Bac M1 2013, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2013 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_mate-info, publicat înaintea sesiunilor examenului național de bacalaureat din 2013. Modelul nu este o variantă extrasă la examen — el nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model" — și are rolul de a arăta elevilor structura, tipurile de cerințe și nivelul de dificultate ale probei din acel an. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu modelul.

Anul $2013$ este anul în care disciplina și-a schimbat numele pe hârtiile examenului: pe antet nu mai scrie „Matematică M1", ci „Matematică M_mate-info". Este aceeași probă, pentru aceiași elevi, cu aceeași structură — s-a schimbat doar eticheta, care de atunci numește direct specializarea. La noi banca de subiecte se numește tot „Bacalaureat M1", pentru că așa o caută elevii și profesorii.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul din 2013:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali: pătratul unui binom cu radical și reducerea termenilor asemenea — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: legătura dintre semnul discriminantului și numărul punctelor de intersecție ale parabolei cu axa $Ox$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: injectivitatea funcției logaritmice și condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și submulțimi: numărul submulțimilor unei mulțimi finite, $2^n$, și numărul celor cu cel mult un element, $C_n^0+C_n^1$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: regula triunghiului și lungimea unui vector scris în baza $\vec{i}$, $\vec{j}$ — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula cosinusului diferenței și valorile remarcabile ale unghiului $\frac{\pi }{3}$ — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Determinanți și rang: determinantul unei matrice de ordinul al treilea cu doi parametri, rangul unei matrice și rezolvarea unei ecuații în două necunoscute prin factorizare — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: restul împărțirii la $X-1$, suma pătratelor rădăcinilor prin relațiile lui Viète și polinomul care are drept rădăcini inversele rădăcinilor date — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, monotonie și un șir definit implicit: derivata funcției exponențiale, existența și unicitatea soluției unei ecuații pe un interval și limita șirului format din aceste soluții — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Aplicațiile integralei: aria subgraficului, volumul corpului de rotație și invarianța unei integrale la „îndesarea" argumentului unei funcții periodice — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2013. Modelul este vizibil mai greu decât sesiunea de vară a aceluiași an și, ca orice model, arată plafonul de dificultate. Subiectul I este onest și scurt, dar itemul de probabilități numără submulțimi, nu elemente — cea mai frecventă capcană a capitolului. Subiectul al II-lea cere, la problema $1$, un rang, adică o noțiune care nu se rezolvă prin rețetă, și o cerință de tip „arătați că există", unde e de ajuns un exemplu; la problema $2$, un polinom construit din inversele rădăcinilor, deci scrierea răsturnată a coeficienților. Subiectul al III-lea este partea cu adevărat grea: la problema $1$ apare un șir definit implicit ($x_n$ nu are formulă, ci este soluția unei ecuații), iar la problema $2$ o demonstrație cu schimbare de variabilă și periodicitate, tipul de cerință care cere idee, nu calcul.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{{\pi }^2}{4}$ și $2\sqrt{2}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția $x=-2$ păstrată la ecuația logaritmică, fără condiția de existență; probabilitatea calculată pe elementele mulțimii în loc de submulțimile ei; rangul afirmat fără minorul nenul care îl garantează; concluzia „soluția este unică" fără monotonie; limita șirului $x_n$ afirmată fără încadrarea $x_n>\ln n$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, cu $(\sqrt{5}{)}^2=5$. Funcția de gradul al doilea: graficul taie axa $Ox$ în două puncte distincte exact când $\Delta =b^2-4ac>0$; într-unul singur când $\Delta =0$; deloc când $\Delta <0$. Ecuații logaritmice: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v\iff u=v$, după ce se impun $u>0$ și $v>0$. Submulțimi: o mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi, dintre care $C_n^0=1$ vidă și $C_n^1=n$ cu un singur element. Vectori: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ (regula triunghiului), iar $\Vert a\vec{i}+b\vec{j}\Vert =\sqrt{a^2+b^2}$. Trigonometrie: $\cos (u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$, cu $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Determinanți și rang: regula lui Sarrus pentru ordinul al treilea; rangul unei matrice este ordinul celui mai mare minor nenul — ca să arăți că rangul este $2$ îți trebuie amândouă: un minor de ordinul al doilea nenul și determinantul de ordinul al treilea nul.
• Polinoame: restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$ (teorema lui Bézout); relațiile lui Viète pentru gradul al treilea, $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$, $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$; suma pătratelor, $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$; polinomul rădăcinilor inverse se obține scriind coeficienții în ordine inversă.
• Derivate și șiruri definite implicit: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$; o funcție continuă pe un interval, care ia valori de o parte și de alta a lui $n$, atinge valoarea $n$ (proprietatea lui Darboux); dacă în plus este strict monotonă, soluția este unică.
• Aplicațiile integralei: aria subgraficului unei funcții continue și pozitive, $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$; volumul corpului de rotație, $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$; liniarizarea ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$; schimbarea de variabilă cu schimbarea limitelor, ${\int }_a^{b}f(u(x))u^{\prime }(x)dx={\int }_{u(a)}^{u(b)}f(t)dt$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2+mx+4$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3+X-m$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=e^x-x$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\cos x$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Scrierea $f^n(x)$, de la itemul $10$, înseamnă $(f(x){)}^n$ — puterea a $n$-a a valorii funcției, nu compunerea funcției cu ea însăși de $n$ ori. La fel $f^2(x)={\cos }^{2}x$ în formula volumului. Este convenția din toate subiectele de Bacalaureat M1.
• Litera $m$ este parametru la itemul $2$ (coeficientul lui $x$ în trinom) și la itemul $8$ (termenul liber al polinomului, cu semn schimbat). Litera $n$ este numărul cerut la itemul $1$, dar număr natural la itemii $9$ și $10$.
• Enunțul itemului $10$ notează cu $S$ suprafața plană însăși. Aria ei o scriem, după convenția casei, $\mathcal{S}$, iar volumul corpului de rotație, $\mathcal{V}$ — baremul oficial folosește pentru arie litera $\mathcal{A}$, pe care nu o importăm.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $n=(\sqrt{5}-1{)}^2+2\sqrt{5}$ este natural.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+mx+4$ intersectează axa $Ox$ în două puncte distincte.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(2-x^2)={\log }_{2}x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulțimile mulțimii $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, aceasta să aibă cel mult un element.

