Bac M1 2013, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2013 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea specială 2013 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3, cea extrasă în ziua examenului. Sesiunea specială se organizează înaintea sesiunii obișnuite, pentru elevii care participă, în perioada probelor, la olimpiade și competiții internaționale; subiectul are aceeași structură, aceeași durată și același barem ca al sesiunii obișnuite. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Anul $2013$ este anul în care disciplina și-a schimbat numele pe hârtiile examenului: pe antet nu mai scrie „Matematică M1", ci „Matematică M_mate-info". Este aceeași probă, pentru aceiași elevi, cu aceeași structură — s-a schimbat doar eticheta, care de atunci numește direct specializarea. La noi banca de subiecte se numește tot „Bacalaureat M1", pentru că așa o caută elevii și profesorii.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din sesiunea specială 2013:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: condiția ca trei numere să fie termeni consecutivi, adică termenul din mijloc să fie media aritmetică a vecinilor — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: rădăcinile trinomului și distanța dintre punctele în care graficul taie axa $Ox$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea obligatorie a soluției — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea numerelor de două cifre cu cifre dintr-o mulțime dată, distincte, cu ultima cifră impară — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: regula paralelogramului într-un dreptunghi și lungimea unei sume de vectori — clasele a IX-a – a X-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor într-un triunghi oarecare — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice: determinantul unei matrice numerice, o ecuație matriceală de gradul al doilea și inversa obținută din ea, fără reciprocă — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valori ale unui polinom, restul împărțirii la $X\pm 2$ cu teorema lui Bézout și suma cuburilor rădăcinilor — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul unei funcții logaritmice: derivarea logaritmului unui raport, monotonia din semnul derivatei și punctul de inflexiune din semnul derivatei a doua — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șiruri de integrale: integrala exponențialei, integrarea prin părți și relația de recurență între doi termeni consecutivi — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2013. Subiectul I este format din șase cerințe scurte, fiecare cu o singură idee: media aritmetică, discriminantul, ridicarea la pătrat, numărarea pe cazuri, regula paralelogramului, teorema sinusurilor. Cea mai frumoasă este a șasea, unde teorema sinusurilor dă direct $\sin A=1$, deci triunghiul este dreptunghic — un rezultat care surprinde. Subiectul al II-lea este bine legat: la problema $1$, subpunctul b) produce exact identitatea din care se citește inversa la subpunctul c), fără calculul reciprocei; e cel mai elegant traseu de la ecuație matriceală la matrice inversă din toate probele anului. Problema $2$ combină teorema lui Bézout cu relațiile lui Viète și cu formula sumei cuburilor, iar răspunsul are trei valori, nu una. Subiectul al III-lea este clasic: un studiu complet de funcție logaritmică, până la inflexiune, și un șir de integrale cu recurență prin părți.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $e^2-e$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția ecuației iraționale dată fără verificare; numărarea cazurilor făcută fără separarea pe valorile ultimei cifre; inversa matricei scrisă fără să se arate că produsul dă $I_3$ în ambele ordini; două dintre cele trei valori ale parametrului pierdute la ultimul subpunct al problemei cu polinoame; punctul de inflexiune afirmat doar din anularea derivatei a doua, fără schimbarea de semn.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: trei numere $u$, $v$, $w$ sunt termeni consecutivi exact când $2v=u+w$. Funcția de gradul al doilea: graficul taie axa $Ox$ în punctele de abscise egale cu rădăcinile trinomului, iar distanța dintre ele este $|x_1-x_2|$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u(x)}=v(x)\Rightarrow u(x)=v(x{)}^2$, cu condiția $v(x)\ge 0$ și cu verificarea soluțiilor. Numărare pe cazuri: când o cifră are condiție specială, se fixează întâi ea, apoi se numără posibilitățile pentru celelalte, iar rezultatele se înmulțesc. Vectori: într-un paralelogram, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, iar diagonalele se înjumătățesc. Teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.
• Matrice: înmulțirea „linie pe coloană"; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid; dacă $A\cdot B=B\cdot A=I_3$, atunci $B=A^{-1}$ — fără calculul reciprocei.
• Polinoame: restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$ (teorema lui Bézout); relațiile lui Viète pentru gradul al treilea; fiecare rădăcină verifică ecuația, deci $x_k^3=m{x}_k^2-3x_k+1$, iar prin însumare se obține suma cuburilor.
• Derivate: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; o funcție cu derivata strict negativă pe un interval este strict descrescătoare acolo; un punct de inflexiune este un punct în care derivata a doua se anulează și își schimbă semnul, iar funcția este derivabilă.
• Integrale: ${\int }_a^b{e}^{x}dx=e^x{|}_a^b$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }dx=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }gdx$; formula Leibniz–Newton.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Notația $I_3$ de la itemul $7$ este matricea unitate de ordinul al treilea, iar $I_n$ de la itemul $10$ este un șir de numere (integrale). Sunt două obiecte cu totul diferite, care se întâlnesc în aceeași probă doar din întâmplarea alfabetului; itemul $10$ nu conține nicio matrice, iar itemul $7$ niciun șir.
• Litera $f$ denumește trei obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2-4x+3$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3-m{X}^2+3X-1$ de la itemul $8$ și funcția $f(x)=\ln \frac{1-x}{1+x}$ de la itemul $9$.
• Literele $a$ și $b$ sunt cifre la itemul $4$ (și formează numărul $\overline{ab}$), dar la itemul $7$ litera $a$ este parametrul real al familiei de matrice $A(a)$.
• Litera $O$ este intersecția diagonalelor dreptunghiului la itemul $5$, dar apare și în numele axei $Ox$ la itemul $2$, unde este originea reperului. Litera $e$, de la itemul $10$, înseamnă numărul lui Euler, baza logaritmului natural — în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci niciun element neutru.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați numărul real $x$ pentru care numerele $1$, $2x+2$ și $7$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Itemul 2 (5 puncte)

