hôpital. Derivând separat numărătorul și numitorul se ajunge din nou la $\frac{0}{0}$, deci regula se aplică încă o dată: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2e^x-x^2-2x-2}{2x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2e^x-2x-2}{6x^2}\text{(2 p)}.$$ Ultimul raport este iar $\frac{0}{0}$, deci se mai derivează o dată: se obține $\frac{2e^x-2}{12x}$, care se simplifică prin $2$ și se recunoaște limita fundamentală $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$: $$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2e^x-2}{12x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{6x}=\frac{1}{6}\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=10^{-3}$ raportul din enunț dă $0,166708$, iar pentru $x=10^{-4}$ dă $0,1666708$ — se apropie de $\frac{1}{6}=0,1\overline{6}$. Explicația de fond: dezvoltarea $2e^x=2+2x+x^2+\frac{x^3}{3}+\dots$ arată că numărătorul este $\frac{x^3}{3}$ plus termeni de ordin superior, iar împărțit la $2x^3$ dă $\frac{1}{6}$. Unde se greșește de obicei: se aplică L'Hôpital fără să se verifice, de fiecare dată, că nedeterminarea persistă — regula nu se aplică unei limite care nu mai este nedeterminată.)

c) (5 p) Se studiază funcția-diferență. Derivata a doua se calculează prima, pentru că ea are semn constant: $$h:[0,+\infty )\to \mathbb{R},h(x)=2f(x)-g(x)⟹h^{\prime }(x)=2e^x-2x-2\text{ și }{h}^{\prime \prime }(x)=2e^x-2\ge 0,\text{ pentru orice }x\in [0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Derivata a doua fiind nenegativă, derivata întâi este crescătoare, iar valoarea ei în capătul din stânga este nulă: $$h^{\prime }\text{ cresca˘toare}⟹h^{\prime }(x)\ge h^{\prime }(0)=0,\text{ pentru orice }x\in [0,+\infty )\text{(1 p)}.$$ Cu derivata întâi nenegativă, funcția însăși este crescătoare, iar $h(0)=2-2=0$: $$h\text{ cresca˘toare}⟹h(x)\ge h(0)=0,\text{ pentru orice }x\in [0,+\infty ),\text{ adica˘ }2f(\mathbf{x})\ge \mathbf{g}(\mathbf{x})\text{(2 p)}.$$ (De ce $2e^x-2\ge 0$ pe $[0,+\infty )$: exponențiala este crescătoare și $e^0=1$, deci $e^x\ge 1$. Control numeric: $h(1)=2e-5\approx 0,437$, $h(2)=2e^2-10\approx 4,778$ — valorile chiar sunt nenegative, și cresc. Unde se greșește de obicei: se sare direct la $h$ crescătoare, fără să se arate întâi că $h^{\prime }\ge 0$; iar $h^{\prime }$ nu are semn evident, tocmai de aceea se coboară până la $h^{\prime \prime }$. A doua capcană: inegalitatea NU este adevărată pe tot $\mathbb{R}$ — pentru $x=-3$, $2e^{-3}\approx 0,0996$, iar $g(-3)=5$; de aceea enunțul restrânge la $[0,+\infty )$.)

Itemul 10. (15 p) — primitive și integrale definite.

a) (5 p) Se înmulțește întâi, ca să dispară numitorul: factorul $x+2$ se simplifică exact cu fracția din definiția lui $f$: $$(x+2)f(x)=(x+2{)}^2+1=x^2+4x+5\text{(1 p)}.$$ Integrandul fiind un polinom, se integrează termen cu termen: $${\int }_0^1(x^2+4x+5)dx=\left(\frac{x^3}{3}+2x^2+5x\right){|}_0^1\text{(2 p)}.$$ Înlocuind capetele, $${\int }_0^1(x+2)f(x)dx=\frac{1}{3}+2+5-0=\frac{22}{3}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{22}{3}\approx 7,3333$, iar integrala calculată numeric dă $7,333333$. Unde se greșește de obicei: se integrează $f$ și se înmulțește apoi cu $x+2$, ca și cum integrala ar fi multiplicativă; sau se desface $(x+2{)}^2$ greșit, uitând dublul produsului $4x$.)

b) (5 p) A verifica dacă $F$ este primitivă înseamnă a arăta că $F^{\prime }=f$ pe tot intervalul. Se derivează termen cu termen, folosind $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$: $$F^{\prime }(x)={\left(\frac{x^2}{2}+2x+\ln (x+2)\right)}^{\prime }=x+2+\frac{1}{x+2},\text{ pentru orice }x\in (-2,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Expresia obținută este chiar formula lui $f$: $$F^{\prime }(x)=f(x),\text{ pentru orice }x\in (-2,+\infty )⟹\mathbf{F}\text{ este o primitiva˘ a funcției }\mathbf{f}\text{(2 p)}.$$ (De ce este importantă precizarea intervalului: $\ln (x+2)$ are sens doar pentru $x>-2$, exact domeniul dat în enunț; pe el, $F$ este derivabilă peste tot. Control numeric: în $x=1$, $F^{\prime }(1)$ calculat ca raport incremental dă $3,3333$, iar $f(1)=1+2+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se derivează $\ln (x+2)$ ca $\frac{1}{x}$, uitând derivata funcției dinăuntru.)

c) (5 p) Din subpunctul b) știm că $f=F^{\prime }$, deci integrandul este de forma $F\cdot F^{\prime }$ — adică jumătate din derivata lui $F^2$: $${\int }_{-1}^{0}F(x)\cdot f(x)dx={\int }_{-1}^{0}F(x)\cdot F^{\prime }(x)dx\text{(2 p)}.$$ O primitivă a lui $F\cdot F^{\prime }$ este $\frac{F^2}{2}$, iar cu formula Leibniz–Newton, folosind $F(0)=\ln 2$ și $F(-1)=\frac{1}{2}-2+\ln 1=-\frac{3}{2}$: $$=\frac{F^2(x)}{2}{|}_{-1}^0=\frac{F^2(0)-F^2(-1)}{2}=\frac{1}{2}\left({\ln }^{2}2-\frac{9}{4}\right)\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $\ln 2\approx 0,6931$, deci rezultatul este $\frac{1}{2}(0,4805-2,25)\approx -0,8848$; integrala calculată numeric pe $[-1,0]$ dă $-0,884773$. Rezultatul este negativ pentru că pe acest interval funcția $F$ este negativă, iar $f$ pozitivă. Unde se greșește de obicei: se calculează separat cele două integrale, sau se scrie $\ln 1=1$ în loc de $0$; a doua capcană este ordinea capetelor — se scade valoarea din $-1$, nu invers.)