Itemul 5 (5 puncte)

Se consideră punctele $A$, $B$ și $C$ astfel încât $\overrightarrow{AB}=\vec{i}+6\vec{j}$ și $\overrightarrow{BC}=4\vec{i}+6\vec{j}$. Determinați lungimea segmentului $[AC]$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră numerele reale $a$ și $b$ astfel încât $a+b=\frac{\pi }{3}$. Arătați că $2\cos b=\cos a+\sqrt{3}\sin a$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se notează cu $D(x,y)$ determinantul matricei $A(x,y)=\left(\begin{array}{ccc}x& 1& 2\\ 2& x& 1\\ 1& y& x\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

a) (5 puncte) Calculați $D(-1,2)$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $q$ pentru care matricea $A(2,q)$ are rangul egal cu 2.

c) (5 puncte) Arătați că există cel puțin o pereche $(x,y)$ de numere reale, cu $x\ne y$, pentru care $D(x,y)=D(y,x)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se notează cu $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile din $\mathbb{C}$ ale polinomului $f=X^3+X-m$, unde $m$ este un număr real.

a) (5 puncte) Determinați $m$ astfel încât restul împărțirii polinomului $f(X)$ la $X-1$ să fie egal cu 8.

b) (5 puncte) Arătați că numărul $x_1^2+x_2^2+x_3^2$ este întreg, pentru orice $m\in \mathbb{R}$.

c) (5 puncte) În cazul $m=2$ determinați patru numere întregi $a,b,c,d$, cu $a>0$, astfel încât polinomul $g=a{X}^3+b{X}^2+cX+d$ să aibă rădăcinile $\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2},\frac{1}{x_3}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-x$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(0)$.

b) (5 puncte) Arătați că, pentru fiecare număr natural $n\ge 2$, ecuația $f(x)=n$ are exact o soluție în intervalul $(0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Fie $x_n$ unica soluție din intervalul $(0,+\infty )$ a ecuației $f(x)=n$, unde $n$ este număr natural, $n\ge 2$. Arătați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\cos x$ și se notează cu $S$ suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=\frac{\pi }{2}$.

a) (5 puncte) Calculați aria suprafeței $S$.