Calculați distanța dintre punctele de intersecție cu axa $Ox$ a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+3$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+4}=x+2$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale impare $\overline{ab}$ se pot forma, știind că $a,b\in \{2,3,4,5\}$ și $a\ne b$.

Itemul 5 (5 puncte)

În dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=8$ și $BC=6$, se consideră vectorul $\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AD}$, unde $\{O\}=AC\cap BD$. Calculați lungimea vectorului $\vec{v}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați sinusul unghiului $A$ al triunghiului $ABC$ în care $AB=6$, $BC=10$ și $\sin C=\frac{3}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Pentru fiecare număr real $a$ se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $\det (A(0))$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care $5A(a)-(A(a){)}^2=4I_3$.

c) (5 puncte) Determinați inversa matricei $A(2)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-m{X}^2+3X-1$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $f(2)-f(-2)$.

b) (5 puncte) Determinați restul împărțirii lui $f$ la $X+2$, știind că restul împărțirii polinomului $f$ la $X-2$ este egal cu 9.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ pentru care $x_1^3+x_2^3+x_3^3=3$, unde $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,1)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \frac{1-x}{1+x}$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in (-1,1)$.

b) (5 puncte) Verificați dacă funcția $f$ este descrescătoare pe intervalul $(-1,1)$.

c) (5 puncte) Determinați punctele de inflexiune a funcției $f$.

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare număr natural $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_1^2{x}^n{e}^{x}dx$.

a) (5 puncte) Calculați $I_0$.

b) (5 puncte) Arătați că $I_1=e^2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $I_{n+1}+(n+1)I_n=2^{n+1}{e}^2-e$, pentru orice număr natural $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2013; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice exact când cel din mijloc este media aritmetică a celorlalte două: $$2x+2=\frac{1+7}{2}\text{(3 p)}.$$ Membrul drept este $4$, deci $2x=2$ și $$\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=1$ cele trei numere sunt $1$, $4$, $7$ — o progresie aritmetică de rație $3$. Forma echivalentă a condiției, la fel de bună: $(2x+2)-1=7-(2x+2)$, adică diferențele consecutive sunt egale. Unde se greșește de obicei: se scrie media ca $\frac{1\cdot 7}{2}$ sau se folosește media geometrică $\sqrt{1\cdot 7}$, care ar fi condiția pentru o progresie geometrică.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea și axa $Ox$.

