Aria triunghiului cu determinant

Formulă din tema Dreapta în plan, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$, $C(x_C,y_C)$ sunt vârfurile, iar ${\mathcal{S}}_{ABC}$ este aria triunghiului. Cele două scrieri ale lui $\Delta$ sunt egale — a doua, forma scurtă, se obține din prima scăzând prima linie din celelalte două și este de preferat în calcul rapid. Determinantul $\Delta$ are semn, aria nu: de aceea apare modulul. Condiția de coliniaritate a celor trei puncte este exact $\Delta =0$, adică „triunghi de arie nulă” — se verifică întotdeauna înainte de a vorbi despre un triunghi. Legături utile: $d(C,AB)=\frac{|\Delta |}{AB}$, iar dacă un vârf este originea, $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|$.

Exemplu: Pentru $A(1,2)$, $B(6,3)$, $C(4,7)$: $\Delta =(6-1)(7-2)-(4-1)(3-2)=25-3=22$, deci ${\mathcal{S}}_{ABC}=11$. • Pentru $A(1,2)$, $B(3,6)$, $C(5,10)$: $\Delta =2\cdot 8-4\cdot 4=0$, deci punctele sunt coliniare.