b) (5 puncte) Calculați volumul corpului obținut prin rotația suprafeței $S$ în jurul axei $Ox$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ${\int }_0^{2\pi }{f}^n(kx)dx={\int }_0^{2\pi }{f}^n(x)dx$, pentru orice numere naturale $n,k\ge 1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului publicat pentru sesiunile din 2013; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Se desface pătratul binomului, ținând minte că $(\sqrt{5}{)}^2=5$: $$n=(\sqrt{5}-1{)}^2+2\sqrt{5}=5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}\text{(3 p)}.$$ Termenii $-2\sqrt{5}$ și $+2\sqrt{5}$ se reduc, deci $$n=5+1=6\in \mathbb{N}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\sqrt{5}\approx 2,236$, deci $(\sqrt{5}-1{)}^2\approx 1,528$ și $2\sqrt{5}\approx 4,472$, cu suma $6,000$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(\sqrt{5}-1{)}^2=5-1=4$, ca și cum pătratul s-ar distribui peste scădere; sau se pierde dublul produsului $-2\sqrt{5}$, exact termenul care face ca radicalul să dispară.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea și discriminantul.

Punctele de intersecție ale graficului cu axa $Ox$ sunt punctele de ordonată nulă, deci abscisele lor sunt rădăcinile ecuației $f(x)=0$. Cerința se traduce astfel: $$\text{graficul taie axa }Ox\text{ ıˆn doua˘ puncte distincte}⟺x^2+mx+4=0\text{ are doua˘ soluții reale distincte}\text{(2 p)}.$$ Un trinom de gradul al doilea are două rădăcini reale distincte exact când discriminantul este strict pozitiv: $$\Delta =m^2-4\cdot 1\cdot 4=m^2-16>0\text{(1 p)}.$$ Inecuația $m^2>16$ înseamnă $|m|>4$, deci $$\mathbf{m}\in (-\infty ,-4)\cup (4,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control pe capete: pentru $m=4$ trinomul devine $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$, cu o singură rădăcină dublă — de aceea capătul este exclus; pentru $m=5$ rădăcinile sunt $-1$ și $-4$, două puncte distincte. Unde se greșește de obicei: se scrie $\Delta \ge 0$ și se acceptă și capetele, deși enunțul cere puncte distincte; sau se rezolvă $m^2-16>0$ ca $m>4$, uitând ramura negativă.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția logaritmică este injectivă, deci două logaritmi în aceeași bază sunt egali exact când argumentele lor sunt egale. Condițiile de existență cer $2-x^2>0$ și $x>0$: $${\log }_2(2-x^2)={\log }_{2}x⟹2-x^2=x\text{(1 p)}.$$ Ecuația se aduce la forma $x^2+x-2=0$, cu discriminantul $\Delta =1+8=9$: $$x_1=1,x_2=-2\text{(2 p)}.$$ Se confruntă amândouă cu condițiile de existență: $x$ trebuie să fie strict pozitiv, deci $${\mathbf{x}}_1=1\text{ convine, iar }{x}_2=-2\text{ nu convine}\text{(2 p)}.$$ (Verificare pentru $x=1$: membrul stâng este ${\log }_2(2-1)={\log }_{2}1=0$, iar cel drept ${\log }_{2}1=0$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $-2$, deși ${\log }_2(-2)$ nu are sens; sau se impune doar condiția pe primul argument, uitând că și al doilea logaritm cere $x>0$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe mulțimea submulțimilor.

Se pleacă de la definiția probabilității: $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}\text{(1 p)}.$$ Submulțimile cu cel mult un element sunt mulțimea vidă și cele formate dintr-un singur element, deci sunt $C_7^0+C_7^1$ la număr: $$C_7^0+C_7^1=1+7=8⟹8\text{ cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu șapte elemente este $2^7$: $$2^7=128⟹128\text{ de cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Prin urmare $$p=\frac{8}{128}=\frac{1}{16}\text{(1 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se iau drept cazuri posibile cele șapte elemente ale mulțimii, nu cele $128$ de submulțimi ale ei — enunțul spune „alegând una dintre submulțimile mulțimii". A doua capcană este uitarea mulțimii vide, care are zero elemente, deci „cel mult unul", și intră la cazurile favorabile. Control: numărând efectiv, submulțimile cu cel mult un element sunt $\varnothing ,\{1\},\{2\},\dots ,\{7\}$, adică opt.)

Itemul 5. (5 p) — vectori în plan.