Punctele de intersecție ale graficului cu axa $Ox$ au ordonata nulă, deci abscisele lor sunt rădăcinile trinomului. Discriminantul este $\Delta =16-12=4$: $$f(x)=0⟹x=1\text{ sau }x=3\text{(3 p)}.$$ Cele două puncte sunt $(1,0)$ și $(3,0)$, amândouă pe axa $Ox$, deci distanța dintre ele este diferența absciselor: $$\text{distanța este egala˘ cu }2\text{(2 p)}.$$ (Control cu relațiile lui Viète: $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{16-12}=2$, adică $\frac{\sqrt{\Delta }}{|a|}$ — formula generală a distanței dintre punctele de intersecție cu axa $Ox$. Unde se greșește de obicei: se calculează distanța cu formula generală dintre două puncte, ceea ce merge, dar se uită că ordonatele sunt amândouă nule; sau se dă ca răspuns perechea de rădăcini, nu distanța.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Membrul stâng este o rădăcină pătrată, deci nenegativ; prin urmare orice soluție trebuie să verifice $x+2\ge 0$. Ridicând la pătrat, pătratele lui $x$ se reduc: $$x^2+4=x^2+4x+4\text{(3 p)}.$$ Rămâne $4x=0$, adică o singură valoare, care respectă și condiția $x+2\ge 0$: $$\text{rezulta˘ }\mathbf{x}=0,\text{care verifica˘ ecuația}\text{(2 p)}.$$ (Verificare efectivă: $\sqrt{0+4}=2$ și $0+2=2$. Unde se greșește de obicei: se sare peste verificare — ridicarea la pătrat poate introduce soluții străine, iar baremul cere proba. A doua capcană: se scrie $\sqrt{x^2+4}=x+2$ ca și cum radicalul s-ar desface, $\sqrt{x^2}+\sqrt{4}=x+2$ — o egalitate falsă, care aici ar da, întâmplător, „orice $x\ge 0$".)

Itemul 4. (5 p) — numărarea pe cazuri.

Un număr este impar exact când ultima lui cifră este impară, deci se fixează întâi cifra unităților: $$b\text{ impar}⟹b\in \{3,5\}⟹\text{sunt doua˘ variante de alegere a lui }b\text{(2 p)}.$$ După ce $b$ este ales, cifra zecilor poate fi oricare dintre celelalte trei valori ale mulțimii, pentru că enunțul cere $a\ne b$: $$\text{pentru fiecare }b\text{ impar sunt trei variante de alegere a lui }a\text{(2 p)}.$$ Alegerile fiind independente, numerele lor se înmulțesc: $$\text{se pot forma }2\cdot 3=6\text{ numere}\text{(1 p)}.$$ (Verificare prin enumerare: pentru $b=3$ ies $23$, $43$, $53$, iar pentru $b=5$ ies $25$, $35$, $45$ — șase numere. Unde se greșește de obicei: se numără toate perechile cu $a\ne b$, adică $4\cdot 3=12$, uitând condiția de imparitate; sau se scad, din cele patru valori posibile pentru $a$, două în loc de una — restricția $a\ne b$ scoate o singură valoare, cea deja folosită de $b$.)

Itemul 5. (5 p) — vectori într-un dreptunghi.