Cu regula triunghiului, vectorul $\overrightarrow{AC}$ este suma celor doi vectori dați, iar componentele se adună separat: $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(\vec{i}+6\vec{j})+(4\vec{i}+6\vec{j})=5\vec{i}+12\vec{j}\text{(3 p)}.$$ Lungimea segmentului $[AC]$ este lungimea vectorului $\overrightarrow{AC}$, calculată cu teorema lui Pitagora pe componente: $$AC=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{(2 p)}.$$ (De reținut: $(5,12,13)$ este un triplet pitagoreic, la fel de folositor ca $(3,4,5)$. Unde se greșește de obicei: se adună lungimile celor doi vectori în loc de vectori — $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{37}\approx 6,08$ și $\Vert \overrightarrow{BC}\Vert =\sqrt{52}\approx 7,21$, cu suma $13,29$, care nu este $13$; egalitatea ar avea loc doar dacă punctele ar fi coliniare, în această ordine.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie, cosinusul diferenței.

Din relația din enunț se scoate $b$ și se folosește formula cosinusului diferenței, $\cos (u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$: $$b=\frac{\pi }{3}-a⟹\cos b=\cos \left(\frac{\pi }{3}-a\right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos a+\sin \frac{\pi }{3}\sin a\text{(2 p)}.$$ Valorile remarcabile sunt $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $$\cos b=\frac{1}{2}\cos a+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a,\text{ de unde, ıˆnmulțind cu }2,2\cos \mathbf{b}=\cos \mathbf{a}+\sqrt{3}\sin \mathbf{a}\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: pentru $a=0$ avem $b=\frac{\pi }{3}$, iar $2\cos \frac{\pi }{3}=1$, exact cât dă $\cos 0+\sqrt{3}\sin 0=1$; pentru $a=\frac{\pi }{3}$ avem $b=0$ și $2\cos 0=2$, iar $\cos \frac{\pi }{3}+\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$. Unde se greșește de obicei: se folosește formula cosinusului sumei, cu minus în față la produsul sinusurilor, deși aici argumentul este o diferență.)

Itemul 7. (15 p) — determinantul unei matrice de ordinul al treilea cu doi parametri.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x$ cu $-1$ și $y$ cu $2$ în matricea din enunț și se scrie determinantul: $$D(-1,2)=\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& 2\\ 2& -1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right|\text{(1 p)}.$$ Cu regula lui Sarrus se adună produsele de pe cele trei diagonale „descendente" și se scad cele de pe cele „ascendente": $$D(-1,2)=-1+1+8+2+2+2\text{(3 p)},$$ $$D(-1,2)=14\text{(1 p)}.$$ (Detaliul celor șase produse: diagonalele descendente dau $(-1)(-1)(-1)=-1$, $1\cdot 1\cdot 1=1$ și $2\cdot 2\cdot 2=8$; cele ascendente dau $2\cdot (-1)\cdot 1=-2$, $(-1)\cdot 1\cdot 2=-2$ și $1\cdot 2\cdot (-1)=-2$, iar fiecare intră cu semn schimbat, adică $+2$ de trei ori. Control: dezvoltarea după prima linie dă $-1(1-2)-1(-2-1)+2(4+1)=1+3+10=14$ — aceeași valoare, pe alt drum.)

b) (5 p) Se scrie matricea pentru $x=2$: $$A(2,q)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 2& 2& 1\\ 1& q& 2\end{array}\right)\text{(1 p)}.$$ Rangul este ordinul celui mai mare minor nenul, deci se arată întâi că el este cel puțin $2$, exhibând un minor de ordinul al doilea nenul care nu depinde de $q$: $$\text{exista˘ minorul }d=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 2\end{array}\right|=2\ne 0⟹\mathrm{rang}A(2,q)\ge 2\text{(1 p)}.$$ Ca rangul să fie exact $2$, singurul minor de ordinul al treilea — determinantul întreg — trebuie să fie nul: $$\mathrm{rang}A(2,q)=2⟹D(2,q)=0\text{(1 p)}.$$ Dezvoltând, $D(2,q)=2(4-q)-1(4-1)+2(2q-2)=2q+1$, deci $$2q+1=0⟹\mathbf{q}=-\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie doar $D(2,q)=0$ și se oprește acolo. Determinantul nul garantează $\mathrm{rang}\le 2$, nu $\mathrm{rang}=2$: fără minorul $d\ne 0$, rangul ar putea fi $1$ sau chiar $0$. Baremul punctează separat cele două jumătăți. Verificare: pentru $q=-\frac{1}{2}$ determinantul este $2\left(-\frac{1}{2}\right)+1=0$, iar minorul $d=2$ rămâne nenul.)

c) (5 p) Se dezvoltă determinantul, lăsând literele la vedere: $$D(x,y)=x^3+4y-4x-xy+1\text{(1 p)}.$$ Schimbând între ele rolurile lui $x$ și $y$ se obține, prin aceeași formulă, $$D(y,x)=y^3+4x-4y-yx+1\text{(1 p)}.$$ Se scad cele două expresii; termenii $-xy$ se reduc, iar restul se grupează în factor comun $x-y$: $$D(x,y)=D(y,x)⟹(x-y)(x^2+xy+y^2-8)=0⟹x^2+xy+y^2-8=0\text{(2 p)},$$ pentru că factorul $x-y$ este nenul, $x$ și $y$ fiind cerute diferite. Rămâne de arătat că ecuația are măcar o soluție cu $x\ne y$; se ia $x=0$ și se rezolvă în $y$: $$\text{finalizare: de exemplu }(\mathbf{x},\mathbf{y})=(0,2\sqrt{2})\text{(1 p)}.$$ (De ce funcționează gruparea: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, iar $-4x+4y+4y-4x=-8(x-y)$; punând laolaltă, diferența este $(x-y)(x^2+xy+y^2-8)$. Verificare pe exemplu: $D(0,2\sqrt{2})=0+8\sqrt{2}-0-0+1=8\sqrt{2}+1$, iar $D(2\sqrt{2},0)=16\sqrt{2}+0-8\sqrt{2}-0+1=8\sqrt{2}+1$ — aceeași valoare, cu $0\ne 2\sqrt{2}$. Unde se greșește de obicei: cerința spune „arătați că există", deci un singur exemplu ajunge; nu se cere mulțimea tuturor perechilor.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Restul împărțirii unui polinom la $X-1$ este valoarea polinomului în $1$ (teorema lui Bézout). Înlocuind $X$ cu $1$: $$f(1)=1^3+1-m=2-m\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț cere ca acest rest să fie $8$: $$f(1)=8\text{(2 p)},$$ $$\text{finalizare: }2-m=8⟹\mathbf{m}=-6\text{(1 p)}.$$ (Verificare: pentru $m=-6$ polinomul este $f=X^3+X+6$, iar $f(1)=1+1+6=8$. Unde se greșește de obicei: se face împărțirea lungă la $X-1$, ceea ce merge, dar consumă timp; teorema lui Bézout dă restul dintr-o singură înlocuire. A doua capcană este semnul: termenul liber al polinomului este $-m$, nu $m$.)

b) (5 p) Polinomul $f=X^3+0\cdot X^2+X-m$ are coeficientul lui $X^2$ egal cu zero, deci relațiile lui Viète dau $$x_1+x_2+x_3=0\text{ și }{x}_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=1\text{(2 p)}.$$ Suma pătratelor se scrie cu identitatea „pătratul sumei minus dublul sumei produselor două câte două": $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1)=0-2=-2\in \mathbb{Z}\text{(3 p)}.$$ (De ce nu depinde de $m$: parametrul apare doar în termenul liber, deci intră numai în produsul $x_1{x}_2{x}_3=m$, care nu figurează în identitatea de mai sus. Control numeric pentru $m=2$: rădăcinile sunt $1$, $-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{7}}{2}i$, iar suma pătratelor iese $1+2\left(\frac{1}{4}-\frac{7}{4}\right)=1-3=-2$. Unde se greșește de obicei: rezultatul, fiind negativ, pare imposibil pentru o sumă de pătrate — dar rădăcinile sunt complexe, iar pătratele lor nu mai sunt nenegative.)