Într-un dreptunghi (care este paralelogram), suma vectorilor duși din același vârf spre vecinii lui este diagonala. În plus, $O$ fiind mijlocul diagonalei $AC$, avem $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$: $$\vec{v}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AO}=3\overrightarrow{AO}\text{(3 p)}.$$ Diagonala dreptunghiului se calculează cu teorema lui Pitagora, $AC=\sqrt{8^2+6^2}=10$, deci $AO=5$ și $$\Vert \vec{v}\Vert =3\cdot 5=15\text{(2 p)}.$$ (Control pe coordonate: cu $A$ în origine, $\overrightarrow{AB}=(8,0)$, $\overrightarrow{AD}=(0,6)$ și $\overrightarrow{AO}=(4,3)$, deci $\vec{v}=(12,9)$, cu lungimea $\sqrt{144+81}=15$. Unde se greșește de obicei: se adună lungimile, $8+5+6=19$, în loc să se adune vectorii; sau se ia $\overrightarrow{AO}$ drept jumătate din $\overrightarrow{AB}$, deși $O$ este mijlocul diagonalei, nu al laturii.)

Itemul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Într-un triunghi, raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este același pentru toate laturile. Latura $AB$ este opusă unghiului $C$, iar latura $BC$ este opusă unghiului $A$: $$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\text{(2 p)}.$$ Înlocuind datele, $\frac{6}{\frac{3}{5}}=\frac{10}{\sin A}$, adică $10=\frac{10}{\sin A}$, de unde $$\sin \mathbf{A}=1\text{(3 p)}.$$ (Ce înseamnă rezultatul: $\sin A=1$ dă $A=90^{\circ }$, deci triunghiul este dreptunghic în $A$, iar $BC=10$ este ipotenuza — coerent cu $AB=6$ și cu $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$, exact datul din enunț. Cateta rămasă este $AC=8$. Unde se greșește de obicei: se pun laturile în dreptul unghiurilor alăturate, nu opuse — $AB$ merge cu $\sin C$, nu cu $\sin A$.)

Itemul 7. (15 p) — o familie de matrice simetrice de ordinul al treilea.

a) (5 p) Se înlocuiește parametrul cu $0$ și se scrie determinantul: $$\begin{array}{rl}A(0)& =\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe diagonalele „descendente" minus cele de pe „ascendente": $$\begin{array}{rl}& \det (A(0))\\ & =0+1+1-0-0-0=2\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control pe formula generală: $\det (A(a))=(a-1{)}^2(a+2)$, iar pentru $a=0$ dă $1\cdot 2=2$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se dezvoltă după prima linie și se uită semnul alternant al cofactorilor — dezvoltarea corectă este $-1(0-1)+1(1-0)=1+1=2$.)

b) (5 p) Se calculează întâi pătratul matricei, înmulțind-o cu ea însăși „linie pe coloană". Rezultatul păstrează structura simetrică: $$\begin{array}{rl}& (A(a){)}^2\\ & =\left(\begin{array}{ccc}{a}^2+2& 2a+1& 2a+1\\ 2a+1& a^2+2& 2a+1\\ 2a+1& 2a+1& a^2+2\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Se scade din $5A(a)$, element cu element: $$\begin{array}{rl}& 5A(a)-(A(a){)}^2\\ & =\left(\begin{array}{ccc}5a-a^2-2& 4-2a& 4-2a\\ 4-2a& 5a-a^2-2& 4-2a\\ 4-2a& 4-2a& 5a-a^2-2\end{array}\right)\text{(1 p)}.\end{array}$$ Două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid; $4I_3$ are $4$ pe diagonală și $0$ în rest, deci ies două condiții: $$\begin{array}{rl}& 5A(a)-(A(a){)}^2\\ & =4I_3\\ & ⟹5a-a^2-2=4\text{ și }4-2a\\ & =0⟹\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.\end{array}$$ (A doua ecuație dă direct $a=2$, iar prima o confirmă: $10-4-2=4$. Verificare completă: $A(2{)}^2=\left(\begin{array}{ccc}6& 5& 5\\ 5& 6& 5\\ 5& 5& 6\end{array}\right)$, iar $5A(2)-A(2{)}^2=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)=4I_3$. Unde se greșește de obicei: se rezolvă doar ecuația de pe diagonală, $a^2-5a+6=0$, cu soluțiile $2$ și $3$, și se dau amândouă — dar $a=3$ nu anulează $4-2a$, deci nu convine.)