c) (5 p) Pentru $m=2$ polinomul devine $f=X^3+X-2$. Dacă $x$ este rădăcină nenulă a lui $f$, atunci împărțind egalitatea $x^3+x-2=0$ la $x^3$ și notând $y=\frac{1}{x}$ se obține $1+y^2-2y^3=0$; altfel spus, se scriu coeficienții în ordine inversă: $$x_1,x_2,x_3\text{ ra˘da˘cinile lui }f=X^3+X-2⟹-2X^3+X^2+1\text{ are ra˘da˘cinile }\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2},\frac{1}{x_3}\text{(2 p)}.$$ Enunțul cere coeficient dominant strict pozitiv, deci se înmulțește tot polinomul cu $-1$ — operație care nu schimbă rădăcinile: $$a,b,c,d\in \mathbb{Z}\text{ cu }a>0⟹g=2X^3-X^2+0\cdot X-1\text{ are ra˘da˘cinile }\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2},\frac{1}{x_3}\text{(2 p)},$$ $$\text{un exemplu este }\mathbf{a}=2,\mathbf{b}=-1,\mathbf{c}=0,\mathbf{d}=-1\text{(1 p)}.$$ (Împărțirea la $x^3$ este legitimă pentru că niciuna dintre rădăcini nu este nulă: $f(0)=-2\ne 0$. Control numeric: rădăcina reală a lui $f$ este $1$, iar $g(1)=2-1+0-1=0$; celelalte două rădăcini ale lui $f$ sunt $-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{7}}{2}i$, iar inversele lor anulează și ele pe $g$. Unde se greșește de obicei: se uită coeficientul nul al lui $X^2$ din $f$ — la răsturnare el devine coeficientul lui $X$ din $g$, adică $c=0$; sau se lasă $a=-2$, deși enunțul cere $a>0$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, monotonie și un șir definit implicit.

a) (5 p) Funcția este o diferență de funcții elementare, iar derivata exponențialei este ea însăși: $$f^{\prime }(x)=(e^x-x{)}^{\prime }=e^x-1,\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind $x$ cu $0$ și folosind $e^0=1$: $$f^{\prime }(0)=1-1=0\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: raportul incremental $\frac{f(0,001)-f(-0,001)}{0,002}$ dă $0,0000$. Observație folositoare mai departe: $f^{\prime }(x)=0$ doar în $x=0$, iar $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x>0$ — de aici va veni monotonia de la subpunctul b). Unde se greșește de obicei: se scrie $(e^x{)}^{\prime }=x{e}^{x-1}$, aplicând regula puterii, deși aici variabila este la exponent.)

b) (5 p) Existența. Funcția este continuă pe $[0,+\infty )$, fiind diferență de funcții elementare, iar la capete are valorile $$f(0)=1,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty \text{ și }f\text{ este continua˘ pe }[0,+\infty ),\text{deci ecuația data˘ are cel puțin o soluție}\text{(3 p)}.$$ Într-adevăr, pentru $n\ge 2$ avem $n>1=f(0)$, iar o funcție continuă pe un interval ia toate valorile dintre valorile ei de la capete.

Unicitatea. Din subpunctul a), $$f^{\prime }(x)=e^x-1>0\text{ pentru orice }x>0⟹f\text{ strict cresca˘toare pe }[0,+\infty )⟹f\text{ injectiva˘, deci soluția este unica˘}\text{(2 p)}.$$ (De ce $e^x-1>0$ pe $(0,+\infty )$: funcția exponențială este strict crescătoare și $e^0=1$, deci $e^x>1$ pentru $x>0$. Control numeric: pentru $n=2$ soluția este $x_2\approx 1,1462$, iar $e^{1,1462}-1,1462\approx 2,000$. Unde se greșește de obicei: se demonstrează doar existența și se scrie „deci are o soluție", fără cuvântul exact; unicitatea este o afirmație separată și cere monotonia.)

c) (5 p) Se pleacă de la ecuația pe care o verifică $x_n$ și se scoate exponențiala: $$f(x_n)=n⟹e^{x_n}=n+x_n⟹e^{x_n}>n,\text{ pentru ca˘ }{x}_n>0,\text{oricare ar fi }n\ge 2\text{(2 p)}.$$ Logaritmul natural este strict crescător, deci inegalitatea se păstrează prin logaritmare, iar $\ln n\to +\infty$: $$x_n>\ln n⟹\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty \text{(3 p)}.$$ (Ultimul pas este criteriul de comparație pentru șiruri: dacă $x_n>a_n$ și $a_n\to +\infty$, atunci și $x_n\to +\infty$. Control numeric: $x_{100}\approx 4,65$, iar $\ln 100\approx 4,61$ — încadrarea se verifică, cu o marjă mică, dar reală. Unde se greșește de obicei: se caută o formulă explicită pentru $x_n$, care nu există; șirul este definit implicit, iar tot ce se poate face este să-l încadrezi. A doua capcană: se scrie $e^{x_n}=n$, uitând termenul $x_n$ din dreapta.)