c) (5 p) Din subpunctul b), scris pentru $a=2$, iese o identitate care se citește ca o „factorizare" a lui $4I_3$; matricele $A(2)$ și $5I_3-A(2)$ comută, fiind amândouă polinoame în $A(2)$: $$\begin{array}{rl}& A(2)\cdot (5I_3-A(2))\\ & =4I_3\text{ și }(5I_3-A(2))\cdot A(2)\\ & =4I_3\text{(2 p)}.\end{array}$$ Împărțind ambele egalități la $4$, se recunoaște chiar definiția inversei: $$\begin{array}{rl}& \text{matricea }A(2)\text{ este inversabila˘ și inversa ei este }B\\ & =\frac{1}{4}(5I_3-A(2))=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 3& -1\\ -1& -1& 3\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Verificare directă: $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)\cdot \frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 3& -1\\ -1& -1& 3\end{array}\right)=I_3$; pe prima poziție, $\frac{1}{4}(6-1-1)=1$, iar pe a doua, $\frac{1}{4}(-2+3-1)=0$. Control pe determinant: $\det (A(2))=1\cdot 4=4\ne 0$, deci matricea chiar este inversabilă. Unde se greșește de obicei: se calculează inversa cu reciproca și cu cei nouă complemenți algebrici — corect, dar lung; identitatea de la b) scutește tot calculul. A doua capcană: se scrie o singură egalitate din cele două — pentru definiția inversei sunt cerute amândouă ordinile.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $2$, apoi cu $-2$; puterile impare își schimbă semnul, cele pare nu: $$f(2)=8-4m+6-1=-4m+13\text{(2 p)},$$ $$f(-2)=-8-4m-6-1=-4m-15⟹f(2)-f(-2)=28\text{(3 p)}.$$ (De ce dispare parametrul: termenul cu $m$ este $-m{X}^2$, iar $X^2$ ia aceeași valoare în $2$ și în $-2$, deci se reduce la scădere. Rămâne diferența termenilor impari: $2(2^3+3\cdot 2)=2\cdot 14=28$. Control numeric pentru $m=1$: $f(2)=9$ și $f(-2)=-19$, cu diferența $28$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(-2{)}^3=8$, uitând semnul puterii impare.)

b) (5 p) Restul împărțirii unui polinom la $X-a$ este valoarea polinomului în $a$ (teorema lui Bézout). Din datul enunțului se scoate parametrul: $$\text{restul ıˆmpa˘rțirii lui }f\text{ la }X-2\text{ este }f(2)⟹f(2)=9\text{(2 p)}.$$ Cum $f(2)=-4m+13=9$, rezultă $m=1$. Pentru împărțitorul $X+2=X-(-2)$, restul este valoarea în $-2$, iar diferența calculată la subpunctul a) o dă imediat: $$\text{restul ıˆmpa˘rțirii lui }f\text{ la }X+2\text{ este }f(-2)⟹f(-2)=-19\text{(3 p)}.$$ (Cel mai scurt drum, fără să calculezi $m$: din a) știi că $f(2)-f(-2)=28$, iar din enunț $f(2)=9$, deci $f(-2)=9-28=-19$. Control cu $m=1$: $f=X^3-X^2+3X-1$, iar $f(-2)=-8-4-6-1=-19$. Unde se greșește de obicei: se ia restul împărțirii la $X+2$ drept $f(2)$ — împărțitorul $X+2$ se anulează în $-2$, nu în $2$.)

c) (5 p) Se scriu primele două relații ale lui Viète și se obține suma pătratelor: $$x_1+x_2+x_3=m,x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3=3⟹x_1^2+x_2^2+x_3^2=m^2-6\text{(2 p)}.$$ Fiecare rădăcină verifică ecuația polinomului, adică $x_k^3=m{x}_k^2-3x_k+1$; însumând cele trei egalități: $$x_1^3+x_2^3+x_3^3=m(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-3(x_1+x_2+x_3)+3=m^3-9m+3\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație de gradul al treilea în $m$, care se rezolvă dând factor comun: $$x_1^3+x_2^3+x_3^3=3⟺m^3-9m=0⟺\mathbf{m}=-3\text{ sau }\mathbf{m}=0\text{ sau }\mathbf{m}=3\text{(1 p)}.$$ (Detaliul de calcul: $m(m^2-6)-3m+3=m^3-6m-3m+3=m^3-9m+3$. Control numeric pentru $m=3$: rădăcinile lui $X^3-3X^2+3X-1=(X-1{)}^3$ sunt toate egale cu $1$, iar suma cuburilor este $3$ — exact cât se cere. Unde se greșește de obicei: se dă factor comun $m$ și se „simplifică" prin el, pierzând soluția $m=0$; sau se oprește căutarea la prima valoare găsită, deși enunțul cere numerele $m$, la plural.)

Itemul 9. (15 p) — studiul unei funcții logaritmice.

a) (5 p) Se derivează logaritmul cu formula $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, unde $u(x)=\frac{1-x}{1+x}$; împărțirea la $u$ înseamnă înmulțirea cu răsturnata lui: $$f^{\prime }(x)=\frac{1+x}{1-x}\cdot {\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}^{\prime }\text{(3 p)}.$$ Derivata raportului este $\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x{)}^2}=\frac{-2}{(1+x{)}^2}$, deci după simplificare $$f^{\prime }(x)=-\frac{2}{1-x^2}=\frac{2}{{\mathbf{x}}^2-1},\text{ pentru orice }x\in (-1,1)\text{(2 p)}.$$ (Drumul alternativ, la fel de corect și mai scurt: $\ln \frac{1-x}{1+x}=\ln (1-x)-\ln (1+x)$, cu derivata $\frac{-1}{1-x}-\frac{1}{1+x}=\frac{-2}{1-x^2}$. Control numeric: în $x=0,5$, formula dă $\frac{2}{-0,75}\approx -2,667$, iar raportul incremental dă tot $-2,667$. Unde se greșește de obicei: se uită $u^{\prime }$ și se scrie doar $\frac{1}{u}$; sau se pierde un semn la derivarea numărătorului $1-x$.)

b) (5 p) Pe intervalul dat, pătratul lui $x$ este strict subunitar, deci numitorul derivatei este negativ: $$x^2-1<0,\text{ pentru orice }x\in (-1,1)\text{(2 p)}.$$ Numărătorul fiind constant pozitiv, derivata are semn constant negativ, iar de aici monotonia: $$f^{\prime }(x)<0,\text{ pentru orice }x\in (-1,1)⟹\mathbf{f}\text{este descresca˘toare pe }(-1,1)\text{(3 p)}.$$ (Control pe valori: $f(-0,5)=\ln 3\approx 1,099$, $f(0)=\ln 1=0$ și $f(0,5)=\ln \frac{1}{3}\approx -1,099$ — valorile chiar scad. De fapt funcția este strict descrescătoare, derivata fiind strict negativă, dar enunțul cere doar verificarea monotoniei. Unde se greșește de obicei: se scrie $x^2-1>0$ „pentru că este un pătrat minus unu"; pe $(-1,1)$ este exact invers.)