Itemul 10. (15 p) — arie, volum de rotație și o integrală cu periodicitate.

a) (5 p) Pe intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ funcția cosinus este nenegativă, deci modulul din formula generală a ariei dispare: $$\mathcal{S}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}|f(x)|dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx\text{(2 p)}.$$ O primitivă a cosinusului este sinusul, iar cu formula Leibniz–Newton $$\mathcal{S}=\sin x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0=1\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: integrala calculată cu metoda lui Simpson pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ dă $1,000000$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva cu semn schimbat, $-\sin x$, confundând derivata cu primitiva; sau se lasă modulul fără să se spună de ce dispare — pe intervalul dat, cosinusul este pozitiv, iar asta trebuie afirmat.)

b) (5 p) Volumul corpului obținut prin rotația subgraficului în jurul axei $Ox$ se calculează cu formula $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{f}^2(x)dx=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}xdx\text{(1 p)}.$$ Pătratul cosinusului nu are primitivă imediată, deci se liniarizează cu formula ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$: $$\mathcal{V}=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2x)dx=\frac{\pi }{2}\left(x+\frac{1}{2}\sin 2x\right){|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{{\pi }^2}{4}\text{(4 p)}.$$ (Amănuntul de la capete: $\sin (2\cdot \frac{\pi }{2})=\sin \pi =0$ și $\sin 0=0$, deci termenul cu sinus nu contribuie deloc. Control numeric: $\frac{{\pi }^2}{4}\approx 2,4674$, iar $\pi {\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}xdx$ calculată numeric dă $2,467401$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\mathcal{V}=\pi \int f(x)dx$, fără pătrat — formula vine din volumul cilindrului elementar, de rază $f(x)$, deci raza intră la pătrat. A doua capcană: se integrează ${\cos }^{2}x$ „ca o putere", cu $\frac{{\cos }^{3}x}{3}$.)

c) (5 p) Se face schimbarea de variabilă $t=kx$, cu $dt=kdx$; limitele se schimbă și ele, din $0$ și $2\pi$ în $0$ și $2k\pi$: $$t=kx⟹{\int }_0^{2\pi }{f}^n(kx)dx=\frac{1}{k}{\int }_0^{2k\pi }{\cos }^{n}tdt\text{(2 p)}.$$ Intervalul $[0,2k\pi ]$ se taie în $k$ intervale de lungime $2\pi$, iar integrala se desface aditiv: $${\int }_0^{2k\pi }{\cos }^{n}tdt={\int }_0^{2\pi }{\cos }^{n}tdt+{\int }_{2\pi }^{4\pi }{\cos }^{n}tdt+\dots +{\int }_{2(k-1)\pi }^{2k\pi }{\cos }^{n}tdt\text{(2 p)},$$ $$=k{\int }_0^{2\pi }{\cos }^{n}tdt,\text{ deoarece }{g}_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R},g_n(x)={\cos }^{n}x\text{ este periodica˘ de perioada˘ }2\pi ,\text{de unde concluzia}\text{(1 p)}.$$ Într-adevăr, factorul $\frac{1}{k}$ din primul pas se simplifică exact cu cele $k$ bucăți egale, deci ${\int }_0^{2\pi }{f}^n(kx)dx={\int }_0^{2\pi }{f}^n(x)dx$.

(De ce sunt bucățile egale: $\cos (t+2\pi )=\cos t$, deci ${\cos }^n$ are aceeași perioadă, iar integrala unei funcții periodice pe orice interval de lungimea unei perioade dă același număr. Control numeric pentru $n=3$ și $k=5$: ambele integrale dau $0,000000$; pentru $n=2$ și $k=3$, ambele dau $3,141593$, adică $\pi$. Unde se greșește de obicei: se face substituția fără să se schimbe limitele, sau se uită factorul $\frac{1}{k}$ venit din $dx=\frac{dt}{k}$ — atunci rezultatul iese de $k$ ori mai mare. A doua capcană: $f^n(kx)$ se citește ca „funcția $f$ compusă cu ea însăși de $n$ ori"; aici înseamnă $(\cos kx{)}^n$.)