c) (5 p) Punctele de inflexiune se caută printre zerourile derivatei a doua, în care aceasta își schimbă semnul. Derivând $f^{\prime }(x)=2(x^2-1{)}^{-1}$: $$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{4x}{(x^2-1{)}^2},\text{ pentru orice }x\in (-1,1)\text{(2 p)}.$$ Numitorul este strict pozitiv pe interval, deci semnul este dat de numărător: $$f^{\prime \prime }(x)=0⟺x=0\text{(1 p)}.$$ La stânga lui zero, $-4x$ este pozitiv; la dreapta, negativ — deci derivata a doua chiar își schimbă semnul, iar funcția este derivabilă acolo: $$f^{\prime \prime }(x)\ge 0,\text{ pentru orice }x\in (-1,0],f^{\prime \prime }(x)\le 0,\text{ pentru orice }x\in [0,1),\text{deci punctul de inflexiune este }\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$ (Ce se vede pe grafic: funcția este convexă pe $(-1,0]$ și concavă pe $[0,1)$, iar în origine graficul „își schimbă curbura"; cum $f(0)=\ln 1=0$, punctul de pe grafic este chiar originea. Control numeric: $f^{\prime \prime }(-0,5)=\frac{2}{0,5625}\approx 3,56>0$ și $f^{\prime \prime }(0,5)\approx -3,56<0$. Unde se greșește de obicei: se afirmă inflexiunea doar din $f^{\prime \prime }(0)=0$, fără schimbarea de semn — anularea singură nu ajunge, cum se vede la $x^4$, unde derivata a doua se anulează în zero fără inflexiune.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale.

a) (5 p) Pentru $n=0$ puterea dispare, $x^0=1$, deci rămâne integrala exponențialei: $$I_0={\int }_1^2{e}^{x}dx\text{(2 p)}.$$ O primitivă a exponențialei este ea însăși, iar cu formula Leibniz–Newton $$I_0=e^x{|}_1^2={\mathbf{e}}^2-\mathbf{e}\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $e^2-e\approx 7,389-2,718=4,671$, iar integrala calculată numeric pe $[1,2]$ dă $4,670774$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x^0=0$ pentru $x$ oarecare, sau se dă ca primitivă $\frac{e^{x+1}}{x+1}$, aplicând regula puterii unde nu se poate.)

b) (5 p) Se integrează prin părți, derivând partea polinomială și integrând exponențiala: $$I_1={\int }_1^{2}x{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_1^2-{\int }_1^2{e}^{x}dx\text{(3 p)}.$$ Primul termen este $2e^2-e$, iar a doua integrală este chiar $I_0=e^2-e$; scăzându-le, termenii cu $e$ se reduc: $$I_1=(2e^2-e)-(e^2-e)={\mathbf{e}}^2\text{(2 p)}.$$ (Verificare prin derivare: o primitivă a lui $x{e}^x$ este $(x-1)e^x$, iar $(x-1)e^x{|}_1^2=e^2-0=e^2$. Control numeric: $e^2\approx 7,389$, iar integrala calculată numeric dă $7,389056$. Unde se greșește de obicei: se ia $x$ drept factor de integrat — regula este să derivezi partea polinomială, ca gradul ei să scadă.)

c) (5 p) Aceeași integrare prin părți, scrisă pentru exponentul $n+1$; exponențiala se scrie ca derivata ei însăși, ca să se vadă ce se integrează: $$I_{n+1}={\int }_1^2{x}^{n+1}{e}^{x}dx={\int }_1^2{x}^{n+1}(e^x{)}^{\prime }dx\text{(2 p)}.$$ Formula părților scoate termenul din afara integralei, iar derivata lui $x^{n+1}$ aduce factorul $n+1$ și puterea $x^n$, adică exact $I_n$: $$I_{n+1}=x^{n+1}{e}^x{|}_1^2-(n+1)I_n⟹{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}+1}+(\mathbf{n}+1){\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}=2^{\mathbf{n}+1}{\mathbf{e}}^2-\mathbf{e}\text{(3 p)}.$$ (Termenul din afara integralei, în detaliu: $2^{n+1}{e}^2-1^{n+1}{e}^1=2^{n+1}{e}^2-e$ — de aici vin cele două bucăți ale membrului drept. Control numeric pentru $n=1$: $I_1=e^2\approx 7,3891$ și $I_2\approx 12,0598$, iar $I_2+2I_1\approx 26,838$, exact cât dă $4e^2-e\approx 26,838$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $n+1$ venit din derivata puterii; sau se ia capătul de jos $1^{n+1}=0$ — orice putere a lui $1$ este $1$, deci termenul de acolo este $e$.)